1. В формуле преобразования предыдущей главы [см. (20.19)], которая записывается в виде
\[
\begin{aligned}
\mathrm{O}_{R} \Phi(x, y, z, s) & =\sum_{t= \pm 1} \mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(R)_{\frac{1}{2} s, \frac{1}{2} t} \mathrm{P}_{R} \Phi(x, y, z, t)= \\
& =\sum_{t= \pm 1} \mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(R)_{\frac{1}{2} s, \frac{1}{2} t} \Phi\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}, t\right),
\end{aligned}
\]
$R$ означает чистое вращение. Если мы хотим записать волновую функцию в системе координат, полученной из первоначальной путем несобственного вращения, сначала можно произвести инверсию
\[
x^{\prime}=-x, \quad y^{\prime}=-y, \quad z^{\prime}=-z,
\]

а затем – вращение. Таким образом, остается лишь вопрос о том, как волновая функция $О_{I} \Phi$ состояния $\Phi$ представляется наблюдателю, связанному с системой координат, оси которой направлены противоположно осям первоначальной системы.

Рассмотрим прежде всего состояние $u_{s} \psi(x, y, z)$. В ${ }_{n}$ бесспиновых “ опытах оно ведет себя для первого наблюдателя так, как если бы его волновая функция была $\psi$, и поэтому для наблюдателя в отраженной системе координат – так, как если бы его волновая функция была $\mathrm{P}_{I} \psi$, где
\[
\mathrm{P}_{I} \psi(x, y, z)=\psi(-x,-y,-z) .
\]

Следовательно, $\mathrm{O}_{l} u_{s} \psi(x, y, z)=u_{s}^{\prime} \cdot \mathrm{P}_{I} \psi(x, y, z)$. Магнитный момент в состоянии $u_{s} \psi(x, y, z)$ имеет заданное направление. При инверсии координат это направление переходит в противоположное, так как магнитный момент является аксиальным вектором. Но противоположное направление обозначено в новой системе координат точно так же, как и первоначальное направление в старой системе. Для второго наблюдателя направление спина такое же, как и для первого, и множитель $u_{s}^{\prime}$ функции $\mathrm{P}_{I} \psi$ в $\mathrm{O}_{l} u_{s} \psi(x, y, z)$ равен $u_{s}$.
$\begin{array}{llll}\text { Г а } & \text { а } & 21\end{array}$
Мы знаем, что магнитный диполь может быть всегда заменен круговым током. Если этот круговой ток лежит, скажем, в плоскости $X Y^{*}$ и направлен от $X$ к $Y$, то он также лежит в плоскости $X^{\prime} Y^{\prime}$ и направлен от $X^{\prime}$ к $Y^{\prime}$.
Следовательно, для всех $u_{s}$ и всех $\psi(x, y, z)$ имеем
\[
\mathrm{O}_{I} u_{s} \psi(x, y, z)=u_{s} \mathrm{P}_{I} \psi(x, y, z)=\mathrm{P}_{I} u_{s} \psi(x, y, z),
\]

с точностью постоянного множителя, который может еще зависеть от $u$ и $\psi$. Но можно показать, точно так же, как это было сделано после соотношений (20.8a), что эта постоянная должна иметь одну и ту же величину для всех $u$ и всех $\psi$, если мы требуем линейности операторов $\mathrm{O}_{I}$. Поскольку $\mathrm{O}_{I}$ уже содержит совершенно произвольный множитель, эта постоянная может быть полностью опущена. Далее, так как всякую функцию Ф ( $x, y, z, s)$ можно записать в виде линейной комбинации функций вида $u_{s} \psi(x, y, z)$, то из (21.3) и свойства линейности операторов $\mathrm{O}_{I}$ и $\mathrm{P}_{I}$ следует, что $\mathrm{O}_{I} \equiv \mathrm{P}_{I}$ :
\[
\mathrm{O}_{I} \Phi(x, y, z, s)=\mathrm{P}_{I} \Phi(x, y, z, s)=\Phi(-x,-y,-z, s) .(21.4)
\]

Оператор $\mathrm{O}_{f}$, осуществляющий инверсию (21.2) системы координат, вовсе не действует на спиновые координаты; он задается соотношением (21.4). Мы имеем $\mathrm{O}_{I}^{2}=1$ или $\mathrm{O}_{I} \mathrm{O}_{I} \Phi=\Phi$; таким образом, тождественный оператор и оператор $\mathrm{O}_{l}$ образуют группу, изоморфную группе отражений.

В соотношениях (21.1) и (21.4) мы имеем формулы преобразования волновых функций при произвольном изменении осей. Кроме того, эти соотношения справедливы не только для электронов, но и для протонов. Однако магнитный момент протона гораздо меньше, чем магнитный момент электрона (масса протона примерно в 1840 раз больше), и поэтому не так легко доступен наблюдению, как магнитный момент, связанный со спином электрона. В дальнейшем изложении мы не будем учитывать спин ядра.

Соотношения (21.1) и (21.4) остаются также справедливыми без существенных изменений в релятивистской теории электрона Дирака $\left.{ }^{1}\right)$. Согласно последней, волновая функция состоит не из двух функций координат $\Phi(x, y, z,-1)$ и $\Phi(x, y, z, 1)$, а из четырех. Наряду с $s$, можно ввести пятую координату $s^{\prime}$, көторая также может принимать два значения. Тогда для чистых вращений соотношение (21.1) остается без изменений: $s^{\prime}$ вообще не участвует в этом преобразовании; с другой стороны, при инверсиях два значения $s^{\prime}$ меняются местами.
2. Соотношения (21.1) и (21.4) относятся к системе, содержащей только один электрон. В случае нескольких электронов
1) J. A. G a un t, Proc. Roy. Soc., A124, 163 (1929).
волновая функция $\Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, s_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, s_{n}\right)$ содержит спиновые координаты всех частиц, как и их декартовы координаты. Скалярное произведение двух функций $\Phi$ и $G$ равно
\[
\begin{array}{r}
(\Phi, G)=\sum_{s_{1}= \pm 1} \sum_{s_{1}= \pm 1} \ldots \sum_{s_{n}= \pm 1} \iint_{-\infty}^{\infty} \ldots \int \Phi\left(x_{1}, \ldots, s_{n}\right)^{*} \times \\
\times G\left(x_{1}, \ldots, s_{n}\right) d x_{1} \ldots d z_{n} .
\end{array}
\]

