3. Выведем неприводимые представления трехмерной группы чистых вращений иным методом, предложенным Г. Вейлем. Мы переходим к этому методу несмотря на то, что наше обсуждение метода, использующего уравнение Лапласа, было весьма кратким, поскольку метод Већля позволяет вывести так называемые $n$ двузначные представления\» одновременно с собственными представлениями. В последующем изложении (связанном с теорией спина) эти представления будут играть такую же важную роль, как и собтвенные представления.
При исследовании симметрической группы можно ограничиться определением размерностей и характеров отдельных представлений; в противоположность этому, для изучения группы вращений представляют интерес не только характеры, но и элементы всех матриц представлений. Как мы увидим ниже, это происходит в силу того, что в физические величины все тождественные частицы входят одинаковым образом. Но различные направления в пространстве физически эквивалентны только в том случае, если эквивалентны все направления, притом не только для механической задачи, но и для интересующей нас физической величины. Например, направление оказывается уже выделенным, если рассматривается определенная компонента дипольного момента.

Начнем с трех простых лемм, которые, собственно говоря, относятся к элементарной теории матриц.
a) Матрица, преобразующая каждый вещественный вектор в вещественный же вектор, сама является вещественной, т. е. все ее элементы вещественны. Если такая матрица применяется к $k$-му единичному вектору ( $k$-я компонента равна 1 , а остальные равны 0 ), то результирующић вектор образуется из $k$-й строки матрицы. Следовательно, эта строка должна быть вещественной. Но это рассуждение применимо ко всем $k$, так что все строки матрицы должны быть вещественными.
б) В гл. 3 (стр. 37) мы видели, что матрица 0 является комплексно ортогональной, если она не меняет простого скалярного произведения двух произвольных векторов, т. е. если $((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}))=$ $=((\mathbf{O} \boldsymbol{a}, \mathbf{O} \boldsymbol{b}))$. Эквивалентное условие может быть сформулировано с помощью одного произвольного вектора. Матрица 0 является комплексно ортогональной, если длина всякого отдельного произвольного вектора $\boldsymbol{v}$ остается неизменной при преобразовании с помощью $\mathbf{0}$.

Рассмотрим два произвольных вектора $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$; пусть $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$. Тогда наше новое условие комплексной ортогональности матрицы $\mathbf{0}$ имеет вид
\[
((\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}))=((\mathbf{O} \boldsymbol{v}, \mathbf{O} \boldsymbol{v})) .
\]

Используя тот факт, что $((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}))=((\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}))$, находим
\[
\begin{aligned}
((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}))= & ((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}))+((\boldsymbol{b}, \boldsymbol{b}))+2((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}))= \\
& =((\mathbf{O} \boldsymbol{a}, \mathrm{O} \boldsymbol{a}))+((\mathrm{O} b, \mathbf{0} \boldsymbol{b})))+2((\mathbf{O} \boldsymbol{a}, \mathrm{O} b)) .
\end{aligned}
\]

Однако по условию имеем также, что $((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}))=((\boldsymbol{O} \boldsymbol{a}, \mathbf{0} \boldsymbol{a}))$ и $((\boldsymbol{b}, \boldsymbol{b}))=((\mathbf{O} \boldsymbol{b}, \mathbf{O b}))$. Следовательно,
\[
((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}))=((\mathrm{O} \boldsymbol{a}, \mathrm{Ob})),
\]

откуда мы заключаем, что матрица 0 комплексно ортогональна. Аналогичным образом можно показать, что матрица $U$ унитарна, если для любого вектора выполняется соотношение (v, v) $=(\mathrm{U} \boldsymbol{v}, \mathrm{U} \boldsymbol{v})$.
Матрица, оставляющая любой вещественный вектор вещественным же и не меняющая длины этого вектора, соответствует вращению. Геометрической основой этой теоремы служит тот простой факт, что в случае, если все длины равны в первоначальной и преобразованной фигурах, углы должны быть также равны; следовательно, преобразование является просто вращением.
в) Определим теперь общий вид двумерной унитарной матрицы
\[
\mathbf{u}=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)
\]

с определителем +1 , рассматривая элементы произведения $\mathbf{u u}^{+}=\mathbf{1}$. Из $a^{*} c+b^{*} d=0$ следует, что $c=-b^{*} d / a^{*}$; подстановка этого в $\quad a d-b c=1 \quad$ дает $\left(a a^{*}+b b^{*}\right) d / a^{*}=1$. Далее, поскольку $a a^{*}+b b^{*}=1$, находим, что $d=a^{*}$ и $c=-b^{*}$. Общая двумерная унитарная матрица с определителем +1 имеет, таким образом, вид
\[
\mathbf{u}=\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
-b^{*} & a^{*}
\end{array}\right),
\]

где должно также иметь место равенство $|a|^{2}+|b|^{2}=1$.
4. Рассмотрим теперь так называемые пматрицы Паули“
\[
\mathbf{s}_{x}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \mathbf{s}_{y}=\left(\begin{array}{cc}
0 & l \\
-i & 0
\end{array}\right), \quad \mathbf{s}_{z}=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\]

Всякая двумерная матрица h с нулевым следом может рассматриваться как линейная комбинация этих матриц:
\[
\mathbf{h}=x \mathbf{s}_{x}+y \mathbf{s}_{y}+z \mathbf{s}_{z}=(\boldsymbol{r}, \mathbf{s}),
\]

или в явном виде
\[
\mathbf{h}=(\boldsymbol{r}, \mathbf{S})=\left(\begin{array}{cc}
-z & x+i y \\
x-i y & +z
\end{array}\right) .
\]

Мы ввели обозначения $2 x=h_{12}+h_{21}, 2 i y=h_{12}-h_{21}$ и $z=-h_{11}=+h_{22}$. В частности, если $x$, у и $z$ вещественны, то матрица h эрмитова.

