Крускрал и Забуски (КЗ) [6]-[10] рассмотрели проблему ФПУ в непрерывном пределе. Они полагали, что так как энергия содержится в наинизших модах системы и смещения соседних масс отличаются на $O(h / L)$, то можно ввести непрерывные смещения $y(x, t)$, где $y(i h, t)=y_{i}$. Разлагая смещения $y_{i+1}$ и $y_{i-1}$ в ряды

Тейлора, полагая $k h^{2} / m=c^{2}, 2 \alpha h=\varepsilon, h^{2} / 12 \varepsilon=\delta^{2}$, из получаем
\[
y_{t t}-c^{2} y_{x x}=\varepsilon c^{2} y_{x} y_{x x}+\varepsilon c^{2} \delta^{2} y_{x x x x},
\]

где члены порядка $\varepsilon^{2}$ отброшєны и $\varepsilon$-малый параметр. Қак мы увидим, сохранение второго члена в правой части (члена с четвертой производной) является решающим обстоятельством при приближении конечной разности второго порядка. Так как ФПУ решали свое уравнение с центрированной временной разностью, то в (1.3) следовало бы включить также член $y_{\text {tttt }}$, но с хорошей точностью $y_{t t t t}=c^{4} y_{x x x x}$, и это приведет только к переопределению величины $\delta^{2}$. Так как численная схема должна удовлетворять условию Куранта – Фридрихса – Леви, то знак $\delta^{2}$ при этом не изменится.

Қак анализировать (1.3)? Ясно, что для времен и расстояний порядка единицы решение ведет себя так, как если бы оно удовлетворяло линейному уравнению. Начальный профиль распадается на компоненты, идущие вправо и влево, каждая из которых распространялась бы без возмущений, если бы не совместное действие нелинейных и дисперсионных членов в правой части (1.3). Как эволюционирует каждая из этих компонент под действием этих новых влияний? Чтобы изучить этот вопрос, ҚЗ стали искать решение (1.3) в виде
\[
y(x, t)=f(\xi, T)+\varepsilon y^{(1)}(x, t)+\ldots,
\]

где $\xi=x-c t, T=\varepsilon t$, и зависимость $f$ от $T$ описывает эволюцию профиля $f(\xi, T)$ на больших расстояниях и временах порядка $1 / \varepsilon$. Уравнение для $y^{(1)}$ имеет вид
\[
y_{t t}^{(1)}-c^{2} y_{x x}^{(1)}=2 c f_{\xi T}+c^{2} f_{\xi} f_{\xi \xi}+c^{2} \delta^{2} f_{\xi \xi \xi \xi} .
\]

Решение $y^{(1)}$ будет линейно расти по переменной $\xi^{-}=x+c t$, и асимптотический ряд (1.4) станет неоднородным на больших временах, если только зависимость $f$ от $T$ не выбрана так, чтобы обратить правую часть (1.5) в нуль. Полагая $6 q=f_{\xi}, \tau=c T / 2$, получаем
\[
q_{\tau}+6 q q_{\xi}+\delta^{2} q_{\mathrm{\xi g}}=0,
\]
т. е. уравнение Кортевега – де Фриза. Уединенной волне, наблюденной Расселлом, соответствует зависящее от параметра $\eta$ решение в виде квадрата гиперболического секанса ( $\delta^{2}=1$ )
\[
q=2 \eta^{2} \operatorname{sech}^{2} \eta(\xi-v \tau),
\]

получающееся из периодического решения (кноидальной волны) предельным переходом к бесконечному периоду.

Из вышесказанного становится ясно, почему было необходимо ввести второе приближение для центрированной конечной разности $y_{i+1}-2 y_{i}+y_{i-1}$. Если $\delta^{2}=0$, то уравнение (1.6) имеет решения, становящиеся за коненное время разрывными. Например, беря начальное условие в виде $q(\xi, 0)=(1 / 6) л а \cos 2 \pi \xi$, соответствующем начальным условиям $y(x, 0)=a \sin 2 \pi x$, $y_{t}(x, 0)=0$ (напомним, так как $y_{t}(x, 0)=0$, распространяться вправо будет только половина начального профиля). Максимальный отрицательный накло: $q_{\xi}$ увеличивается монотонно от $-\pi^{2} a / 3$ при $t=0$ до $-\infty$ при $t=1 /\left(\pi^{2} a \varepsilon c\right)$. Таким образом,
Рис. 1. Развитие во времени формы волны $q(x)$ (по [6]).

