Далее как немедленное следствие (5.55) получим
\[
\frac{\partial h_{j+1}}{\partial t_{k}}=\frac{\partial h_{k+1}}{\partial t_{j}}, \quad \frac{\partial e_{j+1}}{\partial t_{k}}=\frac{\partial e_{k+1}}{\partial t_{j}}, \quad \frac{\partial f_{j+1}}{\partial t_{k}}=\frac{\partial f_{k+1}}{\partial t_{j}} .
\]

Это означает, что ряды $h, e, f$ могут быть записаны с помощью трех потенциалов. В частности, из самих уравнений и из соотношений
\[
e_{1, t_{k}}=-2 i e_{k+1}, \quad f_{1, t_{k}}=2 i f_{k+1}
\]

мы знаем, что $e_{1}$ и $f_{1}$ выступают в роли потенциалов для всех компонент соответствующих векторов. Еще мы знаем из предыдущих вычислений, что величины $\int h_{k} d x$ являются сохраняющимися плотностями, поэтому $h_{j+1}$ оказываются не только производными по $t_{j}$ от потенциала, но и производными по $t_{1}$. Поэтому мы определим новый потенциал $\tau\left(t_{1}, t_{2}, \ldots\right)$ с помощью
\[
h_{k+1}=\frac{\partial}{\partial t_{k}}\left(\frac{i}{2} \frac{\partial \ln \tau}{\partial t_{1}}\right) .
\]

То, что теперь нам хочется показать – это, конечно, что
\[
F_{j k}=\frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial t_{j} \partial t_{k}}
\]

есть локальная функция от ( $h_{r}, e_{p}, f_{q}$ ). Уместно назвать $F_{j k}$ тензором тока. В работе [38] мы получили явное выражение для

этой величины. Оно таково:
\[
\begin{aligned}
F_{j k} & =\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left[\sum_{r=0}^{j}(j-r) Q_{r} Q_{k+j-r}\right]+\frac{1}{2}\left[\sum_{r=0}^{k}(r-k) Q_{r} Q_{k+j-r}\right]= \\
& =\left\langle\zeta \frac{d}{d \zeta} Q^{(j)}, \zeta^{k} Q\right\rangle_{0} .
\end{aligned}
\]

Основная идея доказательства – использовать (5.55), чтобы переписать
\[
\frac{\partial h_{j+1}}{\partial t_{k}}=\sum_{1}^{k}\left(e_{r} f_{k+j+1-r}-f_{r} e_{j+k+1-r}\right)
\]

как производную по $t_{1}$. Заметьте, например, что
\[
f_{k+j+1-r}=-(i / 2)\left(f_{k+l-r, t_{1}}-2 h_{k+j-r} f_{1}\right) .
\]

Два выражения в (5.63) эквивалентны, если нормировать ряды $h, e, f$ таким образом, что $h^{2}+e f=-1$. В противном случае они отличаются на величину, зависящую от гамильтониана $\Phi_{k}(Q)$. Чтобы сохранить симметрию, я определю $F_{j k}$ как симметризованную сумму, но во всех вычислениях мы будем считать, что $h^{2}+e f=-1$, и поэтому мы сможем вычислить тензор тока, используя лишь одно из этих выражений.

Впервые в литературе мы действительно получили выражения для токов всех сохраняющихся величин по отношению ко всем потокам:
\[
\frac{\partial h_{j+1}}{\partial t_{k}}=\frac{\partial}{\partial t_{1}} \frac{i}{2} F_{j k}
\]

Интересно отметить, что токи естественнее всего выражаются с помощью производных по всем временам от единственной функции $\ln \tau\left(t_{1}, t_{2}, \ldots\right)$. Иными словами, ток для сохраняющейся плотности $h_{4}$ (интеграл которой является гамильтонианом для НУШ) по отношению к $t_{2}$ – потоку НУШ – наилучшим образом выражается через производные второго порядка по $t_{2}$ и по $t_{3}$ времени для совершенно другого потока, а не через производные по $t_{2}$ и $x$; а именно, $\left(\partial / \partial t_{2}\right) h_{4}=\left(\partial / \partial t_{1}\right) i / 2 \cdot \partial^{2} \ln \tau / \partial t_{2} \partial t_{3}$. Конечно, можно также выразить $\partial^{2} \ln \tau / \partial t_{2} \partial t_{3}$ через $e_{1}, f_{1}$ и их производные по $t_{1}$, но эти выражения не имеют естественной структуры и крайне громоздки.