В простой теории без спина оператор $\mathrm{P}_{R}$ действовал на все тройки координат, притом на все одинаковым образом. Аналогичным образом, оператор $\mathrm{O}_{R}$, который в теории Паули осуществляет преобразование к другой системе осей, действует теперь на все координаты $x_{k}, y_{k}, z_{k}$ и $s_{k}$ точно так же, как он действует на $x, y, z$ и $s$ в (21.1) и (21.4). Таким образом, имеем
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{O}_{R} \Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, s_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, s_{n}\right)= \\
=\sum_{t_{1}, \ldots, t_{n}} \mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(R)_{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2} t_{1} \ldots \mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(R)_{\frac{1}{2} s_{n}, \frac{1}{2} t_{n}} \times \\
\quad \times \mathrm{P}_{R} \Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, t_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, t_{n}\right)
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{O}_{I} \Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, s_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, s_{n}\right)= \\
\quad=\mathrm{P}_{I} \Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, s_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, s_{n}\right)= \\
\quad=\Phi\left(-x_{1},-y_{1},-z_{1}, s_{1}, \ldots,-x_{n},-y_{n},-z_{n}, s_{n}\right) .
\end{array}
\]

Оператор $\mathrm{O}_{R}$ является произведением операторов $\mathrm{P}_{R}$ и $\mathrm{Q}_{R}$, первый из которых действует только на декартовы координаты:
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{P}_{R} \Phi\left(x_{1}^{\prime}, y_{1}^{\prime}, z_{1}^{\prime}, s_{1}, \ldots, x_{n}^{\prime}, y_{n}^{\prime}, z_{n}^{\prime}, s_{n}\right)= \\
=\Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, s_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, s_{n}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $x_{k}^{\prime}, y_{k}^{\prime}, z_{k}^{\prime}$ получаются из $x_{k}, y_{k}, z_{k}$ путем вращения $R$. Второй оператор дейтвует только на спиновые координаты:
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{Q}_{R} \Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, s_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, s_{n}\right)= \\
= \sum_{t_{1}= \pm 1} \ldots \sum_{t_{n}= \pm 1} \mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)_{(R)^{\frac{1}{2}} s_{1}}, \frac{1}{2} t_{1}} \ldots \mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)_{(R)_{\frac{1}{2}} s_{n}}, \frac{1}{2} t_{n}} \times \\
\times \Phi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, t_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}, t_{n}\right)
\end{array}
\]

Поскольку система спиновых координат может принимать $2^{n}$ различных наборов значений, оператор $Q_{R}$ эквивалентен $2^{n}$-мерной матрице; ее строки и столбцы нумеруются $n$ индексами, причем каждый индекс может иметь значения $\pm 1$, соответствующие двум возможным значениям спиновых координат. Матричной формой $\mathrm{Q}_{R}$ является
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{Q}_{R}=\mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(R) \times \mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(R) \times \ldots \times \mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(R), \\
\left(\mathrm{Q}_{R}\right)_{s_{1} s_{2}} \ldots s_{n} ; t_{1} t_{2} \ldots t_{n}=\mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(R)_{\frac{1}{2} s_{1}, \frac{1}{2} t_{1}} \ldots \mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(R)_{\frac{1}{2} s_{n}, \frac{1}{2} t_{n}} .
\end{array}
\]

Bce операторы $\mathrm{P}$ коммутируют с операторами $\mathrm{Q}_{R}$ :
\[
\mathrm{P}_{S} \mathrm{Q}_{R}=\mathrm{Q}_{R} \mathrm{P}_{s}
\]

и, в частности,
\[
\mathrm{O}_{R}=\mathrm{P}_{R} \mathrm{Q}_{R}=\mathrm{Q}_{R} \mathrm{P}_{R} .
\]

Кроме того, оператор $\mathrm{O}_{I}=\mathrm{P}_{I}$ коммутирует со всеми $\mathrm{P}_{R}$ и, следовательно, в силу (21.8), со всеми $\mathrm{O}_{R}$, где $R$-любое чистое вращение.

Операторы $\mathrm{Q}_{R}$ определяются вращением лишь с точностью до знака, так как $\mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(R)$ имеет свободный знак. Для четного числа электронов эту неоднозначность можно устранить условием, чтобы все $\mathfrak{D}^{\left(\frac{1}{2}\right)}(R)$ в (21.6) и (21.6в) брались с одним и тем же знаком. Для нечетного числа электронов оператор $\mathrm{Q}_{R}$ невозможно сделать однозначным.
3. Если мы переходим сначала к координатной системе, повернутой на $R$, а затем – к системе координат, повернутой относительно этой последней на $S$, то волновая функция $\Phi$ преобразуется сначала в $\mathrm{O}_{R} \Phi$, а затем – в $O_{S} \mathrm{O}_{R} \Phi$. Но переход к той же самой системе координат осуществляется одним вращением $S R$. В этом случае получается волновая функция $O_{S R} \Phi$, которая может отличаться от $\mathrm{O}_{s} \mathrm{O}_{R} \Phi$ лишь постоянным множителем. Далее, поскольку $\mathrm{O}_{S} \mathrm{O}_{R}$ и $\mathrm{O}_{S R}$ линейны и унитарны, этот множитель одинаков для всех волновых функций и может зависеть только от вращений $S$ и $R$ :
\[
\mathrm{O}_{S R}=c_{S, R} \mathrm{O}_{S} \mathrm{O}_{R} .
\]

Поскольку преобразование к иной системе координат всегда можно выполнить с помощью линейного унитарного оператора, соотношение (21.9) не использует никаких специальных предположений теории Паули и является необходимым следствием инвариантности системы уравнений относительно пространственных вращений. В конце этой главы мы проведем дальнейшее исследование этого равенства и получим ряд следствић, которые должны выполняться в любой квантовой теории.
Соотношение (21.9) можно, разумеется, проверить вычислением. Прежде всего в силу (21.8)
\[
\mathrm{O}_{s} \mathrm{O}_{R}=\mathrm{P}_{S} \mathrm{Q}_{S} \mathrm{P}_{R} \mathrm{Q}_{R}=\mathrm{P}_{S} \mathrm{P}_{R} \mathrm{Q}_{S} \mathrm{Q}_{R}=\mathrm{P}_{S R} \mathrm{O}_{S} \mathrm{Q}_{R} .
\]

Для четного числа электронов матрицы (21.6в), представляющие собой матричный вид операторов $\mathrm{Q}$, образуют однозначное представление группы вращений, так что $\mathrm{Q}_{S} \mathrm{Q}_{R}=\mathrm{Q}_{S R}$ и мы имеем
\[
\mathrm{O}_{S} \mathrm{O}_{R}=\mathrm{P}_{S R} \mathrm{Q}_{S} \mathrm{Q}_{R}=\mathrm{P}_{S R} \mathrm{O}_{S R}=\mathrm{O}_{S R} .
\]

В этом случае в (21.9) $c_{S, R}=1$ и операторы $\mathrm{O}_{R}$ образуют группу, изоморфную группе чистых вращений. Следовательно, в этом случае можно определить функции, которые по отношению к операторам $\mathrm{O}_{R}$ принадлежат одной строке некоторого неприводимого представления или просто некоторому неприводимому представлению группы вращений.