Если мы преобразуем матрицу h с помощью произвольной унитарной матрицы и с определителем 1, то снова получим матрицу $\overline{\mathbf{h}}=\mathbf{u h u}^{\dagger} \mathbf{c}$ нулевым следом; поэтому $\overline{\mathbf{h}}$ также можно записать в виде линейной комбинации матриц $\mathrm{s}_{x}, \mathrm{~s}_{y}, \mathrm{~s}_{z}$ :
\[
\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{h}}=\mathbf{u h \mathbf { u } ^ { + }}=\mathbf{u}(\boldsymbol{r}, \mathbf{S}) \mathbf{u}^{+}=x^{\prime} \mathbf{s}_{x}+y^{\prime} \mathbf{s}_{y}+z^{\prime} \mathbf{s}_{z}=\left(\boldsymbol{r}^{\prime}, \mathbf{S}\right), \quad(15.11) \\
\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
-b^{*} & a^{*}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
-z & x+i y \\
x-i y & z
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
a^{*} & -b \\
b^{*} & a
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-z^{\prime} & x^{\prime}+i y^{\prime} \\
x^{\prime}-i y^{\prime} & z^{\prime}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]
$\Gamma \wedge a \in a \quad 15$
Последнее соотношение определяет $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ как линейные функции величин $x, y, z$. Преобразование $\mathrm{R}_{\mathrm{u}}$, переводящее $\boldsymbol{r}=(x y z)$ в $\mathrm{R}_{\mathrm{u}} r=r^{\prime}=\left(x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}\right)$, можно найти из (15.11a). Оно имеет вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
x^{\prime}= & \frac{1}{2}\left(a^{2}+a^{* 2}-b^{2}-b^{* 2}\right) x+ \\
& +\frac{1}{2} i\left(a^{2}-a^{* 2}+b^{2}-b^{* 2}\right) y+\left(a^{*} b^{*}+a b\right) z, \\
y^{\prime}= & \frac{1}{2} l\left(a^{* 2}-a^{2}+b^{2}-b^{* 2}\right) x+ \\
& +\frac{1}{2}\left(a^{2}+a^{* 2}+b^{2}+b^{* 2}\right) y+i\left(a^{*} b^{*}-a b\right) z, \\
z^{\prime}= & \left(a^{*} b+a b^{*}\right) x+i\left(a^{*} b-a b^{*}\right) y+\left(a a^{*}-b b^{*}\right) z .
\end{array}\right\}
\]

Частный вид матрицы $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ в этом выражении не существен ${ }^{1}$ ); важно лишь то, что
\[
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}
\]

в силу равенства определителей матриц $\bar{h}$ и h. Согласно лемме „б“, отсюда следует, что преобразование $\mathrm{R}_{\mathbf{u}}$ должно быть комплексно ортогональным. Это можно также видеть непосредственно из соотношений (15.12).

Кроме того, матрица $\bar{h}$ эрмитова, если такова же матрица $h$. Иными словами, вектор $\boldsymbol{r}^{\prime}=\left(x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}\right)$ веществен, если веществен вектор $\boldsymbol{r}=(x y z)$. Это означает, что, согласно лемме ${ }_{n}{ }^{a}, \mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ является вещественным, как это непосредственно следует из (5.12). Следовательно, $\mathrm{R}_{\mathrm{u}}$ представляет некоторое вращение; всякая двумерная матрица u с определителем 1 соответствует трехмерному вращению $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$; это соответствие дается соотношениями (15.11) и (15.12).

Определитель матрицы $\mathbf{R}_{u}$ равен +1 , так как при непрерывном изменении $\mathbf{u}$ к единичной матрице матрица $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ переходит непрерывно в трехмерную единичную матрицу. Если бы ее определитель был равен — 1 в начале такого перехода, он должен был бы скачком измениться на +1 . Так как это невозможно, то $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ есть чистое вращение для всех $\mathbf{u}$.

Это соответствие таково, что произведение qu двух унитарных матриц $\mathbf{q}$ и $\mathbf{\mathbf { u }}$ отвечает произведению $\mathbf{R}_{\mathbf{q u}}=\mathbf{R}_{\mathbf{q}} \cdot \mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ соответствующих вращений. Согласно соотношению (15.11), в котором вместо и подставлено $\mathbf{q}$, имеем
\[
\mathbf{q}(\boldsymbol{r}, \mathbf{S}) \mathbf{q}^{+}=\left(\mathrm{R}_{\mathbf{q}} \boldsymbol{r}, \mathbf{S}\right)
\]
1) Комплексные числа $a$ и $b$ в (15.12), которые определяют вращение, называются параметрами Кейли — Клейна; для них $|d|^{2}+|b|^{2}=1$. Ради краткости группу двумерных унитарных матриц с определителем 1 часто будем называть просто унитарной группой.
после преобразования с $\mathbf{u}$ это дает
\[
\mathrm{uq}(r, \mathrm{~S}) \mathrm{q}^{+} \mathbf{u}^{+}=\mathbf{u}\left(\mathrm{R}_{\mathbf{q}} r, \mathrm{~S}\right) \mathbf{u}^{+}=\left(\mathrm{R}_{\mathrm{u}} \mathrm{R}_{\mathrm{q}} r, \mathrm{~S}\right)=\left(\mathrm{R}_{\mathrm{u}} \boldsymbol{r}, \mathrm{S}\right),
\]

