1. До сих пор мы имели дело только с конечными группами, т. е. с группами с конечным числом элементов. Наши три групповых постулата (ассоциативность, существование тождественного элемента и обратных элементов) можно также применить к бесконечным группам, т. е. к бесконечным множествам элементов. Например, трехмерные вещественные ортогональные матрицы, представляющие вращения в пространстве, составляют систему объектов, удовлетворяющих групповым постулатам, если только в качестве группового умножения берется матричное умноженце; в этой системе объектов два последовательных вращения снова дают вращение, произведение первых двух. Подобная группа состоит из всех трехмерных матриц с определителем 1 или с определителями $\pm 1$ и т. д. Все эти группы называются бесконечными группами, в противоположность конечным группам, рассмотренным ранее.

Если не требовать ничего больше, кроме свойств групп, обсуждавшихся выше, то понятие бесконечной группы включает с точки зрения наших целей слишком много. Например, все двумерные матрицы с определителем 1, элементами которых являются рациональные числа, образуют такую группу. Но такая система лишена свойств непрерывности, которые мы хотим предположить. Поэтому мы ограничим наше обсуждение бесконечных групп непрерывными группами. Heпрерывная группа есть система объектов, называемых элементами группы, которые могут характеризоваться параметрами, изменяющимися непрерывно в некоторой области. Всякий набор значений этих параметров внутри этой области определяет элемент группы; и, наоборот, каждому элементу группы соответствует набор значений параметров внутри определенной области. Эти области называются пространством группы; между элементами группы и точками в пространстве группы имеется взаимнооднозначное соответствие.

Элементы группы, параметры которых незначительно отличаются друг от друга, называются \”соседними“. Если параметр меняется непрерывно, то мы говорим, что элемент группы меняется непрерывно. Три групповых постулата остаются справедливыми, будучи дополненными требованием непрерывности, в силу которого постулируется, что произведения и обратные элементы соседних элементов также должны быть соседними.

Примем, далее, что параметры $p_{1}(R S), p_{2}(R S), \ldots, p_{n}(R S)$ произведения являются по крайней мере кусочно непрерывными $и$ дифференцируемыми функциями параметров $p_{1}(R), \quad p_{2}(R)$, $\ldots, p_{n}(R)$ и $p_{1}(S), p_{2}(S), \ldots, p_{n}(S)$ двух сомножителей $R$ и $S$. Это также требуется от зависимости параметров $p_{1}\left(R^{-1}\right)$, $p_{2}\left(R^{-1}\right) \ldots, p_{n}\left(R^{-1}\right)$ от параметров элементов $R$.

Группы, элементы которых могут быть заданы $n$ параметрами, называются $n$-параметрическими группами. Область изменения параметров может быть односвязной или многосвязной или может распадаться на несколько несвязанных областей. В последнем случае мы говорим о смешанной непрерывной группе, в противоположность просто непрерывной группе, для которой область изменения параметров связна.

Рассмотрим, например, группу вращений в трехмерном пространстве – трехмерную группу вращений. Элемент группы – вещественная трехмерная ортогональная матрица – может быть характеризован, разумеется, заданием ее девяти элементов. Однако они не могут рассматриваться в качестве параметров, так как они не меняются независимо, но связаны цекоторыми соотношениями. С другой стороны, если вращения характеризовать азимутальным углом $\Phi$, полярным углом $\theta$ оси вращения и углом вращения $\varphi$, то каждой тройке значений этих чисел, лежащих в определенных областях $(0 \leqslant \Phi \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi, \quad 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi)$, соответствует некоторое вращение. Обратно, каждому вращению соответствует набор значений этих параметров ${ }^{1}$ ).

Единственным исключением является вращение с $\varphi=0$, т. е. вращение, которое, собственно говоря, не является вовсе вращением, а представляет неизменное положение, или тождественный элемент группы. Оно соответствует всякой тройке параметь ов $\Phi, \theta, 0$, так что соответсгвие между этими параметрами и таким элементом группы не является однозначным. Для преодоления этой трудности можно было бы считать, что область изменения других параметров, $\Phi$ и $\theta$, сжимается до нуля при $\varphi=0$. Аналогичным образом следует положить $\Phi=0$ при $\theta=0$. Тогда соответствие между вращениями и тройками параметров становится однозначным. Рассмотрим, однако, непрерывную последовательность вращений на все меньшие и меньшие углы вокруг произвольной оси, т. е. вращения с параметрами $\Phi=\Phi_{0}, \theta=\theta_{0}, \varphi=t \varphi_{0}$, где $t$ изменяется непрерьнно.
i) Точка $R$ пространства параметров соответствует не операции вращения, а ее результату. Поэтому вращение полностью определяется начальным и конечным положениями на сфере. Если нужно описать эту операцию, т. е. путь, по которому прои́сходит вращение, следует указать все промежуточные положения сферы. Таким образом, для описания вращения как операции, т. е. пути, по которому достигается конечное положение, нужна кривая в пространстве параметров, или непрерывная последовательность $R(t)$ „вращений\”, принимающая значение $R(0)=E$ лри $t=0$ и переходящая в $R(1)=R$.
Если при $t=0$ углы $\Phi$ и $\theta$ должны обращаться в нуль, возникает разрыв. Поэтому наивное требование; чтобы $\Phi=0$ и $\theta=0$ при $\varphi=0$, неприемлемо, и следует найти другое средство для преодоления этой трудности.
Фиг. 1. Соответствие между точками в пространстве параметров и вращениями.
На схеме слева конец стрелки соответствует вращению, которое преобразует дугу, изображенную сплошной линией на схеме справа, в дугу, показанную штрихпунктирной линией.
Наиболее удобными параметрами являются, по-видимому, декартовы координаты $\xi, \eta, \zeta$ точки с полярными координатами $\varphi / \pi, \theta, \Phi$, причем $\xi=(\varphi / \pi) \sin \theta \cos \Phi, \quad \eta=(\varphi / \pi) \sin \theta \sin \Phi$ и $\zeta=(\varphi / \pi) \cos \theta$. Преобразование покоя, тождественный элемент группы, которое раньше соответствовало параметрам $\Phi, \theta, 0$, соответствует теперь одной-единственной точке $\xi=\eta=\zeta=0$ – началу системы координат. Соответствие между точками
Фиг. 2. Вращение на фиг. 1, которое переводит дугу, изображенную сплошной линией, в дугу, проведенную штрихпунктирной линией, – может также описываться јглами Эйлера $\alpha, \beta$ и $\gamma$.

