Цель этого раздела – ввести
собственную функцию $V\left(t_{k} ; \zeta\right)$ и получить некоторые ее свойства:
(i) ее асимптотическое разложение вблизи $\zeta=\infty$;
(ii) то, что фазовое пространство $Q\left(t_{k}\right)$ является орбитой, проходящей через элемент – $i H$;
(iii) разложение для $\xi \partial V / \partial \zeta$;
(iv) связь между $V$ и уравнениями Хироты.
Введение $V\left(t_{k} ; \zeta\right)$. Мы вывели иерархию $\tilde{\mathrm{si}}(2, C)$, не вводя вспомогательных переменных. Как они появляются в общей картине? Ответ очень прост. Уравнение в форме Лакса
\[
Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right]
\]

тут же позволяет искать решение в виде
\[
Q=\dot{V} \tilde{Q}_{0} V^{-1} .
\]

Подставляя это в (5.74), убеждаемся в том, что $\widetilde{Q}_{0}$ не зависит от всех $t_{k}$ и что
\[
V_{t_{k}}=Q^{(k)} V .
\]

Конечно, верно и обратное: как мы показывали в разд. 3с, (5.74) – это условие интегрируемости уравнений (5.76). Хотя (5.75) не решает (5.74) в явном виде, сама форма записи в таком виде полезна. Она наводит на мысль, что потоки (5.74) являются редукциями более простых потоков на большем многообразии. Подробно мы обсудим эту идею в разд. 5ј.

Асимптотическое разложение $V$ вблизи $\zeta=\infty$. Так же как в случае иерархии КдФ, полезно поискать формальное асимптотическое разложение для $V\left(t_{1}, t_{2}, \ldots ; \zeta\right)$
\[
V \sim\left(I-\frac{i}{2} \sum_{1}^{\infty} \frac{b_{r} E-c_{r} F}{\zeta^{r}}\right) \exp \left(\left(-i \sum \zeta^{k} t_{k}+\psi\right) H+\varphi\right)
\]

где $\psi$ и $\varphi$-ряды по обратным степеням 6. Имеют место следующие результаты:
\[
\begin{array}{l}
e_{r}=b_{r}+\frac{i}{2} \sum_{\substack{m+n-r \\
m
eq 0}} h_{m} b_{n}, \\
f_{r}=c_{r}+\frac{i}{2} \sum_{\substack{m+n=r \\
m
eq 0}} h_{m} c_{n} .
\end{array}
\]

Они записываются в компактной форме
\[
\begin{array}{l}
2 i e=b(i-h), \\
2 i f=c(i-h), \\
\text { где }\left(h_{0}=-i, h_{1}=0\right) \quad \\
h=\sum_{0}^{\infty} \frac{h_{r}}{\zeta^{r}}, \quad e=\sum^{\infty} \frac{e_{r}}{\zeta^{r}}, \quad f=\sum_{1}^{\infty} \frac{f_{r}}{\zeta^{r}} . \\
b=\sum_{1}^{\infty} \frac{b_{r}}{\zeta^{r}}, \quad c=\sum_{1}^{\infty} \frac{c_{r}}{\zeta^{r}} .
\end{array}
\]

В качестве упражнения я оставляю показать, что
\[
\begin{array}{l}
b\left(t_{k}, \zeta\right)=\frac{1}{\zeta} e_{1}\left(t_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right) \equiv \frac{1}{\zeta} e_{1+}, \\
c\left(t_{k}, \zeta\right)=\frac{1}{\zeta} f_{1}\left(t_{k}-\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right) \equiv \frac{1}{\zeta} f_{1-}, \quad k=1,2, \ldots
\end{array}
\]

Выполнено следующее:
\[
\begin{array}{l}
\varphi+\psi=\ln \tau_{-}-\ln \tau, \\
\varphi-\psi=\ln \tau_{+}-\ln \tau,
\end{array}
\]

где
\[
\tau_{+}=\tau\left(t_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right), \quad \tau_{-}=\tau\left(t_{k}-\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right), \quad k=1,2, \ldots
\]

Можно показать, что
\[
e^{2 \varphi}=\frac{\tau_{+} \tau_{-}}{\tau^{2}}=\frac{i-h}{2 i}=\left(1-\frac{b c}{4}\right)^{-1} .
\]