Для нечетного числа электронов матрицы (21.6в) образуют двузначное представление группы чистых вращений; поскольку $\mathbf{Q}_{S} \mathbf{Q}_{R}= \pm \mathbf{Q}_{S R}$,
\[
\mathrm{O}_{s} \mathrm{O}_{R}=\mathrm{P}_{s R} \mathrm{O}_{s} \mathrm{Q}_{R}= \pm \mathrm{P}_{S R} \mathrm{O}_{S R}= \pm \mathrm{O}_{S R} .
\]

Постоянная $c_{S, R}= \pm 1$ в (21.9), и операторы $\mathrm{O}_{R}$ уже не изоморфны группе вращений. В силу двузначности операторов $\mathrm{Q}_{R}$ каждому вращению соответствуют два оператора $+\mathrm{O}_{R}$ и $-\mathrm{O}_{R}$.

Так как в гомоморфизме унитарной группы ${ }^{1}$ ) на группу вращений каждому вращению соответствуют две унитарные матрицы $\mathbf{u}^{*}=\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R)$ и $\mathbf{u}=-\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R)$, можно попытаться установить однозначное соответствие между $O$ и и. Это можно осуществить, если каждому $\mathbf{u}$ сопоставить $\mathrm{O}_{\mathbf{u}}=\mathbf{Q}_{\mathbf{u}} \cdot \mathbf{P}_{R_{\mathbf{u}}}$ и принять, что $\mathbf{u} \times \mathbf{u} \times \ldots \times \mathbf{u}$ является матричной формой оператора $\mathbf{a}_{\mathbf{u}}$ в соответствии с (21.6в), тогда как $R_{\mathbf{u}}$ является вращением, соответствующим а в гомоморфизме. Тогда каждый оператор $\mathbf{Q}_{\mathbf{u}}$ однозначно соответствует одной матрице $\mathbf{u}$. Так как вращения $R_{\mathbf{u}}$ также однозначно соответствуют матрицам $\mathbf{u}$, то тем же свойством обладают и операторы $\mathrm{P}_{R}$. Кроме того, из соотношения
\[
(\mathbf{u} \times \mathbf{u} \times \ldots \times \mathbf{u}) \cdot(\mathbf{v} \times \mathbf{v} \times \ldots \times \mathbf{v})=\mathbf{u v} \times \mathbf{u v} \times \ldots \times \mathbf{u v}
\]

и из $R_{\mathbf{u}} R_{\mathbf{v}}=R_{\mathbf{u v}}$ следует, что $\mathrm{P}_{R_{\mathbf{u}}} \mathrm{P}_{R_{\mathbf{v}}}=\mathrm{P}_{R_{\mathbf{u v}}}$ и поэтому
\[
\mathrm{O}_{\mathrm{u}} \mathrm{O}_{\mathrm{v}}=\mathrm{O}_{\mathrm{uv}} .
\]
1) Точнее, группы двумерных унитарных матриц с определителем 1.
Таким образом, для нечетного числа электронов функции $f_{-j}$, $f_{-j+1}, \ldots, f_{j-1}, f_{j}$, для которых справедливо соотношение
\[
\mathrm{O}_{\mathfrak{u}} f_{\mu^{\prime}}^{(j)}=\sum_{\mu^{\prime}=-j}^{j} \mathfrak{u}^{(j)}(\mathfrak{u})_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} f_{\mu^{\prime}}^{(j)},
\]

принадлежат различным строкам представления $\mathfrak{u}^{(j)}$ унитарной группы. Следовательно, они удовлетворяют соотношениям, выведенным в гл. 12 для функций, принадлежащих неприводимым представлениям любой группы.

В дальнейшем изложении вместо (21.11) всегда будем пользоваться соотношением
\[
\mathrm{O}_{\mathrm{R}} f_{\mu^{\prime}}^{(j)}= \pm \sum_{\mu^{\prime}} \sum_{=-j}^{j} \mathfrak{D}^{(j)}(R)_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} f_{\mu^{\prime}}^{(j)} ;
\]

может показаться, что (21.11) вытекает из (21.11a) лишь с точностью до знака:
\[
\mathrm{O}_{\mathfrak{u}} f_{\mu^{\prime}}^{(j)}= \pm \sum_{\mu^{\prime}} \mathfrak{u}^{(j)}(\mathfrak{u})_{\mu^{\prime} \mu} f_{\mu^{\prime}}^{(j)} .
\]

Действительно, всегда выводится именно (21.11). Кроме того, из (21.11а) следует (21.11), а не (21.116). Чтобы убедиться в том, что нижний знак в (21.11б) исключается, предположим, что он верен. Тогда мы могли бы непрерывно преобразовать и в единичную матрицу. При этом обе части (21.11б) изменяются непрерывно, так что всюду нужно было бы сохранять нижний знак. Но для $\mathbf{u}=1$ соотношение (21.116) с нижним знаком имеет вид
\[
\mathrm{O}_{1} f_{\mu^{\prime}}^{(J)}=-\sum_{\mu^{\prime}} \delta_{\mu^{\prime} \mu} f_{\mu^{\prime}}^{(j)}=-f_{\mu}^{(j)} .
\]

что заведомо неверно, так как $O_{1}$ – тождественный оператор, который должен оставлять неизменной любую функцию. Поэтому в (21.11б) верным является лишь верхний знак. Следовательно, (21.11a) дећствительно совпадает с (21.11); мы предпочитаем пользоваться формулой (21.11a), так как в ней подчеркивается значение операции О как пространственного вращения.

Пусть далее в соотношении (21.11) $\mathbf{u}=-1$. Тогда $O_{-1}$ отличается знаком от тождественного оператора, так как $\mathrm{P}=\mathrm{P}_{E}$ является положительным, а $-1 \times-1 \times \ldots \times-1$ в (21.6в)отрицательным тождественными операторами (мы имеем дело с нечетным числом электронов). Тогда из (21.11) вытекает, что $\mathbf{u}^{(j)}(-1)=-1$, откуда, согласно гл. 15 , следует, что $j$ должно быть полуцелым. Для нечетного числа электронов волновая функция может принадлежать только нечетному представлению унитарной группы или группы операторов $O_{u}$ и, следовательно,
двузначному представлению группы вращений. Естественно, что для четного числа электронов появляются только регулярные представления группы вращений (или четные представления унитарной группы).