в пространстве параметров и вращениями показано на фиг. 1. Каждое вращение соответствует одной точке внутри единичной сферы в пространстве $\xi_{\eta} \zeta$.

В этой параметризации имеется также исключение, так что соответствие элементов группы тройкам параметров не является взаимнооднозначным. Две противоположные точки сферической поверхности должны отождествляться, и переход из какой-либо точки сферической поверхности в пространстве $\xi^{\eta} \eta$ в противоположную ей точку не следует рассматривать как разрыв пути.
Таким образом, пространство параметров стало многосвязным, а соответствие между элементами группы и точками в пространстве параметров – взаимнооднозначным. Эти параметры особенно удобны поэтому для рассмотрения принципиальных вопросов, относящихся к группе вращения.

Само собой разумеется, что это ни в какой мере не препятствует выбору других параметров для формальных расчетов (например, углов Эйлера, фиг. 2), для которых соответствие не является взаимнооднозначным, но с помощью которых явные формулы могут быть записаны проще.
2. Часть группы, соседняя с тождественным элементом, известна как инфинитезимальная группа. Фундаментальная работа С. Ли ${ }^{1}$ ) относилась к инфинитезимальным группам групп преобразований. Мы можем коснуться этих исследований лишь поверхностно и ограничиться основными фактами, опуская все доказательства существования и сходимости. В случае интересующих нас групп доказательства существования могут быть заменены явным указанием nинфинитезимальных элементов“.

В дальнейшем $h$ будет означать бесконечно малое число. Пусть параметры тождественного элемента группы будут $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n}$. Тогда рассмотрим $n$ элементов $F_{1}, E_{2}, \ldots, F_{n}$, причем параметры $F_{k}$ заданы в виде $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{k}+h, \pi_{k+1}, \ldots, \pi_{n}$. Элементы $E, F_{k}$, $F_{k}^{2}, F_{k}^{3}, \ldots$ все лежат в одной и той же окрестности, если $h$ достаточно мало, и, таким образом, образуют почти непрерывный набор элементов группы. Чтобы отойти на какое-то расстояние от единичного элемента группы, нужно переходить к очень высоким степеням элемента $F_{k}$. Такое однопараметрическое семейство (коммутирующих !) элементов группы соответствует периоду элементов конечной группы.

Просто непрерывная однопараметрическая группа всегда абелева, так как она состоит из одного-единственного периода.

В параметризации трехмерной группы вращений, показанной на фиг. 1, параметрами тождественного элемента являются $\xi=\eta=\zeta=0$; три бесконечно малых элемента $\{h, 0,0\},\{0, h, 0\}$ и $\{0,0, h\}$ являются тремя бесконечно малыми углами вращений вокруг трех координатных осей

Рассмотрим теперь $n$-параметрическое семенство $F_{1}^{p_{1}}, F_{2}^{p_{2}}$, $\ldots, F_{n}^{p_{n}}$. Ограничимся при этом теми значениями $h$ и $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, для которых все элементы семейства лежат в окрестности тождественного элемента; эти элементы охватывают тогда всю инфинитезимальную группу, поскольку она является $n$-параметрической. Удобно, по крайней мере, для инфинитезимальных групп, вводить $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ в качестве параметров. Все $n$ параметров тожде-
1) S. L le, Vorlesungen über kontinulerliche Gruppen mit geometrischen und anderen Aṇwendungen, Leipzig, 1893.
ственного элемента равны нулю; параметры элементов инфинитезимальной группы очень малы.

