Вспомним, что наше волновое поле $u(x, t)$ имеет вид
\[
u(x, t)=a e^{i\left(k_{0} x-\omega_{0} t\right)}+\left(^{*}\right), \quad \omega_{0}=\omega_{0}\left(k_{0}\right),
\]
где $a$-функция от $\xi=\varepsilon\left(x-\omega_{0}^{\prime} t\right)$ и $T=\varepsilon^{2} t$, удовлетворяющая
\[
a_{T}=i \frac{\omega_{0}^{\prime \prime}}{2} a_{\xi \xi}+i \beta a^{2} a^{*} \text {. }
\]

Запишем $a=A e^{i \varphi}$. Естественно определить локальное волновое число $k$ как производную по $x$ и локальную частоту как взятую с обратным знаком производную по $T$ от полной фазы $\theta=k_{0} x-$ $-\omega_{0} T+\varphi(\xi, T)$ :
\[
k=k_{0}+\varepsilon \varphi_{\xi}, \quad \omega=\omega_{0}+\varepsilon \omega_{0}^{\prime} \varphi_{\xi}-\varepsilon^{2} \varphi_{T} .
\]

Отметим соотношение
\[
k_{T}+\omega_{x}=-\omega_{0}^{\prime} \varepsilon^{2} \varphi_{\xi \xi}+\varepsilon^{2} \varphi_{\xi T}+\varepsilon^{2} \omega_{0}^{\prime} \varphi_{\xi \xi}-\varepsilon^{3} \varphi_{T \xi},
\]

выражающее сохранение числа волн. Запишем изменение волнового числа $\varepsilon \varphi_{\varepsilon}$ как $\varepsilon K$. Тогда мнимая часть (2.52) дает
\[
\varphi_{T}=\frac{\omega_{0}^{\prime \prime}}{2}\left(\frac{A_{\xi \xi}}{A}-K^{2}\right)+\beta A^{2},
\]

и, дифференцируя по $\xi$, получаем
\[
K_{T}+\omega_{0}^{\prime \prime} K K_{\xi}=\beta \rho_{\xi}+\frac{\omega_{0}^{\prime \prime}}{2}\left(\frac{A_{\xi \xi}}{A}\right)_{\xi},
\]

где $\rho=A^{2}$. Уравнение (2.54a) – это то же уравнение сохранения числа волн (2.53), поскольку
\[
\omega=\omega_{0}+\varepsilon \omega_{0}^{\prime} K+\varepsilon^{2}\left(\frac{1}{2} \omega_{0}^{\prime \prime} K-\beta A^{2}-\frac{\omega_{0}^{\prime \prime}}{2} \frac{A_{\xi \xi}}{A}\right)
\]
(напомним, что $\partial / \partial t=\varepsilon^{2} \partial / \partial T-\varepsilon \omega_{0}^{\prime} \partial / \partial \xi, \partial / \partial x=\varepsilon \partial / \partial \xi$ ).
С другой стороны, вещественная часть (2.52)
\[
\left(A^{2}\right)_{T}+\omega_{0}^{\prime \prime}\left(A^{2} K\right)_{\xi}=0
\]

есть уравнение сохранения волнового действия.

Далее, рассмотрим монохроматическое решение
\[
A=A_{0}, \quad \varphi=\beta A_{0}^{2} T+\text { const },
\]

для которого
\[
k=k_{0}, \quad \omega=\omega_{0}-\beta A_{0}^{2} \varepsilon^{2} .
\]

Это – волна Стокса. Проверим ее линейную устойчивость, полагая $A=A_{0}+\widetilde{A}, K=\widetilde{K}$, и из (2.54) получим
\[
\begin{array}{l}
\tilde{K}_{T}=2 \beta A_{0} \tilde{A_{\beta}}+\frac{\omega_{0}^{\prime \prime}}{2} \frac{\tilde{A}_{\xi \xi \xi}}{A_{0}}, \\
\tilde{A}_{T}=-\frac{\omega_{0}^{\prime \prime}}{2} A_{0} \tilde{K}_{\xi},
\end{array}
\]
или

Поэтому если $\widetilde{A} \sim e^{i k \xi+\sigma T}$, то
\[
\sigma^{2}=\beta \omega_{0}^{\prime \prime} A_{0}^{2} K^{2}-\frac{\omega_{0}^{\prime \prime}}{4} K^{4},
\]

и поэтому если $\beta \omega_{0}^{\prime \prime}>0$, то решение (2.55) всегда неустойчиво по отношению к длинноволновым возмущениям из интервала волновых чисел $0<K^{2}<4 \beta A_{0}^{2} \omega_{0}^{\prime \prime}$. Максимальная скорость роста осуществляется, когда $K^{2}=2 \beta A_{0}^{2} / \omega_{0}^{\prime \prime}$, и равна $\beta^{2} A_{0}^{2}$. Читателю следует прочесть работу [59] Лэйка, Юэна, Рюнгальдье и Фергюсона, изучавших эту неустойчивость экспериментально для волн на воде. Следует прочесть также оригинальную статью Бенджамина и Фейра [51].