Усложнение с двузначными представлениями возникают вследствие того, что коэффициенты $c_{S, R}$ в (21.9) могут быть равны как – -1 , так и +1 ; операторы О, выражающие инвариантность описания при пространственных вращениях, не образуют группы, изоморфной группе вращений, но образуют группу, изоморбную унитарной группе.
4. В теории, учитывающей спин, оператор Гамильтона Н уравнения Шредингера $\mathrm{H} \Psi=E \Psi$ для энергии $E$ не является больше просто оператором, действующим только на декартовы координаты, как это имело место в предыдущих исследованиях. Силы, возникающие вследствие наличия магнитного момента у электрона, приводят к необходимости введения дополнительных членов, значение которых мы обсудим ниже. Хотя точный вид этих членов вызывает еще некоторые сомнения, ясно, что нельзя отдавать предпочтения какому-либо направлению в пространстве, пока нет внешнего магнитного или электрического поля; если $\Psi_{\mu}$ является стационарным состоянием, то повернутое состояние О $_{R} \Psi_{\mu}$ или $\mathrm{O}_{\mathrm{u}} \Psi_{\mu}$ также стационарно, причем оба они имеют одинаковую энергию. Отсюда следует, что $O_{R} \Psi_{\mu}$ и $O_{\mu} \Psi_{\mu}$ могут быть представлены в виде линейной комбинации других собственных функций того же собственного значения:
\[
\mathrm{O}_{R} \Psi_{\mu}=\sum_{
u} D(R)_{
u \mu} \Psi_{
u} \quad \text { или } \quad \mathrm{O}_{\mathrm{u}} \Psi_{\mu}=\sum_{
u} D(\mathbf{u})_{
u \mu} \Psi_{
u} \text {. (21.12) }
\]

Из $\mathrm{O}_{S} \mathrm{O}_{R}=\mathrm{O}_{S R}$ или, для нечетного числа электронов, из $\mathrm{O}_{S} \mathrm{O}_{R}= \pm \mathrm{O}_{S R}$ (или $\mathrm{O}_{\mathbf{u}} \mathrm{O}_{\mathbf{v}}=\mathrm{O}_{\mathrm{uv}}$ ) можно заключить, как обычно, что
\[
\mathbf{D}(S) \mathbf{D}(R)=\mathbf{D}(S R),
\]

или, для нечетного числа электронов,
\[
\mathbf{D}(S) \mathbf{D}(R)= \pm \mathbf{D}(S R) \text { или } \mathbf{D}(\mathbf{u}) \mathbf{D}(\mathbf{v})=\mathbf{D}(\mathbf{u v}) .
\]

Матрицы D $(R)$ образуют однозначное представление группы вращений для четного числа электронов и двузначное представление группы вращений (или однозначное представление унитарной группы) для нечетного числа электронов.

Так же как и в гл. 12, можно заключить, что эти представления могут рассматриваться как неприводимые ${ }^{1}$ ). Для четного
1) Рассматривая собственное значение как несколько случайно совпавших собственных значений.
числа электронов $\mathbf{D}(R)$ могут иметь вид $\mathfrak{D}^{(0)}, \mathfrak{D}^{(1)}, \mathfrak{D}^{(2)}, \ldots$; лля нечетного числа электронов они являются одним из представлений $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}, \mathfrak{D}^{(3 / 2)}, \mathfrak{D}^{(5 / 2)}, \ldots$ (причем $D(\mathfrak{u})$ равны $\left.\mathfrak{u}^{(1 / 2)}, \mathfrak{u}^{(3 / 2)}, \mathfrak{u}^{(5 / 2)}, \ldots\right)$ :
\[
\mathrm{O}_{R} \Psi_{\mu^{\prime}}^{(j)}=\sum_{\mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(j)}(R)_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}} \Psi_{\mu^{\prime}}^{(J)}
\]

Верхний индекс этих представлений называется квантовым числом полного момента количества движения и обозначается буквами $j$ или $J$; это число является целым для четного числа электронов и полуцелым – для нечетного числа ( $ч$ чередование мультиплетности\”). Номер строки $\mu$, которой принадлежат собственные функции, и здесь также называется магнитным квантовым числом; и также является целым для четного числа электронов и полуцелым – для нечетного числа.
5. Пусть $\mathrm{S}$ – оператор, симметричный относительно $\mathrm{O}_{R}$, т. е. скаляр, на который не оказывает влияния изменение направления осей. Тогда мы знаем, что матричный элемент
\[
S_{N j^{\prime} ; N^{\prime} j^{\prime} \mu^{\prime}}=\left(\Psi_{\mu}^{N J}, S \Psi_{\mu^{\prime}}^{N^{\prime} j^{\prime}}\right)=\delta_{j j^{\prime}} \delta_{\mu \mu^{\prime}} S_{N j ; N^{\prime} j}
\]

с двумя собственными функциями, принадлежащими различным представлениям $\mathfrak{D}^{(j)}$ и $\mathfrak{D}^{\left(j^{\prime}\right)}$ или различным строкам одного и того же представления, должен обращаться в нуль. С другой стороны, если в (21.14) $j=j^{\prime}$ и $\mu=\mu^{\prime}$, то выражение (21.14) имеет один и тот же вид при всех $\mu$, т. е. не зависит от магнитного квантового числа.

Теперь естественно найти аналогичные формулы для векторных и тензорных операторов. Скалярный оператор был определен требованием его независимости от выбора системы осей; примером такой величины является энергия, тогда как $X$-компонента дипольного момента не является такой величиной. Скалярная величина соответствует одному и тому же оператору для всех наблюдателей. С другой стороны, поскольку первый наблюдатель приписывает оператор $\mathrm{O}_{R}^{-1} \mathrm{SO}_{R}$ физической величине, которой второй наблюдатель приписывает оператор $\mathrm{S}$, должно иметь место соотношение
\[
\mathrm{O}_{R}^{-1} \mathrm{SO}_{R}=\mathrm{S}, \quad \mathrm{SO}_{R}=\mathrm{O}_{R} \mathrm{~S} .
\]

Таким образом, симметричный оператор коммутирует со всеми преобразованиями.

В противоположность этому, если $\mathrm{V}_{x}, \mathrm{~V}_{y}, \mathrm{~V}_{z}$ являются $X^{\prime}$-, $Y^{\prime}-, Z^{\prime}$-компонентами векторного оператора, то $X-, Y-, Z$-компонентами этого оператора будут ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{O}_{R}^{-1} \mathrm{~V}_{x} \mathrm{O}_{R}=R_{x x} \mathrm{~V}_{x}+R_{x y} \mathrm{~V}_{y}+R_{x z} \mathrm{~V}_{z}, \\
\mathrm{O}_{R}^{-1} \mathrm{~V}_{y} \mathrm{O}_{R}=R_{y x} \mathrm{~V}_{x}+R_{y y} \mathrm{~V}_{y}+R_{y z} \mathrm{~V}_{z}, \\
\mathrm{O}_{R}^{-1} \mathrm{~V}_{z} \mathrm{O}_{R}=R_{z x} \mathrm{~V}_{x}+R_{z y} \mathrm{~V}_{y}+R_{z z} \mathrm{~V}_{z} .
\end{array}
\]