Элементы инфинитезимальной группы коммутируют. Если параметры двух сомножителей $R$ и $S$ являются величинами порядка малого числа $\varepsilon$, то разность между параметрами элементов $R S$ и $S R$ будет порядка $\varepsilon^{2}$. Рассмотрим элементы $R(t)$ и $S\left(t^{\prime}\right)$ с параметрами $t r_{1}, t r_{2}, \ldots, t r_{n}$ и $t^{\prime} s_{1}, t^{\prime} s_{2}, \ldots, t^{\prime} s_{n}$, где $t$ и $t^{\prime}-$ непрерывные переменные. Иначе говоря, $E=R(0)=S(0)$, и $t$ и $t^{\prime}$ – величины порядка $\varepsilon$. Параметры элементов $R(t) S\left(t^{\prime}\right)$ и $S\left(t^{\prime}\right) R(t)$ можно разложить в ряды Маклорена по $t$ и $t^{\prime}$. Ряды для $n$ параметров элементов $R(t) \mathcal{S}\left(t^{\prime}\right)$ и $\mathcal{S}\left(t^{\prime}\right) R(t)$ будут иметь вид
\[
\begin{array}{c}
t_{1}+t v_{1}+t^{\prime} w_{1}+\ldots, u_{2}+t v_{2}+t^{\prime} w_{2}+\ldots, \ldots \\
u_{n}+t v_{n}+t^{\prime} w_{n}+\ldots
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\bar{u}_{1}+t \bar{v}_{1}+t^{\prime} \bar{w}_{1}+\ldots, \bar{u}_{2}+t \bar{v}_{2}+t^{\prime} \bar{w}_{2}+\ldots, \ldots, \\
\bar{u}_{n}+t \bar{v}_{n}+t^{\prime} \bar{w}_{n}+\ldots .
\end{array}
\]

Чтобы определить $u$ и $\bar{u}$, положим $t=t^{\prime}=0$. Тогда оба произведения $R(0) S(0)$ и $S(0) R(0)$ равны $E$, и все $u$ и $\bar{u}$ равны нулю:
\[
u_{1}=u_{2}=\ldots=u_{n}=\bar{u}_{1}=\bar{u}_{2}=\ldots=\bar{u}_{n}=0 .
\]

Чтобы определить $v$ и $\bar{v}$, положим лишь $t^{\prime}=0$; тогда $R(t) S(0)=$ $=R(t) E=R(t)$ и $S(0) R(t)=E R(t)=R(t)$. Поэтому $v_{1}=\overline{v_{1}}=r_{1}$, $v_{2}=\bar{v}_{2}=r_{2}, \ldots, v_{n}=\bar{v}_{n}=r_{n}$. Аналогичным образом, полагая $t=0$, получаем $w_{1}=\bar{w}_{1}=s_{1}, w_{2}=\bar{w}_{2}=s_{2}, \ldots, w_{n}=\bar{w}_{n}=s_{n}$. Это показывает, что параметры рассматриваемых двух произведений одинаковы в пределах рассматриваемых членов. Разница проявляется только в членах, пропорциональных $t^{2}, t t^{\prime}$ и $t^{\prime 2}$, а все эти члены являются величинами порядка $\varepsilon^{2}$.

Коммутативность бесконечно малых элементов с учетом членов первого порядка опирается на тот факт, что для произвольных $R$ и $S=E$, а также для произвольных $S$ и $R=E$ коммутативность имеет место точно. Если $R$ лишь слегка отличается от $E$, коммутативность сохраняется приближенно; аналогично приближенная коммутативность будет иметь место при $S \sim E$. Но если одновременно $R \sim E$ и $S \sim E$, то коммутативность выполняется особенно хорошо.

Эта теорема принимает очень простой вид для матричных групп. Элементы в окрестности тождественного элемента имеют вид $1+\varepsilon$. Тогда

и
\[
\begin{array}{l}
(1+\varepsilon a)(1+\varepsilon b)=1+\varepsilon(a+b)+\varepsilon^{2} a b \\
(1+\varepsilon b)(1+\varepsilon a)=1+\varepsilon(b+a)+\varepsilon^{2} b a,
\end{array}
\]
a эти выражения различаются лишь членами порядка $\varepsilon^{2}$.
Вышеуказанный выбор параметров, при котором элементам $F_{1}^{p_{1}}, F_{2}^{p_{2}}, \ldots, F_{n}^{p_{n}}$ соответствуют параметры $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, имеет то специальное свойство, что параметры произведения двух элементов инфинитезимальной группы могут быть получены, если пренебречь членами высших порядков, путем простого сложения параметров отдельных множителей.
3. В смешанной непрерывной группе все те элементы, которые могут быть получены непрерывным образом из тождественного элемента $E$, образуют подгруппу, являющуюся просто непрерывной. В утверждении, что некоторый элемент может быть получен непрерывным образом из тождественного, подразумевается, что существует непрерывное множество элементов $R(t)$, начинающееся с $R(0)=E$ и кончающееся на $R(1)=R$ при $t=1$. Если $R$ и $S$ – два элемента этого множества, и если $R(t)$ и $S(t)$ – два соответствующих пути, то и произведение $R(1) S(1)=R S$ может быть также получено из тождественного элемента непрерывным образом. Соответствующий путь может быть $R(t) S(t)$. То же самое имеет место для элемента, обратного $R$, а соответствующий путь есть $R(t)^{-1}$. Поэтому элементы, достижимые непрерывным образом из тождественного элемента, образуют подгруппу, являющуюся простой непрерывной, так как соответствующая область пространства параметров односвязна.

Элементы, достижимые непрерывным образом из тождественного элемента, образуют даже инвариантную подгруппу смешанной непрерывной группы. Деиствительно, если $R$ может быть достигнуто непрерывным образом из тождественного элемента, то это будет справедливо также для $X^{-1} R X$, скажем, по пути $X^{-1} R(t) X$. Смежными классами этой инвариантной подгруппы являются другие несвязные части пространства параметров. Таким образом, факторгруппу можно считать конечной группой порядка, равного числу несвязных частей пространства параметров.

