(i) Введение. Целью этого раздела будет ответ на вопрос: является ли данное уравнение интегрируемым, и если да, то каково естественное представление, в котором интегрируемость почти очевидна? При ответе на этот вопрос принимаются во внимание два ведущих принципа, приобретенные на основании десятилетнего опыта. Первый состоит в том, что солитонные уравнения возникают как условия интегрируемости линейных систем. Второй заключается в том, что каждое солитонное уравнение принадлежит бесконечному семейству коммутирующих потоков. Поэтому сначала мы должны попытаться написать нелинейное уравнение как условие интегрируемости пары линейных систем $V_{x}=$ $=P V, V_{t}=Q V$ с помощью подходящего выбора $P$ и $Q$. Этот шаг приведет к выражениям для зависимости $P$ и $Q$ от зависимой переменной нелинейного уравнения и их производных, а также к бесконечному набору коммутационных соотношений. Дальнейшие ограничения на $P$ и $Q$ возникают из требования коммутируе-
1) Раздел 5b довольно длинен; при первом прочтении можно ознакомиться с выводами и перейти к следующим разделам. Прочтите также комментарии в замечании на с. 309 .

мости бесконечной последовательности возможных $Q$. Это второе требование прямо приводит к выбору алгебры Каца-Муди в качестве фазового пространства. В случае иерархии АКНС ока-
Рис. 7.

зывается, что матрицы коэффициентов являются элементами $\mathrm{sl}(2, C)$ бесконечномерной алгебры петель, в которой каждый базисный вектор может быть выписан как произведение одного

из базисных векторов
\[
H=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad E=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right)
\]

из $\mathrm{sl}(2)$ и комплекснозначного параметра $\zeta$, возведенного в целую степень. Полная алгебра Каца – Муди $\widetilde{\mathrm{sl}}(2)=\widetilde{\mathrm{sl}}(2)+$ $+C Z+\overparen{C D}$ содержит центр и производную, роль которой будет обсуждаться в разд. 51 .

Насколько нам известно, здесь впервые бесконечная алгебра, построенная методом Уолквиста – Эстабрука, получила интерпретацию в рамках подхода Каца – Муди.
(ii) Нелинейное уравнение Шрёдингера. Рассмотрим первую пару нетривиальных уравнений иерархии АКНС
\[
\begin{array}{l}
q_{t}=i / 2\left(q_{x x}-2 q^{2} r\right), \\
r_{t}=-i / 2\left(r_{x x}-2 q r^{2}\right) .
\end{array}
\]

Попытаемся написать эти уравнения как условие интегрируемости
\[
P_{t}-Q_{x}+[P, Q]=0
\]

пары линейных уравнений
\[
\begin{array}{l}
V_{x}=P V, \\
V_{t}=Q V .
\end{array}
\]

Здесь под $P$ и $Q$ мы понимаем иатрицы произвольного порядка, коэффициенты которых зависят от $q, r$ и их производных. Мы можем взять (5.3), (5.4) в нелинейном виде $V_{x}=F(V), V_{t}=$ $=G(V)$, в этом случае коммутатор в (5.2) был бы общей скобкой Ли, но до сих пор во всех случаях более удобно было брать линейное представление соответствующей алгебры.