Таким образом, $\mathrm{V}_{x}, \mathrm{~V}_{y}, \mathrm{~V}_{z}$ не преобразуются по представлению $\mathfrak{D}^{(0)}$, как $\mathrm{S}$; при преобразовании к новой системе координат они не остаются неизменными, а преобразуются с помощью матрицы вращения R. Далее, $\mathfrak{D}^{(1)}$ как представление группы вращений эквивалентно представлению матрицами $\mathrm{R}$; для дальнейших вычислений вместо $X-, Y-, Z$-компонент удобно пользоваться компонентами:
\[
\begin{aligned}
\mathrm{V}^{(-1)} & =\frac{1}{\sqrt{2}} \mathrm{~V}_{x}+\frac{i}{\sqrt{2}} \mathrm{~V}_{y}, \\
\mathrm{~V}^{(0)} & =\mathrm{V}_{z} \\
\mathrm{~V}^{(1)} & =\frac{-1}{\sqrt{2}} \mathrm{~V}_{x}+\frac{i}{\sqrt{2}} \mathrm{~V}_{y} .
\end{aligned}
\]

Для этих компонент в силу (15.34) вместо (21.16) имеем
\[
\mathrm{O}_{R}^{-1} \mathrm{~V}^{(\rho)} \mathrm{O}_{R}=\sum_{\sigma=-1}^{1} \mathfrak{D}^{(1)}(R)_{\rho \sigma} \mathrm{V}^{(\sigma)} .
\]

В более общем случае можно рассмотреть неприводимый тензорный оператор ранга $\omega$, определенный условием, что его $2 \omega+1$ компонент $\mathrm{T}^{(\rho)}$ при вращении преобразуются следующим образом:
\[
\mathrm{O}_{R}^{-1} \mathbf{T}^{(\rho)} \mathrm{O}_{R}=\sum_{\sigma=-\omega}^{\omega} \mathfrak{D}^{(\omega)}(R)_{\rho \sigma} \mathbf{T}^{(\sigma)} .
\]

Если в (21.16) $R$ заменить на $R^{-1}$, то в силу $\mathrm{O}_{R}^{-1}=\mathrm{O}_{R}^{-1}$ и $\mathfrak{D}^{(\omega)}\left(R^{-1}\right)_{\rho \sigma}=\mathfrak{D}^{(\omega)}(R)_{\text {op }}^{*}$ получим
\[
\mathrm{O}_{R} \mathrm{~T}^{(\rho)} \mathrm{O}_{R}^{-1}=\sum_{\sigma=-\infty}^{\infty} \mathfrak{D}^{(\omega)}(R)_{\sigma \rho}^{*} \mathrm{~T}^{(\sigma)} .
\]
1) Несмотря на сходство систем (11.18a) и (21.16), они выражают совершенно различные соотношения. Первая из них дает компоненты $x^{\prime}$ вектора во второй системе кооринат, выраженные через компоненты $x$ в первой системе. Три соотношения (21.16) выражают векторы, направленные по осям $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$, через векторы, имеющие направления $X, Y, Z$. Коэффициенты этих двух систем совпадают, так как они образуют вещественную ортогональную матрицу. В более общем случае одна из них была бы транспонированной обратной к другой.
$\begin{array}{lll}\text { Глав а } & 21\end{array}$
Из этих равенств мы найдем соотношения. аналогичные (21.14), для векторных и тензорных операт роз. Чтсбы применить (21.16в), поде иствуем унитарным оператором $\mathrm{O}_{R}$ на оба сомножителя скалягного произведения:
\[
T_{N j \mu^{\prime} ; N^{\prime} j^{\prime} \mu^{\prime}}^{(\rho)}=\left(\Psi_{\mu}^{N j}, T^{(\rho)} \Psi_{\mu^{\prime}}^{N j^{\prime}}\right) ;
\]

тогда получим
\[
\begin{aligned}
T_{N j \mu_{i} N^{\prime} j^{\prime} \mu^{\prime}}^{(\rho)} & =\left(\mathrm{O}_{R} \Psi_{\mu}^{N j}, \mathrm{O}_{R} \mathrm{~T}^{(\rho)} \mathrm{O}_{R}^{-1} \mathrm{O}_{R} \Psi_{\mu^{\prime}}^{N^{\prime} j^{\prime}}\right)= \\
& =\sum_{
u} \sum_{\sigma} \sum_{
u^{\prime}} \mathfrak{D}^{(j)}(R)_{
u \mu}^{*} \mathfrak{D}^{(\omega)}(R)_{\sigma p}^{t} \mathfrak{D}^{\left(j^{\prime}\right)}(R)_{
u^{\prime} \mu^{\prime}} T_{N j N^{\prime} N^{\prime} j^{\prime}
u^{\prime}}
\end{aligned}
\]

Если аналогичную формулу для скалярных олераторов проинтегрировать по всем вращениям, то соотношения ортогональности непосредственно привели бы к (21.14). Чтобы вычислить интеграл от произведения трех коэффициентов вращения, который нужен для (21.18a), запишем сначала произведение первых двух из них с помощью (17.16б):
\[
\mathfrak{D}^{(j)}(R)_{
u \mu}^{*} \mathfrak{D}^{(\omega)}(R)_{\sigma \rho}^{*}=\sum_{L=|j-\omega|}^{j+\omega} s_{L
u \sigma}^{(j \omega)} \mathfrak{D}^{(L)}(R)_{
u+\sigma, \mu+\rho}^{*} s_{L p \rho}^{(j \omega)} .
\]

Подставляя это выражение в (21.18a) и используя при интегрировании по всем вращениям соотношения ортогональности (10.12), получаем
\[
T_{N j j^{\prime} N^{\prime} j^{\prime} \mu^{\prime}}^{(\rho)}=\sum_{L=|j-\omega|}^{j+\omega} s_{L \mu \rho}^{(j \omega)} \sum_{
u \sigma
u^{\prime}} s_{L
u \sigma}^{(j \omega)} \frac{{ }_{L j^{\prime}} \delta_{
u+\sigma,
u^{\prime}} \delta_{\mu+\rho, \mu^{\prime}}}{2 j^{\prime}+1} \cdot T_{N j
u ; N^{\prime} j^{\prime}
u^{\prime \prime}}^{(\sigma)}
\]

где обе части равенства разделены на $\int d R$. Это выражение обращается в нуль, если $j^{\prime}$ не лежит в пределах $|j-\omega|$ и $j+\omega$; при $|j-\omega| \leqslant j^{\prime} \leqslant j+\omega$ это выражение равно
\[
T_{N j \mu ; N^{\prime} j^{\prime} \mu^{\prime}}^{(\rho)}=S_{j^{\prime} \mu \rho}^{(j \omega)} \delta_{\mu+\rho, \mu^{\prime}} T_{N j ; N^{\prime} j^{\prime}},
\]

