В общем случае алгебра Каца – Муди $A_{1}^{(1)}$ может быть определена заданием шести порож-

дающих элементов $p_{0}, p_{1}, q_{0}, q_{1}, r_{0}, r_{1}$ (для алгебры, ассоциированной с $\tilde{\mathrm{sl}}(n+1, C)$, нам бы потребовалось $3(n+1)$ таких элементов) и их коммутаторов следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
{\left[q_{i}, r_{j}\right]=\delta_{i j} p_{j},} \\
{\left[p_{i}, p_{j}\right]=0 \text {, }} \\
{\left[p_{i}, q_{j}\right]=A_{i j} q_{j},} \\
{\left[p_{i}, r_{j}\right]=-A_{i j} r_{j},} \\
\operatorname{ad}_{q_{i}}^{1-A_{i j}} q_{j}=\operatorname{ad}_{r_{i}}^{1-A_{i j}} r_{j}=0, \\
\end{array}
\]

где $A_{i j}$ – это элементы обобщенной матрицы Картана $\left(\begin{array}{rr}2 & -2 \\ -2 & 2\end{array}\right)$ алгебры $A_{1}^{(1)}$, по повторяющимся индексам нет суммирования. Выражение $\operatorname{ad}_{q_{i}}^{1-A_{i j}} q_{j}$ означает $\left[q_{i},\left[q_{i}, \ldots,\left[q_{i}, q_{i}\right]\right]\right]$, где коммутатор применяется $1-A_{i j}$ раз (в нашем случае три раза), т. е. $\left[q_{i},\left[q_{i},\left[q_{i}, q_{j}\right]\right]\right]=0, i
eq j$. Например, рассмотрим отождествление
\[
\begin{array}{cccccc}
p_{0} & p_{1} & q_{0} & q_{1} & r_{0} & r_{1} \\
-H+Z & H & F \zeta & E & E \zeta^{-1} & F .
\end{array}
\]

Правила коммутирования (5.198) согласованы с правилами, установленными для $X_{j}=h_{j} F_{j}+e_{j} E_{j}+f_{j} F_{j}$ при $H_{j}=\zeta^{-j} H, E_{j}=$ $=\zeta^{-i} E, F_{j}=\zeta^{-j} F$. Заметьте, что элемент $p_{0}+p_{1}=Z$ коммутирует со всеми другими; он называется центром. Обратите внимание, как порождаются новые элементы; $H_{1}$ или $\zeta H$ получается с помощью $\left[q_{1}, q_{0}\right] ; F_{2}$ или $\zeta^{-2} F$ с помощью $-\frac{1}{2}\left[\left[q_{1}, q_{0}\right], q_{0}\right]$ и так далее. Читатель может проверить, что последнее условие из (5.198) удовлетворено.

Когда центр $Z$ добавлен к базису петель $\left\{H_{j}, E_{j}, F_{j}\right\}_{-\infty}^{\infty}$, новый набор называется центральным расширением алгебры петель $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$.

Қаждому порождающему элементу мы хотим приписать вес $W$ так, чтобы это согласовывалось с правилами коммутации (5.198). Например, мы могли бы сделать это следующим способом:
\[
\begin{array}{llllrl}
p_{0} & p_{1} & q_{0} & q_{1} & r_{0} & r_{1} \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0
\end{array}
\]

Приняв правило, что вес коммутатора есть сумма весов входящих в него элементов, мы замечаем, что приписывание весов – действительно непротиворечивая процедура; например, $W\left(\left[q_{1}, r_{1}\right]\right)=0=W\left(p_{1}\right)$. Сравнивая отождествление (5.199) с

(5.200a), получаем выражение для эквивалентного приписывания весов в случае нашего базиса:
\[
\begin{array}{cccc}
H & E & F & \zeta \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\]

Заметьте, что каждое из слагаемых
\[
h_{j} H_{j}+e_{j} E_{j}+f_{j} F_{j}
\]

имеет равный вес. Это называется однородной градуировкой.
Но есть другие возможности. Рассмотрим приписывание весов
\[
\begin{array}{llllrr}
p_{0} & p_{1} & q_{0} & q_{1} & r_{0} & r_{1} \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1
\end{array}
\]

которое может быть достигнуто тем же отождествлением (5.199)
\[
\begin{array}{cccccc}
p_{0} & p_{1} & q_{0} & q_{1} & r_{0} & r_{1} \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
-H+Z & H & F \zeta & E & E \zeta^{-1} & F
\end{array}
\]

Но теперь мы приписываем веса
\[
W(H)=0, \quad W(E)=1, \quad W(F)=-1, \quad W(\zeta)=2
\]
$H, E, F$ и градуирующему параметру $\zeta$.
Қак связаны две градуировки? Рассмотрим отображение, действующее на элемент общего вида $X(\zeta)=\sum_{\infty}^{-\infty}\left(h_{j} H+e_{j} E+\right.$ $\left.+f_{f} F\right) \xi^{-i}$ алгебры $\tilde{\mathrm{s}}(2, C)$,
\[
X(\zeta) \rightarrow\left(\begin{array}{cc}
1 & \\
& \lambda^{-1}
\end{array}\right) X\left(\lambda^{2}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & \\
& \lambda
\end{array}\right),
\]

в котором мы отождествляем коэффициенты при $h_{j}, e_{j}, f_{j}$ :
\[
\begin{aligned}
H \zeta^{-1} & \rightarrow H \lambda^{-2 j}, \\
E \zeta^{-j} & \rightarrow E \lambda^{-2 j+1}, \\
F \zeta^{-j} & \rightarrow F \lambda^{-2 j-1} .
\end{aligned}
\]

Используем это отождествление, чтобы приписать новые веса $H, E, F, \zeta$ в левой части при условии, что в правой части веса таковы: $W(H)=W(E)=W(F)=0, \quad W(\lambda)=1$. Ясно, что веса должны совпадать с (5.201c). И не удивительно, что существует изоморфизм между двумя элекентами $\mathrm{sl}(2, C)$, даже несмотря

на то, что базисные векторы и градуирующий параметр имеют другие веса.

