Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3. Выведем неприводимые представления трехмерной группы чистых вращений иным методом, предложенным Г. Вейлем. Мы переходим к этому методу несмотря на то, что наше обсуждение метода, использующего уравнение Лапласа, было весьма кратким, поскольку метод Већля позволяет вывести так называемые $n$ двузначные представления\” одновременно с собственными представлениями. В последующем изложении (связанном с теорией спина) эти представления будут играть такую же важную роль, как и собтвенные представления. Начнем с трех простых лемм, которые, собственно говоря, относятся к элементарной теории матриц. Рассмотрим два произвольных вектора $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$; пусть $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$. Тогда наше новое условие комплексной ортогональности матрицы $\mathbf{0}$ имеет вид Используя тот факт, что $((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}))=((\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}))$, находим Однако по условию имеем также, что $((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}))=((\boldsymbol{O} \boldsymbol{a}, \mathbf{0} \boldsymbol{a}))$ и $((\boldsymbol{b}, \boldsymbol{b}))=((\mathbf{O} \boldsymbol{b}, \mathbf{O b}))$. Следовательно, откуда мы заключаем, что матрица 0 комплексно ортогональна. Аналогичным образом можно показать, что матрица $U$ унитарна, если для любого вектора выполняется соотношение (v, v) $=(\mathrm{U} \boldsymbol{v}, \mathrm{U} \boldsymbol{v})$. с определителем +1 , рассматривая элементы произведения $\mathbf{u u}^{+}=\mathbf{1}$. Из $a^{*} c+b^{*} d=0$ следует, что $c=-b^{*} d / a^{*}$; подстановка этого в $\quad a d-b c=1 \quad$ дает $\left(a a^{*}+b b^{*}\right) d / a^{*}=1$. Далее, поскольку $a a^{*}+b b^{*}=1$, находим, что $d=a^{*}$ и $c=-b^{*}$. Общая двумерная унитарная матрица с определителем +1 имеет, таким образом, вид где должно также иметь место равенство $|a|^{2}+|b|^{2}=1$. Всякая двумерная матрица h с нулевым следом может рассматриваться как линейная комбинация этих матриц: или в явном виде Мы ввели обозначения $2 x=h_{12}+h_{21}, 2 i y=h_{12}-h_{21}$ и $z=-h_{11}=+h_{22}$. В частности, если $x$, у и $z$ вещественны, то матрица h эрмитова. Если мы преобразуем матрицу h с помощью произвольной унитарной матрицы и с определителем 1, то снова получим матрицу $\overline{\mathbf{h}}=\mathbf{u h u}^{\dagger} \mathbf{c}$ нулевым следом; поэтому $\overline{\mathbf{h}}$ также можно записать в виде линейной комбинации матриц $\mathrm{s}_{x}, \mathrm{~s}_{y}, \mathrm{~s}_{z}$ : Частный вид матрицы $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ в этом выражении не существен ${ }^{1}$ ); важно лишь то, что в силу равенства определителей матриц $\bar{h}$ и h. Согласно лемме „б“, отсюда следует, что преобразование $\mathrm{R}_{\mathbf{u}}$ должно быть комплексно ортогональным. Это можно также видеть непосредственно из соотношений (15.12). Кроме того, матрица $\bar{h}$ эрмитова, если такова же матрица $h$. Иными словами, вектор $\boldsymbol{r}^{\prime}=\left(x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}\right)$ веществен, если веществен вектор $\boldsymbol{r}=(x y z)$. Это означает, что, согласно лемме ${ }_{n}{ }^{a}, \mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ является вещественным, как это непосредственно следует из (5.12). Следовательно, $\mathrm{R}_{\mathrm{u}}$ представляет некоторое вращение; всякая двумерная матрица u с определителем 1 соответствует трехмерному вращению $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$; это соответствие дается соотношениями (15.11) и (15.12). Определитель матрицы $\mathbf{R}_{u}$ равен +1 , так как при непрерывном изменении $\mathbf{u}$ к единичной матрице матрица $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ переходит непрерывно в трехмерную единичную матрицу. Если бы ее определитель был равен – 1 в начале такого перехода, он должен был бы скачком измениться на +1 . Так как это невозможно, то $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ есть чистое вращение для всех $\mathbf{u}$. Это соответствие таково, что произведение qu двух унитарных матриц $\mathbf{q}$ и $\mathbf{\mathbf { u }}$ отвечает произведению $\mathbf{R}_{\mathbf{q u}}=\mathbf{R}_{\mathbf{q}} \cdot \mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ соответствующих вращений. Согласно соотношению (15.11), в котором вместо и подставлено $\mathbf{q}$, имеем если снова воспользоваться соотношением (15.11), заменяя в нем $\boldsymbol{r}$ на $\mathrm{R}_{\mathbf{q}} \boldsymbol{r}$, a $\mathbf{u}$ на uq. Таким образом, между группой двумерных унитарных матриц с определителем +1 ( $у$ унитарной группой“) и трехмерными вращениями существует гомоморфизм; это соответствие задается соотношениями (15.11) или (15.12). Заметим, однако, что до сих пор мы еще не показали, что гомоморфизм существует между двумерной унитарной группой и полной группой вращений. Это означало бы, что $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$ включает все вращения, когда $\mathbf{u}$ покрывает всю унитарную группу. Это будет доказано несколько ниже. Следует также заметить, что гомоморфизм не является изоморфизмом, так как одному и тому же вращению соответствует более чем одна унитарная матрица. Подробнее это мы также увидим ниже. Прежде всего примем, что $\mathbf{u}$ есть диагональная матрица $\mathbf{u}_{1}(\alpha)$ (т. е. мы полагаем $b=0$ и по причинам, которые будут ясны позднее, $\left.a=e^{-\frac{1}{2} i \alpha}\right)$. Тогда $|a|^{2}=1$ и $\alpha$ вещественно, Из (15.12) видно, что соответствующее вращение является вращением на угол $\alpha$ вокруг оси $Z$. Предположим далее, что и вещественна, Согласно (15.12), соответствующее вращение является вращением на угол $\beta$ вокруг оси $Y$. Произведение трех унитарных матриц $\mathfrak{u}_{1}(\alpha) \mathfrak{u}_{2}(\beta) \mathfrak{u}_{1}(\gamma)$ соответствует произведению вращения на угол $\alpha$ вокруг оси $Z$, вращения на угол $\beta$ вокруг оси $Y$ и вращения на угол $\gamma$ вокруг оси $Z$, т. е. вращению с углами Эилера $\alpha, \beta, \gamma$. Отсюда следует, что соответствие, определенное соотношением (15.11), не только указывает трехмерное вращение для каждой двумерной унитарной матрицы, но и по крайней мере одну унитарную матрицу для каждого чистого вращения. В частности, матрица соответствует вращению $\{\alpha, \beta, \gamma\}$. Таким образом, гомоморфизм является дећствительно гомоморфизмом унитарной группы на полную трехмерную группу вращений Остается еще открытым вопрос о кратности гомоморфизма, т. е. о том, сколько унитарных матриц и соответствуют одному и тому же вращению. Достаточно установить, сколько унитарных матриц $\mathbf{u}_{0}$ соответствуют тождественному элементу группы вращений, т. е. преобразованию $x^{\prime}=x, y^{\prime}=y, z^{\prime}=z$. Для