Мы начнем с простейшего предположения, что $P$ зависит только от $q$ и $r$. Если это так, то она должна зависеть от этих переменных линейным образом, как показывают следующие соображения. Если $P=P(q, r)$, из (5.1) мы имеем $P_{t}=$ $=(i / 2) P_{q}\left(q_{x x}-2 q^{2} r\right)-(i / 2) P_{r}\left(r_{x x}-2 q r^{2}\right)$, где индексы обозначают частные производные. Для того чтобы скомпенсировать эти слагаемые в (5.2), матрица $Q$ должна зависеть от $q_{x}, r_{x}, q, r$, причем $Q_{x}=Q_{q} q_{x}+Q_{r} r_{x}+Q_{q_{x}} q_{x x}+Q_{r_{x}} r_{x x}$. Компенсация членов с $q_{x x}, r_{x x}$ приводит к уравнениям $Q_{q_{x}}=(i / 2) P_{q}, Q_{r_{x}}=-$ – $(i / 2) P_{r}$, которые после интегрирования дают $Q=(i / 2) P_{q} q_{x}$ – (i/2) $P_{r} r_{x}+Q(q, r)$. Тогда $Q_{x}=(i / 2) P_{q} q_{x x}-(i / 2) P_{r} r_{x x}+$ $+(i / 2) P_{q q} q_{x}^{2}-(i / 2) P_{r r} r_{x}^{2} \quad$ плюс члены, которые могут быть

лишь линейными по $q_{x}, r_{x}$. Поскольку коммутатор содержит члены, самое большее пропорциональные $q_{x}, r_{x}$, мы должны иметь равенство $P_{q q}=P_{r r}=0$, которое означает, что $P(q, r)$ может иметь вид $-i H+q E+r F+q r G$. Однако, как может быть легко проверено, $G$ коммутирует со всеми другими элементами (так как коэффициенты при $q^{2} r_{x}, r^{2} q_{x}$ и $r q_{x}-q r_{x}$ должны обратиться в нуль) и поэтому принадлежит центру. По этой причине она не дает никакого вклада в коммутатор уравнения (5.2) и является просто проявлением закона сохранения $P_{t}=Q_{x}$ (уравнение (5.2) без коммутатора), который в данном случае имеет вид ( $q r)_{t} G=$ $=(i / 2)\left(r q_{x}-r_{x} q\right)_{x} G$. Так как эта информация уже содержится в уравнениях, мы будем без потери общности просто опускать этот элемент.
По этой причине принимаем
\[
P=-i H+q E+r F,
\]

и с учетом (5.1) уравнение (5.2) преобразуется в
\[
Q_{x}=[Q, P]=\frac{i}{2}\left(q_{x x}-2 q^{2} r\right) E-\frac{i}{2}\left(r_{x x}-2 q r^{2}\right) F .
\]

Теперь решим уравнение (5.6) относительно $Q$; сначала запишем $Q=(i / 2) q_{x} E-(i / 2) r_{x} F+\bar{Q}(q, r)$. Затем, собирая полные производные по $x$ из коммутатора, определим $\bar{Q}=q E_{1}+r F_{1}-$ – $(i / 2) q r H_{0}-i \mathscr{H}_{2}$, где $H_{0}, E_{1}, F_{1}$ заданы формулами
\[
[E, F]=H_{0}, \quad[H, E]=2 E_{1}, \quad[H, F]=-2 F_{1}
\]

и – $і$ Н̈ $_{2}$ – это просто постоянная матрица – константа интегрирования. Поэтому выполняется равенство
\[
Q=-i \tilde{H}_{2}+q E_{1}+r F_{1}+\frac{i}{2} q_{x} E-\frac{i}{2} r_{x} F-\frac{i}{2} q r H_{0},
\]

обеспечивающее соотношение
\[
[\bar{Q}, P]=-i q^{2} r E+i q r^{2} F .
\]

Приравнивая коэффициенты при $q^{2} r, q r^{2}, q^{2}, r^{2}, q r, q, r, 1$, мы находим, что
\[
\begin{aligned}
q^{2} r: & {\left[H_{0}, E\right]=2 E, } \\
q r^{2}: & {\left[H_{0}, F\right]=-2 F, } \\
q^{2}: & {\left[E, E_{1}\right]=0, } \\
r^{2}: & {\left[F, F_{1}\right]=0, }
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
q r: & (1 / 2)\left[H_{0}, H\right]+\left[E, F_{1}\right]-\left[E_{1}, F\right]=0, \\
q: & {\left[\tilde{H}_{2}, E\right]=\left[H, E_{1}\right], } \\
r: & {\left[\tilde{H}_{2}, F\right]=\left[H, F_{1}\right], } \\
1: & {\left[\tilde{H}_{2}, H\right]=0 . }
\end{aligned}
\]