если снова воспользоваться соотношением (15.11), заменяя в нем $\boldsymbol{r}$ на $\mathrm{R}_{\mathbf{q}} \boldsymbol{r}$, a $\mathbf{u}$ на uq. Таким образом, между группой двумерных унитарных матриц с определителем +1 ( $у$ унитарной группой“) и трехмерными вращениями существует гомоморфизм; это соответствие задается соотношениями (15.11) или (15.12). Заметим, однако, что до сих пор мы еще не показали, что гомоморфизм существует между двумерной унитарной группой и полной группой вращений. Это означало бы, что $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ включает все вращения, когда $\mathbf{u}$ покрывает всю унитарную группу. Это будет доказано несколько ниже. Следует также заметить, что гомоморфизм не является изоморфизмом, так как одному и тому же вращению соответствует более чем одна унитарная матрица. Подробнее это мы также увидим ниже.

Прежде всего примем, что $\mathbf{u}$ есть диагональная матрица $\mathbf{u}_{1}(\alpha)$ (т. е. мы полагаем $b=0$ и по причинам, которые будут ясны позднее, $\left.a=e^{-\frac{1}{2} i \alpha}\right)$. Тогда $|a|^{2}=1$ и $\alpha$ вещественно,
\[
\mathbf{u}_{1}(\alpha)=\left(\begin{array}{cc}
e^{-\frac{1}{2} t \alpha} & 0 \\
0 & e^{+\frac{1}{2} i \alpha}
\end{array}\right) .
\]

Из (15.12) видно, что соответствующее вращение
\[
\mathbf{R}_{\mathbf{u}_{1}}=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\
-\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]

является вращением на угол $\alpha$ вокруг оси $Z$. Предположим далее, что и вещественна,
\[
\mathbf{u}_{2}(\beta)=\left(\begin{array}{rr}
\cos \frac{1}{2} \beta & -\sin \frac{1}{2} \beta \\
\sin \frac{1}{2} \beta & \cos \frac{1}{2} \beta
\end{array}\right) .
\]

Согласно (15.12), соответствующее вращение
\[
\mathbf{R}_{\mathbf{u}_{2}}=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \beta & 0 & -\sin \beta \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \beta & 0 & \cos \beta
\end{array}\right)
\]

является вращением на угол $\beta$ вокруг оси $Y$. Произведение трех унитарных матриц $\mathfrak{u}_{1}(\alpha) \mathfrak{u}_{2}(\beta) \mathfrak{u}_{1}(\gamma)$ соответствует произведению вращения на угол $\alpha$ вокруг оси $Z$, вращения на угол $\beta$ вокруг оси $Y$ и вращения на угол $\gamma$ вокруг оси $Z$, т. е. вращению с углами Эилера $\alpha, \beta, \gamma$. Отсюда следует, что соответствие, определенное соотношением (15.11), не только указывает трехмерное вращение для каждой двумерной унитарной матрицы, но и по крайней мере одну унитарную матрицу для каждого чистого вращения. В частности, матрица
\[
\begin{array}{r}
\left(\begin{array}{cc}
e^{-\frac{1}{2} i \alpha} & 0 \\
0 & e^{\frac{1}{2} i \alpha}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\cos \frac{1}{2} \beta & -\sin \frac{1}{2} \beta \\
\sin \frac{1}{2} \beta & \cos \frac{1}{2} \beta
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
e^{-\frac{1}{2} i \gamma} & 0 \\
0 & e^{\frac{1}{2} i \gamma}
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{cc}
e^{-\frac{1}{2} i \alpha} \cos \frac{1}{2} \beta \cdot e^{-\frac{1}{2} i \gamma} & -e^{-\frac{1}{2} i \alpha} \sin \frac{1}{2} \beta \cdot e^{\frac{1}{2} i \gamma} \\
e^{\frac{1}{2} i \alpha} \sin \frac{1}{2} \beta \cdot e^{-\frac{1}{2} i \gamma} & e^{\frac{1}{2} i \alpha} \cos \frac{1}{2} \beta \cdot e^{\frac{1}{2} i \gamma}
\end{array}\right)
\end{array}
\]

соответствует вращению $\{\alpha, \beta, \gamma\}$. Таким образом, гомоморфизм является дећствительно гомоморфизмом унитарной группы на полную трехмерную группу вращений

