Рассмотрите уравнения Лакса (5.58a) из упражнения $5 \mathrm{c}(3)$. Они также решаются с помощью $V\left(t_{k}, \lambda\right)$, если положить
\[
\lambda Q=V C V^{-1}
\]
где $C$ не зависит от $t_{k}$, а $V$ удовлетворяет
\[
V_{t_{k}}=Q^{(k)} V \text {. }
\]
\[
V=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ll}
v\left(t_{k},-\zeta\right) & \frac{-i}{\zeta} v\left(t_{k}, \zeta\right) \\
v_{x}\left(t_{k},-\zeta\right) & \frac{-i}{\zeta} v_{x}\left(t_{k}, \zeta\right)
\end{array}\right),
\]

где $\zeta^{2}=\lambda, \quad v\left(t_{k}, \zeta\right)$-это $v$, удовлетворяющее (3.1), (3.9) (в разд. 3b время, обозначаемое как $t_{k}$ в (5.58a) и выше, обозначалось $t_{2 k-1}$ ), с асимптотическим разложением, заданным в упражнении $3 \mathrm{~b}$ (iii)
\[
v\left(t_{k}, \zeta\right) \sim \exp \left(i \zeta \sum_{1}^{\infty} \lambda^{k-1} t_{k}\right) \tau\left(x-\frac{1}{i \zeta}, t_{2}-\frac{1}{3 i \zeta^{3}} \ldots\right) .
\]
$\tau\left(t_{1}, t_{2}, \ldots\right)$ – это $\tau$-функция семейства КдФ. Читатель может проверить (5.90a) в вакуумном случае, когда $q=0$. Теперь (5.90b) можно записать как
\[
V=\hat{V} \exp \left(-i \sum_{1}^{\infty} \zeta^{2 k-1} t_{k} H\right)
\]

где
\[
\widehat{V}_{t_{k}}=Q^{(k)} \widehat{V}+\widehat{V}\left(i H \zeta^{2 k-1}\right),
\]

или, разрешая относительно $Q^{(k)}$,
\[
Q^{(k)}=\hat{V}\left(-i H \zeta^{2 k-1}\right) \hat{V}^{-1}+\widehat{V}_{t_{k}} \hat{V}^{-1} .
\]

Читатель должен также заметить, что если взять
\[
\hat{V}=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{U}\left(\begin{array}{cc}
1 & -i / \zeta \\
-i \zeta & 1
\end{array}\right),
\]

то уравнения (5.90f,g) для 0 будут отличаться лишь заменой $-i H \zeta^{2 k-1}$ на $X \lambda^{k}$, где $X=-F+E / \lambda$.

Дальнейшее замечание. Формулы (5.88a) и (5.90a) важны, ибо оказывается, что с их помощью устанавливается связь между двумя ролями, которые играет в нашем изложении алгебра Қаца – Муди $A_{1}^{(1)}$. Читатель помнит, что в разд. $4 \mathrm{~g}$ мы обсуждали, каким образом алгебра $A_{1}^{(1)}$ выступает в роли симметрий и как решения $\tau\left(t_{1}, t_{3}, \ldots\right)$ солитонных уравнений семейства КдФ образуют орбиту, проходящую через вектор старшего веса $(\tau=1)$ в некотором базисном представлении $A_{1}^{(1)}$, орбиту, определяемую квадратичными уравнениями Хироты. С другой стороны, в настоящей главе эта алгебра является фазовым пространством. В разд. 5ј мы увидим, что формулы (5.88a), (5.90a) естественно возникают как коприсоединенное действие «группы» Қаца – Муди на специальный элемент $\varepsilon$ (который есть либо $-i H$, либо $X=-F+(E / \zeta)$ ). В последующем подразделе

мы также увидим, как (5.88a) содержит уравнения Хироты.
Выражение для $\zeta(\partial V / \partial \zeta)$. В разд. 51 мы объясним, почему оператор $D=\zeta(\partial / \partial \zeta)$ является важным элементом теории в целом. Поэтому стоит вычислить
\[
(D V) V^{-1}=\left(\sum k \zeta^{k} t_{k}-\frac{1}{4 \zeta^{k}} \frac{\partial}{\partial t_{k}}-\frac{1}{2 \zeta^{k}} \frac{\partial \ln \tau}{\partial t_{k}}\right) Q+\frac{i}{2}(e E-f F) .
\]

