Материал этого раздела воспроизводит текст статьи II в нашей серии статей, посвященных алгебрам Каца-Муди и солитонным уравнениям. В предыдущих разделах мы видели, каким образом естественное фазовое пространство системы АҚНС связано с бесконечномерной алгеброй Ли $G=\operatorname{si}(2, C)$ формальных рядов
\[
X=\sum_{-\infty}^{M} X_{-j} \xi^{j}, \quad M \text { произвольно, но ограничено, }
\]

где каждый элемент $X_{-j}$ принадлежит $\operatorname{sl}(2, C)$.

Алгеброй Ли является векторное пространство, снабженное коммутатором; в нашем случае им является
\[
[X, Y]=\sum_{i} \sum_{k+j=i}\left[X_{-j}, Y_{-k}\right] \zeta^{i} .
\]

Для вычислений полезно представлять каждый $X_{-j}$ выраженным в виде (комплексной) линейной комбинации $h_{-j} H+e_{-j} E+$ $+f_{-j} F$ базисных элементов $H, E, F$, имеющих матричное представление
\[
H=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad E=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right),
\]

где $[H, E]=2 E,[H, F]=-2 F,[E, F]=H$ и все остальные коммутаторы равны нулю. На $G$ мы определим невырожденную симметричную билинейную форму (форму Киллинга или внутреннее произведение)
\[
\langle X, Y\rangle=\operatorname{Tr}(X Y)_{0}=\sum_{j+k=0} \operatorname{Tr} X_{-j} Y_{-k},
\]

и при помощи этой операции $G$ можно отождествить с ее дуальной алгеброй $G^{*}$.

В формуле (5.41) $\operatorname{Tr}\left(X_{-j} Y_{-k}\right)$ можно взять в виде следа произведения матричных представ.тений $X_{-j}$ и $Y_{-k}$. (По-другому eго можно определить как след матриц, представляющих присоединенные действия этих двух величин. Эти два определения приводят к результатам, которые пропорциональны, но не равны.) Необходимо также проверить формулу «объема параллелепипеда» $\langle X,\{Y, Z]\rangle=\langle Y,[Z, X]\rangle=\langle Z,[X, Y]\rangle$.

Мы можем определить градиент комплекснозначной функции $f(X)$, определенной на $G^{*}=G$, следующим образом. Пусть $\delta X \in T_{X} G$ является элементом касательного к $G$ пространства в точке $X$. Тогда производная по направлению
\[
\left.\frac{d}{d \varepsilon} f(X+\varepsilon \delta X)\right|_{\varepsilon=0}
\]

функции $f$ в точке $X$ в направлении $\delta X$ является линейным функционалом на $\delta X$, который может быть записан в виде
\[
\langle
abla f(X), \delta X\rangle \text {. }
\]
$
abla f(X)$ мы назовем градиентом $f(X)$ в $X$. В качестве примера покажите, что $
abla e_{j}=F_{-j},
abla f_{j}=E_{-j}, \quad
abla h_{j}=(1 / 2) H_{-j}$, где $F_{-j}=$ $=F \zeta^{j}, E_{j}=E \zeta^{j}$ и $H_{-j}=H \zeta^{j}$.

Введем понятие аd-инвариантной функции $f(X)$, обладающей свойством
\[
[
abla f(X), X]=0
\]

для всех $X \in G$. Это уравение выражает следующую идею. Если $g$ является элементом группы Ли, связанной с $G$, то присоединенное действие $g$ на $X, g X g^{-1}$, которое осуществляет отображение в новый элемент $G$, оставляет неизменным значение $f$. Функция с таким свойством называется аd-инвариантной. Это свойство может быть выражено в виде следующего условия: для всех $Y \in G$
\[
0=\left.\frac{d}{d t} f\left(e^{t Y} X e^{-t Y}\right)\right|_{t=0}=\langle
abla f,[Y, X]\rangle .
\]