Остается еще открытым вопрос о кратности гомоморфизма, т. е. о том, сколько унитарных матриц и соответствуют одному и тому же вращению. Достаточно установить, сколько унитарных матриц $\mathbf{u}_{0}$ соответствуют тождественному элементу группы вращений, т. е. преобразованию $x^{\prime}=x, y^{\prime}=y, z^{\prime}=z$. Для всех $\mathbf{u}_{0}$ этого частного вида тождество $\mathbf{u}_{0} \mathbf{h} \mathbf{u}_{0}^{+}=\mathbf{h}$ должно выполняться для всех $\mathbf{h}$; это может быть только в том случае, если $\mathbf{u}_{0}$ является постоянной матрицей ( $b=0$ и $a=a^{*}$ вещественно) $\mathfrak{u}_{0}=( \pm 1)$ (так как $|a|^{2}+|b|^{2}=1$ ). Таким образом, две унитарные матрицы $(+1)$ и (-1), и только они, соответствуют тождественному элементу группы вращений. Эти два элемента образуют инвариантную подгруппу унитарной группы, а те элементы (и только те), которые входят в один и тот же смежный класс по инвариантной подгруппе, т. е. $\mathbf{u}$ и — $\mathbf{u}$, соответствуют тому же вращению. То, что $\mathbf{u}-\mathbf{u}$ действительно соответствуют одному и тому же вращению, можно непосредственно видеть из (15.11) или (15.12).
$\mathrm{C}$ другой стороны, легко видеть, что в тригонометрические функции в (15.15) входят только половинные эйлеровы углы. Углы Эйлера определяются вращением лишь с точностью до целого числа $2 \pi$, а половинные углы Эйлера — с точностью до целого числа $\pi$. Тогда тригонометрические функции в (15.15) определяются с точностью до знака.

Таким образом, мы получили важный результат: имеется двузначный гомоморфизм группы двумерных унитарных матриц с определителем 1 на трехмерную труппы чистых вращений. Существует взаимнооднозначное соответствие между парами унитарных матриц $\mathbf{u}$ и — $\mathbf{u}$ и вращениями $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$, притом так, что из $\mathbf{u q}=\mathbf{t}$ следует также, что $\mathbf{R}_{\mathbf{u}} \mathbf{R}_{\mathbf{q}}=\mathbf{R}_{\mathrm{t}}$; наоборот, из $\mathbf{R}_{\mathbf{u}} \mathbf{R}_{\mathbf{q}}=\mathrm{R}_{\mathrm{t}}$ следует, что $\mathbf{u q}= \pm \mathbf{t}$. Если унитарная матрица $\mathbf{u}$ известна, то соответствующее вращение $\mathbf{R}_{\mathfrak{u}}$ получается проще всего с помощью (15.12); наоборот, унитарная матрица для вращения $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ находится наиболее прямым путем из (15.15).
Представления унитарной группы
Б. Полученный только что гомоморфизм устанавливает тесную связь между представлениями рассматриваемых двух групп. Из каждого представления $\mathbf{D}(R)$ меньшей группы, т. е. группы вращений в рассматриваемом случае, можно получить представление $\mathfrak{u}(\mathbf{u})$ унитарной группы, как мы уже упоминали в другой связи в гл. 9. При этом матрица $\mathfrak{U}(\mathfrak{u})=\mathbf{D}\left(\mathbf{R}_{\mathfrak{u}}\right)$ представляет все элементы ( $\mathbf{~ и ~ — ~ u ) ~ в т о р о и ̆ ~ г р у п п ы , ~ к о т о р ы е ~ п р и ~ г о м о м о р ф и з м е ~}$ соответствуют одному и тому же элементу $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ первой группы. Так, в частности, матрица тождественного преобразования $\mathbf{D}(E)$ соответствует двум унитарным матрицам 1 и -1. Наоборот, если все представления унитарной группы известны, то можно выбрать такие, в которых одна и та же матрица представления $\mathfrak{u}(\mathbf{u})=\mathfrak{u}($ ( $\mathbf{u})$ соответствует обеим матрицам и и -u. Каждое из этих представлений позволяет образовать представление группы вращений, если матрицу $\mathbf{D}\left(\mathbf{R}_{\mathfrak{u}}\right)=\mathfrak{u}(\mathfrak{u})=\mathfrak{u}(-\mathbf{u})$ сопоставить вращению $\mathbf{R}_{\mathfrak{u}}$. Таким путем можно получить все представления группы вращений.

В частности, пусть представление $\mathfrak{u}(\mathbf{u})$ унитарной группы неприводимо. Элемент $\mathbf{u}=-1$ коммутирует со всеми элементами группы; следовательно, $\mathfrak{u}(-1)$ должна коммутировать со всеми $\mathfrak{U}(\mathfrak{u})$. Поэтому, в соответствии с общей теоремой о неприводимых представлениях, она является постоянной матрицей. Так как $(-1)^{2}=1$, квадрат этого элемента группы должен быть представлен единичной матрицей $\left.{ }^{1}\right) \boldsymbol{U}(\mathbf{1})$. Тогда
\[
\mathfrak{u}(-\mathbf{1})=+\mathfrak{u}(\mathbf{1}) \quad \text { или } \quad \mathfrak{u}(-\mathbf{1})=-\mathfrak{u}(1) .
\]

Представления, в которых $\mathfrak{U}(-1)=+\mathfrak{U}(1)$, называются четными представлениями. В четных представлениях $\mathfrak{U}(-\mathbf{u})=\mathfrak{u}(-1)$. $\cdot \mathfrak{u}(\mathbf{u})=\mathfrak{u}(\mathbf{1}) \cdot \mathfrak{u}(\mathbf{u})=\mathfrak{u}(\mathbf{u})$, т. е. одна и та же матрица всегда соответствует двум элементам и и — и. Поэтому четные предста-
1) Матрица $\mathfrak{U}$ (1), соответствующая тождественному элементу группы, является единичной матрицей с размерностью представления. Мы пользуемся символом $\mathfrak{t}(1)$ вместо более простого символа 1 , чтобы избежать смешивания с тождественным элементом 1 унитарной группы, который всегда является двумерным.
вления дают регулярные представления группы вращений, которые все уже известны из п. 1 настоящей главы.

