Я вновь напомню, что в гл. 1 я кратко упомянул об остроумном методе Хироты для нахождения многосолитонных решений семейства КдФ. Основываясь как на форме, которую имеет $N$-солитонное решение, так и на аналогичном преобразовании для уравнения Бюргерса, Хирота связал с решением $q\left(x, t_{3}\right)$ уравнения КдФ функцию $\tau\left(x, t_{3}\right)$, определенную формулой
\[
q\left(x, t_{3}\right)=2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln \tau .
\]

Как мы видели в разд. 4 a, этот выбор является очень естественным в том смысле, что полный тензор потока семейства КдФ может быть выражен через одну скалярную функцию.
Теперь мы изложим формализм Хироты. Удобно определить
\[
q=w_{x} \text {. }
\]

Тогда уравнение КдФ
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0
\]

после однократного интегрирования принимает вид
\[
w_{t}+3 w_{x}^{2}+w_{x x x}=0 .
\]

Қонстанта интегрирования выбирается равной нулю в соответствии со свойством интересующего нас класса решений. (Для того чтобы устранить дробные коэффициенты в последующих вычислениях, я произведу масштабное преобразование (3.9) $t_{2 n+1} \rightarrow 2^{2 n} t_{2 n+1}$.) Теперь вычислим следующие величины:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} w & =\frac{\tau_{x}}{\tau}, \\
\frac{1}{2} q & =\frac{\tau \tau_{x x}-\tau_{x}^{2}}{i \tau^{2}}=\frac{\tau_{x x}}{\tau}-\frac{\tau_{x}^{2}}{\tau^{2}}, \\
\frac{1}{2} q_{x} & =\frac{\tau_{x x x}}{\tau}-\frac{3 \tau_{x} \tau_{x x}}{\tau^{2}}+2 \frac{\tau_{x}^{3}}{\tau^{3}}, \\
\frac{1}{2} q_{x x} & =\frac{\tau_{x x x x}}{\tau}-\frac{4 \tau_{x} \tau_{x x x}}{\tau^{2}}-\frac{3 \tau_{x x}^{2}}{\tau^{2}}+\frac{12 \tau_{x}^{2} \tau_{x x}}{\tau^{3}}-6 \frac{\tau_{x}^{4}}{\tau^{4}}, \\
\frac{3}{2} q^{2} & =6 \frac{\tau_{x x}^{2}}{\tau^{2}}-12 \frac{\tau_{x}^{2} \tau_{x x}}{\tau^{3}}+6 \frac{\tau_{x}^{4}}{\tau^{4}} .
\end{aligned}
\]

Заметим, что если сложить две последние величины, что в точности дает комбинацию линейного дисперсионного члена и квадратичной нелинейности, входящей в (4.27), то исчезают все отношения, содержащие кубические члены или члены более высокого порядка и их производные, после чего мы находим
\[
\frac{1}{2}\left(w_{x x x}+3 w_{x}^{2}\right)=\frac{1}{2} q_{x x}+\frac{3}{2} q^{2}=\frac{\tau_{x x x x}}{\tau}-4 \frac{\tau_{x} \tau_{x x x}}{\tau^{2}}+3 \frac{\tau_{x x}^{2}}{\tau^{2}} .
\]

Поэтому уравнение КдФ для новой переменной $\tau$ принимает вид
\[
\tau \tau_{x t}-\tau_{x} \tau_{t}+\tau \tau_{x x x x}-4 \tau_{x} \tau_{x x x}+3 \tau_{x x}^{2}=0 .
\]

Первая интересная особенность этого уравнения состоит в том, что оно квадратично по $\tau$. Заметим, что решение $\tau \equiv 1$ соответствует нулевому полю $q$. Далее пусть
\[
\tau=1+e^{\theta(x, t)},
\]

где функция $\theta(x, t)=k x+\omega t+\theta_{0}$ линейна по $x$ и $t$. Форма (4.29) является точным решением, если взять $\omega=-k^{3}$; коэффициент при вторых гармониках $e^{2 \theta}$ автоматически обращается в нуль. Попробуем испытать анзац
\[
\tau=1+e^{\theta_{1}}+e^{\theta_{2}},
\]