всех $\mathbf{u}_{0}$ этого частного вида тождество $\mathbf{u}_{0} \mathbf{h} \mathbf{u}_{0}^{+}=\mathbf{h}$ должно выполняться для всех $\mathbf{h}$; это может быть только в том случае, если $\mathbf{u}_{0}$ является постоянной матрицей ( $b=0$ и $a=a^{*}$ вещественно) $\mathfrak{u}_{0}=( \pm 1)$ (так как $|a|^{2}+|b|^{2}=1$ ). Таким образом, две унитарные матрицы $(+1)$ и (-1), и только они, соответствуют тождественному элементу группы вращений. Эти два элемента образуют инвариантную подгруппу унитарной группы, а те элементы (и только те), которые входят в один и тот же смежный класс по инвариантной подгруппе, т. е. $\mathbf{u}$ и – $\mathbf{u}$, соответствуют тому же вращению. То, что $\mathbf{u}-\mathbf{u}$ действительно соответствуют одному и тому же вращению, можно непосредственно видеть из (15.11) или (15.12). Таким образом, мы получили важный результат: имеется двузначный гомоморфизм группы двумерных унитарных матриц с определителем 1 на трехмерную труппы чистых вращений. Существует взаимнооднозначное соответствие между парами унитарных матриц $\mathbf{u}$ и – $\mathbf{u}$ и вращениями $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}$, притом так, что из $\mathbf{u q}=\mathbf{t}$ следует также, что $\mathbf{R}_{\mathbf{u}} \mathbf{R}_{\mathbf{q}}=\mathbf{R}_{\mathrm{t}}$; наоборот, из $\mathbf{R}_{\mathbf{u}} \mathbf{R}_{\mathbf{q}}=\mathrm{R}_{\mathrm{t}}$ следует, что $\mathbf{u q}= \pm \mathbf{t}$. Если унитарная матрица $\mathbf{u}$ известна, то соответствующее вращение $\mathbf{R}_{\mathfrak{u}}$ получается проще всего с помощью (15.12); наоборот, унитарная матрица для вращения $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ находится наиболее прямым путем из (15.15). В частности, пусть представление $\mathfrak{u}(\mathbf{u})$ унитарной группы неприводимо. Элемент $\mathbf{u}=-1$ коммутирует со всеми элементами группы; следовательно, $\mathfrak{u}(-1)$ должна коммутировать со всеми $\mathfrak{U}(\mathfrak{u})$. Поэтому, в соответствии с общей теоремой о неприводимых представлениях, она является постоянной матрицей. Так как $(-1)^{2}=1$, квадрат этого элемента группы должен быть представлен единичной матрицей $\left.{ }^{1}\right) \boldsymbol{U}(\mathbf{1})$. Тогда Представления, в которых $\mathfrak{U}(-1)=+\mathfrak{U}(1)$, называются четными представлениями. В четных представлениях $\mathfrak{U}(-\mathbf{u})=\mathfrak{u}(-1)$. $\cdot \mathfrak{u}(\mathbf{u})=\mathfrak{u}(\mathbf{1}) \cdot \mathfrak{u}(\mathbf{u})=\mathfrak{u}(\mathbf{u})$, т. е. одна и та же матрица всегда соответствует двум элементам и и – и. Поэтому четные предста- Прёдставления, в которых $\mathfrak{U}(-1)=-\mathfrak{U}(1)$, называются нечетными представлениями. В нечетных представлениях $\mathfrak{U}(-\mathfrak{u})=$ $=\mathfrak{U}(-\mathbf{1}) \mathfrak{U}(\mathfrak{u})=-\mathfrak{U}(\mathfrak{u})$; элементам, отличающимся знаком, соответствуют матрицы противоположного знака. Нечетные представления унитарной группы не дают регулярных представлений группы вращенић, но дают лишь „двузначные\” или „полуцелые\” представления, в которых не одна матрица, а две матрицы $\mathfrak{U}(\mathbf{u})$ и $\mathfrak{u}(-\mathfrak{u})=-\mathfrak{u}(\mathfrak{u})$ соответствуют каждому вращению $\mathbf{R}_{\mathbf{u}}=\mathbf{R}_{-\mathbf{u}}$. Эти две матрицы отличаются знаками их элементов. Одно нечетное представление унитарной группы образуется самой группой: $\mathfrak{U}(\mathbf{u})=\mathbf{u}$. В соответствующем „двузначном“ представлении группы вращений $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}$ вращение $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ соответствует той матрице $\mathbf{u}=\mathfrak{u}(\mathfrak{u})$, которая соответствует $R$ в гомоморфизме. Таким образом, согласно (15.15), Первые строку или столбец обычно называют – $1 / 2$-ми строкой или столбцом; вторые $-+1 / 2$-ми строкой или столбцом. Выражение (15.16) дает нам первое двузначное представление группы вращений. Для двузначных представлений не всегда выполняется равенство $\mathfrak{D}(R) \cdot \mathfrak{D}(S)=\mathfrak{D}(R S)$; гарантируется лишь равенство $\mathfrak{D}(R) \cdot \mathfrak{D}(S)=$ $= \pm \mathfrak{D}(R S)$, так как матрицы представления определяются лишь с точностью до знака. Более того, невозможно определить знаки всех матриц таким образом, чтобы был справедлив простой закон перемножения однозначных представлений. Таким образом, двузначное представление не имеет строения вещественного (однозначного) представления, в котором знаки просто оставлены неопределенными. Это легко видеть, например, из (15.16): вращению на угол $\pi$ вокруг оси $Z$ соответствует матрица $\pm i \mathrm{~s}_{z}$; квадрат этой матрицы, $-1=-\mathrm{s}_{2}^{2}$, соответствует вращению на угол $2 \pi$. Но такое вращение вообще не является собственно вращением, так как все остается без изменения; оно совпадает с тождественным элементом группы. Поэтому единичная матрица также должна соответствовать ему; сделать это представление однозначным путем выбора знаков в (15.16) невозможно. Рассмотрим однородный полином $n$-औ степени относительно переменных $\varepsilon$ и $\zeta$. Если мы произведем унитарное преобразование переменных то снова получим однородный полином $n$-औ степени. (Хотя это справедливо для произвольных линейных преобразований, мы ограничимся унитарными преобразованиями.) Поэтому $n+1$ полиномов $\varepsilon^{n}, \varepsilon^{n-1 \zeta}, \varepsilon^{n-2 \zeta^{2}}, \ldots, \varepsilon \zeta^{n-1}, \zeta^{n}$ принадлежит $(n+1)$-мерному представлению унитарной группы. Чтобы сразу перейти к привычным обозначениям для группы вращений, положим $n=2 j$; тогда размерность представления будет равна $2 j+1$, причем $j$ может быть либо целым, либо полуцелым ${ }^{1}$ ). Пусть полином имеет вид где $\mu$ может принимать $2 j+1$ значений $-j,-j+1,-j+2, \ldots$, $j-2, j-1, j$; эти значения являются целыми для целых $j$ и полуцелыми – для полуцелых $j$. Постоянный множитель $[(j+\mu) !(j-\mu) !]^{-1 / 2}$ придан произведению $\varepsilon^{j+\mu} \zeta^{j-\mu}$, поскольку, кақ мы покажем, он делает представление $\mathfrak{u}^{(j)}$ для $2 j+1$ функций (15.18) унитарным. Построим теперь ${ }^{2}$ ) произведение $\mathrm{P}_{\mathrm{u}} f_{\mu}(\varepsilon, \zeta)$ в соответствии с равенством (11.19): Чтобы выразить правую часть в виде линейной комбинации полиномов $f_{\mu}$, разложим ее по формуле бинома; она примет вид таким образом, $R_{j i}^{*}$ выступает вместо $R_{j i}$. Коэффициент при $f_{\mu^{\prime}}$ в правой части является элементом $\mathfrak{U}^{(j)}(\mathfrak{u})_{\mu^{\prime} \mu}$ : Выражение при $\mu^{\prime}=j$ (для последних строк матриц представления) несколько проще, так как факториальный множитель исключает все члены, кроме членов с $x=0$ : Мы получили теперь коэффициенты для представлений $\mathfrak{u}^{(j)}$ при