Причину этой неустойчивости можно понять следующим образом. Представим себе монохроматическую волну постоянной амплитуды $A_{0}$ с частотой $\omega_{0}-\beta A_{0}^{2} \varepsilon^{2}$, возмущенную в точке $P$ так, что амплитуда в точке $P$ меньше $A_{0}$. Пусть $\beta>0$. Тогда $\omega$ в точке $P$ больше, чем $\omega$ слева от $P$. Следовательно, в этой области $\omega_{x}>0$ и вследствие сохранения волн $k_{t}<0$. Следовательно, $k$ уменьшается, и если $\omega_{0}^{\prime \prime}>0$, то $\omega_{0}^{\prime}$ также уменьшается. Справа от $P \omega_{0}^{\prime}$ возрастает. Следовательно, области слева и справа от $P$ продолжают разделяться и амплитуда возмущения возрастает. При $\beta \omega_{0}^{\prime \prime}<0$ возмущение ограничено и со вре. менем затухает.

Итак, что же происходит с цугом поверхностных гравитационных волн, возбуждаемым в точке $S$ волнопродуктором с почти постоянной частотой $\omega$ ? Если $k, h>1.36$, то $\beta \omega^{\prime \prime}>0$ (см.

упражнение 2c(2) (ii)) и монохроматический цуг волн неустойчив. При принятой нами постановке задачи лучше всего изучать эволюцию $a$ по $X=\varepsilon^{2} x$ в зависимости от $T=\varepsilon\left(t-x / \omega^{\prime}\right)$. Если время действия волнопродуктора конечно, то возникающий волновой пакет разбивается на последовательность импульсов специального вида – солитонов нелинейного уравнения Шрёдингера, описываемых формулой (2.51). Если же источник действует непрерывно с постоянной по времени или периодической амплитудой, то нам нужно решать такую краевую задачу с начальными данными, в которой амплитуда $a(X, T)$ периодична по $T$. Поэтому, поскольку профиль эволюционирует по $X$, можно ожидать возвращаемость того же типа, что и в уравнении КдФ. Разница состоит только в том, что здесь поле периодично по времени и квазипериодично по пространству. А именно, вначале волновой цуг разбивается на несколько изолированных имнульсов, однако потом, при некотором большем значении координаты, они вновь собираются, воспроизводя начальное (как функцию времени при $x=0$ ) условие. Эта возвращаемость и в самом деле наблюдалась, и я отсылаю читатсля к статье Юэна и Фергюсона [60].

Если $\beta \omega^{\prime \prime}<0$ и мы создаем малое длинноволновое возмущение огибающей, то это возмущение будет распространяться в соответствии с уравнением КдФ. Читатель может увидеть линейную часть решеточного уразнения (1.3) в (2.56a). В качестве упражнения я попрошу вас учесть нелинейные члены и вывести соответствующее уравнение КдФ.

Неустойчивость Бенджамина – Фейра (ее иногда называют также модуляционной) широко распространена в физике и играет важную роль в разнообразных нелинейных волновых уравнениях. Попросту говоря, если дисперсия и нелинейность противодействуют друг другу, монохроматический цуг волн не хочет оставаться монохроматическим. Побочные гармоники вытягивают энергию из несущей волны с помощью резонансного механизма, что приводит к модуляции огибающей. В одномерной задаче модуляция огибающей постоянно растет вплоть до образования солитона, после чего наступает точный баланс нелинейности и дисперсии и дальнейшее искажение больше не происходит.

В двумерных задачах, если произведение $\beta$ на дисперсионный тензор $\partial^{2} \omega / \partial k_{r} \partial k_{s}, r, s=1,2$, является положительно определенной матрицей, процесс фокусировки продолжается непрерывно, пока не образуется локально бесконечная амплитуда, что происходит за конечное время. В контексте нелинейной оптики такое нитеобразование наблюдалось, а форма этих нитей обсуждалась в работе Захарова и Сынаха [61]. Рассмотрим

$q(\mathrm{r}, t)$, подчиняющуюся уравнению
\[
2 i q_{t}+
abla^{2} q+\beta\left(q q^{*}\right)^{\sigma} q=0,
\]

у которого имеются следующие интегралы движения:
\[
\begin{aligned}
N\left(q, q^{*}\right) & =\int q q^{*} d \mathbf{x}, \\
P\left(q, q^{*}\right) & =\int \frac{i}{2}\left(q
abla q^{*}-q^{*}
abla q\right) d \mathbf{x}, \\
H\left(q, q^{*}\right) & =\frac{1}{2} \int\left(|
abla q|^{2}-\frac{\beta}{\sigma+1}|q|^{2 \sigma+2}\right) d \mathbf{x} .
\end{aligned}
\]