Далее предположим, что мы выбрали другое $t_{k}$ (скажем, $t_{2}$ ) в качестве выделенной координаты $x$. Это было бы уместным, например, при изучении нелинейного уравнения Шрёдингера с

производной. В этом случае законы сохранения суть
\[
\frac{\partial}{\partial t_{j}} F_{k 2}=\frac{\partial}{\partial t_{2}} F_{j k}
\]
$F_{k 2}$ – сохраняющиеся плотности, а соответствующие гамильтонианы пропорциональны $\int F_{k 2} d t_{2}$. В тех случаях, когда в качестве выделенной координаты $x$ мы берем время $t_{j}$ (и тогда $e_{j+r}$, $f_{i+r}, r>0$, мы выражаем через $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{j}, f_{1}, \ldots, f_{j}$ и их производные по $x=t_{i}$ ), сохраняющиеся плотности суть $F_{k j}$, а гамильтонианы – это
\[
H_{k}^{(j)}=\frac{2 i}{k+1} \int F_{k+1 j} d t_{j} .
\]

Здесь я упомяну без доказательства (интересующийся читатель может найти его в [38]), что сопряженными переменными являются в этом случае не $\left(e_{1}, f_{j}\right),\left(e_{2}, f_{j-1}\right), \ldots,\left(e_{j}, f_{1}\right)$, а $\left(\tilde{e}_{1}, \tilde{f}_{j}\right), \ldots,\left(\tilde{e}_{j}, \tilde{f}_{1}\right)$, где $\tilde{e}_{r}, \tilde{f}_{r}$ – коэффициенты перед $\zeta^{-r}$ в формальных рядах разложений $e / \sqrt{i-h}$ и $f / \sqrt{i-h}$ вблизи $\zeta=\infty$. Для $j=1$ и 2 сопряженными геременными являются $\left(e_{1}, f_{1}\right.$ ) и $\left(e_{1}, f_{2}\right),\left(e_{2}, f_{1}\right)$ соответственно, но при больших $j$ они другие.

Наконец, оказывается, что удобнее использовать $\sigma$ и $\rho$, определенные соответственно как $\tau e_{1}$ и $\tau f_{1}$, в качестве скалярных потенциалов для рядов $e$ и $f$.

Мы видим, как можно заменить тройной бесконечный ряд уравнений (5.55) тремя скалярными уравнениями на потенциалы $\tau, \sigma$ и $\rho$. Естественно задать вопрос: каким уравнениям они удовлетворяют? Это можно вычислить непосредственно. Из (5.55) имеем
\[
-2 i e_{k+1}=\frac{\partial e_{1}}{\partial t_{k}}=\frac{\partial e_{k}}{\partial t_{1}}+2 h_{k} e_{1},
\]

что означает
\[
\frac{\partial}{\partial t_{k}}\left(\frac{\sigma}{\tau}\right)=\frac{i}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t_{1} \partial t_{k-1}}\left(\frac{\sigma}{\tau}\right)+i e_{1} \frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial t_{1} \partial t_{k-1}} .
\]

Получаем
\[
\sigma_{k} \tau-\sigma \tau_{k}=\frac{i}{2}\left(\sigma_{1 k-1} \tau-\sigma_{1} \tau_{k-1}-\sigma_{k-1} \tau_{1}+\sigma \tau_{1 k-1}\right),
\]

где индекс $j$ обозначает частную производную по $t_{j}$. Теперь вернемся к формулам (4.36), (4.37) разд. 4с, где определяются операторы Хироты. Уравнение (5.65) – это просто
\[
\left(D_{t_{k}}-\frac{i}{2} D_{t_{1}} D_{t_{k-1}}\right) \sigma \cdot \tau=0 .
\]

Аналогично
\[
\left(D_{t_{k}}-\frac{i}{2} D_{t_{1}} D_{t_{k-1}}\right) \rho \cdot \tau=0 .
\]

Третье уравнение получается, если заметить, что
\[
h_{2}=\frac{i}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t_{1}^{2}} \ln \tau=-\frac{i}{2} e_{1} f_{1}
\]