Мы вводим операторы
\[
\begin{array}{l}
X_{+}(\zeta)=\exp \left(i \sum \zeta^{k} t_{k}\right) \exp \left(\sum \frac{i}{2 k \zeta^{k}} \frac{\partial}{\partial t_{k}}\right), \\
X_{-}(\zeta)=\exp \left(-i \sum \zeta^{k} t_{k}\right) \exp \left(-\sum \frac{i}{2 k \zeta^{k}} \frac{\partial}{\partial t_{k}}\right) .
\end{array}
\]

Замечание. Мы можем назвать эти операторы «вершинными» операторами по аналогии с похожими операторами $Y(\zeta)$, введенными в (4.124) в связи с $\tau$-функцией семейства КдФ. В том контексте, однако, когда оператор $X$ (или линейная комбинация $X(\zeta)$ и $X(-\zeta)$ ) применялся к $\tau$ или когда экспонента от $Y(\zeta)$ применялась к $\tau$, получалась другая $\tau$-функция. Хотя использовать $X_{+}(\zeta), X_{-}(\zeta)$ в вычислениях, чтобы получать мно-

госолитонные решения (мы делаем это в разд. $5 \mathrm{~g}$ ) – весьма простая процедура, трудно описать пространство функций, на котором естественно действуют операторы $X_{+}$( $)$и $X_{-}(\zeta)$.

Будем обозначать части этих операторов без множителей перь, используя эти результаты, получим

Ho
\[
V \sim\left(I-\frac{i}{2 \zeta} e_{1+} E+\frac{i}{2 \zeta} f_{1-} F\right)\left(\frac{I+H}{2} \frac{X_{-} \tau}{\tau}+\frac{I-H}{2} \frac{X_{+} \tau}{\tau}\right) .
\]
\[
e_{1}+X_{+} \tau=X_{+} e_{1} \tau=X_{+} \sigma \quad \text { и } \quad f_{1-} X_{-} \tau=X_{-} f_{1} \tau=X_{-} \rho .
\]

Поэтому
\[
V \sim \frac{1}{\tau}\left(\begin{array}{cc}
X_{-} \tau & -\frac{i}{2 \zeta} X_{+} \sigma \\
\frac{i}{2 \zeta} X_{-} p & X_{+} \tau
\end{array}\right) .
\]

Определитель этой матрицы равен единице, потому что из
\[
\operatorname{det} V=\frac{1}{\tau^{2}}\left(\tau_{+} \tau_{-}-\frac{1}{4 \zeta^{2}} \sigma_{+} \rho_{-}\right)=\frac{\tau_{+} \tau_{-}}{\tau^{2}}\left(1-\frac{b c}{4}\right)=1 .
\]

Поэтому обратная матрица такова:
\[
V^{-1}=\frac{1}{\tau}\left(\begin{array}{cc}
X_{+} \tau & \frac{i}{2 \zeta} X_{+} \sigma \\
-\frac{i}{2 \zeta} X_{-} \rho & X_{-} \tau
\end{array}\right) .
\]

Нужно прокомментировать, как были получены эти результаты. Во-первых, нужно подставить анзац (5.77) в (5.76) и приравнять коэффициенты при $\zeta^{r},-\infty<r<k$. Для $r \geqslant 0$ (5.78) получается довольно легко. В дополнение следует доказать, что это также верно при $r<0$, при этом появляются производные от $\psi$ и $\varphi$. Для этого следует использовать уравнения, которым удовлетворяют $h_{r}, e_{r}$ и $f_{r}$. Выражения (5.78) должны быть, конечно, независимы от того, какое из уравнений (какое время $t_{k}$ ) мы используем. Пригодятся два уравнения
\[
h_{r}=-\frac{i}{4} \sum_{m+n-r} e_{m} c_{n}+f_{m} b_{n}
\]

или
\[
h=-i-\frac{i}{4}(e c+f b)
\]

и
\[
\sum_{m+n-r}\left(e_{m} c_{n}-f_{m} b_{n}\right)=0,
\]