наивная непрерывная аппроксимация системы (1.2) становится непригодной. При конечных, но малых $\delta^{2}$ возникает другая картина. Рис. 1, взятый из знаменитой работы Забуски и Крускала 1965 г. [6], в которой анонсируется солитон, показывает результат их численных расчетов, в которых для решения уравнения КдФ (1.6) была использована схема с центрированной разностью, сохранявшая массу и (приблизительно) энергию. Они взяли периодические гранұчные условия, и начальный профиль был синусоидальным. Сначала участки с отрицательными уклонами становились более крутыми, после чего член с третьей производной приводил к образованию вблизи максимумов и слева от них тонкой структуры в виде колебаний с длиной волны $\delta$ (см. рис. 1, профиль В). Со временем колебания разделялись, образуя цепочку распространяющихся вправо импульсов. При этом самый большой импульс оказывался самым правым, и каждый из них, казалось, сохранял свою индивидуальность и

имел скорость, пропорциональную его амплитуде. Қаждый из этих импульсов приближенно может быть описан солитонным решением (1.7), хотя, строго говоря, это решение описывает изолированный импульс на бесконєчной прямой. Вследствие периодических граничных условий солитонные импульсы последовательно возобновлялись на левой границе, и вследствие большей скорости бо́льшие импульсы набегали на меньшие. И тут исследователи обнаружили удивительное явление. В то время как в ходе взаимодействия два импульса вели себя самым нелинейным образом, после него они восстанавливались в таком порядке, что больший оказывался впереди, при этом каждый из них в точности сохранял свою индивидуальность (высота, ширина и скорость). Единственным свидетельством столкновения был фазовый сдвиг: больший импульс оказывался сдвинутым вперед по отношению к положению, которое бы он занимал, если бы распространялся без столкновения, а меньший – назад. Если два импульса были почти одинаковыми, при взаимодействии импульсы, казалось, обменивались своими характеристиками, так что передний и меньший импульс становился выше и у́же, как только к нему подходил передний фронт большего импульса, который в свою очередь приобретал характеристики меньшего. Если импульсы были существенно разной амплитуды, больший адиабатически проходил сквозь меньший. Для промежуточного соотношения амплитуд взаимодействие было более сложным. Впоследствии, анализируя взаимодействие, Лакс [14] (1968) строго обосновал эти наслюдения.

Такое поведение импульсов было, в самом деле, очень необычным. Они заслуживали специального названия, и они его получили. Их назвали солитонами, чтобы подчеркнуть их частицеподобные свойства. После многократного повторения процесса прохождения сквозь решетку из остальных солитонов их прежнее относительное положение восстанавливалось, и они образовывали тонкую структуру с постоянно уменьшающимся отрицательным наклоном, пока почти полностью не восстанавливался начальный синусоидальный профиль. Этот процесс представляет собой зеркальное отражение (как во времени, так и в пространстве) первоначального распада исходного профиля. Время, через которое импульсы сливаются в начальный профиль, называется временем возвращения. Причина этого «почти возвращения» за такое короткое время состоит в том, что начальный профиль распадается на относительно небольшое число солитонов. Время возвращения можно оценить как минимальное время, за которое импульсы, двигающиеся по окружности длины $L$ с различными постоянными скоростями, снова попадут в общую точку.