С использованием формулы объема параллелепипеда она означает, что $\langle[
abla f, X], Y\rangle=0$, и невырожденность внутреннего произведения приводит к (5.43). Далее, рассмотрим
\[
K=\left\{\sum_{-\infty}^{-1} X_{-j 5^{j}}\right\}, \quad N=\left\{\sum_{0}^{M} X_{-j} \zeta^{j}\right\}
\]

прямой суммой которых является $G$. Множество $N^{*}$, дуальное к $N$ относительно внутреннего произведения (5.41) (минимальный набор всех элементов, внутреннее произведение которых с любым членом из $N$ равно нулю), также является ортогональным дополнением $K^{\perp}$ к $K$ (набор всех элементов, внутреннее произведение которых с любым элементом из $K$ равно нулю):
\[
K^{\perp}=N^{*}=\left\{\sum_{-\infty}^{0} X_{-j} j^{j}\right\} .
\]

Оно будет нашим фазовым пространством, элемент которого я буду записывать в виде
\[
Q=\sum_{0}^{\infty}\left(h_{r} H_{r}+e_{r} E_{r}+f_{r} F_{r}\right)
\]

где $H_{r}=\zeta^{-r} H, E_{r}=\zeta^{-r} E$ и $F_{r}=\zeta^{-r} F$.
Далее, на $K^{\perp}$, рассматриваемом как дуальное к $N$, существуют естественные скобки Пуассона. Для двух функций $f(Q)$, $g(Q)$ на $K^{\perp}$ они определяются формулой
\[
\{f, g\}(Q)=-\left\langle\left[\pi_{N}
abla f, \pi_{N}
abla g\right], Q\right\rangle,
\]

где $\pi_{N}$ — проекция $
abla f(Q)$ на $N$. Читателю следует проверить, что справедливы два свойства: антикоммутативность, т. е. $\{f, g\}=$ $=-\{g, f\}$, и тождество Якоби, $\{\{f, g\}, h\}+\{\{h, f\}, g\}+$ $+\{\{g, h\}, f\}=0$. Кроме того, каждой функции $f(Q), Q \in K^{\perp}$ соответствует гамильтоново векторное поле
\[
x_{f}=-\pi_{K^{\perp}}\left[\pi_{N}
abla f(Q), Q\right] .
\]

Это означает, что производная любой функции $g(Q)$ для $Q$ в направлении $x_{f}$ задается выражением $\{f, g\}(Q)$.

Поэтому для каждой функции $f(Q)$ существует поток или векторное поле. Еще одной компонентой, которая необходима для того, чтобы сделать систему полностью интегрируемой, является набор функций $\left\{f_{i}\right\}$, приводящих к коммутируемым векторным полям: $\left\{f_{j}, f_{k}\right\}=0$. Поэтому каждая функция из набора $\left\{f_{i}\right\}$ сохраняется вдоль векторного поля, связанного с любой из них.

Кандидатами в этот класс являются функции, которые ad-инвариантны. Теорема Адлера — Константа — Симеса гласит, что если $f(X)$ и $g(X)$ ad-инвариантные функции, то
(i) $\{f, g\}=0$ на $K^{\perp}$;
(ii) векторные поля $x_{f}, x_{g}$ коммутируют.
Иерархия АКНС возникает с помощью этой теории из простейших ad-инвариантных функций
\[
\text { — } \Phi_{k}(Q)=\frac{1}{2}\left\langle S^{k} Q, Q\right\rangle, \quad j=0, \ldots, \infty,
\]

где $S^{k}$ является сдвигом
\[
S^{k}: \sum X_{-j} \zeta^{j} \rightarrow \sum X_{-j 5}^{c^{j+k}},
\]
т. е. умножением на $\zeta^{k}$. Чтобы увидеть это, заметим, что для $X \in G$
\[

abla \Phi_{k}(X)=-S^{k} X ;
\]

при этом ясно, что
\[
\left[
abla \Phi_{k}(X), X\right]=0 .
\]