Прёдставления, в которых $\mathfrak{U}(-1)=-\mathfrak{U}(1)$, называются нечетными представлениями. В нечетных представлениях $\mathfrak{U}(-\mathfrak{u})=$ $=\mathfrak{U}(-\mathbf{1}) \mathfrak{U}(\mathfrak{u})=-\mathfrak{U}(\mathfrak{u})$; элементам, отличающимся знаком, соответствуют матрицы противоположного знака. Нечетные представления унитарной группы не дают регулярных представлений группы вращенић, но дают лишь „двузначные\» или „полуцелые\» представления, в которых не одна матрица, а две матрицы $\mathfrak{U}(\mathbf{u})$ и $\mathfrak{u}(-\mathfrak{u})=-\mathfrak{u}(\mathfrak{u})$ соответствуют каждому вращению $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}=\mathbf{R}_{-\mathbf{u}}$. Эти две матрицы отличаются знаками их элементов.

Одно нечетное представление унитарной группы образуется самой группой: $\mathfrak{U}(\mathbf{u})=\mathbf{u}$.

В соответствующем „двузначном“ представлении группы вращений $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}$ вращение $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ соответствует той матрице $\mathbf{u}=\mathfrak{u}(\mathfrak{u})$, которая соответствует $R$ в гомоморфизме. Таким образом, согласно (15.15),
\[
\mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(\{\alpha, \beta, \gamma\})= \pm\left(\begin{array}{cc}
e^{-\frac{1}{2} i \alpha} \cos \frac{1}{2} \beta \cdot e^{-\frac{1}{2} i_{\gamma}} & -e^{-\frac{1}{2} i \alpha} \sin \frac{1}{2} \beta \cdot e^{\frac{1}{2} i_{\gamma}} \\
e^{\frac{1}{2} i \alpha} \sin \frac{1}{2} \beta \cdot e^{-\frac{1}{2} i_{\gamma}} & e^{\frac{1}{2} i \alpha} \cos \frac{1}{2} \beta \cdot e^{\frac{1}{2} l_{\gamma}}
\end{array}\right)
\]

Первые строку или столбец обычно называют — $1 / 2$-ми строкой или столбцом; вторые $-+1 / 2$-ми строкой или столбцом. Выражение (15.16) дает нам первое двузначное представление группы вращений.

Для двузначных представлений не всегда выполняется равенство $\mathfrak{D}(R) \cdot \mathfrak{D}(S)=\mathfrak{D}(R S)$; гарантируется лишь равенство $\mathfrak{D}(R) \cdot \mathfrak{D}(S)=$ $= \pm \mathfrak{D}(R S)$, так как матрицы представления определяются лишь с точностью до знака. Более того, невозможно определить знаки всех матриц таким образом, чтобы был справедлив простой закон перемножения однозначных представлений. Таким образом, двузначное представление не имеет строения вещественного (однозначного) представления, в котором знаки просто оставлены неопределенными. Это легко видеть, например, из (15.16): вращению на угол $\pi$ вокруг оси $Z$ соответствует матрица $\pm i \mathrm{~s}_{z}$; квадрат этой матрицы, $-1=-\mathrm{s}_{2}^{2}$, соответствует вращению на угол $2 \pi$. Но такое вращение вообще не является собственно вращением, так как все остается без изменения; оно совпадает с тождественным элементом группы. Поэтому единичная матрица также должна соответствовать ему; сделать это представление однозначным путем выбора знаков в (15.16) невозможно.
6. Определим теперь неприводимые представления двумерной унитарной группы.

Рассмотрим однородный полином $n$-औ степени относительно переменных $\varepsilon$ и $\zeta$. Если мы произведем унитарное преобразование переменных
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon^{\prime}=a \varepsilon+b^{\prime}, \\
\zeta^{\prime}=-b^{*} \varepsilon+a^{*} \zeta,
\end{array}
\]

то снова получим однородный полином $n$-औ степени. (Хотя это справедливо для произвольных линейных преобразований, мы ограничимся унитарными преобразованиями.) Поэтому $n+1$ полиномов $\varepsilon^{n}, \varepsilon^{n-1 \zeta}, \varepsilon^{n-2 \zeta^{2}}, \ldots, \varepsilon \zeta^{n-1}, \zeta^{n}$ принадлежит $(n+1)$-мерному представлению унитарной группы. Чтобы сразу перейти к привычным обозначениям для группы вращений, положим $n=2 j$; тогда размерность представления будет равна $2 j+1$, причем $j$ может быть либо целым, либо полуцелым ${ }^{1}$ ). Пусть полином имеет вид
\[
f_{\mu}(\varepsilon, \zeta)=\frac{\varepsilon^{j+\mu} \zeta^{j-\mu}}{\sqrt{(j+\mu) !(j-\mu) !}},
\]

где $\mu$ может принимать $2 j+1$ значений $-j,-j+1,-j+2, \ldots$, $j-2, j-1, j$; эти значения являются целыми для целых $j$ и полуцелыми — для полуцелых $j$. Постоянный множитель $[(j+\mu) !(j-\mu) !]^{-1 / 2}$ придан произведению $\varepsilon^{j+\mu} \zeta^{j-\mu}$, поскольку, кақ мы покажем, он делает представление $\mathfrak{u}^{(j)}$ для $2 j+1$ функций (15.18) унитарным.

