В середине 1960-х годов была создана другая остроумная теория для описания распространения сильнонелинейных, почти пернодических цугов волн. Эта теория существенно связана с именем Уизема, хотя некоторые идеи были независимо развиты Крускалом при его попытках понять, что происходит в районах осцилляций, появляющихся при решении задачи о решетке Ферми-Паста – Улама. Идея чрезвычайно проста. Представим себе, что у уравнения в частных производных существует $2 \pi$-периодическое бегущее волновое решение $f(\Theta, A), \Theta=k X-\omega T, A$ – постоянная амплитуда, возникающая как константа интегрирования. Тогда можно строить более широкий класс решений, получающихся из вышеупомяну-

того в предположении, что входящие в него константы – волновое число $\Theta_{x}=k$, частота $\Theta_{T}=-\omega$ и амплитуда $A$ – могут быть медленно меняющимися функциями координаты $X$ и времени $T$. Уравнения на $k$, $\omega$ и $A$ как на функции от $x=\varepsilon X, t=\varepsilon T$, $0<\varepsilon \ll 1$ получаются следующим образом.

Во-первых, поскольку $ы$ и $k$ получаются из потенциала (фазы $\Theta)$, имеем
\[
k_{t}+\omega_{x}=0,
\]
т. е. закон сохранения волнового числа. Во-вторых, после подстановки решения в виде такого анзаца в уравнение с частными производными, получается обыкновенное дифференциальное уравнение по $\Theta$ на $f(\Theta)$. Мы знаем, что оно имеет периодическое решение вследствие нашего предположения о существовании у исходного уравнения в частных производных решений в виде периодической бегущей волны. Наложение условия периодичности с фиксированным периодом (обычно выбирается $2 \pi$ ) дает алгебраическую связь между $\omega, k$ и $A$, которая называется дисперсионным соотношением. (Очень существенна фиксация периода. Если допустить, что период является медленно меняющейся функцией, невозможно контролировать рост следующих приближений.) Поскольку эти параметры меняются медленно, то в уравнении с частными производными появляются $O(\varepsilon)$-члены, содержащие первые производные от $k$, и и $A$ по $x$ и $t$. Tребование, чтобы следующая итерация, удовлетворяющая линейному обыкновенному дифференциальному уравнению по $\Theta$ с коэффицнентами, зависящими от $;$ и его производных, также была $2 \pi$-периодической, дает условие разрешимости этого уравнения Это условие является дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка на $k, A$ и $\omega$ и выражает сохранение волнового действия. Таким образом, возникает три уравнения, одно алгебраическое и два дифференциальных, на три неизвестных $k, \omega$ и $A$.

Далее, мы уже видели в разд. 2c, что слаболинейная огибающая несущей волны также характеризуется тремя параметрами – $A$, $k$ и (см. уравнения (2.49)-(2.53)), связанными посредством НУІІІ. Являются ли эти описания эквивалентными в том смысле, что последнее возникает из теории Уизема в пределе малой амплитуды? Ответ отрицательный. То, что НУШ как слаболинейная теория не может включать себя пригодной при любых амплитудах теории Уизема, очевидно. С другой стороны, в теории Уизема амплитуда определяется алгебраически из нелинейного дисперсионного соотношения, в то время как в НУШІ она живет достаточно независимой жизнью, являясь рещением лифференциального уравнения в частных производных.

Почему же теория Уизема не содержит НУШ? Трудность состоит в том, что при конечной амплитуде условие разрешимости в порядке $\varepsilon$ меняется таким образом, что ядро линейного оператора, действующего на первую итерацию решения, составляет лишь половину (оно одномерно) ядра, которое возникло бы, если бы $A$ было мало. Это приводит к тому, что появляется только одно уравнение сохранения волнового действия, которое является уравнением на фазу волны и соответствует мнимой части НУШ, определяющей фазу $\varphi$ комплексной амплитуды (огибающей). Амплитуда $A$ уже зафиксирована дисперсионным соотношением. Что же происходит при малом $A$ ? В этом случае оказывается, что дисперсионное соотношение нужно дополнить, чтобы удовлетворить дополнительным условиям разрешимости. Дополнительные члены содержат производные от $A$, поэтому то, что было алгебраическим соотношением, определяющим $A$ как функцию $\omega$ и $k$, теперь превращается в дифференциальное уравнение на $A$. Это уравнение соответствует амплитудной части НУШ. Мы сейчас приведем модификацию теории Уизема, объединяющую ее с НУШ и равномерно пригодную при малой амплитуде. Идеи, которые использую я, базируются на разложениях, использованных Абловицем и Бенни в работе по многофазной теории Уизема [62]. Қак Абловиц и Бенни, так и Мей [63] указали области потенциальной неприменимости теории Уизема и идентифицировали соответствующие члены. Более того, сам Уизем показал, как включить эти дисперсионные члены более высоких порядков в технике усредненных лагранжианов (см. [55], с. 503 русск. изд.).

