Эта многоликая функция была впервые открыта Хиротой как средство порождения солитонных решений, и его метод мы будем обсуждать в следующем разделе. Однако

ее подлинная значимость (и центральная роль в теории солитонов) не была понята до появления работы группы из Университета в Киото, включающей М. Сато, Миву, Дзимбо, Касиверу, Дейта, Ю. Сато [39], и я полагаю, следует честно признаться, что даже сейчас значение этой функции не понято до конца. Как сам дьявол, она многократно появляется в различных масках. Иногда она является простым многочленом (рациональные решения уравнения КдФ), иногда – конечной суммой экспонент (многосолитонное решение). В других случаях она становится более сложной, скажем, $\Theta$-функцией Римана (умноженной на безобидный коэффициент) или корреляционной функцией. Звучит интригующе, не правда ли?

Сначала мы познакомимся с ней как с потенциальной функцией, вторая логарифмическая производная которой позволяет вычислить все сохраняющиеся плотности и потоки. Рассмотрим семейство потоков КдФ
\[
q_{t_{2 n+1}}=\frac{\partial}{\partial x} L^{n} q=2 \frac{\partial}{\partial x} B_{n+1} .
\]

Для удобства мы введем
\[
w=\int^{x} q d x .
\]

Тогда (4.1) имеет вид
\[
w_{2 n+1}=L^{n} q=2 B_{n+1} .
\]

Следовательно, функцию $w\left(x, t_{3}, \ldots\right)$ можно рассматривать как потенциальную функцию для бесконечной последовательности $\left\{L^{n} q=2 B_{n+1}\right\}_{0}^{\infty}$. Сейчас известно, что производные всех этих функций относительно различных времен, а именно ( $\left.\partial / \partial t_{2 m+1}\right) L^{n} q$, могут быть записаны как проиэводные по $x$ или $t_{1}$ от локальных величин. Поэтому естественно использовать потенциальную функцию $\tau\left(t_{1}, t_{3}, \ldots\right)$, определенную формулой
\[
w=2 \frac{\partial}{\partial t_{1}} \ln \tau\left(t_{1}, t_{2}, t_{3}, \ldots\right),
\]

вместо самой $w$. Тем самым вы видите, что
\[
\frac{\partial}{\partial t_{2 m+1}} L^{n} q=\frac{\partial}{\partial t_{1}} 2 \frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial t_{2 m+1} \partial t_{2 n+1}}
\]

и, таким образом, все производные по времени последовательности $\left\{L^{n} q\right\}$ заданы одним уравнением в форме закона сохранения по отношению к выделенной переменной $x$. Заметим, однако, что выражение для потока, соответствующее скорости изменения плотности $L^{n} q$ в потоке (КдФ) з, наиболее удобно задать в виде

производной относительной времени $t_{2 n+1}$, соответствующему потоку $(n+1)$ в иерархии КдФ. Этим подчеркивается тот факт, что когда ищутся решения интегрируемого уравнения, полезно понимать, что в действительности ищутся общие решения для всей иерархии потоков данного семейства.
Впервые в литературе я приведу формулу тензора потока
\[
F_{2 m+1,2 n+1}=2 \frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial t_{2 m+1} \partial t_{2 n+1}} .
\]

Заметим, в частности, что
\[
L^{n} q=2 \frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial t_{1} \partial t_{2 n+1}} .
\]

Для того чтобы вывести эту формулу, мы сначала выпишем общее уравнение для всех $B_{n}$. Так как
\[
\begin{array}{l}
v_{t_{2 n+1}}=\frac{1}{2} B_{x}^{(n)} v-B^{(n)} v_{x}, \\
v_{t_{2 m+1}}=\frac{1}{2} B_{x}^{(m)} v-B^{(m)} v_{x},
\end{array}
\]

где
\[
B^{(n)}=\lambda^{n} \sum_{0}^{n} \frac{B_{r}}{\lambda^{r}},
\]

нетрудно показать, что
\[
B_{t_{2 m+1}}^{(n)}-B_{t_{2 n}+1}^{(m)}+B^{(m)} B_{x}^{(n)}-B_{x}^{(m)} B^{(n)}=0 .
\]