где $\theta_{j}=k_{j} x-k_{j}^{3} t+\theta_{0 j}$. Он не является решением, поскольку, хотя и обращаются в нуль коэффициенты при $e^{2 \theta_{1}}$ и $e^{2 \theta_{2}}$, но коэффициент при $e^{\theta_{1}+\theta_{2}}$ остается. Уберем его, добавив в анзац этот член, умноженный на постоянную, выбираемую так, чтобы

исключить коэффициент при $e^{\theta_{1}+\theta_{2}}$, который возникает по двум причинам: в результате квадратичной комбинации $e^{\theta_{1}}$ и $e^{\theta_{2}}$, а также 1 и $e^{\theta_{1}+\theta_{2}}$. Коэффициенты при $e^{2 \theta_{2}+\theta_{1}}, e^{\theta_{1}+2 \theta_{2}}$ и $e^{2 \theta_{1}+2 \theta_{2}}$ чудесным образом обращаются в нуль. Причину этого мы скоро увидим. Поэтому представление
\[
\tau(x, t)=1+e^{\theta_{1}}+e^{\theta_{2}}+e^{\theta_{1}+\theta_{2}+A_{12}}
\]

дает решение для (4.26), если
\[
e^{A_{12}}=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2} .
\]

В разд. 3d мы уже обсуждали природу решений (4.29) и (4.30) и интерпретировали $A_{12}\left(k_{1}, k_{2}\right)$ как функцию фазового сдвига. Здесь $k_{j}=-2 \eta_{j}$. В частности, решение (4.30) может быть понято как нелинейная суперпозиция двух решений с амплитудами $\frac{1}{2} k_{1}^{2}$ и $\frac{1}{2} k_{2}^{2}$. Если $k_{1}^{2}>k_{2}^{2}$, то при изменении $t$ от $-\infty$ до $+\infty$ первый импульс догоняет второй, взаимодействует с ним и проходит сквозь второй импульс, аналогично тому, как обсуждалось в гл. 3. После взаимодействия больший импульс сдвигается вперед на расстояние — $A_{12} /\left|k_{1}\right|$ относительно положения, в котором он находился бы, двигаясь беспрепятственно, меньший смещается на расстояние $-A_{12} /\left|k_{2}\right|$ назад. Напоминаем, что $A_{12}<0$.

Если уравнение записать в квадратичном виде, то всегда существует двухсолитонное решение. Однако это не так для трехсолитонных решений, для которых
\[
\tau=1+\sum_{j=1}^{3} e^{\theta_{j}}+\sum_{1 \leqslant j<k \leqslant 3} e^{\theta_{j}+\theta_{k}+A_{j} k}+e^{\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}+A_{23} A_{31}+A_{12} .}
\]

В этом случае для того, чтобы сократились коэффициенты при $e^{\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}}$, коэффициенты в исходном квадратичном уравнении (4.28) должны быть подобраны абсолютно точно. Заметим также, что коэффициенты при $e^{\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}}$ представляют собой экспоненту от функции фазового сдвига двухсолитонного взаимодействия. Это свойство сохраняется в общем случае, и $N$-фазным солитонным решением для КдФ является
\[
\tau=\sum_{\mu_{j}=0,1} \exp \left(\sum_{j=1}^{N} \mu_{j} \theta_{j}+\sum_{1 \leqslant l<j \leqslant n} A_{i j} \mu_{i} \mu_{j}\right) .
\]

Рассмотрим случай $k_{1}^{2}>k_{2}^{2}>\ldots>k_{n}^{2}$. При изменении времени $t$ от $-\infty$ до $+\infty$ больший солитон приобретет фазовый сдвиг, состоящий из суммы фазовых сдвигов, возникающих при прохождении им через каждый солитон.

