В этой части я в первую очередь хочу продемонстрировать вам, как меняются во времени данные рассеяния, если $q\left(x, t_{2 k+1}\right)$ изменяется в силу любого из уравнений (3.9). Мы начнем со случая, когда $q(x, t)$ удовлетворяет (3.52). Потом я хочу вывести формулы, позволяющие вычислить инфинитезимальные вариации данных рассеяния, порождаемые инфинитезимальными вариациями $\delta q$ потенциала. Инфинитезимальное изменение потенциала может быть произвольным и не должно удовлетворять какому-либо из уравнений (3.9). Эти формулы важны для:
(i) построения теории возмущений в случае, когда $q(x, t)$ изменяется согласно уравнению типа $q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=$ $=\varepsilon F\left(q, q_{x}, \ldots\right), 0<\varepsilon \ll 1$;

(ii) доказательства (3.17), усганавливающего связь между потоками $L^{n} q$ и вариационными производными от $H_{2 n+1}$;
(iii) выражения $q$ и $\delta q$ через базис из квадратов собственных функций по аналогии с преобразованием Фурье.

Временная динамика данных рассеяния. Используя (3.53), легко вычислить зависимость данных рассеяния от времени. Первая задача состоит в выборе константы $C$ таким способом, чтобы нормировка собственных функций оказалась совместимой с определениями функций $\varphi(x, t ; \zeta)$ и $\psi(x, t ; \zeta)$. Вспомним, что по определению (3.58) $\varphi(x, t ; \zeta) \sim e^{-i \zeta x}$ при $x \rightarrow-\infty$ при всех $t$, и для этого необходимо выбрать $C=4 i \zeta^{3}$. Аналогично для $\psi(x, t ; \zeta)$ следует выбрать $C=-4 i \zeta^{3}$. Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{t}=\left(q_{x}+4 i \zeta^{3}\right) \varphi+\left(4 \zeta^{2}-2 q\right) \varphi_{x}, \\
\psi_{t}=\left(q_{x}-4 i \zeta^{3}\right) \psi+\left(4 \zeta^{2}-2 q\right) \psi_{x} .
\end{array}
\]

Для нахождения производных по $t$ от $a(\zeta, t), b(\zeta, t)$ используем прямо формулу (3.59) или ее асимптотический вид при $x \rightarrow+\infty$. Дифференцируя по $t$ левую часть (3.59), получаем
\[
\begin{array}{l}
\left(q_{x}+4 i \zeta^{3}\right)(a \psi(x,-\zeta)+b \psi(x, \zeta))+ \\
\quad+\left(4 \zeta^{2}-2 q\right)\left(a \psi_{x}(x,-\zeta)+b \psi_{x}(x, \zeta)\right)
\end{array}
\]

а дифференцируя правую-
\[
\begin{array}{l}
a_{t} \psi(x,-\zeta)+b_{t} \psi(x, \zeta)+a\left(q_{x}+4 i \zeta^{3}\right) \psi(x,-\zeta)+ \\
+a\left(4 \zeta^{2}-2 q\right) \psi_{x}(x,-\zeta)+b\left(q_{x}-4 i \zeta^{3}\right) \psi(x, \zeta)+b\left(4 \zeta^{2}-2 q\right) \psi_{x}(x, \zeta) .
\end{array}
\]

Приравнивание двух этих выражений дает
\[
a_{t}=0, \quad b_{t}=8 i \zeta^{3} b .
\]

Аналогичные вычисления для (3.66) дают
\[
b_{k t}=8 i \zeta^{3} b_{k}=8 \eta_{k}^{3} b_{k} .
\]

Заметим, что (3.93a) и (3.93b) совместимы в том смысле, что если потенциал $q(x, t)$ таков, что $b(\zeta, t)$ допускает аналитическое продолжение в $\zeta=\zeta_{k}$, то (3.93a) там совпадает с (3.93b). С другой стороны, подстановка в (3.91) асимптотического вида $\varphi(x, t, \zeta)$, т. е. $a(\zeta, t) e^{-i \xi x}+b(\zeta, t) e^{i \zeta x}$, также дает (3.93a).