Построим теперь ${ }^{2}$ ) произведение $\mathrm{P}_{\mathrm{u}} f_{\mu}(\varepsilon, \zeta)$ в соответствии с равенством (11.19):
\[
\mathbf{P}_{u} f_{\mu}(\varepsilon, \zeta)=f_{\mu}\left(a^{*} \varepsilon-b \zeta, b^{*} \varepsilon+a \zeta\right)=\frac{\left(a^{*} \varepsilon-b \zeta\right)^{j+\mu}\left(b^{*} \varepsilon+a \zeta\right)^{j-\mu}}{\sqrt{(j+\mu) !(j-\mu) !}} \text {. }
\]

Чтобы выразить правую часть в виде линейной комбинации полиномов $f_{\mu}$, разложим ее по формуле бинома; она примет вид
\[
\begin{array}{l}
\sum_{x=0}^{j+\mu} \sum_{x^{\prime}=0}^{j-\mu}(-1)^{x} \frac{\sqrt{(j+\mu) !(j-\mu) !}}{x ! x^{\prime} !(j+\mu-x) !\left(j-\mu-x^{\prime}\right) !} \times \\
\times a^{x^{\prime}} a^{\alpha j+\mu-x} b^{x} b^{* j-\mu-x^{\prime}} \varepsilon^{2 j-x-x^{\prime}} \zeta^{x+x^{\prime}} . \\
\end{array}
\]
1) Это значит, что $j$ отличается от целого числа на $1 / 2$.
2) Здесь и является унитарным преобразованием (15.17). В гл. 11 оператор $P_{R}$ был определен только для вещественных ортогональных $\mathbf{R}$. В данном случае, когда и унитарно, из (11.18a) вместо (11.186) следует
\[
x_{i}=\sum_{j} R_{j i}^{*} x_{j}^{\prime} ;
\]

таким образом, $R_{j i}^{*}$ выступает вместо $R_{j i}$.
Здесь можно опустить пределы суммирования и суммировать по всем целым числам, так как биномиальные коэффициенты равны нулю, когда $x, x^{\prime}$ лежат вне области суммирования. Если положить $j-x-x^{\prime}=\mu^{\prime}$, то $\mu^{\prime}$ должно пробегать все целочисленные значения для целых $j$ и все полуцелые значения для полуцелых $j$. Выражая все функции от $\varepsilon$ и $\zeta$ в (15.19a) через $f_{\mu}$, согласно (15.18), получаем
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{P}_{\mathbf{u}} f_{\mu}(\varepsilon, \zeta)=\sum_{\mu^{\prime}} \sum_{\boldsymbol{x}}(-1)^{x} \frac{\sqrt{(j+\mu) !(j-\mu) !\left(j+\mu^{\prime}\right) !\left(j-\mu^{\prime}\right) !}}{x !\left(j-\mu^{\prime}-x\right) !(j+\mu-x) !\left(x+\mu^{\prime}-\mu\right) !} \times \\
\times a^{j-\mu^{\prime}-x} a^{* j+\mu-x} b^{x} b^{* x+\mu^{\prime}-\mu} f_{\mu^{\prime}}(\varepsilon, \zeta) . \\
\end{array}
\]

Коэффициент при $f_{\mu^{\prime}}$ в правой части является элементом $\mathfrak{U}^{(j)}(\mathfrak{u})_{\mu^{\prime} \mu}$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{u}^{(j)}(\mathfrak{u})_{\mu^{\prime} \mu}=\sum_{x}(—1)^{x} \frac{\sqrt{(j+\mu) !(j-\mu) !\left(j+\mu^{\prime}\right) !\left(j-\mu^{\prime}\right) !}}{\left(j-\mu^{\prime}-x\right) !(j+\mu-x) ! x !\left(x+\mu^{\prime}-\mu\right) !} \times \\
\times a^{j-\mu^{\prime}-\mathrm{x}} a^{* j+\mu-\mathrm{x}} b^{\mathrm{x}} b^{* \mathrm{x}+\mu^{\prime}-\mu^{2}} . \\
\end{array}
\]

Выражение при $\mu^{\prime}=j$ (для последних строк матриц представления) несколько проще, так как факториальный множитель исключает все члены, кроме членов с $x=0$ :
\[
\mathfrak{u}^{(j)}(\mathfrak{u})_{j \mu}=\sqrt{\frac{(2 j) !}{(j+\mu) !(j-\mu) !}} a^{* j+\mu} b^{* j-\mu} .
\]