которое записывается в виде
\[
e c=f b .
\]
$Q$ принадлежит орбите, проходящей через -іН. Затем мы показываем, что типичный элемент фазового пространства $Q$ лежит на орбите, проходящей через – $i H$.
Мы хотим показать, что
\[
\widehat{V}(-i H) \hat{V}^{-1}=Q
\]

или, что то же самое
\[
Q \hat{V}=\hat{V}(-i H),
\]

где
\[
\widehat{V}=\left(\begin{array}{cc}
1 & -\frac{1}{2} b \\
\frac{i}{2} c & 1
\end{array}\right) e^{\psi H+\varphi}
\]

является левым множителем $V$ в асимптотическом разложении вблизи $\zeta=\infty$, т. е. формально
\[
V=\hat{V} \exp \left(-i \sum \zeta^{k} t_{k} H\right)
\]

Так как правые множители в $(5.89 \mathrm{a}, \mathrm{b})$ коммутируют с $H$, нужно показать, что
\[
\left(\begin{array}{cc}
h & e \\
f & -h
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & -\frac{1}{2} b \\
\frac{i}{2} c & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & -\frac{i}{2} b \\
\frac{i}{2} c & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
-i & \\
& i
\end{array}\right) .
\]

Это следует из (5.79), (5.87).
Выпишем уравнение, которому удовлетворяет $
abla$. Из и (5.89b) получаем
\[
\widehat{V}_{t_{k}}=Q^{(k)} \hat{V}+\hat{V}\left(i H \zeta^{k}\right) .
\]

С этим уравнением мы снова встретимся в разд. 5 j.
$Я$ также отмечу, что если в качестве выделенной координаты $x$ брать $t_{j}$, то фазовым пространством будет алгебра многочленов от $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{j}, f_{1}, \ldots, f_{j}$ и их производных произвольного порядка по $x=t_{j}$. Набор $\left\{e_{1}, \ldots, e_{j}, f_{1}, \ldots, f_{j}\right\}$, если его рассматривать как функцию $x=t_{t}$, порождает фазовое пространство. А так как эти функции в точности есть элементы, содержащиеся в $Q^{(j)}=h^{(j)} H+e^{(j)} E+f^{(j)} F$, где $h^{(j)}=\zeta^{j} \sum_{0}^{j} h_{r} \zeta^{-r}$ (и аналогично определены $\left.e^{(j)}, f^{(j)}\right)$, то $Q^{(j)}$ можно считать фа-

зовым пространством. Из (5.89с) типичный элемент этого фазового пространства тогда запишется так:
\[
Q^{(i)}=\hat{V}\left(-i H \zeta^{j}-\partial_{t_{j}}\right) \hat{V}^{-1}+\hat{V}_{t_{j}} \hat{V}^{-1} .
\]

Замечание. Слово орбита употреблено здесь сознательно, и в нем заложен определенный смысл. Если всякий элемент $X$ фазового пространства, которое является алгеброй $G^{*}$, двойственной к алгебре $G$, может быть получен коприсоединенным действием $X=g X_{0} g^{-1}$ (в матричном представлении) элемента $g$ группы $\bar{G}$ на элемент $X_{0}$ пространства $G^{*}$, то тогда мы знаем, что фазовое пространство является симплектическим многообразием с невырожденной 2-формой. Например, если мы возьмем $x=t_{1}$ в качестве выделенной координаты, а в качестве фазового пространства возьмем пространство пар $e_{1}\left(x, t_{k}\right)$, $f_{1}\left(x, t_{k}\right)$, то фазовое пространство – это симплектическое многообразие с 2-формой $\int_{-\infty}^{\infty} \delta e_{1} \wedge \delta f_{1} d x$ (см [75]). При выборе $x=t_{j}$ фазовое пространство состоит из пар сопряженных функций $\left(\tilde{e}_{1}, \tilde{f}_{j}\right), \ldots,\left(\tilde{e}_{j}, \tilde{f}_{1}\right)$, определенных в разд. $5 \mathrm{~d}$, а 2 -формой является
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\delta \tilde{e}_{1} \wedge \delta \tilde{f}_{l}+\ldots+\delta \tilde{e}_{j} \wedge \delta \tilde{f}_{1}\right) d t_{j} .
\]

Можно трактовать (5.89d) как утверждение, что фазовое пространство – это орбита коприсоединенного действия, проходящение).