Приблизительно тогда же, когда были достигнуты эти успехи, солитон появился в совершенно новом контексте, а именно при распространении ультракоротких (10-12 c) оптических импульсов в резонансных средах. В 1967 г. Макколл и Хан [15] открыли явление самоиндуцированной прозрачности — эффект, при котором передний фронт импульса вызывает инверсию заселенности атомных уровней, в то время как задний фронт возвращает заселенность в начальное состояние путем индуцированного излучения. Этот процесс реализуется, если время его осуществления мало по сравнению с временем фазовой памяти среды и импульс достаточно интенсивен, чтобы вызвать инверсию заселенности. Если мы предположим, что среда состоит из атомов с двумя невырожденными уровнями, и пренебрежем эффектами неоднородного уширения (вызванное допплеровским сдвигом несоответствие между несущей частотой входящего импульса и разностью между энергиями двух уровней), то процесс может быть описан в терминах одной полевой переменной, подчиняющейся уравнению sin-Гордон
$$u_{xt}=\sin u\text{, }$$

где $x$-расстояние от границы среды, $t$-время (растянутое) и $\partial u/\partial x$ пропорционально амплитуде огибающей электрического поля $E(x,t)$.

Это уравнение было известно в течение длительного времени. Очень давно оно исследовалось в связи с теорией поверхностей постоянной отрицательной кривизны. В частности, А. Ф. Бэклунд (см. [16]) открыл, что новое решение (или поверхность) $u_1(x,t)$ может быть получено из старого $u_0(x,t)$ преобразованием
$$\begin{array}{l}{u}_{1x}-u_{0x}=4i\zeta \sin \frac{u_1+u_0}{2},\\ u_{1t}+u_{0t}=\frac{1}{i\zeta }\sin \frac{u_1-u_0}{2}.\end{array}$$

Такие преобразования известны как преобразования Бэклунда (определение мы дадим позже в гл. 4) и позволяют очень просто конструировать многосолитонные решения. Например, возьмем $u_0=0$; интегрируя (1.45), получим
$$u_1=\pm 4\mathrm{arctg}\exp (-2\eta x-\frac{t}{2\eta }),$$

что описывает импульс $u$, для которого соответствующая огибающая электрического поля $E$ равна $4\eta \mathrm{sech}(2\eta x+t/2\eta )$ и площадь ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Edx=u(\mathrm{\infty })-u(-\mathrm{\infty })$ равна $2\pi$. Эти импульсы известны как $2\pi$-импульсы и называются кинками (антикинками), если $и$ увеличивается (уменьшается) на $2\pi$ при $x$, изменяющемся от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$. Более сложные решения могут быть получены шаг за шагом с помощью теоремы о перестановочности, приписываемой Бьянки, которая может быть записана в виде
$$\mathrm{tg}\frac{u_3-u_0}{4}=\frac{{\zeta }_1+{\zeta }_2}{{\zeta }_1-{\zeta }_2}\mathrm{tg}\frac{u_1-u_2}{4}.$$
(Вывод этой формулы я оставляю читателю в качестве упражнения.) Более сложные решения известны как $0\pi$-импульсы ( $и$ меняется на $2\pi$ на полуоси ( $-\mathrm{\infty },0$ ] и в противоположную сторону на $[0,+\mathrm{\infty })$, этот импульс представляет собой суперпозицию кинка и антикинка) и как $4\pi$-импульсы (суперпозиция двух кинков).

Так же как и уравнение Кортевега — де Фриза, уравнение $\sin$-Гордон возникает во многих приложениях:
(1) как модель для описания дислокаций в кристаллах (в этой задаче Зегер, Донт и Кохендорфер [17] нашли 2л-импульс с помощью преобразования Бэклунда еще в 1953 г.);
(2) в теории поля (мы уже упоминали работу Перринга и Скирма [18]);

(3) как модель джозефсоновского контакта в теории сверхпроводимости ( $u$ описывает разность фаз волновых функций по разные стороны контакта).

Оно описывает также наглядную механическую модель, предложенную Скоттом, представляющую собой цепочку маятников, подвешенных к горизонтальной проволоке так, что каждый маятник может вращаться вокруг этой оси, закручивая ее. При этом $u(X,T)$ представляет собой угол поворота, измеряемый от вертикали. После замены $x=(X+T)/2,t=(X-T)/2$ уравнение (1.44) принимает вид
$$u_{TT}-u_{XX}+\sin u=0.$$

Кинк представляет собой закрутку проволоки на угол $2\pi$ против часовой стрелки. Антикинк имеет противоположную ориентацию.

Не хотелось бы оставить обсуждение уравнения $\sin$-Гордон, не упомянув о важном вкладе, внесенном в этот вопрос Джорджем Лэмом. В серии из нескольких статей, подытоженных в 1971 г. в статье [20], он подверг тщательному анализу физические приложения многосолитонных и автомодельных решений уравнения $\sin -Г$ Гордон. Он предвидел, что уравнение $\sin$-Гордон является близким родственником уравнения Кортевега де Фриза. И он независимо открыл «обратный» метод его решения. Нужно отдать должное этому скромному человеку (редкая порода!), который даже удержался от соблазна перечислить свои достижения в своей собственной книге и внес в список литературы лишь одну из своих работ.