Интересно отметить, что точно такие же трудности возникают при макроскопическом опнсанин систем, далеких от равновесия, описываемых посредством параметра порядка. Вдали от фазового превращения амплитуда параметра порядка определяется алгебраически модулем градиента фазы (выражение, аналогичное нелинейному дисперсионному соотношению или уравнению эйконала), в то врємя как вблизи критических значений бифуркационного параметра (являющегося мерой наложенного на систему внешнего воздействия – так же, как число Рэлея в задачах конвекции жидкости или как температура в магнетизме) амплитуда становится малой и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных. Это уравнение аналогично НУШ и, рассматриваемое совместно с соответствующим уравнением для фазы параметра порядка, известно как уравнение Ландау – Гинзбурга. Читатель, заинтересовавшийся этими замечаниями, может найти более подробное обсуждение в [64]. Мы же теперь проиллюстрируем эти замечания на двух конкретных примерах.

Выбор первого примера достаточно очевиден, поскольку в нем возможны решения вида $f(\Theta)=A e^{i \theta}$, что делает все вычисления явными. Рассмотрим комплексное скалярное поле $u(X, T)$, описываемое уравнением
\[
u_{T T}-u_{X X}+\omega_{p}^{2}\left(1-\beta u u^{*}\right) u=0 .
\]

Мы ищем решения вида
\[
u(X, T)=f(\Theta, A)-\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots,
\]

где $f(\Theta)=A e^{i \Theta}$ и $\Theta_{X}=k, \Theta_{t}=-\omega$ и $A-$ функции от $x=\varepsilon X$ и $t=\varepsilon T$. Производные $\partial / \partial T, \partial / \partial X$ перепишем как – $\omega \partial / \partial \Theta+$ $+\varepsilon \partial / \partial t, k \partial / \partial \Theta+\varepsilon \partial / \partial x$ соответственно. Подстановка в (2.60) дает
\[
\begin{aligned}
\left\{\left(\omega^{2}-\right.\right. & \left.k^{2}\right) \frac{\partial^{2}}{\partial \Theta^{2}}-i \varepsilon\left(2 \omega \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial \Theta}+\omega_{t} \frac{\partial}{\partial \Theta}+2 k \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial \Theta}+k_{x} \frac{\partial}{\partial \Theta}\right)+ \\
& +\varepsilon^{2}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right)+\omega_{p}^{2}\left(1-\beta u_{0} u_{0}^{*}-\varepsilon \beta\left(u_{0} u_{1}^{*}+u_{0}^{*} u_{1}\right)-\right. \\
& \left.-\varepsilon^{2} \beta\left(u_{0} u_{2}^{*}+u_{1} u_{1}^{*}+u_{0}^{*} u_{2}\right)\right\}, \\
& \left(u_{0}+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Первый порядок в этом уравнении дает
\[
\left(\omega^{2}-k^{2}\right) \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \Theta^{2}}+\omega_{p}^{2}\left(1-\beta u_{0} u_{0}^{*}\right) u_{0}=0,
\]

что приводит к решению
\[
u_{0}=A e^{i v \theta}, \quad v=\frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}\left(1-\beta A^{2}\right)}{\omega^{2}-k^{2}}
\]

с наименьшим периодом $2 \pi$, если только $v=1$, или
\[
\omega^{2}-k^{2}=\omega_{p}^{2}\left(1-\beta A^{2}\right) .
\]

Если бы мы позволили периоду быть произвольной функцией $x$ и $t$, то при вычислении $\partial u_{0} / \partial x$ появились бы члены вида $i v_{x} \Theta$, возникающие в следующем порядке, и оказалось бы невозможным найти $u_{1}$ с тем же периодом, что и $u_{0}$. Это аналогично первому шагу метода ВКБ, в котором очень важно выбрать правильный масштаб быстрого времени.