Здесь необходимы некоторые заиечания.
1. Набор коммутационных соотношений не замкнут. Их перечень будет приведен в табл. 2.
2. Набор (5.10) содержит замкнутую подалгебру $\operatorname{sl}(2) H_{0}$, $E, F$ (см. (5.7) и (5.10a, b)).
3. Поясним, в каком смысле солитонные уравнения содержат взаимную компенсацию нелинейности (представленную здесь слагаемыми $q^{2} r, q r^{2}$ ) и дисперсии $\left(q_{x x}, r_{x x}\right)$. Уравнения $(5.10 \mathrm{a}, \mathrm{b})$ возникли как следствие взаимной компенсации [- $(i / 2) q r H_{0}$, $q E+r F]$ и $-i q^{2} r E+i q r^{2} F$. Однако последний член возникает непосредственно из нелинейности в уравнении, в то время как предыдущий является результатом интегрирования произведения интегралов линейных членов $q_{x x} E$ и $r_{x x} F$ с $q E+r F$. Если бы нелинейными членами были $q^{3} r^{2}$ и $q^{2} r^{3}$, никакой баланс не был бы возможен и единственно возможной парой $P, Q$ была бы тривиальная пара $P \sim q r G, Q \sim\left(r q_{x}-r_{x} q\right) G$, выражающая существование (единственного) закона сохранения. В этом заключается одно из реальных преимуществ метода Уолквиста Эстабрука. Несолитонные уравнения быстро демонстрируют свои несообразности!
4. Согласно тождеству Якоби, из (5.10e) следует
\[
\left[H, H_{0}\right]=0
\]

и
\[
\left[E, F_{1}\right]=\left[E_{1}, F\right] \text {, }
\]

и мы определяем
\[
\left[E, F_{1}\right]=H_{1} \text {. }
\]
5. Последние три уравнения (5.10f, g,h) определяют $\tilde{H}_{2}$, произвольную константу интегрирования; они не дают никакой информации о том, что мы должны рассматривать в качестве базисных элементов $H, E, F$, с помощью которых порождаются все остальные элементы. Например, $\left[H_{1}, E\right]=2 E_{1}$ и, как мы увидим при составлении таблицы для (5.10), $\left[H, E_{1}\right]=2 E_{2}$ и так далее. Однако $\mathscr{H}_{2}$ можно использовать для искусственного замыкания коммутационных соотношений. Положив $\tilde{H}_{2}=\zeta H$, где $\zeta$-произвольная константа, удовлетворим соотношению $(5.10 \mathrm{~h})$. Тогда $\left[\bar{H}_{2}, E\right)=\zeta[H, E]=2 E_{1}$, и $(5.10 \mathrm{f}),(5.10 \mathrm{~g})$ дают $\left[H, E_{1}\right]=2 \xi E_{1}$ и $\left[H, F_{1}\right]=-2 \zeta F_{1}$ соответственно. Мы получаем табл. 1 .

Эта алгебра допускает хорошо известное представление
\[
\begin{array}{c}
H=H_{1}=\zeta H_{0}, \quad E_{1}=\zeta E, \quad F_{1}=\zeta F, \\
H_{0}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad E=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Искусственное замыкание является средством, с помощью которого Уолквист и Эстабрук в контексте уравнения Кортевега – де Фриза пришли к выражению для $P$ и $Q$, и именно в этом направлении действовали последующие авторы [97]. Теперь мы вновь займемся исследованием таблицы, не делая никаких предположений о замыкании. В табл. 2 числа в правых углах клеток означают: 1 – по определению; 2 – непосредственный вывод из (5.10); 3 – следствие (5.10) и тождеств Якоби.