Существенное замечание, которое необходимо сделать, состоит в том, что хотя эволюция $\varphi$ и $\psi$ зависит от неизвестной величины $q(x, t)$ и всех ее производных по $x$, данные рассеяния включают только относительное поведение собственных функций в точках $x= \pm \infty$, в которых известна $q(x, t)$ вместе со всеми ее производными (они все равны нулю). С другой стороны, если

бы мы решали периодическую задачу на интервале $0 \leqslant x \leqslant L$, то у нас бы не было в распоряжении такой точки, в которой $q(x, t)$ известна в любой момент времени, и это делает эволюцию новых координат в этой задаче гораздо более сложной.

Постоянство $a(\zeta)$ играет центральную роль в теории. Во-первых, оно означает неизменность во времени дискретных собственных значений $\zeta_{k}=i \eta_{k}, k=1, \ldots, N$. Во-вторых, из (3.65) и (3.69) мы видим, что гамильтонианы $H_{2 n+1}, n=0,1, \ldots$, и масса $\int_{-\infty}^{\infty} q d x$ являются интегралами движения. Это справедливо для любого потока из семейства КдФ. Единственное, чем отличается $(\text { КдФ) })_{3}$ от (КдФ) $2_{2 n+1}$, 一это, в соответствии с (3.9) (напомним, что $t$, входящее в (3.9), в 4 раза больше, чем $t$ в (3.52), (3.53)), то, что в первом случае
\[
b_{t_{3}}=2 i \xi^{3} b
\]

в то время как во втором
\[
b_{t_{2 n+1}}=2 i \zeta^{2 n+1} b .
\]

Таким образом, хотя в физическом пространстве трудно увидеть разницу между потоками с $n=1,2,3, \ldots$ (сравните (3.15) и (3.16)), в пространстве данных рассеяния их различие тривиально и сводится просто к разным степеням $\xi_{\text {и }}$ и $\xi_{k}$ вазах $b(\zeta, t)$ и $b_{k}(t)$. По этой причине легко рассматривать линейные комбинации этих потоков. Например,
\[
q_{t}=\alpha q_{t_{3}}+\beta q_{t_{5}}+\gamma q_{t_{r}}+\ldots
\]

дает $a_{t}=0$, и
\[
\begin{aligned}
b_{t} & =2 i\left(\alpha \zeta^{3}+\beta \zeta^{5}+\gamma \zeta^{7}+\ldots\right) b, \\
b_{k_{t}} & =2 i\left(\alpha \zeta_{k}^{3}+\beta \zeta_{k}^{5}+\gamma \zeta_{k}^{7}+\ldots\right) b_{k} .
\end{aligned}
\]

Одним из следствий этого является формула, определяющая многосолитонное решение (3.88) сразу для всех потоков. Достаточно использовать подходящую фазовую скорость в $\bar{x}_{k}$. Вспомним, что $b_{k}=e^{2 \eta_{k} \bar{x}_{k}}=e^{-2 i \bar{\xi}_{k} \bar{x}_{k}}$. Многосолитонная формула для $q\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)$ как функции чистых потоков (3.9) задается (3.88), (3.89) c
\[
H_{j}=2 i\left(\xi_{j} x+\xi_{j}^{3} t_{3}+\xi_{j}^{5} t_{5}+\ldots\right) .
\]

Влияние инфинитезимальных вариаций потенциала. Следующая наша задача состоит в определении инфинитезимальных вариаций данных рассеяния, возникающих вследствие инфинитезимального изменения потенциала $q(x)$. Как мы увидим, эти

формулы важны с самых разных точек зрения. Если $q$ подвергается изменению $q \rightarrow q+\delta q$, то при вещественных (фиксированных $) \zeta$ вариация $\psi(x, \zeta)$ удовлетворяет уравнению
\[
(\delta \psi)_{x x}+\left(\zeta^{2}+q\right) \delta \psi=-\delta q \psi .
\]

Мы знаем два линейно независимых решения однородного уравнения $\psi(x, \zeta)$ и $\psi(x,-\zeta)$ и поэтому можем решить (3.97) вариацией постоянных. Получаем
\[
\begin{aligned}
\delta \psi= & \frac{1}{2 i \zeta} \psi(x,-\zeta) \int_{+\infty}^{x} \delta q(y) \psi^{2}(y, \zeta) d y- \\
& -\frac{1}{2 i \zeta} \psi(x, \zeta) \int_{+\infty}^{x} \delta q(y) \psi(y, \zeta) \psi(y,-\zeta) d y .
\end{aligned}
\]