Из (5.91a) попробуйте показать, что
\[
\left\langle\widehat{V}^{-1} D \hat{V},-i \zeta^{j} H\right\rangle_{0}=\frac{\partial \ln \tau}{\partial t_{j}} .
\]

Член $-i \zeta^{j} H-$ это $
abla \Phi_{j}(-i H)$, градиент гамильтониана $\Phi_{j}$, вычисленный в точке -iH. Уравнение (5.91b) является той формулой, с помощью которой исследователи из Киото определяют $\tau$-функцию [39]. При доказательстве (5.91) мы используем следующие факты:
\[
\begin{array}{l}
\zeta \frac{\partial}{\partial \zeta} f\left(t_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right)=\left(\sum_{1}^{\infty} \frac{-i}{2 \zeta^{j}} \frac{\partial}{\partial t_{j}}\right) f\left(t_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right), \\
D b=-e_{+}=-e\left(t_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right), \\
D c=-f_{-}=-f\left(t_{k}-\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right), \\
1+\frac{b c}{4}=-\frac{2 h}{i-h},
\end{array}
\]

а также (5.79) и (5.84).

Связь с теорией Хироты. Давайте попробуем взглянуть подругому на формулу (5.89) и запишем ее в виде
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{rr}
h & e \\
f & -h
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
X_{-} \tau & -\frac{i}{2 \zeta} X_{+} \sigma \\
\frac{i}{2 \zeta} X_{-} \rho & X_{+} \tau
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{cc}
X_{-} \tau & -\frac{i}{2 \zeta} X_{+} \sigma \\
\frac{i}{2 \zeta} X_{-} \rho & X_{+} \tau
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
-i & 0 \\
0 & i
\end{array}\right),
\end{array}
\]

что приводит к четырем соотношениям:
\[
\begin{array}{l}
(i+h) X_{-} \tau=-\frac{i}{2 \zeta} e X_{-} \rho \\
\frac{1}{2}(1+i h) X_{+} \sigma=\zeta e X_{+} \tau, \\
\frac{1}{2}(1+i h) X_{-} p=\zeta e X_{-} \tau, \\
(i+h) X_{+} \tau=-\frac{i}{2 \zeta} f X_{+} \sigma
\end{array}
\]

Давайте снова докажем (5.92b) способом, помогающим научиться обращаться с вершинными операторами. Коль скоро $\sigma=e_{1} \tau$, то также верно $\tilde{X}_{+} \sigma=\tilde{X}_{+} e_{1} \tau=\widetilde{X}_{+} e_{1} \widetilde{X}_{+} \tau$. В силу очевидного свойства оператора сдвига это равно $\xi b \tilde{X}_{+} \tau=(2 i e \xi /(i-$ $-h)) \tilde{X}_{+} \tau$. Умножение на $\exp \left(i \sum \zeta^{k} t_{k}\right)$ дает $(1 / 2)(1+i h) X_{+} \sigma=$ $=\zeta e X_{+} \tau$, что есть (5.92b). Но эти уравнения также являются уравнениями Хироты. Разложите (5.92b), используя
\[
\frac{1}{2}(1+i h)=1-\frac{1}{4} \sum \frac{1}{\zeta^{k}} \frac{\partial^{2}}{\partial t_{1} \partial t_{k-1}} \ln \tau,
\]
\[
\zeta e=e_{1}+\frac{i}{2} \sum_{2} \frac{1}{\zeta^{k-1}} \frac{\partial e_{1}}{\partial t_{k-1}}=\frac{\sigma}{\tau}+\frac{i}{2} \sum_{2} \frac{1}{\zeta^{k-1}} \frac{\sigma_{k-1} \tau-\sigma \tau_{k-1}}{\tau^{2}}
\]
и
\[
\begin{aligned}
\tilde{X}_{+} \sigma=\sigma+\frac{i}{2 \zeta} \sigma_{1}+\frac{1}{\zeta^{2}}\left(\frac{i}{4} \sigma_{2}\right. & \left.-\frac{1}{8} \sigma_{11}\right)+ \\
& +\frac{1}{\zeta^{3}}\left(\frac{i}{6} \sigma_{3}-\frac{1}{8} \sigma_{12}-\frac{i}{48} \sigma_{111}\right)+\ldots
\end{aligned}
\]