В качестве упражнения по применению тождества Якоби я предлагаю читателю завершить заполнение таблицы. Заметим, что если элементы
\[
\left[H, H_{j}\right]=2 X_{j}, \quad j=1,2, \ldots,
\]

равны нулю, то элементы $H_{p}, E_{q}, F_{r}$ подчиняются соотношениям
\[
\begin{array}{c}
{\left[H_{p}, E_{q}\right]=2 E_{p+q}, \quad\left[H_{p}, F_{r}\right]=-2 H_{p+r}, \quad\left[E_{q}, F_{r}\right]=H_{q+r},} \\
{\left[H_{p}, H_{q}\right]=\left[E_{p}, E_{q}\right]=\left[F_{q}, F_{r}\right]=0}
\end{array}
\]
(в табл. 2 индекс 1 мы связываем с $H$ ). Алгебра, определенная соотношениями (5.13), является тем, что мы называем $\tilde{\mathrm{sl}}(2)$, а именно каждый член может быгь представлен как произведение элементов $H_{p}=\zeta^{p} \bar{H}, E_{q}=\zeta^{q} \bar{E}, F_{r}=\zeta^{r} \bar{F}$, где $\bar{H}, \bar{E}, \bar{F}-$ ба-

таблица 2

зис $\mathrm{sl}(2)$. Однако непосредственно из нелинейного уравнения Шрёдингера само по себе не следует, что $X_{j}=0, j=1,2, \ldots$. Ясно, что такой выбор совместим с (5.13), однако не является обязательным. Причина того, что $X_{j}=0, j=1,2, \ldots$, связана со вторым определяющим принципом, а именно требованием, чтобы уравнение (5.1) принадлежало бесконечному набору коммутирующих потоков. Однако, прежде чем наложить это условие, мы будем исследовать алгебру, генерируемую $n$-м уравнением иерархии АКНС.
(iii) $n-я$ пара уравнений иерархии АКНС. Можно записать $n$-ю пару уравнений иерархии АКНС в виде
\[
\begin{array}{l}
q_{t_{n}}=b_{n x}-2 a_{n} q, \\
r_{t_{n}}=c_{n x}-2 a_{n} r,
\end{array}
\]

где $a_{n}, b_{n}$ и $c_{n}$ определены итеративным образом из
\[
\begin{array}{l}
-2 i b_{s+1}=b_{s x}-2 a_{s} q \\
2 i c_{s+1}=c_{s x}+2 a_{s} r, \\
a_{s x}=r b_{s}-q c_{s}, \quad s=0,1, \ldots, n-1, \\
a_{0}=-i, \quad b_{0}=c_{0}=0 .
\end{array}
\]

Константа интегрирования для $a_{s}$ выбрана нулем. Мы предположим и затем проверим, что
1. $q b_{s}, r c_{s}, q c_{s}, q a_{s}, r a_{s}$ и $a_{s}$ функционально независимы; $r b_{s}=q c_{s}+a_{s x}$.
2. $q b_{s}$ и $r c_{s}$ не являются полными производными по $x$, исключая $s=2$; в этом случае
\[
q b_{2}=\left(\frac{i q^{2}}{4}\right)_{x}, \quad r c_{2}=\left(-\frac{i r^{2}}{4}\right)_{x} .
\]

Мы хотим выбрать $P, Q^{(n)}$ так, чтобы (5.14) являлось условием интегрируемости
\[
Q_{x}^{(n)}+\left[Q^{(n)}, P\right]=P_{t_{n}}
\]

пары уравнений
\[
V_{x}=P V, \quad V_{t_{n}}=Q^{(n)} V .
\]

Опять же можно обосновать выбор
\[
P=-i H+q E+r F
\]

откуда (5.16) представимо в виде
\[
Q_{x}^{(n)}+\left[\ddot{Q}^{(n)}, P\right]=\left(b_{n x}-2 a_{n} q\right) E+\left(c_{n x}+2 a_{n} r\right) F .
\]