Введем для дальненшего обозначение $\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right\}$ для элемента группы с параметрами $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}$. Тогда между обозначениями имеются тождественные соотношения
\[
p_{k}\left(\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right\}\right)=r_{k} \text { и }\left\{p_{1}(R), p_{2}(R), \ldots, p_{n}(R)\right\}=R .
\]
4. Представление непрерывной группы определяется точно так же, как и для конечной группы. Между каждым элементом группы и матрицей $\mathbf{D}(R)$ существует соответствие, так что $\mathrm{D}(R) \mathrm{D}(S)=\mathrm{D}(R S)$. Единственным дополнительным требованием является непрерывность представления. Оно заключается в том, чтобы для двух соседних элементов группы $R$ и $S$ все $l^{2}$ элементов матрицы $D(R)_{\text {rх }}$ отличались бесконечно мало от соответствующих элементов матрицы $D(S)_{\text {хд }}$. Здесь мы также ограничимся представлениями с отличными от нуля определителями.
Распространим теоремы для представлений конечных групп на представления непрерывных групп. При этом можно начать с того обстоятельства, что в первых четырех теоремах и, в частности, при доказательстве соотношений ортогональности (9.30) и (9.31), мы пользовались лишь одним свойством группы, а именно тем, что можно составить сумму $\sum_{R} J_{R}$, для которой
\[
\sum_{R} J_{R}=\sum_{R} J_{S R}
\]

где суммирование распространяется на все элементы группы. Здесь $J_{R}$ – совершенно произвольные числа (или матрицы), соответствующие каждому элементу группы $R$, причем соотношение (10.1) справедливо для любого элемента $S$. В обеих суммах в (10.1) содержатся одни и те же члены, но в различном порядке.

С помощью одной из таких сумм, а именно $\sum_{R} \mathrm{D}(R) \mathrm{D}(R)^{\dagger}$, мы показали (гл. 9, теорема 1), что представление может быть сделано унитарным. Соотношение ортогональности (гл. 9, теорема 4) также было доказано путем рассмотрения суммы
\[
\sum_{R} \mathbf{D}^{(j)}(R) \mathbf{X D}^{\left(j^{\prime}\right)}\left(R^{-1}\right)
\]

Теоремы 2 и 3 имели бо́льшую связь с теорией матриц. Для их распространения на представления непрерывных групп не требуется привлечения новых групповых свойтв.

Если бы можно было определить что-то аналогичное сумме $\sum_{R} J_{R}$ для непрерывных групп (естественно, это был бы интеграл, взятый по всей области изменения параметров), то четыре теоремы теории представлений конечных групп могли бы быть перенесены на непрерывные группы.
5. В случае конечных групп соотношение (10.1) основано на том факте, что последовательность $S E, S A_{2}, S A_{3}, \ldots, S A_{h}$ для произвольного $S$ совпадет, с точностью до порядка, с последовательностью $E, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{h}$. Мы приходим к следующему заключению, тривиальному для случая конечных групп. Если группа параметризована по аналогии со случаем непрерывных групп, то эти две последовательности обладают тем свойством, что одно и то же число элементов группы (один) соответствует каждому элементу объема в пространстве параметров (в этом случае элементы объема\” являются просто точками, соответствующими дискретному набору значений параметров). Поэтому возможность распространить соотношение (10.1) на непрерывный случай зависит от того, сможем ли мы сохранить это свойство в нашем обобщении,
На фиг. 3 приведена схема действия умножения на $F$ слева всех элементов группы перестановок трех объектов (7.E.1). Такое умножение преобразует каждый элемент в элемент, указываемый стрелкой, йдущей от рассматриваемого элемента. Эта схема иллюстрирует тот факт, что совокупность элементов $F R$ совпадает с совокупностью элементов $R$, если последняя образует группу.
Фиг. 3. Схематическое представление умножения каждого элемента группы перестановок трех объектов (7.E.1) на элемент $F$ слева.

То же самое имеет место не только для $F$, но и для всех элементов $S$ группы. Соотношение (10.1) является прямым следствием этого обстоятельства.

Такое же соотношение можно было бы сразу установить для непрерывных групп, если бы в них можно было выбрать множества элементов со сходными свойствами и если последовательность этих множеств могла бы быть выбрана так, чтобы плотность элементов группы в множествах увеличивалась всюду при переходе от одного множества последовательности к другому. Иными словами, соотношение (10.1) могло бы быть легко установлено для непрерывных групп, если бы можно было задать последовательность конечных подгрупп, элементы которых образуют все более и более плотное многообразие в пространстве группы. К сожалению, это невозможно (за исключением абелевых групп); непрерывные группы не могут рассматриваться в общем случае как предельный случай конечных групп. Так, например, наиболее обширной конечной подгруппой трехмерной группы вращений, элементы которой распределены по всему пространству группы, является группа симметрии икосаэдра, имеющая лишь 60 элементов. (Трехмерная группа вращений имеет конечные подгруппы порядка более 60. Они являются, однако, группами симметрии плоских правильных многоугольников и вовсе не заполняют пространство группы равномерно.)