Пространственная размерность задачи $n$, а $\sigma$ измеряет степень нелинейности. Для $\sigma<2 / n$ можно доказать глобальное по времени существование решения $q(\mathbf{r}, t)$. В интересующем нас случае $n=2, \sigma=1$, так что $\sigma=2 / n$ и это значение $\sigma$ критическое. В одномерной задаче критическое значение $\sigma$ равно двум. Теперь, если $N\left(q(\mathbf{r}, 0), q^{*}(\mathbf{r}, 0)\right)$ меньше $N_{0}$-критического значения, получающегося подстановкой в $N\left(q, q^{*}\right)$ сферически симметричного решения $q(\mathbf{r}, t)=e^{i t / 2} R(|\mathbf{r}|)$ с везде положительным $R(|\mathbf{r}|)$, с $R^{\prime}(0)=0, R(0)=\infty$ и удовлетворяющего $
abla^{2} R-R+$ $+\beta R^{2 \sigma+1}=0$, то снова $q(\mathrm{r}, t)$ существует при всех временах, если только $q(\mathbf{r}, 0)$ удовлетворяет весьма слабому условию
\[
\int\left(|q|^{2}+|
abla q|^{2}\right) d \mathbf{x}<\infty .
\]

Читателю для самопроверки следует доказать, что
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}} \int r^{2} q q^{*} d \mathbf{x}=4 H
\]

Заметим, что если $q(\mathbf{r}, 0)$ таково, что $H$, интеграл движения, отрицателен ( $H$ в точности равен нулю, когда $q(\mathbf{r}, t)=$ $=e^{i t / 2} R(|\mathbf{r}|)$ ), то положительная по своей природе величина $\int r^{2} q q^{*} d \mathbf{r}$ становится за конечное время отрицательной. Поскольку это невозможно, мы приходим к выводу, что до этого в $q(\mathbf{r}, t)$ должна образоваться сингулярность в $|\mathbf{r}|=0$. Это та самая сингулярность, которая обсуждается в [61]. Основной вывод таков, что вблизи времени схлопывания $t=t_{0}$ амплитуда $q(\mathrm{r}, t)$ при $n=2$ имеет аксиально симметричную форму, пропорциональную $\lambda R(\lambda|\mathbf{r}|)$, где $\lambda(t)=\left(t-t_{0}\right)^{-2 / 3}$. Для того чтобы учесть разницу в плотности числа частиц между решением в начальный момент времени и решением $\lambda R(\lambda|\mathbf{r}|$ ) (последнее несет в себе $N_{0}$ частиц), необходимо к этому центральному пику добавить шельф, который на больших расстояниях почти постоянен по $|\mathbf{r}|$, а потом внезапно исчезает при пока

что невычисленном значении. Эти последние замечания основаны на наблюдениях над численными экспериментами и некоторых теоретических работах. Структура схлопывающегося решения при критическом значении $\sigma=1$ пока в точности не известна. Неизвестно также, схлопываются ли за конечное время решения уравнений Захарова в двух пространственных измерениях, т. е. уравнений
\[
\begin{aligned}
a_{T}-i \varepsilon
abla^{2} a-i \varepsilon \rho A & =0, \\
\rho_{T T}-c^{2}
abla^{2} \rho=
abla^{2}\left(A A^{*}\right), \quad
abla^{2} & =\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} .
\end{aligned}
\]

Для этих уравнений нет соотношения, эквивалентного (2.57).
И наконец, если соответствующее НУШ имеет незнакоопределенную дисперсионную матрицу, как в случае гравитационных волн на глубокой воде, где
\[
a_{T}-i a_{x x}+i a_{y y}-2 i a^{2} a^{*}=0,
\]

то солитон, образовавшийся вдоль оси $x$, будет неустойчив к зависящим от $y$ возмущениям, однако это разрушение протекает менее драматично, чем процесс, описанный в предыдущем абзаце. Причиной неустойчивости является отток энергии от основной волны к распространяющимся под углом побочным гармоникам, вступающим вместе с основной волной в четырехволновой резонанс. (См. книгу Уизема [55], в которой обсуждается предложенный Филлипсом четырехволновой резонанс.)

Замечание. Удивительно, но неустойчивость волны Стокса не была открыта, пока не были выполнены эксперименты Бенджамина и Фейра. (Читатель может также обратиться к работе М. Дж. Лайтхилла в Proc. Roy. Soc. A, 299, pp. 28-53.) Формальный метод построения несинусоидальных периодических решений был предложен Стоксом в 1849 г. (Дж. Дж. Стокс, On the theory of oscillatory waves, Trans. Cambridge Phil. Soc., 8 , pp. 441-455), а доказательство сходимости ряда для пологих волн было дано Т. Леви-Чевита (Math. Ann., 93, pp. 264-314) в 1925 г. Хороший обзор роли НУШ в описании неустойчивости и сравнений с экспериментами содержится в [59].