Непосредственно проверяется, что мы можем записать
\[
Q^{(n)}=-a_{n} H_{0}+b_{n} E+r_{n} F+Q^{(n-1)},
\]

где
\[
Q_{x}^{(n-1)}+\left[Q^{(n-1)}, P\right]=\left(b_{n-1 x}-2 a_{n-1} q\right) E_{1}+\left(c_{n-1 x}+2 a_{n-1} r\right) F_{1} .
\]

Для того чтобы из (5.20) получить (5.21), мы должны определить
\[
[E, F]=H_{0}, \quad[H, E]=2 E_{1}, \quad[H, F]=-2 F_{1} ;
\]

заметим, что $\left[b_{n} E+c_{n} F, q E+r F\right]=-a_{n x} H_{0}$, и используем (5.15a,b) с $s=n-1$. Кроме того, функциональная независимость $a_{n} q, a_{n} r$ налагает условие
\[
\left[H_{0}, E\right]=2 E, \quad\left[H_{0}, F\right]=-2 F .
\]

Далее, уравнение (5.21) представляет собой попросту уравнение (5.20) в других обозначениях, поэтому можно повторить процесс и получить
\[
Q^{(n)}=\sum_{s=n}^{3} Q_{s}+Q^{(2)}
\]

где
\[
Q_{s}=-a_{s} H_{n-s}+b_{s} E_{n-s}+c_{s} F_{n-s}
\]

и
\[
Q_{x}^{(2)}+\left[Q^{(2)}, P\right]=\left(b_{2 x}-2 a_{2} q\right) E_{n-2}+\left(c_{2 x}+2 a_{2} r\right) F_{n-2}
\]

со следующими наложенными соотношениями. По определению $\left[H, E_{n-s}\right]=2 E_{n-s+1}, \quad\left[H, F_{n-s}\right]=-2 F_{n-s+1}, \quad\left[E, F_{n-s}\right]=H_{n-2}$,

в то время как коэффициенты при $a_{n-s} q, a_{n-s} r, a_{n-s}, q b_{n-s}, r c_{n-s}$ дают для $s=n, \ldots, 3$
\[
\begin{array}{c}
{\left[H_{n-s}, E\right]=2 E_{n-s}, \quad\left[H_{n-s}, F\right]=-2 F_{n-s},} \\
{\left[H, H_{n-s}\right]=\left[E, E_{n-s}\right]=\left[F, F_{n-s}\right]=0 .}
\end{array}
\]

Из этого факта, что $r b_{n-s}-q c_{n-s}=a_{n-s x}$, мы находим
\[
\left[E_{n-s}, F\right]=\left[E, F_{n-s}\right]=H_{n-s} .
\]

Используя тождества Якоби, определяем, что при всех $p+q \leqslant$ $\leqslant n-3$
\[
\left[H_{p}, E_{q}\right]=2 E_{p+q}, \quad\left[H_{p}, F_{q}\right]=-2 F_{p+q}, \quad\left[E_{p}, F_{q}\right]=H_{p+q} ;
\]

все остальные скобки этого порядка – нули. Причина, по которой мы не можем продолжить таблицу, состоит в том, что при $s=2$ мы сталкиваемся с аномальным поведением, описанным в предположении 2. Решая (5.26), находим
\[
\begin{aligned}
Q^{(2)}= & b_{2} E_{n-2}+c_{2} F_{n-2}-a_{2} H_{n-2}+\frac{i q^{2}}{4}\left[E, E_{n-2}\right]- \\
& -\frac{i r^{2}}{4}\left[F, F_{n-2}\right]+b_{1} E_{n-1}+c_{1} F_{n-1}-i \tilde{H}_{n},
\end{aligned}
\]