Поскольку большинство непрерывных групп не может рассматриваться как предельные случаи конечных групп, аналоги сумм, входящих в (10.1), должны находиться другим способом. Плотно заполним пространство группы точками. Если обознаิчить эти точки через $R_{1}, R_{2}, \ldots$, то в общем случае невозможно добиться того, чтобы множество точек $S R_{1}, S R_{2}, \ldots$ совпадало с множеством точек
$R_{1}, R_{2}, \ldots$ для всех $S$, которые сами расположены плотно в пространстве группы. Однако точки $R_{1}, R_{2}, \ldots$ в пространстве группы можно расположить таким образом, чтобы плотность точек $S R_{1}, S R_{2}, \ldots$ была такой же во всех частях пространства группы, как и плотность точек $R_{1}, R_{2}, \ldots$ в тех же частях пространства группы. Это позволит нам определить интеграл по группе, для которого имеет место соотношение, являющееся аналогом (10.1). Таким образом, схема на фиг. 3 заменяется другой схемой, в которой концы (острия) стрелок, изображающих точки $S R_{1}, S R_{2}, \ldots$, не совпадают с их началами, т. е. точками $R_{1}, R_{2}, \ldots$ Однако плотность концов стрелок будет всюду равна плотности точек $R_{1}, R_{2}, \ldots$ из которых они исходят. При таком ${ }_{n}$ инвариантном распределении для любой непрерывной функции в пространстве параметров $J(R)$ равенство
\[
\sum_{i} J\left(R_{i}\right)=\sum_{i} J\left(S R_{i}\right)
\]
(где $R$ пробегает все пространство группы) имеет место для непрерывных функций в пространстве группы, так как число элементов группы в правой части (10.2), соответствующее элементу объема в пространстве параметров около $S R_{i}=Q_{i}$, совпадает с числом элементов группы $R_{i}$, содержащихся в том же элементе объема.

Для удобства вычислений сумма в левой части (10.2) заменяется интегралом
\[
\int J(R) d R=\int J(R) g(R) d p_{1} d p_{2} \ldots d p_{n},
\]

где $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ – параметры элемента $R$, а интегрирование распространяется на все значения этих параметров, которые определяют элементы группы, т. е. на все пространство группы. Весовая функция $g(R)$ является просто плотностью точек $R_{i}$ в сумме (10.2) в окрестности элемента $R$. Левая часть (10.2а) представляет собой сокращенное обозначение интеграла в правой части; он называется интегралом Гурвица, или инвариантным интегралом по пространству группы. Из инвариантной природы плотности $g(R)$ следует, что равенство
\[
\int J(S R) d R=\int J(R) d R
\]

справедливо для всякой непрерывной функции $J$ в пространстве группы (всякой непрерывной функции параметров группы) и для каждого элемента группы $S$.

Остается лишь показать, что в пространстве группы действительно можно построить инвариантную плотность, и определить эту плотность. Мы пойдем обратным путем: сначала найдем плотно:ть из предположения об. ее инвариантности, а затем покажем
јинвариантный характер полученного распределения. Прежде чем находить инвариантное распределение, следует заметить, что оно может быть определено только с точностью до постоянного множителя; ясно, что если плотность $g(R)$ инвариантна, то всякая плотность, кратная еи, будет также инвариантна. Плотность вблизи одной из точек может быть выбрана произвольно; мы примем, что плотность в окрестности единичного элемента $g(E)$ равна $g_{0}$. Рассмотрим теперь малый элемент объема $U$ в окрестности элемента группы $Q$ (см. фиг. 4). Если величину этого элемента
Фиг. 4. Точки на схеме являются точками суммирования $R_{l}$ в (10.2); положения, в которые эти отдельные точки переводятся при умножении слева на $Q^{-1}$, показаны светлыми кружками. В окрестности тождественного элемента плотности точек и кружков равны.

объема обозначить через $V$, то в нем имеются $g(Q) V$ точек суммирования. Применим теперь постулат инвариантности распределения по отношению к умножению слева на $Q^{-1}$. Тогда элемент объема $U$ преобразуется в элемент объема $U_{0}$ (см. фиг. 4), содержащий все точки $Q^{-1} R$, причем $R$ находится в $U$. Обозначим величину элемента объема $U_{0}$ через $V_{0}$; тогда число точек суммирования в $U_{0}$ должно быть равно $g_{0} V_{0}$, поскольку $U_{0}$ находится в окрестности единичного элемента. Число точек суммирования $Q^{-1} R_{i}$ в том же самом объеме равно, однако, $g(Q) V$, так что требование инвариантности дает $g(Q) V=g_{0} V_{0}$, или
\[
g(Q)=\frac{V_{0}}{V} g_{0} .
\]

Весовая функция $g(Q)$ пропорциональна увеличению, которое элемент объема \”вблизи $Q$ испытывает при проектировании на окрестность единичного элемента путем умножения слева на $Q^{-1}$. Чтобы вычислить $V_{0} / V$, допустим, что $U$ состоит из элементов группы, первый параметр которых лежит между $q_{1}$ и $q_{1}+\Delta_{1}$, второй-между $q_{2}$ и $q_{2}+\Delta_{2}, \ldots, n$-й параметр лежит между $q_{n}$ и $q_{n}+\Delta_{n}$, где $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ – параметры элемента $Q$. Тогда объем $U$ равен
\[
V=\Delta_{1} \Delta_{2} \ldots \Delta_{n}
\]
Если предположить, что параметры элемента $E=Q^{-1}\left\{q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right\}$ равны нулю, то объем области $U_{0}$ при пренебрежении членами более высоких порядков относительно $\Delta$ будет. равен
\[
\begin{array}{l}
=\Delta_{1} \Delta_{2} \ldots \Delta_{n} \times \\
\times \frac{\partial\left[p_{1}\left(Q^{-1}\left\{r_{1}, \ldots, r_{n}\right\}\right), p_{2}\left(Q^{-1}\left\{r_{1}, \ldots, r_{n}\right\}\right), \ldots, p_{n}\left(Q^{-1}\left\{r_{1}, \ldots, r_{n}\right\}\right)\right]}{\partial\left[r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right]}, \\
\end{array}
\]

