Лемма о симметрической группе
Здесь будет показано, что при $k \leqslant \frac{1}{2} n$ все $\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)$ функций
\[
F_{a_{1} a_{1} \ldots a_{k-1}}=s_{a_{1}} s_{a_{2}} \ldots s_{a_{k-1}} s_{a_{1} a_{2} \ldots a_{k-1}}
\]
(где $a_{1}<a_{2}<\ldots<a_{k-1}$ и $s_{a_{1} a_{2}} \ldots a_{k-1}$ является суммой всех тех переменных $s$, индексы которых не встречаются среди чисел $a_{1}$, $a_{2}, \ldots, a_{k-1}$ ) линейно независимы. Только в том случае, если это имеет место, можно заключить, что не более чем $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)$ линейных комбинаций произведений $s_{a_{1}} s_{a_{2}} \ldots s_{a_{k}}$ ортогональны всем $F_{a_{1} a_{2} \ldots a_{k-1}}$. Функции $F_{a_{1} a_{2} \ldots a_{k-1}}$ являются линейными комбинациями произведении $s_{a_{1}} s_{a_{2}} \ldots s_{a_{k}}$ :

где можно принять $b_{1} \lessdot b_{2}<\ldots<b_{k}$ и
\[
m_{a_{1} \ldots a_{k-1}} ; b_{1} \ldots b_{k}=\left\{\begin{array}{c}
1, \quad \text { если все } a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k-1} \text { встречаются } \\
\text { среди } b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}, \\
0, \quad \text { во всех остальных случаях. }
\end{array}\right.
\]

В сумме в (13.16) числа $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}$ пробегают все $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ комбинаций чисел $1,2, \ldots, n$. Если между $F_{a_{1} a_{3}, \ldots a_{k-1}}$ имеется
$\begin{array}{llll}\text { Глав } & 13\end{array}$
линейное соотношение вида
\[
\sum_{a} c_{a_{1} \ldots a_{k-1}} F_{a_{1} \ldots a_{k-1}}=\sum_{a, b} c_{a_{1} \ldots a_{k-1}} m_{a_{1} \ldots a_{k-1} ; b_{1} \ldots b_{k}} s_{b_{1}} \ldots s_{b_{k}}=0
\]
[суммирование опять проводится по всем $\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)$ комбинациям чисел $a$ и по всем $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ комбинациям чисел $b$ ], то отсюда следует, что для всех чисел $x_{b_{1}} \ldots b_{k}$, определенных для $b_{1} \lessdot b_{2} \lessdot \ldots \lessdot b_{k}$,
\[
\sum_{a, b} c_{a_{1} \ldots a_{k-1}} m_{a_{1} \ldots a_{k-1} ; b_{1} \ldots b_{k}} x_{b_{1}} \ldots b_{k}=0 .
\]

Это можно показать, умножая скалярное произведение (13.18) и $s_{d_{1}} s_{d_{2}} s_{d_{3}} \ldots s_{d_{k}}$ на $x_{d_{1} \ldots d_{k}}$ и складывая получающиеся уравнения при всех возможных комбинациях чисел $d_{i}$.
Выберем теперь числа $x_{b_{1} b_{3}} \ldots b_{k}$ так, чтобы
\[
\begin{array}{l}
\sum_{b} m_{a_{1} \ldots a_{k-1} ; b_{1} \ldots b_{k}} x_{b_{1}} \ldots b_{k}= \\
=\left\{\begin{array}{l}
1 \text { при } a_{1}=1, a_{2}=2, \ldots, a_{k-1}=k-1 ; \\
0 \text { в остальных случаях. }
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]

Тогда соотношение (13.19) эквивалентно равенству
\[
c_{12 \ldots k-1}=0 \text {. }
\]

То же самое соотношение (13.21) должно выполняться также для всех остальных $c_{a_{1}} \ldots a_{k-1}$, поскольку они все входят одинаковым образом; иначе говоря, аналогичным образом можно так выбрать величины $x_{b_{1}} \ldots b_{k}$, чтобы показать, что каждое $c$ обращается в нуль (следует заменить лишь в последней части нашего рассуждения $1,2, \ldots, k-1$ на $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k-1}$ ). Тем самым остается лишь показать, что выбор, приводящий к (13.20), действительно может быть сделан, после чего доказательство линейной независимости функций $F_{a_{1} a_{2} \ldots a_{k-1}}$ будет завершено.

Величины $x_{b_{1}} \ldots b_{k}$ находятся в нашем полном распоряжении. Выберем равными друг другу все те $x_{b_{1}} \ldots b_{k}$, среди индексов $b_{1}$, $b_{2}, \ldots, b_{k}$ которых имеется в точности $\tau$ чисел $1,2, \ldots, k-1$ (где $0 \leqslant \tau \leqslant k-1$ ). Обозначим эти $x_{b_{1}} \ldots b_{k}$ через $x_{\tau}$. Рассмотрим теперь те из соотношений (13.20), в которых имеется $\sigma$ чисел 1 , $2, \ldots, k-1$ среди $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k-1}$. Поскольку $m_{a_{1} a_{2}} \ldots a_{k-1} ; b_{1} b_{2} \ldots b_{k}$ отлично от нуля только в том случае, если все $a_{i}$ встречаются среди $b_{l}$, только те члены будут давать вклад в сумму в (13.20), в которых имеется $\sigma$ чисел $1,2, \ldots, k-1$ и $k-1$ – чисел $k, k+1, \ldots, n$ среди $b_{i}$. Единственный индекс $b$, значение которого остается еще неопределенным, может быть либо одним из чисел $1,2, \ldots, k-1$, либо одним из чисел $k, k+1, \ldots, n$. В первом случае он может принимать $k-1$ – о значений, в последнем $-n-k+1-(k-1-\sigma)=n-2 k+2+\sigma$ значений, поскольку он не может быть равным одному из чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k-1}$. Тогда (13.20) принимает вид
\[
(k-1-\sigma) x_{\sigma+1}+(n-2 k+2+\sigma) x_{\sigma}=\left\{\begin{array}{l}
1 \text { при } \sigma=k-1 \\
0 \text { при } \sigma=0,1, \ldots, k-2 .
\end{array}\right.
\]

Это дает
\[
x_{k-1}=\frac{1}{n-k+1}
\]

и
\[
-\frac{x_{\sigma}}{x_{\sigma+1}}=\frac{k-1-\sigma}{n-2 k+2+\sigma} \quad \text { при } \quad \sigma=0,1, \ldots, k-2 .
\]

Но эти уравнения могут быть удовлетворены при $n-2 k+2>0$ или $k \leqslant \frac{1}{2} n+1$; следовательно, тем более они будут удовлетворяться при $k \leqslant \frac{1}{2} n$. Значит, величины $x_{b_{1} b_{2}} \ldots b_{k}$ могут быть выбраны так, чтобы выполнялось соотношение (13.20). Следовательно, соотношение (13.21) выполняется. Аналогично должны обращаться в нуль все остальные $c$ в (13.18); таким образом, линейная независимость функций $F$ установлена.