Уравнение (2.64) – это дисперсионное соотношение, определяющее $A$ как функцию от $\omega$ и $k$. Однако в этом месте мы не будем прямолинейны, а последуем по пути, предложенному Абловицем и Бенни [62], рассматривая (2.64) как главный порядок в разложении по амплитуде:
\[
\omega^{2}-k^{2}-\omega_{p}\left(1-\beta A^{2}\right)=\varepsilon g^{(1)}+\varepsilon^{2} g^{(2)}+\ldots .
\]

Теперь (2.62) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\left\{\omega_{p}^{2}\left(1-\beta A^{2}\right)\left(\frac{\partial^{2}}{\partial \Theta^{2}}+1\right)-i \varepsilon\left(20 \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial \Theta}+\omega_{t} \frac{\partial}{\partial \Theta}+\right.\right. \\
\left.\quad+2 k \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial \Theta}+k_{x} \frac{\partial}{\partial \Theta}\right)+\left(\varepsilon g^{(1)}+\varepsilon^{2} g^{(2)}\right) \frac{\partial^{2}}{\partial \Theta^{2}}+\varepsilon^{2}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right)- \\
\left.\quad-\varepsilon \omega_{p}^{2} \beta\left(u_{0} u_{1}^{*}+u_{0}^{*} u_{1}\right)-\varepsilon^{2} \omega_{p}^{2} \beta\left(u_{0} u_{2}^{*}+u_{0}^{*} u_{2}+u_{1} u_{1}^{*}\right)\right\} \times \\
\quad \times\left(u_{0}+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots\right)=0 .
\end{array}
\]

Члены первого порядка дают $u_{0}=A e^{i \theta}$. Следующий порядок дает
\[
\begin{array}{l}
\omega_{p}^{2}\left(1-\beta A^{2}\right)\left(\frac{\partial^{2}}{\partial \Theta^{2}}+1\right)-\omega_{p}^{2} \beta\left(u_{u} u_{1}^{*}+u_{0}^{*} u_{1}\right) \mu_{0}= \\
=\frac{i e^{i \Theta}}{A}\left(\left(\omega A^{2}\right)_{t}+\left(k A^{2}\right)_{x}\right)+g^{(1)} A e^{i \Theta},
\end{array}
\]

откуда мы получаем $g^{(1)}=0, u_{1}=0$ и
\[
\left(\omega A^{2}\right)_{t}+\left(k A^{2}\right)_{x}=0 .
\]

Условие (2.66) необходимо, поскольку иначе $u_{1} \sim \Theta e^{i \theta}$; удобно выбрать $g^{(1)}=0$, после чего как следствие получаем $u_{1}=0$. В порядке $\varepsilon^{2}$
\[
\begin{aligned}
\omega_{p}^{2}\left(1-\beta A^{2}\right)\left(\frac{\partial^{2}}{\partial \Theta^{2}}+1\right) u_{2} & -\omega_{p}^{2} \beta\left(u_{0} u_{2}^{*}+u_{0}^{*} u_{2}\right) u_{0}= \\
& =e^{i \theta}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) A+e^{i \theta} g^{(2)} A .
\end{aligned}
\]

И здесь нам потребуется некоторое искусство. Заметим, что любое решение $u_{2}$ вида $e^{i \theta}$ уничтожает правый член в левой части (2.67). Поскольку правая часть равна произведению вещественной величины на $e^{i \Theta}$ ( $A$ и $\left(u_{0} u_{2}^{*}+u_{0}^{*} u_{2}\right)$ вещественны), то (2.67) разрешимо. Например, если правая часть равна – Ge $e^{i \theta}$, то $u_{2}=-(G / 2) \omega_{p}^{2} A \beta e^{i \theta}$ и $2 \pi$-периодична. Отметим, однако, что при $A \rightarrow 0$ асимптотический ряд (2.61) плохо упорядочен. Поэтому этот предел не является равномерным. Иначе говоря, ядро оператора, действующего на $u_{2}$, одномерно и натянуто на $e^{i \theta}$, когда $A$ не мало, и оно двумерно и натянуто на $1 e^{i \theta}, i e^{i \theta}$, когда $A$ мало. (Если учитывать комплексно сопряженные поля $e^{-i \theta}$, оно четырехмерно.)