Далее, заметим, что для $Q \in K^{\perp}$
\[
Q_{t_{k}}=-\pi_{K \perp}\left[\pi_{N}
abla \Phi_{k}(Q), Q\right]=\pi_{K^{\perp}}\left[\pi_{K}
abla \Phi_{k}(Q), Q\right] ;
\]

из (5.50)
\[
Q_{t_{k}}=\left[\pi_{k}
abla \Phi_{k}(Q), Q\right] .
\]

Так как $\left[\pi_{K}
abla \Phi, Q\right] \in K^{\perp}$, то
\[
Q_{t_{k}}=-\left[\pi_{N}
abla \Phi_{k}(Q), Q\right]=\left[Q^{(k)}, Q\right],
\]

где
\[
Q^{(k)}=\pi_{N} S^{k} Q=\zeta^{k}\left(Q_{0}+\ldots+\frac{Q_{k}}{\zeta^{k}}\right),
\]

причем
\[
Q_{r}=h_{r} H+e_{r} E+f_{r} F .
\]

Это в точности потоки (3.49) в иерархии АКНС. Свойство ad-инвариантности $f_{k}$ было важным при устранении оператора проектирования ( $\pi_{K \perp}$ ) из коммутатора.
Подчеркнем следующие моменты:
(i) Заранее не существует выделенного $t_{k}$, которое необходимо было бы назвать $x$. В предыдущем анализе $t_{1}$ играла особую роль; она является независимой переменной в задаче на собственные значения. Когда этот выбор сделан, возникает иерархия $\mathrm{AKHC}$. Но если в качестве спектральной переменной $x$ выбрана $t_{2}$, в результате получается другая иерархия.

Частным случаем этой «новой» иерархии, связанной с $t_{2}$, является то, что иногда называют иерархией НУШП; она включает нелинейное уравнение Шрёдингера с производной. С другой стороны, которую я буду обсуждать в разд. $5 \mathrm{k}$, она содержит массивную модель Тирринга точно так же, как иерархия АКНС содержит уравнение sin-Гордон. Но на самом деле она вовсе не является действительно новой иерархией; уравнение (5.52), записанное в покомпонентной форме (5.55), не изменяется. Обе эти иерархии являются частью большой иерархии, связанной с sl $(2, C)$ : перефразируя Редьярда Киплинга,
Система АКНС
И вся иерархия НУШП
Қак сестры родные близки
(ii). Несмотря на то что выбор $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$ был обусловлен записью интересующего нас уравнения в виде условия интегрируемости, после того как задана $G$ и ее разложение на две подалгебры $K$ и $N$, потоки возникают естественным образом без ссылок на какую-либо концепцию вроде изоспектральной деформации. Все те или иные «изо» вытекают как естественные следствия наложения дополнительной структуры аналитического характера. До сих пор все осуществлялось чисто алгебраическим путем.
(iii). При построении иерархии АКНС различные $Q_{k}$ были выражены в терминах $q, r$ (здесь $e_{1}, f_{1}$ ) и их производных по $x$. Формула (5.52) представляет собой просто систему уравнений для бесконечного набора переменных $\left\{h_{r}, e_{r}, f_{r}\right\}$ как функций бесконечного числа времен $\left\{t_{1}, t_{2}, \ldots\right\}$.
(iv). То, что все потоки иерархии АКНС коммутируют, тривиальным образом следует из общей теории.
Читателю следует самому проверить следующие факты:
(a) $\Phi_{k}(Q)$ являются коэффициентами при $\zeta^{-k}$ в рядах $-(1 / 2) \operatorname{Tr} Q^{2}=\left(h^{2}+e f\right)$, где $h, e, f=\sum_{0}^{\infty}\left(h_{r}, e_{r}, f_{r}\right) \zeta^{-r}$.