причем последнее выражение вычисляется при $r_{1}=p_{1}(Q)=q_{1}$, $r_{2}=p_{2}(Q)=q_{2}, \ldots, r_{n}=p_{n}(Q)=q_{n}$. Напомним, что $\left\{q_{1}, \ldots, q_{n}\right\} \stackrel{-}{-}$ элемент группы с параметрами $q_{1}, \ldots, q_{n}$ и что $p_{i}(R)$ есть $i$-и параметр элемента группы $R$. При дифференцировании по $q_{i}$ элемент группы $Q$ должен рассматриваться постоянным; переменными являются только $r_{i}{ }^{1}$ ).
Это равенство дает для $g(Q)$ якобиан
\[
g(Q)=g_{0} \frac{\partial\left[p_{1}\left(Q^{-1}\left\{q_{1}, \ldots, q_{n}\right\}\right), \ldots, p_{n}\left(Q^{-1}\left\{q_{1}, \ldots, q_{n}\right\}\right)\right]}{\partial\left[q_{1}, \ldots, q_{n}\right]},
\]

вычисляемый при $q_{1}=p_{1}(Q), \ldots, q_{n}=p_{n}(Q)$ и являющийся явной формулой для плотности, которую следует принять в окрестности элемента $Q$ с тем, чтобы подстановка $Q^{-1} R_{l}$ вместо $R_{i}$ не меняла числа элементов группы в окрестности тождественного элемента. Наоборот, это выражение можно рассматривать как плотность вблизи $Q$ после подстановки $Q E$ вместо $E$, если плотность вблизи тождественного элемента была равна $g_{0}$ до подстановки.

Если плотность точек $R_{i}$ дается выражением (10.3) в каждои точке $Q$, то плотность точек $Q^{-1} R_{l}$ будет равна $g_{0}$ в окрестности единичного элемента для любого $Q$. Кроме того, плотность точек $Q R_{i}$ будет даваться выражением (10.3) в окрестности $Q$, если плотность точек $R_{i}$ равна $g_{0}$ в окрестности $E$, так как преобразование $R_{l} \rightarrow Q R_{i}$ лишь возвращает точки туда, откуда они „пришли“. Это справедливо также для любого $Q$. Однако следует еще показать, что плотность точек $S R_{i}$ дается выражением (10.3) во всякой точке $T=S Q$, если плотность точек $R_{l}$ равна (10.3) во всякой точке $Q$. Чтобы доказать это, разобьем преобразование $S$ на два множителя: $S=(S Q) Q^{-1}$. Согласно первому замечанию, плотность точек $Q^{-1} R_{l}$ в окрестности единичного элемента будет равна $g_{0}$.
1) Значения $p_{k}(Q)$ для $r_{k}$ вводятся после дифференцирования. Формула (10.3) является выражением вида \”( $\partial / \partial x) f(x, y)$ при $x=y^{\prime}$. Если, например, $f(x, y)=x^{2} y^{3}$, то $\partial f(x, y) / \partial x^{\prime \prime}=2 y^{4}$ при $x=y$.
Следовательно, второе замечание можно применить к распределению $Q^{-1} R_{i}$. Это осуществляется заменой $Q$ на $S Q=T$ и покавывает, что плотность точек $(S Q) Q^{-1} R_{i}$ дается выражением (10.3). В силу ассоциативности группового умножения точки ( $S Q) Q^{-1} R_{l}$ являются точками $S R_{i}$; таким образом, мы показали, что плотность этих точек дается выражением (10.3) в произвольной точке $T$, если плотность точек $R_{i}$ выражается тем же равенством. Фиг. 5 иллюстрирует это доказательство, основанное, как легко заметить, на свойстве ассоциативности умножения.
Фиг. 5. Схема (в тех же обозначениях, что и на фиг. 4) разделения подстановки $S R$ вместо $R$ на два этапа: на подстановку $Q^{-1} R$ вместо $R$ и подстановку $S Q Q^{-1} R$ для окончательной точки.
Следует заметить, что если $J(R)$ нигде не отрицательно (т. е. ни для одного $R$ ), то выражение (10.2а) может обращаться в нуль только в том случае, если $J(R)$ всюду равно нулю. Это обстоятельство существенно для нового вывода теоремы 1 предыдущей главы.

Рассмотрим теперь явное выражение инвариантного интеграла Гурвица и покажем еще раз путем прямого вычисления, что выбор функции плотности, определенной выражением (10.3), действительно сводит (10.2б) к тождеству. Интеграл в правой части (10.26) равен $\int J(R) d R=\int \ldots \int J\left(\left\{r_{1}, \ldots, r_{n}\right\}\right) g\left(\left\{r_{1}, \ldots, r_{n}\right\}\right) d r_{1} \ldots d r_{n}$, (10.4) где интегрирование распространяется на всю область изменения параметров. Покажем, что равенство
\[
\begin{array}{l}
\int J(R) d R \equiv \int \ldots \int J\left(\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right\}\right) g\left(\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right\}\right) \times \\
\times d r_{1} \ldots d r_{n}=\int J(S R) d R=\int \ldots \int J\left(S\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right\}\right) \times \\
\times g\left(\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right\}\right) d r_{1} \ldots d r_{n} \\
\end{array}
\]

