Из квадратной матрицы $\boldsymbol{\alpha}$ можно получить новую матрицу $\boldsymbol{\alpha}^{\boldsymbol{T}}$, в которой строки и столбцы меняются ролями. Матрица $\boldsymbol{\alpha}^{T}$, образованная таким образом, называется транспонированной по отношению к $\boldsymbol{\alpha}$, и транспозиция обозначается значком „ $T^{*}$. Тогда
\[
\alpha_{l k}^{T}=\alpha_{k i} .
\]

Правило. Матрица, транспонированная по отношению к произведению матриц $\alpha \beta \gamma \delta \ldots \varepsilon$, равна произведению транспонированных матриц в обратном порядке:
\[
(\alpha \beta \gamma \ldots \varepsilon)^{T}=\varepsilon^{T} \ldots \gamma^{T} \beta^{T} \alpha^{T} .
\]

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим отдельно левую часть последнего равенства:
\[
(\alpha \beta \gamma \ldots \varepsilon)_{k i}^{T}=(\alpha \beta \gamma \ldots \varepsilon)_{i k}=\sum_{\alpha \lambda \mu} \alpha_{i x} \beta_{x \lambda} \gamma_{\lambda j \mu} \ldots \varepsilon_{\zeta k} .
\]

С другой стороны, правая часть равна
\[
\left(\varepsilon^{T} \cdots \gamma^{T} \beta^{T} \alpha^{T}\right)_{k t}=\sum_{\zeta, \ldots \mu \lambda x} \varepsilon_{k \zeta}^{T} \cdots \gamma_{\mu \lambda \lambda}^{T} \beta_{\lambda x}^{T} \alpha_{x l}^{T},
\]

что и доказывает (3.7a).
Матрица, образованная путем замены каждого из $n^{2}$ элементов его комплексно-сопряженным, обозначается через $\boldsymbol{a}^{*}$ и называется комплексно-сопряженной по отношению к $\boldsymbol{\alpha}$. Если $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}^{*}$, то все элементы матрицы вещественны.

Путем одновременной перестановки строк и столбцов и комплексного сопряжения получаем из матрицы $\alpha$ матрицу $\alpha^{* T}=\alpha^{T^{*}}$. Эта матрица называется эрмитово-сопряженной по отношению к $\boldsymbol{\alpha}$ и обозначается через $\boldsymbol{a}^{+}$:
\[
\boldsymbol{a}^{* T}=\boldsymbol{a}^{\dagger}=\boldsymbol{\alpha}^{T^{*}} .
\]

Матрица, комплексно-сопряженная по отношению к произведению матриц, является, очевидно, произведением комплексносопряженных:
\[
(\alpha \beta \gamma \ldots \varepsilon)^{*}=\alpha^{*} \beta^{*} \gamma^{*} \ldots \varepsilon^{*} .
\]

При эрмитовом сопряжении произведения матриц порядок сомножителей должен быть обратным:
$(\alpha \beta \gamma \ldots \varepsilon)^{\dagger}=(\alpha \beta \gamma \ldots \varepsilon)^{* T}=\left(\alpha^{*} \beta^{*} \gamma^{*} \ldots \varepsilon^{*}\right)^{T}=$
\[
=\left(\varepsilon^{* T} \ldots \gamma^{*} T \beta^{*} T \alpha^{*} T\right)=\varepsilon^{\dagger} \ldots \gamma^{\dagger} \beta^{\dagger} \alpha^{\dagger} \text {. }
\]

Предполагая, что между матрицей $\boldsymbol{\alpha}$ и эрмитово-сопряженной, транспонированной и обратной ей матрицей имеют место различные соотношения, получаем специальные виды матриц. Поскольку их названия часто встречаются в литературе, мы упоминаем их все; в дальнейшем мы будем использовать лишь унитарные, эрмитовы и вещественные ортогональные матрицы.

Если $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}^{*}$ (т. е. $\alpha_{i k}=\alpha_{i k}^{*}$ ), то матрицу называют вещественной, и все $n^{2}$ элементов $\alpha_{i k}$ вещественны, Если $\boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha}^{*}$ $\left(\alpha_{i k}=-\alpha_{i k}^{*}\right)$, матрица является чисто мнимой

Если $\mathbf{S}=\mathbf{S}^{T}\left(S_{i k}=S_{k i}\right)$, то матрина симметрична; если $\mathbf{S}=-\mathbf{S}^{T}\left(S_{i k}=-S_{k i}\right)$, то она кососимметрична, или антисимметрична.
Если $\mathbf{H}=\mathbf{H}^{\dagger}\left(H_{t k}=H_{k i}^{*}\right)$, то матрица называется эрмитовой, если же $\mathbf{A}=-\mathbf{A}^{\dagger}$, то она будет косоэрмитовой, или антиэрмимовой.

Если $\boldsymbol{\alpha}$ вещественна и симметрична одновременно, то $\boldsymbol{\alpha}$ также эрмитова и так далее.

Если $0^{T}=0^{-1}$, матрица 0 является комплексно ортогональной. Матрица $\mathbf{U}$, для которой $\mathbf{U}^{+}=\mathbf{U}^{-1}$, называют унитарной матрицей. Если $\mathrm{R}^{\dagger}=\mathrm{R}^{-1}$ и $\mathrm{R}=\mathrm{R}^{*}$ (вещественна), то $\mathrm{R}^{T}=\mathrm{R}^{* T}=$ $=\mathrm{R}^{\dagger}=\mathrm{R}^{-1}$ и $\mathrm{R}^{T}=\mathrm{R}^{-1}$; тогда матрицу $\mathrm{R}$ называют вещественной ортогональной, или просто ортогональной.