где $T_{N j ; N^{\prime} j^{\prime}}$ уже не зависит от $\mu, \mu^{\prime}$ и $\rho^{1}$ ).
Эта формула является весьма общен ${ }^{2}$ ). Она позволяет получить өлементов“, т. е. скалярных произведении (21.18), у которых первые множители $\Psi_{\mu}^{N j}$ суть различные собственные функции одного
1) Величины $T_{N j ;} N^{\prime} f^{\prime}$ называются иногда приведенными матричными өлементами или „матричными элементами с двойной чертой\” и записы* ваются в виде $\left(N j\|T\| N^{\prime} j^{\prime}\right.$ ).
$\left.{ }^{2}\right)$ В такой общей форме формулу впервые получил Эккарт [C. Eckart, Rev. Mod. Phys., 2, 305 (1930)].
и того же собственного значения, операторы – различные компоненты одного и того же неприводимого тензора, а вторые множители $\Psi_{\mu^{\prime}}^{N^{\prime} j^{\prime}}$ – собственные функции также одного и того же собственного значения (которое может отличаться от собственного значения для функций $\left.\Psi_{\mu}^{N j}\right)$.

Вернемся к случаю векторных операторов, полагая в (21.19) $\omega=1$. Пользуясь таблицей коэффициентов векторного сложения на стр. 231, мы получаем формулы, аналогичные (21.14), для векторных операторов:
\[
\begin{array}{l}
V_{N j \mu ; N^{\prime} j-1 \mu-1}^{(-1)}=\sqrt{j+\mu} \sqrt{j+\mu-1} V_{N j ; N^{\prime} j-1}^{\prime}, \\
V_{N j \mu ; N^{\prime} j-1 \mu}^{(0)}=-\sqrt{j+\mu} \sqrt{j-\mu} \sqrt{2} V_{N j ; N^{\prime} j-1}^{\prime}, \\
V_{N j \mu}^{(1)} N^{\prime} j-1 \mu+1=\sqrt{j-\mu-1} \sqrt{j-\mu} V_{N j ; N^{\prime} j-1}^{\prime} \text {. } \\
V_{N j \mu ; N^{\prime} j-1}^{(-1)}=\sqrt{j-\mu+1} \sqrt{j+\mu} V_{N j ; N^{\prime} j}^{\prime}, \\
V_{N j \mu ; N^{\prime} j \mu}^{(0)}=\mu \sqrt{2} V_{N j ; N^{\prime} j}^{\prime}, \\
V_{N j \mu ; N^{\prime} j \mu+1}^{(1)}=-\sqrt{j+\mu+1} \sqrt{j-\mu} V_{N j ; N^{\prime} j}^{\prime} . \\
V_{N j \mu ; N^{\prime} j+1 \mu-1}^{(-1)}=\sqrt{j-\mu+1} \sqrt{j-\mu+2} V_{N j ; N^{\prime} j+1}^{\prime}, \\
V_{N j \mu ; N^{\prime} j+1 \mu}^{(0)}=\sqrt{j-\mu+1} \sqrt{j+\mu+1} \sqrt{2} V_{N j ; N^{\prime} j+1}^{\prime}, \\
V_{N j \mu}^{(1)}{ }_{N^{\prime} j+1 \mu+1}=\sqrt{j+\mu+1} \sqrt{j+\mu+2} V_{N j ; N^{\prime} j+1}^{\prime} \text {. } \\
\end{array}
\]

Все не перечисленные здесь матричные элементы векторных операторов обращаются в нуль; элементы с $j=j^{\prime}=0$ также равны нулю. Разумеется, из общих соображений нельзя определить $V_{. N j ; N^{\prime} j^{\prime}}^{\prime}$. В то время как матричные элементы скалярного оператора равны нулю, если квантовые числа полного момента количества движения или магнитные квантовые числа различаются $\left[j\right.$ и $j^{\prime}$, и (или) $\mu$ и $\mu^{\prime}$ ], эти квантовые числа могут отличаться на 1 в случае векторных операторов.

При выводе формул (21.19) не делалось никаких предположений о конкретном виде операторов $O_{R}$; поэтому формулы (21.19) должны оставаться справедливыми и в теории, не учитывающей спина, если заменить $\mathrm{O}_{R}$ на $\mathrm{P}_{R}$ и квантовое число полного момента количества движения $j$ на орбитальное квантовое число $l$. Действительно, мы уже не раз приходили к выводу об обращении в нуль матричных элементов векторных операторов. Например, умножение на
\[
x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}, \quad y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{n}, \quad z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}
\]

представляет три компоненты векторного оператора, и мы нашли, что вероятность радиационного перехода из состояния $\psi_{F}$ в состояние $\psi_{E}$, которая определяется матричными элементами
\[
\left(\psi_{F},\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right) \psi_{E}\right) \text { и т. д. }
\]
обращается в нуль, если разность орбитальных квантовых чисел состояний $\psi_{F}$ и $\psi_{E}$ не равна 0 или $\pm 1$. Далее мы видели, что магнитное квантовое число не меняется, если свет поляризован по оси $Z(\rho=0)$, и меняется на $\pm 1$, если свет поляризован в направлении оси $X$ или оси $Y$.

Дополнительный член в уравнении Шредингера, обязанный наличию магнитного поля $\mathscr{C}_{z}$ в направлении оси $Z$,
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{V}_{z}=\mathrm{V}^{(0)}=\frac{-i e \hbar \mathscr{\mathscr { C } _ { z }}}{2 m c}\left[x_{1} \frac{\partial}{\partial y_{1}}+x_{2} \frac{\partial}{\partial y_{2}}+\ldots\right. \\
\left.\ldots+x_{n} \frac{\partial}{\partial y_{n}}-y_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}-y_{2} \frac{\partial}{\partial x_{2}}-\ldots-y_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right], \\
\end{array}
\]

является $Z$-компонентой векторного оператора. В этом случае мы уже фактически вычислили матричные элементы $V_{N l \mu ;} N l \mu$. Средняя из формул (21.19б) показывает, что они должны быть пропорциональны магнитному квантовому числу $\mu$. Мы нашли также, что множитель пропор-

Формула (21.19) является в определенном смысле аналогом формулы (19.6), в которой в явном виде выражена зависимость собственных функций от ориентации $n$-лучевика конфигурации. Последние сочетают в одном равенстве, по крайней мере в случае бесспиновой теории, всю информацию о волновой функции, которую дает вращательная симметрия системы. Как в элементарной теории, так и в теории с учетом спина формула (21.19) включает всю информацию о матричных ялементах, которую можно получить из вращательной симметрии, причем без использования какого-либо приближения.
6. Интересно́ отметить ${ }^{1}$ ), что существование квантового числа полного момента количества движения, а также равенства (21.19) следуют уже из весьма общего соотношения (21.9), за исключением того, что (21.9) не позволяет решить; является, ли число $j$ целым или полуцелым. Нельзя ожидать решения этого вопроса на основе (21.9), так как число электронов не входит в это соотношение.

