Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Материал этого раздела воспроизводит текст статьи II в нашей серии статей, посвященных алгебрам Каца-Муди и солитонным уравнениям. В предыдущих разделах мы видели, каким образом естественное фазовое пространство системы АҚНС связано с бесконечномерной алгеброй Ли $G=\operatorname{si}(2, C)$ формальных рядов где каждый элемент $X_{-j}$ принадлежит $\operatorname{sl}(2, C)$. Алгеброй Ли является векторное пространство, снабженное коммутатором; в нашем случае им является Для вычислений полезно представлять каждый $X_{-j}$ выраженным в виде (комплексной) линейной комбинации $h_{-j} H+e_{-j} E+$ $+f_{-j} F$ базисных элементов $H, E, F$, имеющих матричное представление где $[H, E]=2 E,[H, F]=-2 F,[E, F]=H$ и все остальные коммутаторы равны нулю. На $G$ мы определим невырожденную симметричную билинейную форму (форму Киллинга или внутреннее произведение) и при помощи этой операции $G$ можно отождествить с ее дуальной алгеброй $G^{*}$. В формуле (5.41) $\operatorname{Tr}\left(X_{-j} Y_{-k}\right)$ можно взять в виде следа произведения матричных представ.тений $X_{-j}$ и $Y_{-k}$. (По-другому eго можно определить как след матриц, представляющих присоединенные действия этих двух величин. Эти два определения приводят к результатам, которые пропорциональны, но не равны.) Необходимо также проверить формулу «объема параллелепипеда» $\langle X,\{Y, Z]\rangle=\langle Y,[Z, X]\rangle=\langle Z,[X, Y]\rangle$. Мы можем определить градиент комплекснозначной функции $f(X)$, определенной на $G^{*}=G$, следующим образом. Пусть $\delta X \in T_{X} G$ является элементом касательного к $G$ пространства в точке $X$. Тогда производная по направлению функции $f$ в точке $X$ в направлении $\delta X$ является линейным функционалом на $\delta X$, который может быть записан в виде Введем понятие аd-инвариантной функции $f(X)$, обладающей свойством для всех $X \in G$. Это уравение выражает следующую идею. Если $g$ является элементом группы Ли, связанной с $G$, то присоединенное действие $g$ на $X, g X g^{-1}$, которое осуществляет отображение в новый элемент $G$, оставляет неизменным значение $f$. Функция с таким свойством называется аd-инвариантной. Это свойство может быть выражено в виде следующего условия: для всех $Y \in G$ С использованием формулы объема параллелепипеда она означает, что $\langle[ прямой суммой которых является $G$. Множество $N^{*}$, дуальное к $N$ относительно внутреннего произведения (5.41) (минимальный набор всех элементов, внутреннее произведение которых с любым членом из $N$ равно нулю), также является ортогональным дополнением $K^{\perp}$ к $K$ (набор всех элементов, внутреннее произведение которых с любым элементом из $K$ равно нулю): Оно будет нашим фазовым пространством, элемент которого я буду записывать в виде где $H_{r}=\zeta^{-r} H, E_{r}=\zeta^{-r} E$ и $F_{r}=\zeta^{-r} F$. где $\pi_{N}$ – проекция $ Это означает, что производная любой функции $g(Q)$ для $Q$ в направлении $x_{f}$ задается выражением $\{f, g\}(Q)$. Поэтому для каждой функции $f(Q)$ существует поток или векторное поле. Еще одной компонентой, которая необходима для того, чтобы сделать систему полностью интегрируемой, является набор функций $\left\{f_{i}\right\}$, приводящих к коммутируемым векторным полям: $\left\{f_{j}, f_{k}\right\}=0$. Поэтому каждая функция из набора $\left\{f_{i}\right\}$ сохраняется вдоль векторного поля, связанного с любой из них. Кандидатами в этот класс являются функции, которые ad-инвариантны. Теорема Адлера – Константа – Симеса гласит, что если $f(X)$ и $g(X)$ ad-инвариантные функции, то где $S^{k}$ является сдвигом abla \Phi_{k}(X)=-S^{k} X ; при этом ясно, что Далее, заметим, что для $Q \in K^{\perp}$ из (5.50) Так как $\left[\pi_{K} где причем Это в точности потоки (3.49) в иерархии АКНС. Свойство ad-инвариантности $f_{k}$ было важным при устранении оператора проектирования ( $\pi_{K \perp}$ ) из коммутатора. Частным случаем этой «новой» иерархии, связанной с $t_{2}$, является то, что иногда называют иерархией НУШП; она включает нелинейное уравнение Шрёдингера с производной. С другой стороны, которую я буду обсуждать в разд. $5 \mathrm{k}$, она содержит массивную модель Тирринга точно так же, как иерархия АКНС содержит уравнение sin-Гордон. Но на самом деле она вовсе не является действительно новой