Напоминаем читателю, что нижние индексы у $\tau, \sigma, \rho$ обозначают частные производные. Коэффициент при $\zeta^{-2}$ есть
\[
\left(D_{t_{2}}-\frac{i}{2} D_{t_{1}}^{2}\right) \sigma \cdot \tau=0 .
\]

Коэффициент при $\zeta^{-3}$ включает уравнения

и
\[
\left(D_{t_{3}}-\frac{i}{2} D_{t_{1}} D_{t_{2}}\right) \sigma \cdot \tau=0
\]
\[
\left(D_{t_{3}}+\frac{1}{4} D_{i_{1}}^{3}\right) \sigma \cdot \tau=0 .
\]

Равенства при степенях более высокого порядка, по-видимому, дают все остальные уравнения
\[
P\left(D_{t_{k}}\right) \sigma \cdot \tau=0
\]

иерархии Хироты. Я не имею доказательства этого факта.

Другой более мощный способ вывода всех уравнений Хироты состоит в использовании тождества
\[
\frac{1}{2 \pi i} \int_{C} V(\mathbf{x}+\mathbf{y} ; \zeta) V^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{y} ; \zeta) d \zeta=I,
\]

где контур $C$-это круг вблизи $\zeta=\infty$, ориентированный против часовой стрелки, и $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots\right),\left(x_{j}=t_{j}\right)$. Подобная форма записи была предложена Дейтом, Дзимбо, Касиварой, Мивой [39] для членов иерархии КП. Я нахожу их доказательство слишком сложным для понимания. Лучший способ рассмотрения (5.93) – обратиться к соображениям аналитичности и считать, что (5.93) выражает полноту собственных состояний для $V_{x}=Q^{(1)} V$. Для обсуждения этого свойства читателю следует просмотреть третью работу из указанных в литературе под номером [23], приложение 6 .

В любом случае (5.93) говорит нам, что $\zeta^{-1}$-компонента $V(\mathbf{x}+\mathbf{y} ; \zeta) V^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{y} ; \zeta)$ есть единица. Используя (5.86), (5.87), получаем
\[
\begin{array}{c}
V(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\frac{1}{{ }^{+}}\left(\begin{array}{cc}
X_{-}^{+} \tau & -\frac{i}{2 \zeta} X_{+}^{+} \sigma \\
\frac{i}{2 \zeta} X_{-\rho}^{+} & X_{+}^{+} \tau
\end{array}\right), \\
V^{-1}(\mathbf{x}-\mathrm{y})=\frac{1}{\tau^{-}}\left(\begin{array}{cc}
X_{+}^{-} \tau & \frac{i}{2 \zeta} X_{+}^{-} \sigma \\
-\frac{i}{2 \zeta} X_{-}^{-} \rho & X_{-}^{-} \tau
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где верхний индекс вершинного оператора означает, что аргумент сдвинут на плюс или минус $\mathbf{y}$, т. е.
\[
\begin{aligned}
X_{-}^{+} \tau=\exp \left(-i \zeta\left(x_{1}+y_{1}\right)\right. & \left.-i \zeta^{2}\left(x_{2}+y_{2}\right) \ldots\right) \times \\
& \times \tau\left(x_{1}+y_{1}-\frac{i}{2 \zeta}, x_{2}+y_{2}-\frac{i}{4 \zeta^{2}}, \ldots\right) .
\end{aligned}
\]

Таким образом,
\[
\begin{array}{l}
\tau^{+} \tau^{-} V(\mathrm{x}+\mathrm{y} ; \zeta) V^{-1}(\mathrm{x}-\mathrm{y} ; \zeta)= \\
= \\
=\left(\begin{array}{cc}
X_{-}^{+} \tau X_{+}^{-} \tau-\frac{1}{4 \zeta^{2}} X_{+}^{+} \sigma X_{-\rho}^{-} & -\frac{i}{2 \zeta}\left(X_{+}^{+} \sigma X_{-}^{-} \tau-X_{+}^{-} \sigma X_{-}^{+} \tau\right) \\
\frac{l}{2 \zeta}\left(X_{-}^{+} \rho X_{+}^{-} \tau-X_{+}^{+} \tau X_{-}^{-}\right) & X_{+}^{+} \tau X_{-}^{-} \tau-\frac{1}{4 \zeta^{2}} X_{-\rho}^{+} X_{+}^{-} \sigma
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Я предлагаю вам разложить каждый член при $1 / \zeta$ в ряд Тейлора по $\mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots\right)$. Вы обнаружите, что коэффициенты при $y_{2} ; y_{3}, y_{1}^{3}$ нетривиальны, и, приравнивая их нулю, получите уравнения Хироты.