Устремляя $x \rightarrow-\infty$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\delta a=\frac{1}{2 i \zeta} \int_{-\infty}^{\infty} \delta q(x) \psi(x, \zeta) \varphi(x, \zeta) d x, \\
\delta b^{*}=\frac{1}{2 i \zeta} \int_{-\infty}^{\infty} \delta q(x) \psi(x, \zeta) \varphi(x,-\zeta) d x .
\end{array}
\]

Из (3.98) находим
\[
\delta\left(\frac{b^{*}}{a}\right)=\frac{1}{2 i \zeta a^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \delta q \psi^{2} d x .
\]

Получить формулы для $\delta \zeta_{k}$ и $\delta \gamma_{k}$ проще всего, допуская существование аналитического продолжения в $\zeta=\zeta_{k}$. Даже если оно неприменимо, полученные формулы будут верными, так как не могут зависеть от того, является ли носитель $q$ компактным или нет. Маленькая трудность состонт в том, что для вещественных $\zeta b^{*}(\zeta)=\beta(-\zeta)$. Для комплексных $\zeta$ продолжение $b(\zeta)$ в $\zeta=\zeta_{k}$ должно удовлетворять $b\left(\zeta_{k}\right) b\left(-\zeta_{k}\right)=-1$, поскольку $a\left(\zeta_{k}\right)=0$. Поэтому продолжение $b^{*}$ в $\zeta=\zeta_{k}$ есть $-1 / b_{k}$. Я оставляю читателям в качестве упражнения показать, что
\[
\begin{array}{c}
\delta \zeta_{k}=\frac{-\gamma_{k}}{2 i \zeta_{k}} \int_{-\infty}^{\infty} \delta q \psi_{k}^{2} d x \\
\delta \beta_{k}+\left(\frac{a_{k}^{\prime \prime}}{a_{k}^{\prime}}+\frac{1}{\zeta_{k}}\right) \beta_{k} \delta \zeta_{k}=\frac{-\gamma_{k}}{2 i \zeta_{k} a_{k}^{\prime 2}} \int_{-\infty}^{\infty} \delta q\left(\frac{\partial \psi^{2}}{\partial \zeta}\right)_{k} d x
\end{array}
\]

где $\beta_{k}=-1 / b_{k} a_{k}^{\prime}$ и $a_{k}^{\prime}, a_{k}^{\prime \prime},\left(\partial \psi^{2} / \partial \zeta\right)_{k}$ — это первая и вторая производные от $a(\zeta)$ в точке $\zeta_{k}$ и первая производная $\psi^{2}$ по $\zeta$ в $\zeta_{k}$. Формула (3.100) известна в квантовой механике и выражает изменение энергетического уровня как функцию вариации потенциала.

Теперь мы используем (3.98a) для доказательства (3.17). Нетрудно показать, что для $L$, определенного в (3.12), выполняется
\[
\left(L-\zeta^{2}\right)\left(\frac{\varphi \psi}{a(\zeta)}-1\right)=\frac{1}{2} q .
\]

Решая итерациями, получаем
\[
\frac{\varphi \psi}{a(\zeta)} \sim 1-\frac{1}{2} \sum_{0}^{\infty} \frac{1}{\zeta^{2 n+2}} L^{n} q .
\]

Поэтому, пользуясь (3.98a), находим
\[
\frac{\delta \ln a}{\delta q}=\frac{1}{2 i \zeta} \frac{\varphi \psi}{a(\zeta)} \sim \frac{1}{2 i \zeta}\left(1-\frac{1}{2} \sum_{0}^{\infty} \frac{1}{\zeta^{2 n+2}} L^{n} q\right) .
\]

Теперь сравним (3.103) с (3.65) и (3.69). Получаем
\[
L^{n} q=\frac{\delta H_{2 n+1}}{\delta q} .
\]

Это есть (3.17), и это очень важная формула, позволяющая нам все потоки записывать в гамильтоновой форме.