Для того чтобы выполнить предельный переход, мы будем обращаться с $1 e^{i \theta_{-ч}}$ ленами как с секулярными и выберем $g^{(2)}$ так, чтобы обратить правую часть (2.67) в нуль. Тогда
\[
\omega^{2}-k^{2}-\omega_{p}^{2}\left(1-\beta A^{2}\right)=\frac{\varepsilon^{2}}{A}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right) A .
\]

Эволюция $\omega, k$ и $A$ определяется из (2.59), (2.66) и (2.68), и в этом простом случае решение $u=A e^{i ө}$ является точным. Правая часть (2.68) важна только если $A=O(\varepsilon)$ и $\omega^{2}-k^{2}-\omega_{p}^{2}=$ $=O\left(\varepsilon^{2}\right)$, при этом (2.68) будет дифференциальным уравнением на $A$.

Повторю: член $\left(\partial^{2} / \partial t^{2}-\partial^{2} / \partial x^{2}\right) A$ в (2.67) не является секулярным при конечных $A$. Однако если иметь в виду предельный переход к малым $A$, полезно обращаться с ним как с секулярным и включить его в дисперсное соотношение.

Предельный переход к почти монохроматической волне малой амплитуды $A$ осуществляется следующим образом. Пусть $A \rightarrow \varepsilon A$; выберем $\omega \simeq \omega_{0}, k \simeq k_{0}, \omega_{0}^{2}-k_{0}^{2}=\omega_{p}^{2}$ и запишем
\[
\Theta=k_{0} X-\omega_{0} T+\varphi(x, t) .
\]

Теперь $\omega=\omega_{0}-\varepsilon \varphi t, k=k_{0}+\varepsilon \varphi_{x}$, и уравнение сохранения волн имеет вид
\[
\left(\left(\omega_{j}-\varepsilon \varphi_{t}\right) A^{2}\right)_{t}+\left(\left(k_{0}+\varepsilon \varphi_{x}\right) A^{2}\right)_{x}=0,
\]

а дисперсионное соотношение
\[
\varepsilon\left(-2 \omega_{0} \varphi_{t}-2 k_{0} \varphi_{x}\right)+\varepsilon^{2}\left(\varphi_{t}^{2}-\varphi_{x}^{2}\right)+\beta \omega_{p}^{2} \varepsilon^{2} A^{2}=\frac{\varepsilon^{2}}{A}\left(A_{t t}-A_{x x}\right) .
\]

Глядя на члены первого порядка в (2.70) и порядка $\varepsilon$ в (2.71), убеждаемся, что $A^{2}$ и $\varphi$ зависят от $x$ и $t$ только в комбинации $\xi=x-\omega_{0}^{\prime} t, \omega_{0}^{\prime}=k_{0} / \omega_{0}$. Пусть $\tau=\varepsilon t$, и тогда (2.71) и (2.70) превращаются соответственно в
\[
\varphi_{\tau}=\frac{1-\omega_{0}^{\prime 2}}{2 \omega_{0}}\left(\frac{A_{\mathrm{\xi g}}}{A}-\varphi_{\xi}^{2}\right)+\frac{\beta \omega_{p}^{2} A^{2}}{2 \omega_{0}}
\]

и
\[
A_{\tau}=\frac{\omega_{0}^{\prime 2}-1}{2 \omega_{0}}\left(2 A_{\xi} \varphi_{\xi}+A \varphi_{\xi \xi}\right)
\]

или, если $a=A e^{i \varphi}$,
\[
a_{\tau}=\frac{i \omega_{0}^{\prime \prime}}{2} a_{\xi \xi}+i \beta \frac{\omega_{p}^{2}}{2 \omega_{0}} a^{2} a^{*}, \quad \omega_{0}^{\prime \prime}=\frac{1-\omega_{0}^{\prime 2}}{\omega_{0}} .
\]

В упражнении 2с(2) (i) мы видели, что (2.74)-это НУШ для (2.60). Итак, если учесть член, которым пренебрегают в теории Уизема, а именно ( $\left.\varepsilon^{2} / A\right)\left(A_{t t}-A_{x x}\right)$, то мы вновь получим НУШ. Этот член соответствует первому члену в правой части (2.72). Я хочу еще показать, что происходит, когда $f(\Theta)$ нельзя найти в явном виде. Я использую модель, которой первоначаль-

но пользовался Уизем,
\[
u_{T T}-u_{X X}+F(u)=0,
\]

где $F$ берется нечетной по $u$ и гри малых $u$ равной $u-\gamma u^{3}$. Читатель может вывести НУШ в качестве упражнения. Если
\[
u \simeq \varepsilon a\left(x-\omega_{0}^{\prime} t, \varepsilon t\right) e^{i\left(k_{0} X-\omega_{0} T\right)}+\left(^{*}\right)+\ldots
\]