имеет место для всех элементов $S$, если только $g(R)$ задаетсุя выражением (10.3).
Сначала введем новые переменные в интеграле в правой части (10.5), а именно, параметры $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$ произведения
\[
X=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}=S R=S\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right\} .
\]

Иначе говоря,
\[
\begin{array}{l}
x_{k}=p_{k}\left(S\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right\}\right), \\
r_{k}=p_{k}\left(S^{-1}\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}\right) .
\end{array}
\]

Область интегрирования не меняется, так как $S R$, так же как и $R$, пробегает всю группу. Тогда получаем
\[
\begin{array}{l}
\int J(S R) d R=\int \ldots \int J\left(S\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right\}\right) g\left(\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right\}\right) \times \\
\times d r_{1} \ldots d r_{n}=\int \cdots \int J\left(\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}\right) \times \\
\times g(R) \frac{\partial\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)} d x_{1} \ldots d x_{n},
\end{array}
\]

где $R$ и параметры $r_{i}$ рассматриваются как функции параметров $x_{i}$, согласно (10.6a). Если теперь взять $g(R)$ из (10.3), то можно скомбинировать последіне два множителя подынтегрального выражения, согласно теореме о якобианах неявных функций $\left.{ }^{1}\right)$ :
\[
\begin{aligned}
g_{0} \frac{\partial\left[\ldots p_{k}\left(R^{-1}\left\{r_{1}, \ldots, r_{n}\right\}\right) \ldots\right]}{\partial\left[\ldots r_{k} \ldots\right]} \frac{\partial\left(r_{1}, \ldots, r_{n}\right)}{\partial\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}= \\
=g_{0} \frac{\partial\left[\ldots p_{k}\left(R^{-1}\left\{r_{1}, \ldots, r_{n}\right\}\right) \ldots\right]}{\partial\left[\ldots x_{k} \ldots\right]}
\end{aligned}
\]

при этом якобиан вычисляется при $r_{1}=p_{1}(R), \ldots, r_{n}=p_{n}(R)$, где $R^{-1}$ рассматривается постоянным при дифференцировании по $x_{l}$, так же как и в (10.3), а параметры $r_{k}$ считаются функциями (10.6a) от $x_{i}$. Следовательно, если $\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right\}=$ $=S^{-1} \cdot\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}$ подставлено в равенство (10.7), то (в силу $R^{-1} S^{-1}=X^{-1}$ ) получаем соотношение
\[
g_{0} \frac{\partial\left[\ldots p_{k}\left(X^{-1}\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\right) \ldots\right]}{\partial\left[\ldots x_{k} \ldots\right]}=g\left(\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\right),
\]

которое вычислено ${ }^{2}$ ) при $x_{1}=p_{1}(X), \ldots, x_{n}=p_{n}(X)$. Таким образом, правая часть равенства (10.5) де нствительно совпадает с левой с точностью до обозначений переменных интегрирования.
1) Если (10.7) имеет место для произвольных значений параметров $r_{k}$, то это равенство справедливо также для значения $r_{k}=p(R)$, требуемого для (10.3).
2) Значения $p_{k}(X)$ переменных $x_{k}$ подставляются здесь после дифференцирования.
Формулу (10.3) можно переписать с использованием равенства $Q^{-1} \cdot\left\{q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right\}=\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}=E$, с помощью которого вводятся новые переменные $e$ вместо переменных $q$, рассматриваемых на какоћ-то момент как свободно меняющиеся (тогда как $Q$ является постоянным элементом группы). Теорема о якобианах неявных функций дает
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial\left[\ldots p_{k}\left(\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}\right) \ldots\right]}{\partial\left[\ldots e_{k} \ldots\right]}= \\
\quad=\frac{\partial\left[\ldots p_{k}\left(Q^{-1}\left\{q_{1}, \ldots, q_{n}\right\}\right) \ldots\right]}{\partial\left[\ldots q_{k} \ldots\right]} \frac{\partial\left(\ldots q_{k} \ldots\right)}{\partial\left(\ldots e_{k} \ldots\right)},
\end{array}
\]

где $q_{k}$ – функции от $e_{k}$, т. е. $q_{k}=p_{k}\left(Q\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}\right)$. Так как $p_{k}\left(\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}\right)=e_{k}$, левая часть последнего равенства просто равна 1 и, выражая $q_{k}$ через $e_{k}$, мы получаем
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial\left[\ldots p_{k}\left(Q^{-1}\left\{q_{1}, \ldots, q_{n}\right\}\right) \ldots\right]}{\left.\partial ! \ldots q_{k} \ldots\right]}=\left[\frac{\partial\left(\ldots q_{k} \ldots\right)}{\partial\left(\ldots e_{k} \ldots\right)}\right]^{-1}= \\
=\left[\frac{\partial\left[\ldots p_{k}\left(Q\left\{e_{1}, \ldots, e_{n}\right\}\right) \ldots\right]}{\partial\left[\ldots e_{k} \ldots\right]}\right]^{-1} .
\end{array}
\]