Сейчас я покажу вам, как сгроить эти решения. Но вначале я скажу о том, что $N$-солитонное решение каждого из членов семейства КдФ имеет в точности ту же форму. Единственным отличием является
\[
\theta_{j}\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)-\theta_{j}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} k_{j}^{2 n+1} t_{2 n+1} .
\]
(Я снова хочу подчеркнуть, что $t_{2 n+1}$ в (4.34) равны произведению $2^{-2 n}$ на $t_{2 n+1}$, которые определены в разд. 3b. Это изменение внесено с тем, чтобы исключить множители $1,2^{-2}, 2^{-4}, \ldots, 2^{-n}$ в $(3.14),(3.15),(3.16),(3.22)$, возникающие в интегральных членах аналогичного (4.28) уравнения для потока (КДФ) 2n+1 $^{\text {. }}$.)

Заслуживает внимания, что не только (4.33) с $\theta_{j}$, определенными формулой (4.34), т. е. $N$-солитонное решение для всех потоков семейства КдФ, но и функция фазового сдвига $A_{i j}\left(k_{i}, k_{j}\right)$, и сам результирующий сдвиг
\[
\delta_{i}=\sum_{N \geqslant i>i}-\frac{1}{\left|k_{i}\right|} A_{i j}+\sum_{i>i \geqslant 1} \frac{1}{\left|k_{i}\right|} A_{i j}, i=1, \ldots, N,
\]

одни и те же для всех уравнений семейства. Это обстоятельство менее интересно, после того как понято, что оно является прямым следствием коммутативности потоков и что $q\left(x, t_{3}, t_{5}, t_{7}, \ldots\right)$ является общим решением. Для того чтобы увидеть это, представим, что мы начинаем с двухсолитонного решения $q(x, 0,0, \ldots)$ семейства КдФ. Исследуем эволюцию двумя способами. Вначале выберем заданную форму в качестве начального условия для (КдФ) $)_{3}$ и рассмотрим эволюцию по времени $t_{3}$ до тех пор, пока не осуществится взаимодействие. Затем в качестве начального условия возьмем $q\left(x, t_{3}, 0, \ldots\right)$ и предоставим достаточное время $t_{7}$ в потоке (КДФ) 7 . Так как скорость для (КДФ) 7 также положительна, дальнейшего взаимодействия не происходит. Далее обратим процесс. Результирующая форма $q\left(x, t_{3}, 0, t_{7}, 0, \ldots\right)$ должна быть той же, и поэтому одинаковыми должны быть фазовые сдвиги, связанные с потоками $t_{3}$ и $t_{7}$.

Впоследствии мы будем часто пользоваться этим свойством, но вначале я хочу познакомить вас с новым методом, изобретенным Хиротой, и покажу, как строить $N$-солитонные решения. Хирота заметил, что слагаемые в (4.28) были очень похожи на формулу Лейбница для дифференцирования произведения. За исключением знаков, (4.28) до некоторой степени похожа на
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial t} \tau^{2}+\frac{\partial^{4}}{\partial x^{4}} \tau^{2}
\]

Хирота изобрел новый оператор $D_{x}$, определенный на упорядоченной паре функций $\sigma(x), \tau(x)$ следующим образом:
\[
D_{x} \sigma \cdot \tau=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial \varepsilon} \sigma(x+\varepsilon) \tau(x-\varepsilon)=\sigma_{x} \tau-\sigma \tau_{x} .
\]

Это определение можно распространить на функции $\sigma\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$, $\tau\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$ бесконечного числа переменных и на операторы более высокого порядка
\[
D_{x_{1}}^{\alpha_{1}} D_{x_{2}}^{\alpha_{2}} \ldots D_{x_{n}}^{\alpha_{n}} \cdot \tau=\prod_{r=1}^{n} \lim _{\varepsilon_{r} \rightarrow 0} \frac{\partial^{\alpha_{r}}}{\partial \varepsilon_{r}^{\alpha_{r}}} \sigma\left(x_{r}+\varepsilon_{r}\right) \tau\left(x_{r}-\varepsilon_{r}\right) .
\]