В следующем разделе мы займемся задачей о том, что происходит при возмущении интегрируемой системы, и для этого нам придется существенно использовать материал настоящего раздела. Но сначала я хочу отметить другую особенность. Қак мы показали в разд. $3 \mathrm{~d}$, в пределе малых $q(i k / 2 \pi) b(k / 2)$ — это просто $\hat{q}$, преобразование Фурье.от $q$. Этот факт и то, что вариации данных рассеяния определяются по (3.99), (3.100) и (3.101) как внутреннее произведение между $\delta q$ и квадратами собственных функций или их производных, наводит на мысль о возможности обращения этих соотношений и определении $\delta q$ как функции от $\delta\left(b^{*} / a\right), \delta \xi_{k}, \delta \beta_{k}$. Это и в самом деле возможно. Детали читатель может найти в [75]. Ответ таков:
\[
\begin{array}{l}
\delta q(x, t)=-\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(b^{*} / a\right) \frac{\partial \varphi^{2}(x, \xi)}{\partial x} d \xi+ \\
\quad+2 i \sum_{k=1}^{N} \delta \beta_{k} \frac{\partial \varphi^{2}\left(x, \zeta_{k}\right)}{\partial x}+2 i \sum_{k=1}^{l l} \beta_{k} \delta \xi_{k} \frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\frac{\partial \varphi^{2}(x, \zeta)}{\partial x}\right)_{\zeta_{k}} .
\end{array}
\]

Набор производных по $x$ от квадратов собственных функций $\left\{\frac{\partial \varphi^{2}}{\partial x}(x, \xi), \xi\right.$ вещественно, $\left.\frac{\partial \varphi^{2}\left(x, \zeta_{k}\right)}{\partial x}, \frac{\partial^{2} \varphi^{2}\left(x, \zeta_{k}\right)}{\partial x \partial \zeta}, k=1, \ldots, N\right\}$

образует базис в классе функций (3.63). Вам следует с помощью (3.99)-(3.101) проверить, что если изменение $\delta q$ осуществляется согласно временной динамике какого-либо уравнения из семейства КдФ, то
\[
\begin{array}{c}
\delta\left(\frac{b^{*}}{a}\right)=-2 i \zeta^{2 n+1} \frac{b^{*}}{a}, \quad \delta \zeta_{k}=0, \\
\delta \beta_{k}=-2 i \zeta_{k}^{2 n+1} \beta_{k}, \quad \delta=\frac{\partial}{\partial t} .
\end{array}
\]

Чтобы убедиться в этом, скажем, при $n=1$, замените в (3.99) $\delta q$ на $-\frac{1}{4}\left(q_{x x}+3 q^{2}\right)_{x}$, проинтегрируйте по частям и используйте для вычисления интеграла уравнение, которому удовлетворяет $\left(\phi^{2}\right)_{x}$.
В заключение укажем на возможность записи $q(x)$ в виде
\[
q(x)=\frac{2}{i \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \zeta R(\zeta) \psi^{2}(x, \zeta) d \zeta-4 \sum_{k=1}^{N} \gamma_{k} \zeta_{k} \psi^{2}\left(x, \zeta_{k}\right) .
\]

Уравнение (3.108) легко получается из
\[
\frac{2}{i \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \zeta R(\zeta) \psi^{2}(x, \zeta) d \zeta=\frac{2}{i \pi} P \int_{-\infty}^{\infty} \zeta\left(\frac{\psi(x, \zeta) \varphi(x, \zeta)}{a(\zeta)}-1\right) d \zeta,
\]

где $P$ обозначает интеграл в смысле главного значения, вычислением правой части деформацией контура в полукруг $|\zeta|=\infty$, $\operatorname{Im} \zeta>0$. Из (3.27) имеем $\varphi \psi a^{-1}-1 \sim q / 2 \zeta^{2}+\ldots$ при $|\zeta| \rightarrow \infty$.

Замечание. Из этих результатов видно, что интегрируемые потоки лежат на бесконечном семействе поверхностей
\[
|R(\xi)|=\text { const }, \quad \zeta_{k}=\text { const. }
\]

По аналогии с конечномерными гамильтоновыми системами можно представлять себе пересечение этих поверхностей уровня (3.110) как бесконечномерный тор. Возмущения общего вида, выводящие систему из класса интегрируемых — как, например, влияние переменной глубины (см. следующий раздел)-могут приводить к изменениям траекторий как вдоль, так и перпендикулярно поверхности этого тора. Из (3.105) мы видим, что изме-
нения, не выводящие за пределы тора, образуют некоторое пространство, натянутое на векторы $\partial \varphi^{2} / \partial x$, в то время как нормальные к тору вариации натянуты на производные этих величин по $\zeta$.