переходит в
\[
D_{t_{1}}^{2} \tau \cdot \tau=-2 \sigma \rho .
\]

Из этих уравнений легко вычислить многосолитонные решения. Для этого удобно произвести замену независимых переменных
\[
2 i t_{k} \rightarrow t_{k}
\]
(заметим, что новое время чисто мнимое), после чего уравнения Хироты принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\left(D_{t_{k}}-D_{t_{1}} D_{t_{k-1}}\right) \sigma \cdot \tau=0, \\
\left(D_{t_{k}}-D_{t_{1}} D_{t_{k-1}}\right) \rho \cdot \tau=0, \\
D_{t_{1}}^{2} \tau \cdot \tau=\frac{1}{2} \sigma \rho .
\end{array}
\]

Ищем решения в форме
\[
\begin{aligned}
\tau, \sigma, \rho= & \sum_{\mu_{r}, v_{s}=0,1} D_{\tau, \sigma, \rho}(\mu, v) \exp \left(\sum_{1}^{N} \mu_{r} H_{r}+\sum_{1}^{N} v_{r} \bar{H}_{r}+\right. \\
& \left.+\sum_{1 \leqslant r<s \leqslant N} A_{r s} \mu_{r} x_{s}+\sum_{1 \leqslant r<s \leqslant N} \bar{A}_{r s} v_{r} v_{s}+\sum_{r, s=1} B_{r s} \mu_{r} v_{s}\right),
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
H_{r}=\sum \zeta_{r}^{k} t_{k}, \quad \bar{H}_{r}=-\sum \bar{\zeta}_{r}^{k} t_{k}, \\
D_{\tau}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { если } \sum \mu_{r}=\sum v_{r}, \\
0 & \text { в противном случае },
\end{array}\right. \\
D_{\rho}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { если } \sum \mu_{r}=\sum v_{r}+1, \\
0 & \text { в противном случае },
\end{array}\right. \\
D_{\sigma}=\left\{\begin{aligned}
-1, & \text { если } \sum \mu_{r}+1=\sum v_{r}, \\
0 & \text { в противном случае }
\end{aligned}\right.
\end{array}
\]

и
\[
e^{B_{r s}}=-\frac{1}{4\left(\zeta_{r}-\bar{\zeta}_{s}\right)^{2}}, \quad e^{A_{r s}}=-4\left(\zeta_{r}-\zeta_{s}\right)^{2}, \quad e^{\bar{A}_{r s}}=-4\left(\bar{\zeta}_{r}-\bar{\zeta}_{s}\right)^{2} .
\]

Для $e_{1}, f_{1}$ общего вида $\bar{\zeta}_{k}$ не связана с $\zeta_{k}$. Однако если $f_{1}=-e_{1}^{*}$, то $\bar{\zeta}_{k}=\zeta_{k}^{*}$, где $\zeta_{k}^{*}$ – эго величина, комплексно сопряженная с $\zeta_{k}$.
Каждое из уравнений Хироты (5.69) записываются в форме
\[
P\left(D_{t_{k}}\right) f \cdot g=0,
\]

где $P$ таково, что
\[
\begin{array}{c}
P(0)=0, \\
P\left(\zeta^{k}\right)=0 .
\end{array}
\]

При выводе (5.70) широко используется правило
\[
\begin{aligned}
P\left(D_{t_{j}}\right) \exp \left(\sum a_{1}^{(k) t_{k}}\right) & \cdot \exp \left(\sum a_{2}^{(k) t_{k}}\right)= \\
& =P\left(a_{1}^{(j)}-a_{2}^{(j)}\right) \exp \left(\sum\left(a_{1}^{(k)}+a_{2}^{(k)}\right) t_{k}\right) .
\end{aligned}
\]

Как и раньше, сдвиги фазы $A_{r s}, \overline{A_{r s}}$ и $B_{r s}$ одинаковы для каждого члена иерархии $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$. Поэтому, как и в гл. 4, мы можем определить все многочлены в этой иерархии, как только заданы все сдвиги фазы. На каждом уровне (уровень-это сумма индексов в уравнениях Хироты, например, уравнение (5.69a) принадлежит уровню $k$ ) существует много (попробуйте вычислить, сколько именно) уравнений Хироты, которые совместны друг с другом.