(b) Скобками Пуассона для $h_{r}, e_{r}, f_{q}$ являются
\[
\left\{h_{r}, e_{s}\right\}=e_{r+s}, \quad\left\{h_{r}, f_{s}\right\}=-f_{r+s}, \quad\left\{e_{r}, f_{s}\right\}=2 h_{r+s} ;
\]

остальные скобки равны нулю.
(c) Уравнения для $h_{r}, e_{p}, f_{q}$ могут быть получены либо из (5.54), либо из (5.52) и имеют вид
\[
\begin{array}{l}
e_{j, t_{k}}=2 \sum_{0}^{\min (j-1, k)}\left(h_{r} e_{j+k-r}-e_{r} h_{j+k-r}\right), \\
f_{j, t_{k}}=-2 \sum_{0}^{\min (j-1, k !}\left(h_{r} f_{l+k-r}-f_{r} h_{j+k-r}\right), \\
h_{j, t_{k}}=\sum_{0}^{\min (j-1, k)}\left(e_{r} f_{j+k-r}-f_{r} e_{j+k-r}\right) .
\end{array}
\]

Отсюда немедленно следует что $h_{0}, e_{0}, f_{0}, h_{1}$ не зависят от всех $t_{k}$. Выберем $h_{0}=-i$, $e_{0}=f_{0}=h_{1}=0$ в качестве определения канонических уравнений. Заметим также, что $h^{2}+$ ef не зависит от $t_{k}$ и в соответствии с нашим выбором $h_{0}, e_{0}$, $f_{0}$ можно выбрать эту константу равной -1 . Отсюда $h_{k}$ определяются как линейные комбинации произведений $e$ и $f$. Читателю также следует показать, что все $Q_{k}=h_{k} H+e_{k} E+f_{k} F$ могут быть записаны как функции от $e_{1}(q)$ и $f_{1}(r)$ и их производных по $x$. Например, $e_{1, t_{1}}=-2 i e_{2}, e_{2, t_{1}}=-2 i e_{3}-2 h_{2} e_{1}, h_{2}=-(i / 2) e_{1} f_{1}$, откуда $e_{2}=(i / 2) e_{1, t_{1}}, e_{3}=-(1 / 4)\left(e_{1}, t_{1} t_{1}-2 e_{1}^{2} f_{1}\right)$. Заметим гакже, что уравнения ( $3.42 \mathrm{a}$ ) (обобщающие НУШ) представляют собой просто $e_{1, t_{2}}=-2 i e_{3}$ и $f_{1, t_{2}}=-2 i f_{3}$. Более того, мы можем также записать все $Q_{k}, k \geqslant 3$, как функции от $e_{1}, f_{1}, e_{2}, f_{2}$ и их производных по $t_{2}$. В качестве следующего упражнения читателю следует записать уравнения для $e_{1}, f_{1}, e_{2}, f_{2}$ в виде уравнений в частных производных по $t_{2}$ и $t_{4}$. Можете ли вы найти согласованную редукцию ( $\left.e_{2}=f_{2}=0, f_{1}= \pm e_{1}^{*}\right)$, которая дает НУШ с производной
\[
u_{t_{4}}=i u_{t_{2} t_{1}} \pm\left(u^{2} u^{*}\right)_{t_{2}} ?
\]
(Подсказка: вам необходимо совершить преобразование вида
\[
\left.e_{1} \sim u \exp \left(i \alpha \int u u^{*} d t_{2}\right) .\right)
\]
(d) Связь между подходом алгебр Ли и вариационной гамильтоновой структурой.

После того как выбрана $x$, скажем $t_{1}$, можно рассмотреть фазовое пространство, являющееся дифференциальной алгеброй, состоящей из многочленов от $e_{1}=q, f_{1}=r$ и их производ-

ных по $x$ произвольного порядка совместно с символом $\partial / \partial x$, который трансформирует $q$ в $q_{x}, q_{x}$ в $q_{x x}$ и т. д. Оно является фазовым пространством, которое наиболее часто изучалось ([40], [106]) и допускает следующий гамильтонов подход. Рассмотрим
\[
H_{k}[q, r]=\frac{4}{k+1} \int h_{k+2}\left(q, r, q_{x}, r_{x}, \ldots\right) d x
\]