Эта картина является только аппроксимацией точного решения по двум причинам. Во-первых, как было показано в более поздних работах 1976 г., если начальный профиль аналитичен по $\xi$, решение (1.6) при периодических граничных условиях может быть приближенно так называемым «конечнозонным», являющимся второй логарифмической производной от $\Theta$-функции Римана, зависящей от векторного аргумента $k_{j} \xi+\omega_{j} \tau, j=$ $=1, \ldots, N$, где $N$ – число степеней свободы. Это эквивалентно высказыванию, что для гладкого начального профиля большая часть энергии распределяется по относительно небольшому числу солитонных состояний. Для больших $N$ ширины зон экспоненциально малы. Если $N=1$, то конечнозонное решение становится периодической эллиптической функцией
\[
q(\xi, \tau)=\beta+(\alpha-\beta) \mathrm{cn}^{2}\left\{\sqrt{\frac{\alpha-\gamma}{2}}(\xi-2(\alpha+\beta+\gamma) \tau) ; m^{2}\right\},
\]

где $m^{2}=(\alpha-\beta) /(\alpha-\gamma), \quad \alpha>\beta>\gamma$, и мы приняли $\delta^{2}=1$. В пределе бесконечного периода, $m^{2} \rightarrow 1$, получаем (1.7) с $\alpha=$ $=2 \eta^{2}$, если мы накладываем условие $q \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \pm \infty$. Вовторых, в то время как по $\xi$ решение периодично (поскольку периодичен начальный профиль), по $\tau$ оно только квазипериодично, так как частоты $\omega_{i}$, вообще говоря, несоизмеримы. Таким образом, время «возвращения» определяется рациональной аппроксимацией частот, соответствующих энергонесущим модам (зонам). Точность возвращения поэтому является функцией числа таких мод и выбранной точности аппроксимации их частот ${ }^{1}$ ).

В любом случае странные свойства взаимодействия солитонов вместе со свойством «почти возвращаемости» к начальному состоянию все более и более указывали на полную (в некотором смысле) интегрируемость КдФ, что должно было бы быть связано с большим количеством сохраняющихся величин. Однако исследователи были далеки от мысли о связи с теорией гамильтоновых систем, и мотивировка поисков законов сохранения пришла с другой стороны. Перед тем как описать это, я должен отметить важную и плодотворную роль численного экспериментирования в этих открытиях, как это часто подчеркивает Забуски. (Я очень рекомендую его статью [10].) Это был первый случай в истории науки, когда исследователи получили доступ к новой могучей силе – вычислительной технике.
1) Более точно было бы сказать, что время возвращения в случае общего положения определяется допускаемым отклонением конечного состояния от начального, а это допустимое отклонение в свою очередь определяет точность рационального приближения частот. – Прим. перев.

В самом деле, в течение немногих последних лет мы видели непрекращающиеся свидетельства того, как этот новый стиль исследования – комбинация анализа и численного эксперимента – становится все более важным в научном открытии. Странный аттрактор, новое и фундаментальное понятие теории динамических систем, играющее центральную роль в нынешних попытках понимания некоторых видов турбулентности, тоже был открыт на этом пути.

Теперь предостережение. Тот факт, что у уравнения есть решения типа уединенной волны, сохраняющие свою форму в процессе нелинейного взаимодействия, часто рассматривается и как лакмусовая бумажка на наличие солитонов, и как определение солитона. Я хочу предостеречь читателя, что это условие только необходимо. Есть уравнения (например, в (1.54) замените $D_{x}^{4}$ на $D_{x}^{8}$ ), допускающие двухфазные решения типа уединенных волн (и поэтому асимптотическая форма каждого такого индивидуального решения сохраняется после столкновения), но тем не менее они не обладают всеми необходимыми свойствами, чтобы их можно бнло отнести к солитонному классу. Надлежащее определение солитона включает его связь с определенным типом данных рассеяния задачи на собственные значения. Это мы обсудим в разд. 1е. Тем не менее численное моделирование столкновения двух уеднненных волн для проверки их поведения в процессе их взаимодействия является очень полезным. Более хорошим тестом служит в добавление к проверке столкновения двух уединенных волн проверка упругости взаимодействия уединенной волны с другими частными, но локальными решениями уравнения. В случае КдФ, например, можно сталкивать уединенную волну с волной понижения.