где на новые элементы наложены следующие ограничения:
\[
\begin{aligned}
q^{3}: & {\left[E,\left[E, E_{n-2}\right]\right]=0, } \\
r^{3}: & {\left[F,\left[F, F_{n-2}\right]\right]=0, } \\
q^{2} r: & {\left[H_{n-2}, E\right]=2 E_{n-2}-(1 / 2)\left[F,\left[E, E_{n-2}\right]\right], } \\
q r^{2}: & {\left[H_{n-2}, F\right]=-2 F_{n-2}+(1 / 2)\left[E,\left[F, F_{n-2}\right]\right], } \\
q^{2}: & {\left[E, E_{n-1}\right]+(1 / 4)\left[H,\left[E, E_{n-2}\right]\right]=0, }
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
r^{2}: & {\left[F, F_{n-1}\right]-(1 / 4)\left[H,\left[F, F_{n-2}\right]\right]=0, } \\
q r: & -(1 / 2)\left[H, H_{n-2}\right]+\left[E, F_{n-1}\right]-\left[E_{n-1}, F\right]=0, \\
q: & {\left[\tilde{H}_{n}, E\right]=\left[H, E_{n-1}\right], } \\
r: & {\left[\tilde{H}_{n}, F\right]=\left[H, F_{n-1}\right], } \\
1: & {\left[\tilde{H}_{n}, H\right]=0 . }
\end{aligned}
\]

Заметим, что если $n=2, E_{n-2}=E_{0}=E, F_{n-2}=F_{0}=F$ и (5.31) сводится к (5.10). Так же как в случае $n=2$, тождество Якоби приводит к тому, что $\left[H, H_{n-2}\right]=0$ и $\left[E, F_{n-1}\right]=\left[E_{r}, F_{s}\right]=$ $=\left[E_{n-1}, H_{n-1}\right], r+s=n-1$. Точно так же, как при $n=2$, мы можем бесконечно расширять эту алгебру, определяя новые элементы согласно правилу
\[
\left[H, E_{r}\right]=2 E_{r+1}, \quad\left[H, F_{r}\right]=-2 F_{r+1}, \quad\left[E, F_{r}\right]=H_{r+1}, \quad r \geqslant n-1 .
\]

Полученная алгебра бесконечномерна и содержит в себе $\tilde{\mathrm{sI}}(2)$, но по-прежнему оставляет неспределенными элементы
\[
\left[H, H_{j}\right], \quad j \geqslant n-1, \quad\left[E, E_{n-2}\right], \quad\left[F, F_{n-2}\right] .
\]
(iv) Наложение условия коммутативности. Мы видели, как любая пара уравнений иерархии АКНС, взятая изолированно, порождает, после бесконечного расширения, бесконечную алгебpy, содержащую $\widetilde{\mathrm{sl}}(2)$ в качестве совместного решения, но оставляющую неопределенными коммутаторы (5.32). Легко заметить, что это вырождение устраняется требованием взаимной коммутируемости потоков. Если мы потребуем, чтобы $q, r$ являлись решениями первых двух пар уравнений в иерархии AKНС, то дополнительно к (5.16) при $n=2,3$ мы должны получить
\[
Q_{t_{3}}^{(2)}-Q_{t_{2}}^{(3)}+\left[Q^{(2)}, Q^{(3)}\right]=0 .
\]

Эти условия означают, что элементы $H_{p}, E_{q}, F_{r}$ удовлетворяют таблице коммутаторов, общей для $n=2$, 3 ; а именно, мы находим, что $\left[E, E_{1}\right]=\left[F, F_{1}\right]=0$ (условие, необходимое при $n=2$, но не для $n=3$ ) и $\left[H, H_{1}\right]=0$ (наложенное при $n=3$, но не для $n=2$ ). Поэтому таблицей $n=2,3$ является $\widetilde{\operatorname{si}}(2)$, за исключением того, что $\left[H, H_{j}\right]$ при $j \geqslant 2$ неопределен. Далее, требуя, чтобы коммутировали $n=2,3,4$, находим, что $\left[E, E_{2}\right],\left[F, F_{2}\right]$, неопределенные таблицей $n=4$, сейчас, так же как $\left[H, H_{2}\right]$, должны быть равны нулю. В общем случае условие коммутируемости потоков имеет вид
\[
Q_{t_{k}}^{(j)}-Q_{t_{j}}^{(k)}+\left[Q^{(j)}, Q^{(k)}\right]=0 .
\]

