Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Далее как немедленное следствие (5.55) получим Это означает, что ряды $h, e, f$ могут быть записаны с помощью трех потенциалов. В частности, из самих уравнений и из соотношений мы знаем, что $e_{1}$ и $f_{1}$ выступают в роли потенциалов для всех компонент соответствующих векторов. Еще мы знаем из предыдущих вычислений, что величины $\int h_{k} d x$ являются сохраняющимися плотностями, поэтому $h_{j+1}$ оказываются не только производными по $t_{j}$ от потенциала, но и производными по $t_{1}$. Поэтому мы определим новый потенциал $\tau\left(t_{1}, t_{2}, \ldots\right)$ с помощью То, что теперь нам хочется показать — это, конечно, что есть локальная функция от ( $h_{r}, e_{p}, f_{q}$ ). Уместно назвать $F_{j k}$ тензором тока. В работе [38] мы получили явное выражение для этой величины. Оно таково: Основная идея доказательства — использовать (5.55), чтобы переписать как производную по $t_{1}$. Заметьте, например, что Два выражения в (5.63) эквивалентны, если нормировать ряды $h, e, f$ таким образом, что $h^{2}+e f=-1$. В противном случае они отличаются на величину, зависящую от гамильтониана $\Phi_{k}(Q)$. Чтобы сохранить симметрию, я определю $F_{j k}$ как симметризованную сумму, но во всех вычислениях мы будем считать, что $h^{2}+e f=-1$, и поэтому мы сможем вычислить тензор тока, используя лишь одно из этих выражений. Впервые в литературе мы действительно получили выражения для токов всех сохраняющихся величин по отношению ко всем потокам: Интересно отметить, что токи естественнее всего выражаются с помощью производных по всем временам от единственной функции $\ln \tau\left(t_{1}, t_{2}, \ldots\right)$. Иными словами, ток для сохраняющейся плотности $h_{4}$ (интеграл которой является гамильтонианом для НУШ) по отношению к $t_{2}$ — потоку НУШ — наилучшим образом выражается через производные второго порядка по $t_{2}$ и по $t_{3}$ времени для совершенно другого потока, а не через производные по $t_{2}$ и $x$; а именно, $\left(\partial / \partial t_{2}\right) h_{4}=\left(\partial / \partial t_{1}\right) i / 2 \cdot \partial^{2} \ln \tau / \partial t_{2} \partial t_{3}$. Конечно, можно также выразить $\partial^{2} \ln \tau / \partial t_{2} \partial t_{3}$ через $e_{1}, f_{1}$ и их производные по $t_{1}$, но эти выражения не имеют естественной структуры и крайне громоздки. Далее предположим, что мы выбрали другое $t_{k}$ (скажем, $t_{2}$ ) в качестве выделенной координаты $x$. Это было бы уместным, например, при изучении нелинейного уравнения Шрёдингера с производной. В этом случае законы сохранения суть Здесь я упомяну без доказательства (интересующийся читатель может найти его в [38]), что сопряженными переменными являются в этом случае не $\left(e_{1}, f_{j}\right),\left(e_{2}, f_{j-1}\right), \ldots,\left(e_{j}, f_{1}\right)$, а $\left(\tilde{e}_{1}, \tilde{f}_{j}\right), \ldots,\left(\tilde{e}_{j}, \tilde{f}_{1}\right)$, где $\tilde{e}_{r}, \tilde{f}_{r}$ — коэффициенты перед $\zeta^{-r}$ в формальных рядах разложений $e / \sqrt{i-h}$ и $f / \sqrt{i-h}$ вблизи $\zeta=\infty$. Для $j=1$ и 2 сопряженными геременными являются $\left(e_{1}, f_{1}\right.$ ) и $\left(e_{1}, f_{2}\right),\left(e_{2}, f_{1}\right)$ соответственно, но при больших $j$ они другие. Наконец, оказывается, что удобнее использовать $\sigma$ и $\rho$, определенные соответственно как $\tau e_{1}$ и $\tau f_{1}$, в качестве скалярных потенциалов для рядов $e$ и $f$. Мы видим, как можно заменить тройной бесконечный ряд уравнений (5.55) тремя скалярными уравнениями на потенциалы $\tau, \sigma$ и $\rho$. Естественно задать вопрос: каким уравнениям они удовлетворяют? Это можно вычислить непосредственно. Из (5.55) имеем что означает Получаем где индекс $j$ обозначает частную производную по $t_{j}$. Теперь вернемся к формулам (4.36), (4.37) разд. 4с, где определяются операторы Хироты. Уравнение (5.65) — это просто Аналогично Третье уравнение получается, если заметить, что переходит в Из этих уравнений легко вычислить многосолитонные решения. Для этого удобно произвести замену независимых переменных Ищем решения в форме где и Для $e_{1}, f_{1}$ общего вида $\bar{\zeta}_{k}$ не связана с $\zeta_{k}$. Однако если $f_{1}=-e_{1}^{*}$, то $\bar{\zeta}_{k}=\zeta_{k}^{*}$, где $\zeta_{k}^{*}$ — эго величина, комплексно сопряженная с $\zeta_{k}$. где $P$ таково, что При выводе (5.70) широко используется правило Как и раньше, сдвиги фазы $A_{r s}, \overline{A_{r s}}$ и $B_{r s}$ одинаковы для каждого члена иерархии $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$. Поэтому, как и в гл. 4, мы можем определить все многочлены в этой иерархии, как только заданы все сдвиги фазы. На каждом уровне (уровень-это сумма индексов в уравнениях Хироты, например, уравнение (5.69a) принадлежит уровню $k$ ) существует много (попробуйте вычислить, сколько именно) уравнений Хироты, которые совместны друг с другом.
|
1 |
Оглавление
|