всех возможных значениях $j=0,1 \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots$; остается лишь показать, что представления (15.21) унитарны и неприводимы и что двумерная унитарная группа не имеет других представлении, кроме найденных здесь. Аналогичным образом, в силу определения (15.19) функций $\mathrm{P}_{\mathrm{u}} f_{\mu}$, Это обеспечивает унитарность представления $\mathfrak{u}^{(j)}$. Действительно, подстановка выражения для $\mathrm{P}_{u} f_{\mu}$ через $f_{\mu}$ с помощью этого представления дает Если $(2 j+1)^{2}$ функций $f_{\mu^{\prime}} f_{\mu^{\prime \prime}}$ рассматривать как линейно независимые, из соотношений (15.23) и (15.23a) непосредственно следует что является условием унитарности $\mathfrak{u}^{(j)}$. с необходимостью следует $c_{\mu^{\prime} \mu^{\prime \prime}}=0$. Равенство (15.Е.2) должно иметь место при всех значениях переменных $\varepsilon$ и $\zeta$, так как соотношения (15.23) и (15.23a) выполняются при всех комплексных $\varepsilon$ и ५. Предположим, в частности, что $\varepsilon$ вещественно; тогда при $\lambda=2 j+\mu^{\prime}+\mu^{\prime \prime}$ требование обращения в нуль коэффициента при в дает (после деления на $\zeta^{j} \zeta^{* 3 j-\lambda}$ ) Но это значит, что $c_{\mu^{\prime}, \lambda-2 j-\mu^{\prime}}=0$. Линейная независимость произведений $f_{\mu^{\prime}} f_{\mu^{\prime \prime}}^{*}$ также следует отсюда, поскольку $\left(\zeta^{*} / \zeta\right)$ является переменной, пробегающей свободно всю комплексную единичную окружность. Она может быть записана в виде $\exp i \tau$, где $\tau$ может принимать все вещественные значения. Но, чтобы выполнялось соотношение Те матрицы $\mathfrak{u}^{(j)}$, которые соответствуют унитарным преобразованиям вида $\mathbf{u}_{1}(\alpha)$, имеют ту же форму, что и (15.6), с той лишь разницей, что, в отличие от $l$ в (15.6), $j$ может принимать как целые, так и полуцелые значения. Но с этими матрицами коммутирует только диагональная матрица, так что $\mathbf{M}$ должна быть диагональной. Заметим далее, что, согласно (15.21a), ни один элемент последней строки матрицы $\mathfrak{u}^{(j)}$ не обращается в нуль тождественно. Приравнивая затем элементы $j$-й строки матриц $\mathfrak{u}^{(j)} \mathbf{M}$ и $\boldsymbol{M u}^{(j)}$, как это делалось в соотношении (15.Е.1), мы заключаем, что и М является постоянной матрицей. Следовательно, представления $\boldsymbol{u}^{(j)}$ неприводимы. Чтобы найти характер $\mathfrak{u}^{(j)}$, достаточно вычислить след одного из элементов каждого класса. Возьмем саму $\mathfrak{u}_{1}(\alpha)$ в качестве элемента класса, к которому принадлежит $\mathfrak{u}_{1}(\alpha)$; соответствующая матрица дается выражением (15.25). Ее след равен где суммирование проводится по всем целым значениям от нижнего предела до верхнего. Теперь очевидно, что унитарная группа не может иметь других неприводимых представлений, кроме $\mathfrak{u}^{(j)}$ при $j=0,1 / 2,1,3 / 2, \ldots$. Дело в том, что характер такого представления после умножения на весовую функцию должен быть ортогональным всем $\xi_{j}(\alpha)$ и, следовательно, функциям $\xi_{0}(\alpha), \xi_{1 / 2}(\alpha), \xi_{1}(\alpha)-\xi_{0}(\alpha), \xi_{3 / 2}(\alpha)-\xi_{1 / 2}(\alpha), \ldots$. Но функция, ортогональная $1,2 \cos \frac{1}{2} \alpha, 2 \cos \alpha, 2 \cos \left(\frac{3}{2} \alpha\right), \ldots$ в области от 0 до $2 \pi$, обращается в нуль в соответствии с теоремой фурье.
|
1 |
Оглавление
|