Продолжая процесс, на $n$-м шаге мы находим, что включение $n$-го уравнения иерархии $\mathrm{AKHC}$ в семейство коммутирующих потоков обращает в нуль коммутатор $\left[H, H_{n-2}\right]$, оставшийся неопределенным таблицей, общей для $r=2, \ldots, n-1$. Коммутаторы $\left[E, E_{n-2}\right],\left[F, F_{n-2}\right]$, также оставшиеся неопределенными при $r=n$, сейчас равны нулю в силу того, что они нулевые для расширенных таблиц с $r=2, \ldots, n-1$. Сейчас ясно, что в пределе $n \rightarrow \infty$ элементы $H, H_{p}, E_{q}, F_{r}$ удовлетворяют соотношениям
\[
\begin{array}{c}
{\left[H_{p}, E_{q}\right]=2 E_{p+q}, \quad\left[H_{p}, F_{r}\right]=-2 F_{p+r},} \\
{\left[E_{q}, F_{r}\right]=H_{q+r}, \quad\left[H_{p}, H_{q}\right]=\left[E_{p}, E_{q}\right]=\left[F_{p}, F_{q}\right]=0 .}
\end{array}
\]

Коммутаторы элемента $H$ являются теми же, что и для $H_{1}$.
(v) Bыводы. Мы увидели, как два ведущих принципа (т. е. что солитонные уравнения представляют условия интегрируемости системы линейных уравнений и что каждое из них принадлежит бесконечному семейству коммутирующих потоков) приводят нас к заключению, что естественным фазовым пространством, в котором «живут» уравнения, является алгебра Қаца – Муди. Действительно, (5.34) представляет собой естественную конструкцию для выражения уравнений. В следующем разделе мы увидим, каким образом эти уравнения могут быть представлены в лаксовой форме
\[
Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right]
\]

посредством анализа эволюции $Q=\lim _{j \rightarrow \infty} \zeta^{-i} Q^{(j)}$ (где $\zeta-$ градуирующий параметр).

На данном этапе также должно стать ясно, что можно ослабить требование линейности вспомогательных уравнений $V_{t_{j}}=$ $=Q^{(j)} V$. Линейность является просто следствием того факта, что мы всегда можем найти линейное представление алгебры $\widetilde{\mathrm{sl}}(2)$. В данном случае оно имеет вид
\[
H_{p}=\zeta^{p}\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad E_{q}=\zeta^{q}\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad F_{r}=\zeta^{r}\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Мы могли бы использовать иное представление, например $\zeta^{p}\left(\gamma^{2}(d / d \gamma), \gamma(d / d \gamma), d / d \gamma\right)$, и найти вместо линейных систем $(2 \times 2) V_{t_{j}}=Q^{(j)} V$ последовательность уравнений Риккати для $\gamma=v_{1} / v_{2}$, где $V=\left(\begin{array}{l}v_{1} \\ v_{2}\end{array}\right)$.

В заключение отметим, что, хотя целью этого раздела являлось понимание структуры бесконечно расширенных алгебр, порождаемых иерархией АКНС, на практике более удобно сконструировать искусственное замыкание. Однако следует созна-

вать, что, сделав это, необходимо проводить различие между элементами $\zeta\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)$ в том смысле, что мы рассматриваем их как линейно независимые. Только в том случае, когда фазовое пространство рассматривается как бесконечная вереница таких элементов (формальный степенной ряд $Q=$ $=\sum_{r=0}^{\infty} \zeta^{-r}\left(h_{r} H+e_{r} E+f_{r} F\right)$ ), коммутатор $\left[Q^{(k)}, Q\right]$ (5.36) имеет естественную интерпретацию как гамильтоново векторное поле.