с $\omega_{0}^{2}-k_{0}^{2}=1, \omega_{0}^{\prime}=k_{0} / \omega_{0}$ (групповая скорость), то
\[
a_{\tau}=\frac{i \omega_{0}^{\prime \prime}}{2} a_{\mathrm{\xi} \xi}+\frac{3 i \gamma}{2 \omega_{0}} a^{2} a^{*},
\]

где $\tau=\varepsilon t-\varepsilon^{2} T$ и $\xi=x-\omega_{0}^{\prime} t=\varepsilon\left(X-\omega_{0}^{\prime} T\right)$.
Далее, применяя теорию Уизема к (2.75), введем
\[
\begin{array}{c}
\Theta=\frac{\theta(x, t)}{\varepsilon}, \quad x=\varepsilon X, \quad t=\varepsilon T, \\
\omega^{2}-k^{2}=g+\varepsilon g^{(1)}+\varepsilon^{2} g^{(2)}+\ldots, \\
u=f+\varepsilon u^{(1)}+\varepsilon^{2} u^{(2)}+\ldots
\end{array}
\]

и получим
\[
\begin{array}{l}
g \frac{d^{2} f}{d \Theta^{2}}+F(f)=0, \\
g \frac{d^{2} u^{(1)}}{d \Theta^{2}}+F^{\prime}(f) u^{(1)}=R_{1}, \\
g \frac{d^{2} u^{(2)}}{d \Theta^{2}}+F^{\prime}(f) u^{(2)}=R_{2},
\end{array}
\]
где
\[
R_{1}=-g^{(1)} \frac{\partial^{2} f}{\partial \Theta^{2}}+2 \omega \frac{\partial^{2} f}{\partial \Theta \partial t}+2 k \frac{\partial^{2} f}{\partial \Theta \partial x}+\left(\omega_{t}+k_{x}\right) \frac{\partial f}{\partial \Theta}
\]
и
\[
\begin{aligned}
R_{2}= & -g^{(2)} \frac{\partial^{2} f}{\partial \Theta^{2}}+2 \omega \frac{\partial^{2} u^{(1)}}{\partial \Theta \partial t}+2 k \frac{\partial^{2} u^{(1)}}{\partial \Theta \partial x}+\left(\omega_{t}+k_{x}\right) \frac{\partial u^{(1)}}{\partial \Theta}- \\
& -\frac{F^{\prime \prime}(f)}{2} u^{(1)^{2}}-\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right) f .
\end{aligned}
\]

Умножая (2.78a) на $f_{\Theta}(d f / d \Theta)$ и интегрируя, получаем
\[
\frac{1}{2} g f_{\Theta}^{2}+V(f)=E, \quad V^{\prime}=F,
\]

откуда
\[
\sqrt{\frac{g}{2}} \int_{f_{-}}^{f} \frac{d f}{\sqrt{E-V(f)}}=\Theta, \quad V\left(f_{-}\right)=E .
\]

Без потери общности примем $f$ нечетным по $\Theta$. Дисперсионное соотношение тогда примет вид
\[
\sqrt{\frac{g}{2}} \int_{f_{-}}^{f_{+}} \frac{d f}{\sqrt{E-V(f)}}=\pi, \quad V\left(f_{+}\right)=E
\]

и определяет $E$ как функцию $g$ или наоборот.
Следующей нашей задачей будет получение условий на $R_{1}$ и $R_{2}$, обеспечивающих $2 \pi$-периодичность $u^{(1)}$ и $u^{(2)}$ по $\Theta$. Рассмотрим
\[
g \frac{d^{2} v}{d \Theta^{2}}+F^{\prime}(f) v=R
\]

и перепишем это в виде системы
\[
\frac{d V}{d \Theta}=E V+\frac{1}{g}\left(\begin{array}{l}
0 \\
R
\end{array}\right)
\]

где
\[
V=\left(\begin{array}{c}
v \\
v_{\theta}
\end{array}\right), \quad E=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-F \frac{1}{g} & 0
\end{array}\right) .
\]

Матрица $E$ 2л-периодична, и нам следует применить теорию Флоке. В частности, если $U$, вектор-строка, является решением уравнения
\[
\frac{d U}{d \Theta}=-U E
\]