Но как это отличие может повлиять на динамику? Дело в том, что разные градуировки порождают различные разложения алгебры. В первой градуировке члены $h_{0} H, e_{0} E, f_{0} F$ все имеют один вес, именно нуль, и поэтому приписаны к $N$. Они также принадлежали пространству $N^{*}=K^{\perp}$, которое было фазовым пространством. Во второй градуировке члены $e_{0} E$ и $f_{0} F$ принадлежат разным подалгебрам, первый имеет вес единица и принадлежит $N$, в то время как последний имеет вес -1 и поэтому приписан к $K$. Теперь вспомним, что это в точности разложение, использованное в третьем примере в конце разд. 5с, а именно:
\[
\begin{array}{l}
N=\sum_{-1}^{-M}\left(h_{j} H+e_{j} E+f_{j} F\right) \zeta^{-j}+h_{0} H+e_{0} E, \quad M \text { произвольно, } \\
K=\sum_{1}^{\infty}\left(h_{j} H+e_{j} E+f_{j} F\right) \zeta^{-j}+f_{0} F .
\end{array}
\]

Заметим, что все члены в $N$ имеют веса, большие или равные нулю; члены в $K$ имеют веса, меньшие или равные -1 . Элемент общего вида, принадлежащий фазовому пространству $K^{\perp}$,
\[
Q=h_{0} H+f_{0} F+\sum_{1}^{\infty}\left(h_{j} H+e_{j} E+f_{j} F\right) \zeta^{-j},
\]

может быть записан в более подходящей форме
\[
\begin{aligned}
Q= & X_{1}+\sum_{j=1}^{\infty} h_{j} Z_{2 j}+\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(-f_{j}+e_{j+1}\right) X_{2 j+1}+ \\
& +\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(f_{j}+e_{j+1}\right) Y_{2 j+1} .
\end{aligned}
\]

B (5.203)
\[
\begin{aligned}
Z_{2 j} & =H \zeta^{-j}, \\
X_{2 J+1} & =\left(-F+\frac{E}{\zeta}\right) \zeta^{-j}, \\
Y_{2 J+1} & =\left(F+\frac{E}{\zeta}\right) \zeta^{-j},
\end{aligned}
\]

а нижние индексы обозначают обратные веса каждого члена. Читатель также вспомнит, что в разд. 5с(iii) мы брали $h_{0}=0$, $-f_{0}=e_{1}=1$, и этот выбор был согласован с введением временны́х потоков.

В то время как первая градуировка естественно приводит к семейству нелинейных уравнений Шрёдингера (НУШ), вторая градуировка столь же естественно приводит к семействам КдФ и мКдФ. Я сознательно употребляю слово «естественно». Семейство НУШ, конечно, содержит в себе семейства КдФ и мКдФ, но, чтобы их выделить, надо налагать ограничения на фазовое пространство ( $f_{1}=-1$ для КдФ или $f_{1}= \pm e_{1}$ для мКдФ). Во второй градуировке эти уравнения появляются без наложения каких-либо связей. Единственная наложенная нами связь (которая выглядит несколько произвольно) – это выбор $h_{0}=0$, аналогичный выбору $h_{0}=-i, e_{0}=f_{0}=0$ в уравнениях, связанных с первой градуировкой. Этот сравнительно небольшой произвол может быть устранен, если использовать фазовое пространство $\varepsilon+K^{\perp}$ вместо $K^{\perp}$, где $\varepsilon$ – отмеченный элемент, выбранный (с некоторыми ограничениями) в двойственном к $K$ пространстве $K^{*}$. В разделах $5 \mathrm{i}, 5 \mathrm{j}$ мы еще встретимся с этой идеей.

В качестве заключительного замечания к этому разделу мы упомянем, что все независимые способы градуировки алгебры петель $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C)$ определяются автоморфизмами $\mathrm{sl}(2, C)$ конечного порядка. Автоморфизм $\sigma$ конечного порядка есть отображение на алгебре, сохраняющее скобку Ли, т. е. $[\sigma(X), \sigma(Y)]=$ $=\sigma([X, Y]), X, Y \in \widetilde{s} 1(2, C)$, такое что $\sigma^{m}$ равняется единице при некотором целом $m$. Все такие отображения суть преобразования подобия $\sigma(X)=a X a^{-1}$ для некоторого $a$ в $\operatorname{sl}(2, C), a^{m}=I$. Для $\operatorname{sl}(2, C)$ заметьте, что при $a=H$ б действует как линейное преобразование на пространстве $H, E, F$ и разбивает его на два подпространства $\sigma(H)=H, \sigma(E, F)=(-E,-F)$. Заметьте, что в (5.203) элементы $H$ и $E, F$ появляются как соответственно четные и нечетные степени взвешивания.