Приблизительно тогда же, когда были достигнуты эти успехи, солитон появился в совершенно новом контексте, а именно при распространении ультракоротких (10-12 c) оптических импульсов в резонансных средах. В 1967 г. Макколл и Хан [15] открыли явление самоиндуцированной прозрачности – эффект, при котором передний фронт импульса вызывает инверсию заселенности атомных уровней, в то время как задний фронт возвращает заселенность в начальное состояние путем индуцированного излучения. Этот процесс реализуется, если время его осуществления мало по сравнению с временем фазовой памяти среды и импульс достаточно интенсивен, чтобы вызвать инверсию заселенности. Если мы предположим, что среда состоит из атомов с двумя невырожденными уровнями, и пренебрежем эффектами неоднородного уширения (вызванное допплеровским сдвигом несоответствие между несущей частотой входящего импульса и разностью между энергиями двух уровней), то процесс может быть описан в терминах одной полевой переменной, подчиняющейся уравнению sin-Гордон
\[
u_{x t}=\sin u \text {, }
\]

где $x$-расстояние от границы среды, $t$-время (растянутое) и $\partial u / \partial x$ пропорционально амплитуде огибающей электрического поля $E(x, t)$.

Это уравнение было известно в течение длительного времени. Очень давно оно исследовалось в связи с теорией поверхностей постоянной отрицательной кривизны. В частности, А. Ф. Бэклунд (см. [16]) открыл, что новое решение (или поверхность) $u_{1}(x, t)$ может быть получено из старого $u_{0}(x, t)$ преобразованием
\[
\begin{array}{l}
u_{1 x}-u_{0 x}=4 i \zeta \sin \frac{u_{1}+u_{0}}{2}, \\
u_{1 t}+u_{0 t}=\frac{1}{i \zeta} \sin \frac{u_{1}-u_{0}}{2} .
\end{array}
\]

Такие преобразования известны как преобразования Бэклунда (определение мы дадим позже в гл. 4) и позволяют очень просто конструировать многосолитонные решения. Например, возьмем $u_{0}=0$; интегрируя (1.45), получим
\[
u_{1}= \pm 4 \operatorname{arctg} \exp \left(-2 \eta x-\frac{t}{2 \eta}\right),
\]

что описывает импульс $u$, для которого соответствующая огибающая электрического поля $E$ равна $4 \eta \operatorname{sech}(2 \eta x+t / 2 \eta)$ и площадь $\int_{-\infty}^{\infty} E d x=u(\infty)-u(-\infty)$ равна $2 \pi$. Эти импульсы известны как $2 \pi$-импульсы и называются кинками (антикинками), если $и$ увеличивается (уменьшается) на $2 \pi$ при $x$, изменяющемся от $-\infty$ до $+\infty$. Более сложные решения могут быть получены шаг за шагом с помощью теоремы о перестановочности, приписываемой Бьянки, которая может быть записана в виде
\[
\operatorname{tg} \frac{u_{3}-u_{0}}{4}=\frac{\zeta_{1}+\zeta_{2}}{\zeta_{1}-\zeta_{2}} \operatorname{tg} \frac{u_{1}-u_{2}}{4} .
\]
(Вывод этой формулы я оставляю читателю в качестве упражнения.) Более сложные решения известны как $0 \pi$-импульсы ( $и$ меняется на $2 \pi$ на полуоси ( $-\infty, 0$ ] и в противоположную сторону на $[0,+\infty)$, этот импульс представляет собой суперпозицию кинка и антикинка) и как $4 \pi$-импульсы (суперпозиция двух кинков).

Так же как и уравнение Кортевега – де Фриза, уравнение $\sin$-Гордон возникает во многих приложениях:
(1) как модель для описания дислокаций в кристаллах (в этой задаче Зегер, Донт и Кохендорфер [17] нашли 2л-импульс с помощью преобразования Бэклунда еще в 1953 г.);
(2) в теории поля (мы уже упоминали работу Перринга и Скирма [18]);

(3) как модель джозефсоновского контакта в теории сверхпроводимости ( $u$ описывает разность фаз волновых функций по разные стороны контакта).

Оно описывает также наглядную механическую модель, предложенную Скоттом, представляющую собой цепочку маятников, подвешенных к горизонтальной проволоке так, что каждый маятник может вращаться вокруг этой оси, закручивая ее. При этом $u(X, T)$ представляет собой угол поворота, измеряемый от вертикали. После замены $x=(X+T) / 2, t=(X-T) / 2$ уравнение (1.44) принимает вид
\[
u_{T T}-u_{X X}+\sin u=0 .
\]

Кинк представляет собой закрутку проволоки на угол $2 \pi$ против часовой стрелки. Антикинк имеет противоположную ориентацию.

Не хотелось бы оставить обсуждение уравнения $\sin$-Гордон, не упомянув о важном вкладе, внесенном в этот вопрос Джорджем Лэмом. В серии из нескольких статей, подытоженных в 1971 г. в статье [20], он подверг тщательному анализу физические приложения многосолитонных и автомодельных решений уравнения $\sin -Г$ Гордон. Он предвидел, что уравнение $\sin$-Гордон является близким родственником уравнения Кортевега де Фриза. И он независимо открыл «обратный» метод его решения. Нужно отдать должное этому скромному человеку (редкая порода!), который даже удержался от соблазна перечислить свои достижения в своей собственной книге и внес в список литературы лишь одну из своих работ.