Теперь определим
\[
B=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{B^{(n)}}{\lambda^{n}},
\]

разделим (4.8) на $\lambda^{n}$ и перейдем к пределу $\lambda \rightarrow \infty$, считая $|\lambda|>1$. Тогда
\[
B_{t_{2 m+1}}=B_{x}^{(m)} B-B^{(m)} B_{x}
\]

Записывая (4.7) в виде системы для вектора $V=\left(v_{1}, v_{2}\right)^{T}$, $v_{2}=v, v_{1}=-v_{2 x}+i \zeta v_{2}$, мы имеем ( $\lambda=\zeta^{2}$ )
\[
V_{t_{2 n+1}}=Q^{(2 n+1)} V \text {, }
\]

где
\[
Q^{(2 n+1)}=\left(i \zeta B^{(n)}-\frac{B_{x}^{(n)}}{2}\right) H+\left(i \zeta B_{x}^{(n)}-\frac{B_{x x}^{(n)}}{2}-q B^{(n)}\right) E+B^{(n)} F,
\]

а $H, E, F$ являются базисом
\[
\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right)
\]

для $\mathrm{sl}(2, C)$. Легко показать, что для
\[
Q=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{Q^{(2 n+1)}}{\zeta^{2 n+1}}=\sum_{0}^{\infty} \frac{Q_{r}}{\zeta^{r}}
\]

уравнение (4.9) принимает лаксову форму с обычным матричным коммутатором
\[
Q_{t_{2 n+1}}=\left[Q^{(2 n+1)}, Q\right] .
\]

Приравнивая компоненты $\lambda^{-m-1}$ в (4.9), мы находим
\[
\frac{\partial B_{m+1}}{\partial t_{2 n+1}}=B_{0 x} B_{m+n+1}+\ldots+B_{n x} B_{m+1}-B_{0} B_{m+n+1 x}-\ldots-B_{n} B_{m+1 x} .
\]

В качестве примера (довольно трудного) я предлагаю показать, что правая часть этого выражения может быть записана как половина производной по $x$ от
\[
\begin{aligned}
F_{2 m+1,2 n+1} & =\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left\{\sum_{s=0}^{2 n+1} s Q_{2 m+1-s} Q_{2 n+1+s}+\right. \\
+ & \left.\sum_{s=0}^{2 n+1} s Q_{2 m+1+s} Q_{2 n+1-s}\right\}
\end{aligned}
\]

где $\operatorname{Tr}\left(Q_{i} Q_{j}\right)$ – след произведения матриц и $Q_{j}$ определена формулой (4.11). Ясно, что выражение (4.14) симметрично относительно замены $m$ на $n$ и наоборот. Простая перестановка индексов дает нам закон сохранения для каждого тензора потока:
\[
\frac{\partial}{\partial t_{2 k+1}} F_{2 m+1,2 n+1}=\frac{\partial}{\partial t_{2 m+1}} F_{2 n+1,2 k+1}=\frac{\partial}{\partial t_{2 n+1}} F_{2 k+1,2 m+1} .
\]

Зная $\tau$ как функцию времен $x=t_{1}, t_{3}, t_{5}, t_{2 n+1}, \ldots$, мы знаем все о решениях каждого члена семейства КдФ. В некотором смысле функция $\tau$ действует как потенциал, из которого могут быть получены все компоненты и все градиенты бесконечномерного вектора $B$ относительно всех времен. Она также имеет вторую интерпретацию, которую мы будем обсуждать, когда перейдем к преобразованиям Бэклунда. Однако для того, чтобы расчистить путь, очень полезны следующие результаты,

которые собственные функции $v\left(x, t_{3}, \ldots\right)$ ставят в соответствие с функцией $\tau$.