то для $2 \pi$-периодичности $V$ необходимо (доказательство получается просто умножением (2.83) на строку $U$ и последующим интегрированием)
\[
\int_{0}^{2 \pi} U \cdot\left(\begin{array}{l}
0 \\
R
\end{array}\right) d \Theta=0
\]

Пусть $\Phi$ – фундаментальная матрица решений уравнения $d V / d \Theta=E V$, тогда $\Phi(\Theta+2 \pi)$ – тоже фундаментальная матрица (она удовлетворяет уравнению), и существует не зависящая от $\Theta$ матрица $M=e^{2 \pi R}$, называемая матрицей монодромии, такая что $\Phi(\Theta+2 \pi)=\Phi(\Theta) M$. Собственные значения $M$ называются множителями Флоке. Если единица является двукратным собственным значением, то по крайней мере один из соответствующих собственных векторов дает $2 \pi$-периодическое решение однородной системы (2.83), а строки обратной матрицы $\Phi^{-1}(\Theta)$ удовлетворяют $(2.85)$.

В нашем случае $\Phi(\boldsymbol{\theta})$ можно построить явно. Заметим, что $v_{1}=f_{\boldsymbol{\Theta}} \quad$ и $v_{2}=f_{g}+\Theta f_{\boldsymbol{\theta}} / 2 g$ (индексы обозначают частные производные) удовлетворяют однородному варианту (2.82). Здесь
\[
\begin{aligned}
\Phi(\Theta) & =\left(\begin{array}{ll}
f_{\Theta} & f_{g}+\frac{1}{2 g} \Theta f_{\Theta} \\
f_{\Theta \Theta} & f_{g \theta}+\frac{1}{2 g} f_{\Theta}+\frac{1}{2 g} \Theta f_{\Theta \Theta}
\end{array}\right), \\
\operatorname{det} \Phi(\Theta) & =\frac{1}{g} E_{g} \text { (продифференцируйте (2.79)) }
\end{aligned}
\]

и
\[
\Phi^{-1}(\Theta)=\frac{g}{E_{g}}\left(\begin{array}{cc}
f_{g \Theta}+\frac{1}{2 g} f_{\Theta}+\frac{1}{2 g} \Theta f_{\Theta \Theta} & -f_{g}-\frac{1}{2 g} \Theta f_{\Theta} \\
-f_{\Theta \Theta} & f_{\Theta}
\end{array}\right) .
\]

В этом случае матрица $M$ имеет единицу двукратным собственным значением и равна
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & \frac{\pi}{g} \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\]

Необходимое условие (2.86) 2л-периодичности $V$ таково:
\[
\int_{0}^{2 \pi} f_{\theta} \cdot R d \Theta=0
\]

Теперь решим (2.83) вариацией постоянных:
\[
\begin{aligned}
v(\Theta)= & \left(c_{1}-\frac{1}{E_{g}} \int_{0}^{\Theta}\left(f_{g}+\frac{1}{2 g} \Theta f_{\Theta}\right) \cdot R d \Theta\right) v_{1}(\Theta)+ \\
& +\left(c_{2}+\frac{1}{E_{g}} \int_{0}^{\Theta} f_{\Theta} \cdot R d \Theta\right) v_{2}(\Theta) .
\end{aligned}
\]

Налагая условне $2 \pi$-периодичностн $v(\Theta)$, получаем
\[
c_{2}=\frac{g}{\pi E_{g}} \int_{0}^{2 \pi}\left(f_{g}+\frac{1}{2 g} \Theta f_{\Theta}\right) R d \Theta .
\]

Следовательно, при таком выборе $c_{2}$ асимптотический ряд (2.77c) остается хорошо упорядоченным (это означает, что отношения соседних членов остаются порядка $\varepsilon$ при всех значениях параметров) и условие (2.87) является как необходимым,

так и достаточным. Применяя это к (2.78b), получаем
\[
\frac{\partial}{\partial t} \omega \int_{0}^{2 \pi} f_{\theta}^{2} d \Theta+\frac{\partial}{\partial x} k \int_{u}^{2 \pi} f_{\theta}^{2} d \Theta,
\]

условие сохранения волнового действия, аналогичное (2.66). Поскольку $f(\Theta)$ нечетна, член с $g^{(1)}$ равен нулю.