Значение выражения в левой части при $q_{k}=p_{k}(Q)$ равно значению выражения в правой части при $e_{k}=p_{k}(E)$. Тогда для (10.3) можно написать
\[
g(Q)=g_{0}\left[\frac{\partial\left[p_{1}\left(Q\left\{e_{1}, \ldots, e_{n}\right\}\right), \ldots, p_{n}\left(Q\left\{e_{1}, \ldots, e_{n}\right\}\right)\right]}{\partial\left[e_{1}, \ldots, e_{n}\right]}\right]^{-1},
\]

причем $e_{1}=p_{1}(E), \ldots, e_{n}=p_{n}(E)$ (см. пример на стр. 182).
Фактический расчет функции плотности $g(R)$ для интеграла Гурвица часто весьма трудоемок, если непосредственно вычислять величины в (10.3) или (10.9). Для многих целей (в частности, для вывода соотношений ортогональности гл. 9 применительно к непрерывным группам) требуется лишь знать, что инвариантный интеграл существует.
6. Для смешанных непрерывных групп интеграл Гурвица может быть выражен через интеграл Гурвица для той части группы, которая связана с единичным элементом. Обозначим область, связанную с единичным элементом, через (5) $_{1}$, а остальные связные области – через $\mathfrak{3}_{2}, \mathfrak{G}_{3}, \ldots, \mathfrak{G}_{p}$.

Элементы области $\mathfrak{5}_{1}$ образуют подгруппу (фактически, инвариантную подгруппу), причем (5, являются смежными классами по этой подгруппе, как мы уже видели на стр. 119. Если взять по одному элементу, например $A_{v}$, из каждой области $\mathfrak{5}_{v}$, то путем умножения на $A_{\vee}$ область $\left(53_{1}\right.$ можно спроектировать на $5_{
u}$. Так как веса областей, которые могут быть спроектированы одна на другую, равны, то интеграл
\[
\begin{aligned}
\int_{\Theta_{1}}[J(R)+ & \left.J\left(A_{2} R\right)+\ldots+J\left(A_{\rho} R\right)\right] d R= \\
& =\int_{\Theta_{1}}\left[J(S R)+J\left(S A_{2} R\right)+\cdots+J\left(S A_{\rho} R\right)\right] d R,
\end{aligned}
\]

взятый по (5), инвариантен относительно умножения элементов группы на произвольный элемент группы $S$. Таким образом, интеграл Гурвица для полной группы инвариантен, если $\int_{\Theta_{1}} \ldots d R$ означает интеграл Гурвица для просто непрерывной подгруппы $\mathfrak{G}_{1}$. Так как $A_{v} R$ пробегает все элементы смежного класса $\left(5_{
u}\right.$, когда $R$ пробегает подгруппу $\mathbf{5}_{1}$, то для каждого смежного класса по $\mathbb{S}_{1}$ в левой части (10.10) появляется по одному члену. Но правая часть (10.10) также включает по одному члену для каждого смежного класса; смежный класс $\left(5_{v}=A_{v}()_{1}\right.$ представлен членом, в который входит $S A_{\mu} R$, если $\mathfrak{b}_{\mu}=A_{\mu} \mathfrak{b}_{1}$ является смежным классом, содержащим $S^{-1} A_{v}$. Покажем, что
\[
\int_{\Theta_{1}} J\left(A_{
u} R\right) d R=\int_{\Theta_{1}} J\left(S A_{\mu} R\right) d R,
\]

откуда следует, что соответствующие члены в правой и левой частях (10.10) равны.

Пусть $S^{-1} A_{
u}$ содержится в смежном классе $A_{\mu} \mathfrak{5}_{1}$. Пусть также $A_{\mu} T=S^{-1} A_{
u}$, т. е. $A_{\mu}=S^{-1} A_{
u} T^{-1}$, где $T$ содержится в подгруппе $\$_{1}$. Тогда подстановка этого выражения в (10.11) дает
\[
\int_{\Theta_{1}} J\left(A_{v} R\right) d R=\int_{\Theta_{1}} J\left(S \cdot S^{-1} A_{v} T^{-1} R\right) d R=\int_{\xi_{1}} J\left(A_{v} T^{-1} R\right) d R .
\]

Это соотношение, очевидно, справедливо, так как его правая часть отличается от левой только тем, что вместо $R$ стоит $T^{-1} R$, a, согласно гипотезе, интеграл Гурвица по $\left(_{1}\right.$ инвариантен относительно такой подстановки ( $T^{-1}$ является элементом (5) ).

Это показывает эквивалентность выражения (10.10) интегралу Гурвица для полной смешанной непрерывной группы и одновременно сводит его к интегралу, взятому по той части группы, которая просто связана с тождественным элементом. (Вся эта аргументация справедлива, разумеется, не только для $\mathfrak{S}_{1}$, но и для любой подгруппы с конечным индексом.)
7. Из соотношения (10.5) следует точно так же, как и для конечных групп, что всякое представление можно преобразовать в унитарное (гл. 9, теорема 1), если только сходится интеграл
\[
\int D(R)_{x \lambda} D(R)_{\mu \lambda}^{*} d R .
\]

Это всегда выполняется, если только объем группы $\int d R$ конечен, как, например, в случае группы вращения. Соотношение ортогональности для коэффициентов представлений (гл. 9, теорема 4) принимает вид

где $l_{v}$ – размерность представления $\mathrm{D}^{(v)}(R)$. В соответствии с этим соотношение ортогональности (9.33) для характеров принимает вид
\[
\int \chi^{(
u)}(R)^{*} \chi^{\left(
u^{\prime}\right)}(R) d R=\delta_{
u v^{\prime}} \int d R .
\]