Мы получили теперь коэффициенты для представлений $\mathfrak{u}^{(j)}$ при всех возможных значениях $j=0,1 \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots$; остается лишь показать, что представления (15.21) унитарны и неприводимы и что двумерная унитарная группа не имеет других представлении, кроме найденных здесь.
7. Докажем прежде всего унитарность представления (15.21). Доказательство опирается на то обстоятельство, что полиномы $f_{\mu}$ в (15.18) выбраны так, чтобы
\[
\sum_{\mu=-j}^{j} f_{\mu} f_{\mu}^{*}=\sum_{\mu} \frac{1}{(j+\mu) !(j-\mu) !}|\varepsilon|^{2(j+\mu)}|\zeta|^{2(j-\mu)}=\frac{\left(|\varepsilon|^{2}+|\zeta|^{2}\right)^{2 j}}{(2 j) !} .
\]

Аналогичным образом, в силу определения (15.19) функций $\mathrm{P}_{\mathrm{u}} f_{\mu}$,
\[
\begin{array}{l}
\sum_{\mu}\left|\mathbf{P}_{\mathrm{u}} f_{\mu}(\varepsilon, \zeta)\right|^{2}=\sum_{\mu} \frac{\left|a^{*} \varepsilon-b \zeta\right|^{2}(j+\mu) \cdot\left|b^{*} \varepsilon+a \zeta\right|^{2(j-\mu)}}{(j+\mu) !(j-\mu) !}= \\
=\frac{1}{(2 j) !}\left(\left|a^{*} \varepsilon-b \zeta\right|^{2}+\left|b^{*} \varepsilon+a \zeta\right|^{2}\right)^{2 j}= \\
=\frac{1}{(2 j) !}\left(|\varepsilon|^{2}+|\zeta|^{2}\right)^{2 j} .
\end{array}
\]
Последнее выражение получается либо прямым вычислением, либо следует из свойства унитарности матриц и. Сравнение с (15.22) показывает, что сумма $\sum_{\mu} f_{\mu} f_{\mu}^{*}$ инвариантна относительно операций $P_{\mathrm{u}}$, так что
\[
\sum_{\mu}\left|\mathbf{P}_{\mu} f_{\mu}\right|^{2}=\sum_{\mu}\left|f_{\mu}\right|^{2} .
\]

Это обеспечивает унитарность представления $\mathfrak{u}^{(j)}$. Действительно, подстановка выражения для $\mathrm{P}_{u} f_{\mu}$ через $f_{\mu}$ с помощью этого представления дает
\[
\sum_{\mu} \sum_{\mu^{\prime}} \mathfrak{u}_{\mu^{\prime} \mu}^{(j)} f_{\mu^{\prime}} \sum_{\mu^{n}} \mathfrak{H}_{\mu^{\prime \prime} \mu^{*}}^{(j)^{*}} f_{\mu^{n}}^{*}=\sum_{\mu} f_{\mu} f_{\mu^{*}}^{*} .
\]

Если $(2 j+1)^{2}$ функций $f_{\mu^{\prime}} f_{\mu^{\prime \prime}}$ рассматривать как линейно независимые, из соотношений (15.23) и (15.23a) непосредственно следует
\[
\sum_{\mu} \mathfrak{U}^{(j)}(\mathfrak{u})_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \mathfrak{h}^{(j)}(\mathfrak{u})_{\mu^{\prime \prime} \mu}^{*}=\delta_{\mu^{\prime} \mu^{\prime \prime},}
\]

что является условием унитарности $\mathfrak{u}^{(j)}$.
Таким образом, унитарность $\mathfrak{U}^{(j)}$ установлена, коль скоро показано, что между $f_{\mu^{\prime}} f_{\mu^{\prime \prime}}^{*}$ не существует линейного соотношения, т. е. что из равенства
\[
\sum_{\mu^{\prime}, \mu^{\prime \prime}} C_{\mu^{\prime} \mu^{n} \varepsilon^{j+\mu^{\prime}}}^{\zeta^{j-\mu^{\prime}}} \varepsilon^{* j+\mu^{\prime \prime}} \zeta^{* j-\mu^{n}}=0
\]

с необходимостью следует $c_{\mu^{\prime} \mu^{\prime \prime}}=0$. Равенство (15.Е.2) должно иметь место при всех значениях переменных $\varepsilon$ и $\zeta$, так как соотношения (15.23) и (15.23a) выполняются при всех комплексных $\varepsilon$ и ५. Предположим, в частности, что $\varepsilon$ вещественно; тогда при $\lambda=2 j+\mu^{\prime}+\mu^{\prime \prime}$ требование обращения в нуль коэффициента при в дает (после деления на $\zeta^{j} \zeta^{* 3 j-\lambda}$ )
\[
\sum_{\mu^{\prime}} c_{\mu^{\prime}, \lambda-2 j-\mu^{\prime}}\left(\frac{\zeta^{*}}{\zeta}\right)^{\mu^{\prime}}=0 .
\]