Что происходит, когда параметр $E$ в f становится малым? Несложное вычисление показывает, что в пределе малой амплитуды
\[
\begin{aligned}
f(\Theta) & =A \sin \Theta+\frac{1}{32} \gamma A^{3} \sin 3 \Theta+\ldots, \\
g & =1-\frac{3}{4} \gamma A^{2}+\ldots, \\
E & =\frac{1}{2} A^{2}+\ldots
\end{aligned}
\]

Теперь обратимся к $c_{2}$ и, в частности, вычислим его величину в случае, когда в качестве $R$ в $R_{2}$ взят член – $\left(\partial^{2} / \partial t^{2}-\partial^{2} / \partial x^{2}\right) f$. Мы заметим, что $f_{g}+\Theta f_{\Theta} / 2 g \simeq A_{g} \sin \Theta$ порядка $A^{-1}$, поскольку $g_{A^{2}}=O(1)$. Так же и $E_{g}=E_{A^{2}} \cdot\left(A^{2}\right) g=$ $=-\frac{2}{3} \gamma+\ldots$ Поэтому $c_{2}$ порядка $1 / A$ и такого же порядка получающееся решение $u^{(2)}$. Это означает, что предельный переход к $A=O(\varepsilon)$ в $(2.77$ с) не является равномерным.

Для того чтобы все-таки уловить как-нибудь поведение в этом случае, мы не будем использовать $c_{2}$ для условия $2 \pi$-пернодичности $v(\Theta)$, а лучше используем $g^{(2)}$. Мы потребуем
\[
\int\left(f_{g}+\frac{\Theta f_{\theta}}{2 g}\right)\left(-g^{(2)} f_{\theta \theta}-\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right)_{d}\right)_{d} d \Theta=0
\]
(член $u^{(1)}$ не вносит вклада сравнимой величины) и получим, используя (2.91), что
\[
g^{(2)}=+\frac{1}{A}\left(A_{t t}-A_{x x}\right) .
\]

Теперь дисперсионное соотношение
\[
\omega^{2}-k^{2}=1-\frac{3}{4} \gamma A^{2}+\frac{\varepsilon^{2}}{A}\left(A_{t t}-A_{x x}\right)+\ldots
\]

имеет в точности тот же вид, что и в (2.68), и предельный переход к НУШ получается из (2.90) и (2.93) точно так же, как и раньше.

Хотя теория Уизема не содержит всего НУШ, она содержит достаточно для проявления неустойчивости Бенджамина –

Фейра. При $A^{2}$, определяемом дисперсионным соотношением, уравнения (2.59) и (2.66) представляют собой систему первого порядка с $k$ и $\omega$ в качестве неизвестных. Если эта система эллиптична, задача Коши для нее некорректна в том смысле, что любое возмущение растет экспоненциально и быстрее всего растут самые короткие волны. Если мы запишем $\Theta$ как $\theta / \varepsilon$ и разрешим (2.59), полагая $k=\theta_{x}, \omega=-\theta_{t}$, то из (2.66) получим $\left(-\theta_{t} A^{2}\right)_{t}+\left(\theta_{x} A^{2}\right)_{x}=0$, где $A^{2}$ зависит от $x$ и $t$ посредством комбинации $l=\theta_{t}^{2}-\theta_{x}^{2}$. Имеем
\[
\theta_{t t}\left(-A^{2}-2 \theta_{t}^{2} \frac{d A^{2}}{d l}\right)+2 \theta_{x t} \theta_{x} \theta_{t} \frac{d A^{2}}{d l}+\theta_{x x}\left(A^{2}-2 \theta_{x}^{2} \frac{d A^{2}}{d l}\right)=0 .
\]

Система эллиптична и неустойчива, если
\[
A^{2}\left(A^{2}+2 l \frac{d A^{2}}{d l}\right)<0,
\]
где
\[
A^{2}=-\frac{1}{\beta}\left(\frac{\omega^{2}-k^{2}}{\omega_{p}^{2}}-1\right) .
\]

Для малых $A$ это осуществляется, когда $\beta>0$ или $\beta \omega_{0}^{\prime \prime}>0$, поскольку $\omega_{0}^{\prime \prime}=\left(\omega_{0}^{2}-k_{0}^{2}\right) / \omega_{0}^{3}$ всегда положительно. Поскольку теория Уизема не включает члена $A_{\xi \xi \xi}$, входящего в (2.56), она не способна указать наиболее быстро растущие побочные гармоники несущей волны, а также не предсказывает конечную область неустойчивых волновых чисел. С другой стороны, однако, ее сильная сторона в том, что она не ограничивается малыми амплитудами.