иерархией; уравнение (5.52), записанное в покомпонентной форме (5.55), не изменяется. Обе эти иерархии являются частью большой иерархии, связанной с sl $(2, C)$ : перефразируя Редьярда Киплинга, (b) Скобками Пуассона для $h_{r}, e_{r}, f_{q}$ являются остальные скобки равны нулю. Отсюда немедленно следует что $h_{0}, e_{0}, f_{0}, h_{1}$ не зависят от всех $t_{k}$. Выберем $h_{0}=-i$, $e_{0}=f_{0}=h_{1}=0$ в качестве определения канонических уравнений. Заметим также, что $h^{2}+$ ef не зависит от $t_{k}$ и в соответствии с нашим выбором $h_{0}, e_{0}$, $f_{0}$ можно выбрать эту константу равной -1 . Отсюда $h_{k}$ определяются как линейные комбинации произведений $e$ и $f$. Читателю также следует показать, что все $Q_{k}=h_{k} H+e_{k} E+f_{k} F$ могут быть записаны как функции от $e_{1}(q)$ и $f_{1}(r)$ и их производных по $x$. Например, $e_{1, t_{1}}=-2 i e_{2}, e_{2, t_{1}}=-2 i e_{3}-2 h_{2} e_{1}, h_{2}=-(i / 2) e_{1} f_{1}$, откуда $e_{2}=(i / 2) e_{1, t_{1}}, e_{3}=-(1 / 4)\left(e_{1}, t_{1} t_{1}-2 e_{1}^{2} f_{1}\right)$. Заметим гакже, что уравнения ( $3.42 \mathrm{a}$ ) (обобщающие НУШ) представляют собой просто $e_{1, t_{2}}=-2 i e_{3}$ и $f_{1, t_{2}}=-2 i f_{3}$. Более того, мы можем также записать все $Q_{k}, k \geqslant 3$, как функции от $e_{1}, f_{1}, e_{2}, f_{2}$ и их производных по $t_{2}$. В качестве следующего упражнения читателю следует записать уравнения для $e_{1}, f_{1}, e_{2}, f_{2}$ в виде уравнений в частных производных по $t_{2}$ и $t_{4}$. Можете ли вы найти согласованную редукцию ( $\left.e_{2}=f_{2}=0, f_{1}= \pm e_{1}^{*}\right)$, которая дает НУШ с производной После того как выбрана $x$, скажем $t_{1}$, можно рассмотреть фазовое пространство, являющееся дифференциальной алгеброй, состоящей из многочленов от $e_{1}=q, f_{1}=r$ и их производ- ных по $x$ произвольного порядка совместно с символом $\partial / \partial x$, который трансформирует $q$ в $q_{x}, q_{x}$ в $q_{x x}$ и т. д. Оно является фазовым пространством, которое наиболее часто изучалось ([40], [106]) и допускает следующий гамильтонов подход. Рассмотрим и вариационный градиент Фреше abla H_{k}=\frac{\delta H_{k}}{\delta q}, \frac{\delta H_{k}}{\delta r}, где и $\delta H_{k} / \delta r$ определяется аналогично. Символом $q^{(s)}$ обозначается $\partial^{s} q / \partial x^{s}$. В $\delta H_{k} / \delta q$ читатель узнает частную вариационную производную, т. е. Потоки (5.52) могут быть записаны в виде где $J=\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$. Для доказательства этого см. [75]. Скобки Пуассона двух функций $F[q, r], G[q, r]$ имеют вид где $ Сейчас я хочу подчеркнуть два момента. Первый состоит в том, что солитонные потоки, порождаемые в подходе посредством алгебр Ли с помощью ad-инвариантных функций $\Phi_{k}$, являются особенными, если также потребовать, чтобы имела смысл интерпретация с точки зрения дифференциальной алгебры. Основанием этому является то, что если $x$ должна быть особой в том смысле, что все величины, подобные $e_{1}, f_{1}$ и т. д., мы можем понимать как функции независимой переменной $x$, то на $K^{\perp}$ допустимы только такие векторные поля (соответствующие выбору других независимых переменных $t_{k}, t_{k} Второй момент состоит в том, что в рамках подхода алгебр Ли величины гамильтонианов $\Phi_{k}$ (которые для набора канонических уравнений мы выбрали равными $\Phi_{0}=1, \Phi_{k}=0, k \geqslant 1$ ) не имеют значения. С другой стороны, в подходе дифференциальной алгебры значения гамильтонианов $H_{k}$ важны. Они являются интегралами сохраняющихся плотностей, интегралы движения которых могут быть непосредственно сопоставлены данным рассеяния (параметры для непрерывного спектра и солитонов) при помощи формулы следа (см. (3.70), (3.71), (3.72) и [75]). Упражнения и примеры. Сейчас мы обсудим три примера, используя алгебраический подход. Первым является гармонический осциллятор, вторым – конечная цепочка Тоды и третьим – новый способ разложения $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$, при котором семейства КдФ и мКдФ возникают естественным образом без привлечения требования $f_{1}=-1$ или $f_{1}= \pm e_{1}$. В разд. 5һ я покажу, как при рассмотрении альтернативных градуировок $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C)$ это новое разложение появляется естественным образом.
|
1 |
Оглавление
|