Но это значит, что $c_{\mu^{\prime}, \lambda-2 j-\mu^{\prime}}=0$. Линейная независимость произведений $f_{\mu^{\prime}} f_{\mu^{\prime \prime}}^{*}$ также следует отсюда, поскольку $\left(\zeta^{*} / \zeta\right)$ является переменной, пробегающей свободно всю комплексную единичную окружность. Она может быть записана в виде $\exp i \tau$, где $\tau$ может принимать все вещественные значения. Но, чтобы выполнялось соотношение
\[
\sum_{\mu^{\prime}} c_{\mu^{\prime}, \lambda-2 j-\mu^{\prime}} e^{l \mu^{\prime} \tau}=0
\]
при всех вещественных значениях $\tau$, все $c$ должны обращаться в нуль.
8. Неприводимость системы матриц $\mathfrak{u}^{(j)}$ может быть установлена точно таким же методом, каким была установлена неприводимость представлений $\mathfrak{D}^{(l)}$ группы вращений в п. 1 настоящей главы. А именно достаточно показать, что всякая матрица $M$, коммутирующая с $\mathfrak{u}^{(j)}(\mathfrak{u})$ при всех $\mathbf{u}$ (т. е. при всех значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $|a|^{2}+|b|^{2}=1$ ), должна быть с необходимостью постоянной матрицей. Рассмотрим прежде всего преобразования $\mathbf{u}$, имеющие вид $\mathbf{u}_{1}(\alpha)$ из (15.14a); иначе говоря, положим $b=0, a=\exp \left(-\frac{1}{2} i \alpha\right)$. Тогда в сумме (15.21) остается лишь член с $x=0$, причем он не равен нулю только при $\mu=\mu^{\prime}$; мы получаем
\[
\mathfrak{u}^{(j)}\left(\mathfrak{u}_{1}(\alpha)\right)_{\mu^{\prime} \mu_{2}}=\delta_{\mu^{\prime} \mu_{\mu}} e^{i \mu x} .
\]

Те матрицы $\mathfrak{u}^{(j)}$, которые соответствуют унитарным преобразованиям вида $\mathbf{u}_{1}(\alpha)$, имеют ту же форму, что и (15.6), с той лишь разницей, что, в отличие от $l$ в (15.6), $j$ может принимать как целые, так и полуцелые значения. Но с этими матрицами коммутирует только диагональная матрица, так что $\mathbf{M}$ должна быть диагональной. Заметим далее, что, согласно (15.21a), ни один элемент последней строки матрицы $\mathfrak{u}^{(j)}$ не обращается в нуль тождественно. Приравнивая затем элементы $j$-й строки матриц $\mathfrak{u}^{(j)} \mathbf{M}$ и $\boldsymbol{M u}^{(j)}$, как это делалось в соотношении (15.Е.1), мы заключаем, что
\[
\mathfrak{u}_{j k}^{(j)} M_{k k}=M_{j j} \mathfrak{u}_{j k}^{(j)}, \quad M_{k k}=M_{j j},
\]

и М является постоянной матрицей. Следовательно, представления $\boldsymbol{u}^{(j)}$ неприводимы.
9. Можно также показать, что не существует других представлении унитарной группы, кроме $\mathfrak{u}^{(j)}$, если использовать тот же метод, которым мы воспользовались в п. 2 настоящей главы применительно к представлениям группы вращений Определим прежде всего классы „унитарной группы\». Так как всякая унитарная матрица может быть диагонализована преобразованием с некоторой унитарной матрицей, все наши матрицы после этого преобразования имеют вид $\mathbf{u}_{1}(\alpha)$, где $\alpha$ принимает значения от () до $2 \pi$ [ $\mathbf{u}_{1}(-\alpha)$ эквивалентна $\mathbf{u}_{1}(\alpha)$ ]. Все $\mathbf{u}$, которые могут быть преобразованы к одному и тому же виду $\mathbf{u}_{1}(\alpha)$, находятся в одном классе. (Предположение о том, что следует рассматривать только элементы группы — только унитарные матрицы с определителем 1 , — не является ограничением, так как всякую унитарную матрицу можно записать в виде произведения унитаной матрицы с определителем 1 и постоянной матрицы, а преобразование с помощью постоянной матрицы может быть просто опущено.)

Чтобы найти характер $\mathfrak{u}^{(j)}$, достаточно вычислить след одного из элементов каждого класса. Возьмем саму $\mathfrak{u}_{1}(\alpha)$ в качестве элемента класса, к которому принадлежит $\mathfrak{u}_{1}(\alpha)$; соответствующая матрица дается выражением (15.25). Ее след равен
\[
\xi_{j}(\alpha)=\sum_{\mu=-j}^{j} e^{i \mu x},
\]

где суммирование проводится по всем целым значениям от нижнего предела до верхнего.

Теперь очевидно, что унитарная группа не может иметь других неприводимых представлений, кроме $\mathfrak{u}^{(j)}$ при $j=0,1 / 2,1,3 / 2, \ldots$. Дело в том, что характер такого представления после умножения на весовую функцию должен быть ортогональным всем $\xi_{j}(\alpha)$ и, следовательно, функциям $\xi_{0}(\alpha), \xi_{1 / 2}(\alpha), \xi_{1}(\alpha)-\xi_{0}(\alpha), \xi_{3 / 2}(\alpha)-\xi_{1 / 2}(\alpha), \ldots$. Но функция, ортогональная $1,2 \cos \frac{1}{2} \alpha, 2 \cos \alpha, 2 \cos \left(\frac{3}{2} \alpha\right), \ldots$ в области от 0 до $2 \pi$, обращается в нуль в соответствии с теоремой фурье.