и вариационный градиент Фреше
\[

abla H_{k}=\frac{\delta H_{k}}{\delta q}, \frac{\delta H_{k}}{\delta r},
\]

где
\[
\frac{\delta H_{k}}{\delta q}=\frac{4}{l k+1} \sum_{0}^{\infty}(-1)^{s} \frac{\partial^{s}}{\partial x^{s}} \frac{\partial h_{k+2}}{\partial q^{(s)}}
\]

и $\delta H_{k} / \delta r$ определяется аналогично. Символом $q^{(s)}$ обозначается $\partial^{s} q / \partial x^{s}$. В $\delta H_{k} / \delta q$ читатель узнает частную вариационную производную, т. е.
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon} H_{k}[q+\varepsilon \delta q, r]=\int \frac{\delta H_{k}}{\delta q} \delta q d x .
\]

Потоки (5.52) могут быть записаны в виде
\[
\left(\begin{array}{l}
q \\
r
\end{array}\right)_{t_{k}}=J
abla H_{k}
\]

где $J=\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$. Для доказательства этого см. [75]. Скобки Пуассона двух функций $F[q, r], G[q, r]$ имеют вид
\[
\{F, G\}=\int I
abla F \cdot
abla G d x
\]

где $
abla$-вариационный градиент. Доказательство того, что $H_{k}$, определенные формулой (5.56a), находятся в инволюции под действием этих скобок, также приведено в [70], [75]. В разд. $5 \mathrm{~d}$ я расскажу о том, что является гамильтонианом и сопряженными переменными, если в качестве особой переменной $x$ выбрана $t_{i}, j>1$.

Сейчас я хочу подчеркнуть два момента. Первый состоит в том, что солитонные потоки, порождаемые в подходе посредством алгебр Ли с помощью ad-инвариантных функций $\Phi_{k}$, являются особенными, если также потребовать, чтобы имела смысл интерпретация с точки зрения дифференциальной алгебры. Основанием этому является то, что если $x$ должна быть

особой в том смысле, что все величины, подобные $e_{1}, f_{1}$ и т. д., мы можем понимать как функции независимой переменной $x$, то на $K^{\perp}$ допустимы только такие векторные поля (соответствующие выбору других независимых переменных $t_{k}, t_{k}
eq x$ ), которые коммутируют с $x=t_{1}$. Поэтому если мы хотим свободы в выборе любого $t_{j}$ в качестве выделенной $x$, то в $K^{\perp}$ мы должны выбрать только те векторные поля, которые коммутируют с векторным полем $x_{\Phi_{i}}$, генерируемым гамильтонианом $\Phi_{j}$. В [39] нами доказана теорека, гласящая, что единственными векторными полями, удовлетворяющими этому условию, являются векторные поля, порождаемые при помощи выбора в качестве гамильтониана линейной комбинации $\Phi_{k}$.

Второй момент состоит в том, что в рамках подхода алгебр Ли величины гамильтонианов $\Phi_{k}$ (которые для набора канонических уравнений мы выбрали равными $\Phi_{0}=1, \Phi_{k}=0, k \geqslant 1$ ) не имеют значения. С другой стороны, в подходе дифференциальной алгебры значения гамильтонианов $H_{k}$ важны. Они являются интегралами сохраняющихся плотностей, интегралы движения которых могут быть непосредственно сопоставлены данным рассеяния (параметры для непрерывного спектра и солитонов) при помощи формулы следа (см. (3.70), (3.71), (3.72) и [75]).

Упражнения и примеры. Сейчас мы обсудим три примера, используя алгебраический подход. Первым является гармонический осциллятор, вторым — конечная цепочка Тоды и третьим — новый способ разложения $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$, при котором семейства КдФ и мКдФ возникают естественным образом без привлечения требования $f_{1}=-1$ или $f_{1}= \pm e_{1}$. В разд. 5һ я покажу, как при рассмотрении альтернативных градуировок $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C)$ это новое разложение появляется естественным образом.