Если использовать соотношение (21.9) для выяснения поведения (21.13) матриц D при умножении, то вместо (21.13) получается только тот результат, что матрицы $\mathbf{D}(R)$, определенные в (21.12),
\[
\mathrm{D}(S R)=c_{S, R} \mathrm{D}(S) \mathrm{D}(R) !
\]

образуют с точностью до множителя представление группы вращений. Однако тождественный элемент по-прежнему представлен единичной матрицей. Сейчас мы покажем, что, умножая каждую матрицу $\mathrm{D}(R)$, удовлетворяющую соотношению (21.20a), на соответствующим образом выбранное число $c_{R}$, можно получить систему
1) Оставшаяся часть настоящей главы не существенна для понимания последующих глав.
матриц $\overline{\overline{\mathrm{D}}}(R)=c_{R} \mathrm{D}(R)$, которые образуют представление унитарной группы, т. е. для которых
\[
\overline{\overline{\mathrm{D}}}(S) \overline{\overline{\mathrm{D}}}(R)= \pm \overline{\overline{\mathrm{D}}}(S R) .
\]

Поэтому, согласно гл. 15, эта система матриц с помощью преобразования подобия может быть расщеплена на представления $\mathfrak{D}^{(0)}, \mathfrak{D}^{(1 / 2)}, \mathfrak{D}^{(1)}$. Это означает, что такой набор матриц, к которому сразу приводит соотношение (21.9), дает в сущности однозначные и двузначные представления, рассмотренные в гл. 15.

В частности, набор двумерных матриц, удовлетворяющих соотношению (20.17), содержит либо только постоянные матрицы (если он содержит $\mathfrak{D}^{(0)}$ дважды), либо эквивалентен представлению $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}$, как мы заключили в предыдущей главе.

Сначала образуем представление $\overline{\mathbf{D}}(R)=c_{R} \mathbf{D}(R)$ из $\mathbf{D}(R)$ и выберем $c_{R}$ равными (-1/入)-й степени определителя матриц $\mathbf{D}(R)$. Здесь $\lambda$-размерность матриц $\mathrm{D}(R)$. Это приводит к тому, что $|\overline{\mathrm{D}}(R)|=1$ :
\[
|\overline{\mathrm{D}}(R)|=\left|c_{R} \mathbf{1} \cdot \mathrm{D}(R)\right|=\left|c_{R} \cdot \mathbf{1}\right| \cdot|\mathrm{D}(R)|=c_{R}^{\lambda}|\mathrm{D}(R)|=1 .
\]

Значения постоянных $c_{R}$ и элементы матриц $\overline{\mathrm{D}}(R)$ не определены еще однозначно, а лишь с точностью до $\lambda$-значного корня степени $\lambda$ из единицы, $\omega$. Таким образом, каждому элементу группы $R$ соответствуют $\lambda$ матриц, а именно все матрицы, кратные $\mathbf{D}(R)$ и имеющие определитель 1.

Если $\overline{\mathbf{D}}(S)$ умножить на $\overline{\mathbf{D}}(R)$, то получается $\overline{\mathbf{D}}(S R)$. В силу (21.20a), это произведение кратно любой матрице $\overline{\mathrm{D}}(S R)$; его определитель является произведением определителей матриц $\overrightarrow{\mathbf{D}}(S)$ и $\overline{\mathbf{D}}(R)$, равным 1 .

Из представления $\mathrm{D}(R)$, определенного с точностью до множителя, мы получили многозначное, точнее, 入-значное представление; произведение всякой матрицы $\overline{\mathrm{D}}(S)$ на всякую $\overline{\mathrm{D}}(R)$ дает некоторую матрицу $\overline{\mathrm{D}}(S R)$.

Можно попытаться уменьшить эту многозначность представления, выбирая и сохраняя одну из $\lambda$ матриц $\overline{\mathrm{D}}(R)$ и опуская остальные. Естественно, что это можно ‘сделать не произвольным образом, а лишь таким путем, чтобы любая из оставленных матриц $\overline{\mathbf{D}}(S)$, будучи умноженной на любую другую из оставленных матриц $\overline{\mathbf{D}}(R)$, давала бы снова одну из оставленных матриц $\overline{\mathbf{D}}(S R)$.
Следуя методу Вейля ${ }^{1}$ ), мы положим в основу этого отбора свойства непрерывности представлений.

Если $S$ и $S^{\prime}$ – два соседних элемента группы $\left(S \sim S^{\prime}\right.$ ), то для первоначальной формы $\mathrm{D}(R)$ мы должны бы иметь
\[
\mathbf{D}(S) \sim \mathbf{D}\left(S^{\prime}\right) \text { и }|\mathbf{D}(S)| \sim\left|\mathbf{D}\left(S^{\prime}\right)\right| .
\]

Из последнего соотношения следует, что $\lambda$ значений чисел $c_{s}$ являются попарно соседними со значениями $c_{S^{\prime}}$. В то же время $\lambda$ матриц $\overline{\mathbf{D}}(S)$ являются попарно соседними с $\lambda$ матрицами $\overline{\mathbf{D}}\left(S^{\prime}\right)$, притом так, что какая-либо матрица $\overline{\mathbf{D}}(S)$ является соседом одной и только одной матрицы $\overline{\mathbf{D}}\left(S^{\prime}\right)$, тогда как остальные $\lambda-1$ матриц существенно отличны, поскольку они получаются из первых путем умножения на число, существенно отличающееся от единицы (корень степени $\lambda$ из 1).

Если соединить тождественный элемент $E=S(0)$ с элементом $S=S(1)$ непрерывной линией $S(t)$ в пространстве параметров, то можно потребовать, чтобы матрицы $\mathbf{D}(S(t))$ пробегали непрерывную последовательность. Тогда, отправляясь от $\overline{\mathbf{D}}(S(0))=$ $=\overline{\mathrm{D}}(E)=1$ и следуя вдоль заданного пути $S(t)$, можно получить только одну из $\lambda$ матриц $\overline{\mathrm{D}}(S)$. Мы обозначим ее через $\overline{\mathrm{D}}(S)_{S(t)}$. Если путь $S(t)$ деформируется непрерывным образом, а конечные точки его остаются фиксированными, то $\overline{\mathbf{D}}(S)_{S(t)}$ никак не меняется, ибо эта матрица может измениться только непрерывно при непрерывной деформации пути, тогда как переход к другой матрице $\overline{\mathbf{D}}(S)$ обязательно повлек бы за собой скачок.