Мы закончим этот раздел вопросом о физических следствиях нелинейного дисперсионного соотношения. В частности, нас будет интересовать, могут ли нелинейные волны туннелировать. Представим себе, что мы создали цуг волн с амплитудой $A$ и частотой $\omega$ в среде, в которой $\omega_{p}$ медленно меняется. Тогда $k(x)$ определяется из
\[
k^{2}=\omega^{2}-\omega_{p}^{2}\left(1-\beta A^{2}\right) .
\]

Предположим вначале, что $\omega^{2}>\omega_{p}^{2}$, но что $\omega_{D}^{2}$ растет (маятники в модели Скотта становятся короче). Линейные волны не могут распространяться дальше точки, в которой $\omega_{p}=\omega$. Однако если $\beta>0$, то точка, в которой $\omega_{D}^{2}\left(1-A^{2}\right)=\omega^{2}$, расположена дальше, чем каустика линейных волн. Означает ли это, что нелинейные цуги волн могут без потерь туннелировать через барьеры, непрозрачные для линейных волн? Ответ одновременно и положительный, и отрицательный. Он отрицателен, поскольку

только что мы показали, по крайней мере в слабо нелинейном пределе, что монохроматический нелинейный цуг волн неустойчив, если $\beta>0$. Однако он распадается на импульсы – солитоны НУШ, которые действительно могут туннелировать без потерь. Дальнейшие детали читатель может найти в [52].

При больших амплитудах (2.95) принимает вид $3 A^{2}-2 / \beta<0$. Поэтому, хотя $\beta>0$, для волн достаточно большой амплитуды устойчивость восстанавливается.

Остается много интересных вопросов в случае гиперболичности уравнений Уизема, но в то же время уже сделано несколько прекрасных работ. Смотрите книгу Уизема [55], прекрасную и изящную статью Флашки, Фореста и Маклохлина [65] (они обнаружили, что инварианты Римана – это просто спектр периодической задачи КдФ) и интригующую работу Лакса и Ливермора [66]. Причципиальными среди этих вопросов являются вопросы поведення этих систем на больших временах. Возникают ли разрывы? Если возникают, то что они означают? Қак включать новые фазы? (В работе Лакса и Ливермора предполагается, что плоскость $(x, t)$ разбивается на области, в каждой из которых осуществляется одно-, двух- или многофазный поток.) Какие еще могут быть типы поведения на больших временах? Мой аспирант Кришна [67] численно проинтегрировал уравнения Уизема для широкого класса начальных условий, при которых огибающая быстрых колебаний стремится к нулю на бесконечности, и в этих условиях применим метод обратной задачи рассеяния. Он получил, что в случае однофазного решения характеристики, принадлежащие двум или трем семействам, превращаются в параллельные прямые по мере увеличения времени. При этом уравнения становятся не гиперболическими, а скорее параболическими. Линии в плоскости $(x, t)$, вдоль которых образуются параллельные характеристики, соответствуют скоростям уединенных волн, получающихся при решении начальной задачи
Упражнение 2e
Полагая $A \rightarrow 2 \varepsilon A$, решите подправленные уравнения Уизема
\[
\begin{array}{l}
\omega^{2}-k^{2}=1-3 \gamma A^{2} \varepsilon^{2}+\varepsilon^{2} \frac{A_{t t}-A_{x x}}{A}, \\
k_{t}+\omega_{x}=0, \quad\left(\omega A^{2}\right)_{t}+\left(k A^{2}\right)_{x}=0
\end{array}
\]

итерациями, полагая $\omega=\omega_{0}+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}, k=k_{0}+\varepsilon K$. Покажите, что $\omega_{0}, k_{0}$ должны быть константами (в противном случае образуются скачки), $\omega_{0}^{2}=k_{0}^{2}+1, \omega_{1}=k_{0} K / \omega_{0}$ и как $A^{2}$, так и $K$ являютея функциями от $\xi=x-\left(k_{0} / \omega_{0}\right) t$ и $\tau=\varepsilon t$. Вводя $K=\varphi_{s}$,

получаем
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{\tau}=\frac{\omega_{0}^{\prime \prime}}{2}\left(-K^{2}+\frac{A_{\xi \xi}}{A}\right)+\frac{3 \gamma}{2 \omega_{0}} A^{2}, \\
\left(A^{2}\right)_{\tau}+\omega_{0}^{\prime \prime}\left(A^{2}\right)_{\xi}=0,
\end{array}
\]

что вместе эквивалентно НУШ для $a=A e^{i \varphi}$.