Результат, который я сейчас приведу, является формальным, потому что он использует (3.29a), т. е. асимптотическое разложение $v\left(x, t_{3}, \ldots, \zeta\right)$ в окрестности $\zeta=\infty$. (В зависимости от природы существенной особенности на $\infty$ формальное разложение (3.29a) может не являться равномерным во всей окрестности $\xi=\infty$; однако для специальных классов решений, включая многосолитонные решения, формальное разложение (3.29a) является рядом Лорана для $\zeta=\infty$.) Зависимость асимптотического разложения от времен $t_{3}, t_{5}, \ldots$ обеспечивается заменой экспоненты $-i \zeta x$ в (3.29) на $-i \sum_{0}^{\infty} \tau^{2}{ }^{2}+1 t_{2 k+1}$. Мы находим
\[
v\left(x, t_{3}, \ldots\right) \sim \exp \left(i \sum \zeta^{2 k+1} t_{2 n+1}\right) e^{\Phi},
\]

где
\[
\Phi_{x} \sim \sum_{1}^{\infty} \frac{R_{n}}{(2 i \zeta)^{n}} .
\]
(Для многосолитонных решений (4.15b) имеет место во всех секторах $\zeta=\infty$ и, значит, является рядом Лорана. Поэтому в (4.15) можно заменять асимптотический символ на знак равенства.) Запишем интегралы трех первых слагаемых (4.15b) в терминах функции $\tau$ :
\[
\begin{aligned}
\Phi \sim & \Phi_{0}-\frac{\int q d x}{2 i \zeta}-\frac{1}{4 \zeta^{2}} q+\frac{1}{8 i \zeta^{3}} \int\left(q_{x x}+q^{2}\right) d x+\ldots \\
= & \Phi_{0}-\frac{1}{i \zeta} \frac{\partial}{\partial t_{1}} \ln \tau-\frac{1}{2 \zeta^{2}} \frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial t_{1}^{2}}+\frac{1}{24 i \zeta^{3}} \times \\
& \times \int\left(q_{x x}+3 q^{2}\right) d x+\frac{1}{12 i \zeta^{3}} q_{x}+\ldots=\Phi_{0}-\frac{1}{i \zeta}{ }_{\partial t_{1}} \ln \tau- \\
& -\frac{1}{2 \zeta^{2}} \frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial t_{1}^{2}}+\frac{1}{6 i \zeta^{3}} \frac{\partial^{3} \ln \tau}{\partial t_{1}^{3}}-\frac{1}{3 i \zeta^{3}} \frac{\partial \ln \tau}{\partial t_{3}} \ldots,
\end{aligned}
\]

где мы использовали тот факт, что
\[
q_{x x}+3 q^{2}=-4 \int^{x} q_{t_{x}} d x=-8 \frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial t_{1} \partial t_{3}} .
\]

Продолжение этого процесса (см. для доказательства работу Флашки [86]) дает
\[
\Phi-\Phi_{0} \sim \ln \tau\left(t_{2 k+1}-\frac{1}{i(2 k+1) \xi^{2 k+1}}\right)-\ln \tau\left(t_{2 k+1}\right) .
\]

Поэтому
\[
v\left(x, t_{3}, \ldots ; \zeta\right) \sim \exp \left(i \sum_{0} \zeta^{2 k+1} t_{2 k+1}\right) \cdot \frac{\tau\left(t_{2 k+1}-1 / i(2 k+1) \zeta^{2 k+1}\right)}{\tau\left(t_{2 k+1}\right)} .
\]

Мы введем оператор
\[
X(\zeta)=\exp \left(i \sum \zeta^{2 k+1} t_{2 k+1}\right) \exp \left(\sum \frac{-1}{i(2 k+1) \zeta^{2 k+1}} \frac{\partial}{\partial t_{2 k+1}}\right) .
\]

Операторы этого типа имеют тесное отношение к объектам, называемым в литературе вершияными операторами [101], [102]. Теперь мы видим, что
\[
v\left(x, t_{3}, \ldots ; \zeta\right) \sim \frac{1}{\tau} X(\zeta) \cdot \tau
\]

дает нам (формально) соотношение между функцией, которая порождает решения семейства КдФ, и собственными функциями $v\left(x, t_{3} \ldots ; \xi\right)$. Эта частная формула будет использоваться, когда мы введем в разд. 4f преобразование Бэклунда.