Произведение $\overline{\mathrm{D}}(S)_{S(t)} \cdot \overrightarrow{\mathrm{D}}(R)_{R(t)}$ является одной из матриц $\overline{\mathbf{D}}(\ddot{S} R)$, которая также получается непрерывным образом из $\overline{\mathbf{D}}(E)=\mathbf{1}$. Соответствующий путь проходит сначала от $E$ вдоль $S(t)$ к $S$; при этом $\mathrm{D}(E)=1$ переходит непрерывно в $\overline{\mathrm{D}}(S)_{S(t)}$; затем путь идет к $S R$ по точкам $S \cdot R(t)$, причем $\overline{\mathrm{D}}(S)_{S(t)}=\overline{\mathrm{D}}(S)_{S(t)} \cdot 1$ переходит непрерывно в $\overline{\mathbf{D}}(S)_{S(t)} \overline{\mathrm{D}}(R)_{R(t)}$, проходя через матрицы $\overline{\mathrm{D}}(S)_{S(t)} \cdot \stackrel{\rightharpoonup}{\mathrm{D}}(R(t)):$
\[
\overline{\mathrm{D}}(S)_{S(t)} \cdot \overline{\mathrm{D}}(R)_{R(t)}=\overline{\mathrm{D}}(S R)_{S(t), S \cdot R(t)} .
\]

Если все пути от $E$ к $S$ могут быть деформированы непрерывным образом один в другоћ, то пространство параметров односвязно
1) H. W e y l, Math. Zs., 23, 271; 24, 328, 377, 789 (1925); V. S ch reler, Abhandi. Math. Seminar Hamburg, 4, 14 (1926); 5, 233 (1927).
и существует одна-единственная матрица $\overline{\overline{\mathrm{D}}}(S)=\overline{\mathrm{D}}(S)_{S(t)}$, которую можно получить непрерывным образом из $\overline{\mathrm{D}}(E)=1=\overline{\overline{\mathbf{D}}}(E)$. Следовательно, матрицы $\overline{\overline{\mathbf{D}}}(S)$ образуют однозначное представление группы.

Если пространство параметров многосвязно, то существуют два или более пути $S_{1}(t), S_{2}(t), \ldots$, которые не могут быть деформированы один в другой непрерывно; соответствующие матрицы $\overline{\mathrm{D}}(S)_{S_{1}(t)}, \ldots, \overline{\mathrm{D}}(S)_{S_{2}(t)}, \ldots$ могут отличаться друг от друга. Представление может быть тогда столь же многозначно, сколько имеется путей от $E$ к $S$, которые не могут быть деформированы один в другой.
7. Соотношение (21.22) наводит на мысль, что вместо исходной группы следует рассматривать „покрывающую группу“, которая имеет столько элементов $S_{S_{1}(t)}, S_{S_{2}(t)}, \ldots$ для каждого элемента $S$ первоначальной группы, сколько существует путей $S_{1}(t)$, $S_{2}(t), \ldots$ от $E$ к $S$, которые не могут быть деформированы один в другой ${ }^{1}$ ). Правило умножения для этой покрывающей группы имеет вид
\[
S_{S_{i}(t)} R_{R_{k}(t)}=S R_{S_{l}(t), s \cdot R_{k}(t)} .
\]

Согласно (21.22), матрицы $\overline{\mathbf{D}}(S)_{S_{i}(t)}$ образуют регулярное однозначное представление покрывающей группы. Отсюда следует, что представление.непрерывной группы, определенное с точностью до множителя, можно преобразовать в регулярное представление покрывающей группы путем умножения на соответствующим образом подобранные числа. Если известны все представления покрывающей группы, то известны также и все представления (с точностью до множителя) исходной группы.
Фиг. 12. Любой элемент группы вращений может быть достигнут от тождественного элемента: либо (I) по непрерывному пути без скачков, либо (II) по непрерывному пути, включающему скачок из некоторой точки в противоположную ей. Эти два типа путей не могут быть деформированы один в другой.
Пространство параметров (см. фиг. 1 на стр. 110) трехмерной группы чистых вращений двусвязно. Произвольной точки можно достичь от $E$ либо непосредственно (I) (фиг. 12), либо путем скачка к противолежащей точке (II), причем эти два пути нельзя
i) Рассматриваемая здесь группа называется также группой Пуанкаре.
деформировать один в другой. (Скачок к противолежащей точке не рассматривается в качестве разрыва линии пространства параметров, так как противоположные точки соответствуют одному и тому же вращению.) С другой стороны, путь с двумя скачками к противолежацим точкам уже можно преобразовать в путь без скачков, если преобразование выбрать так, чтобы рассматриваемые два скачка вместе компенсировали один другой (фиг. 13).
Фиг. 13. Путь, включающий два скачка в противоположные точки, можно непрерывно деформировать в путь, не имеющий таких скачков, если совместить два скачка, как это показано на схеме.
Таким образом, покрывающая группа имеет вдвое больще элементов, чем группа вращений; следовательно, она изоморфна группе матриц $\mathfrak{D}^{1 / 2}(R)$. Будучи двузначным представлением группы вращении, это представление является регулярным для покрывающей группы, притом точным, так как каждому вращению сопоставляются две матрицы $\pm \mathfrak{D}^{(1 / 2)}(R)$, отличные одна от другой и от всех других $\mathfrak{D}^{(1 / 2)}(S)$.

Матрицы $\mathfrak{D}^{1 / 2}(R)$ образуют унитарную группу; она является, следовательно, покрывающей группой трехмерной группы вращений. Ее представления можно разбить на $\mathfrak{t}^{(0)}, \mathfrak{u}^{(1 / 2)}, \ldots$, и соответ ственно матрицы $\overline{\overline{\mathrm{D}}}(R)=c_{R} \mathrm{D}(R)$ можно разложить на $\pm \mathfrak{D}^{(0)}, \pm \mathfrak{D}^{(1 / 2)}$, $\pm \mathfrak{D}^{(1)}, \ldots$ Если считать, что матрицы $\mathrm{D}(R)$ находятся в приведенном виде (для этого нужно лишь преобразование к новой системе линейно независимых функций), то для этих функций получаем
\[
\mathrm{O}_{R} \Psi_{\mu^{\prime}}^{(j)}=\frac{1}{c_{R}} \sum_{\mu^{\prime}} \mathfrak{D}^{(j)}(R)_{\mu^{\prime} \mu} \Psi_{\mu^{\prime}}^{(j)},
\]

причем $j$ можно рассматривать как квантовое число полного момента количества движения собственных функций $\Psi_{-j}^{(j)}, \Psi_{-j+1}^{(j)}, \ldots, \Psi_{j-1}^{(j)}, \Psi_{j}^{(j)}$. Хотя соотношение (21.12б) не вполне эквивалентно равенству (21.12a), оно позволяет. вывести большинство правил для полного квантового числа $j$.