В качестве примера я разложу матричный элемент $(1,2)$. Он таков:
\[
\begin{aligned}
\exp \left(2 i \sum \zeta^{k} y_{k}\right) \sigma\left(x_{k}+y_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right) \tau\left(x_{k}-y_{k}-\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right)- \\
\quad-\exp \left(-2 i \sum \zeta^{k} y_{k}\right) \sigma\left(x_{k}-y_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right) \tau\left(x_{k}+y_{k}-\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right) .
\end{aligned}
\]

Мы ищем компоненту $\zeta^{0}$. Второй член получается из первого заменой $y_{k} \rightarrow-y_{k}$. Поэтому все четные по $y$ члены автоматически обращаются в нуль ( $y_{1}^{2}, y_{1} y_{2}, y_{1} y_{3}$ и т. д.). Во-первых, несложное вычисление показывает, что
\[
\begin{aligned}
\sigma\left(x_{k}+\right. & \left.y_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right) \tau\left(x_{k}-y_{k}-\frac{i}{2 k y^{k}}\right)= \\
& =\sigma\left(x_{k}\right) \tau\left(y_{k}\right)+\sum_{k}\left(y_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right) D_{k} \sigma \cdot \tau+ \\
& +\frac{1}{2 !} \sum\left(y_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right)\left(y_{j}+\frac{i}{2 j \zeta^{l}}\right) D_{k} D_{j} \sigma \cdot \tau+ \\
& +\frac{1}{3 !} \sum\left(y_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}\right)\left(y_{j}+\frac{j}{2 j \zeta^{j}}\right)\left(y_{l}+\frac{i}{2 l \zeta^{l}}\right) D_{k} D_{l} D_{l} \sigma \cdot \tau+ \\
& +\ldots,
\end{aligned}
\]

где $D_{k}$ – оператор Хироты (4.36), (4.37). Умножьте это выражение на $\exp \left(2 i \sum \zeta^{k} y_{k}\right)$, возьмите компоненту $\zeta^{0}$, затем замените $y_{k} \rightarrow-y_{k}$ и вычтите последнее выражение из предыдущего. Находим следующее:
\[
\begin{array}{l}
y_{1}: D_{1}-D_{1}, \\
y_{2}: \frac{1}{2} D_{2}-\frac{i}{4} D_{1}^{2}, \\
y_{3}: \frac{2}{3} D_{3}-\frac{i}{4} D_{1} D_{2}+\frac{1}{24} D_{1}^{3}, \\
y_{1}^{2}: \frac{2}{9} D_{3}-\frac{3 i}{9} D_{1} D_{2}-\frac{1}{9} D_{1}^{3} .
\end{array}
\]

Приравняв нулю эти выражения, получим
\[
\begin{array}{l}
\left(D_{2}-\frac{i}{2} D_{1}^{2}\right) \sigma \cdot \tau=0, \\
\left(D_{3}-\frac{i}{2} D_{1} D_{2}\right) \sigma \cdot \tau=0, \\
\left(D_{3}+\frac{1}{4} D_{1}^{3}\right) \sigma \cdot \tau=0 .
\end{array}
\]

Читатель может развить более прихотливые обозначения и получить выражения для многочленов Хироты через многочлены Шура $p_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$
\[
e^{k x_{1}+k^{2} x_{2}+\ldots}=\sum_{0}^{\infty} k^{n} p_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right) .
\]

Можно также подсчитать, сколько уравнений Хироты на каждом уровне [39]. Уровню $n$ принадлежит такое же число уравнений $N_{n}$, сколько существует разбиений целого числа $n$ в сумму нечетных целых чисел $n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{r}$, каждое $n_{s} \leqslant n$.