Например,
\[
\begin{array}{c}
D_{x} D_{t} \tau \cdot \tau=2\left(\varepsilon \varepsilon_{x t}-\tau_{x} \tau_{t}\right), \\
D_{x}^{4} D \tau \cdot \tau=2\left(\tau \tau_{x x x x}-4 \tau_{x} \tau_{x x x}+3 \tau_{x x}^{2}\right) .
\end{array}
\]

В этих обозначениях уравнение КдФ (4.28) принимает очень компактный вид
\[
\left(D_{x} D_{t}+D_{x}^{4}\right) \tau \cdot \tau=0 .
\]

Также упрощается вычисление многосолитонных решений. Для того чтобы увидеть это, посмотрим, как операторы $D_{x}, D_{t}$ действуют на экспоненты. Легко показать, что
\[
D_{x}^{m} e^{k_{1} x} \cdot e^{k_{2} x}=\left(k_{1}-k_{2}\right)^{m} e^{\left(k_{1}+k_{2}\right) x} .
\]

Для многочлена общего вида
\[
P\left(D_{x}, D_{t}\right) e^{k_{1} x+\omega_{1} t} \cdot e^{k_{2} x+\omega_{2} t}=P\left(k_{1}-k_{2}, \omega_{1}-\omega_{2}\right) e^{\left(k_{1}+k_{2}\right): x+\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) t} .
\]

В общем случае, если мы возьмем
\[
\theta_{i}=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} k_{i}^{2 n+1} t_{2 n+1},
\]
то
\[
\begin{array}{c}
P\left(D_{t_{1}}, \ldots, D_{i_{2 r+1}}\right) e^{\theta_{i}} \cdot e^{\theta_{j}}= \\
=P\left(k_{i}-k_{j}, \ldots,(-1)^{r}\left(k_{i}^{2 r+1}-k_{j}^{2 r+1}\right), \ldots\right) e^{\theta_{i}+\theta_{j}} .
\end{array}
\]

Из этих формул можно видеть, почему коэффициенты при $e^{2 \theta_{1}}$, $e^{2 \theta_{1}+\theta_{2}}, e^{\theta_{1}+2 \theta_{2}}$, полученные при рассмотрении двухсолитонных решений, автоматически обратились в нуль. Сначала отметим, что в случае класса уравнений, с которым мы будем иметь дело,
\[
\begin{array}{c}
P\left(-D_{t_{1}}-D_{t_{3}}, \ldots\right)=P\left(D_{t_{1}}, D_{t_{3}}, \ldots\right), \\
P(0,0, \ldots)=0
\end{array}
\]
и
\[
P(\mathbf{k}) \equiv P\left(k,-k^{3}, k^{5}, \ldots\right)=0 .
\]

Последнее уравнение (4.45) выражает тот факт, что дисперсионное соотношение для солитонного решения
\[
\tau=1+e^{\theta}, \theta=k x+\omega_{3} t_{3}+\omega_{5} t_{5}+\ldots
\]

выполняется при $\omega_{2 r+1}=(-1)^{r} k^{2 r+1}$. Более того, оно дает однопараметрическое семейство поверхностей, на которых алгебраические функции $x_{1} x_{3}+x_{1}^{4}$ или в общем случае $P\left(x_{1}, x_{3}, \ldots\right)$, очевидным образом связанные с уравнениями Хироты (4.38), обращаются в нуль.

Вычислим функцию фазового сдвига $A_{12}\left(k_{1}, k_{2}\right)$ общего уравнения
\[
P\left(D_{t_{1}}, D_{t_{3}}, \ldots\right) \tau \cdot \tau=0,
\]

выраженного в представлении Хироты. $P$ — многочлен от своих аргументов. Возьмем
\[
\tau\left(t_{1}, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)=1+e^{\theta_{1}}+e^{\theta_{2}}+e^{\theta_{1}+\theta_{2}+A_{12}},
\]

где $\theta_{j}=\sum(-1)^{r} k_{j}^{2 r+1} t_{2 r+1}$. Коэффициенты при $e^{0}, e^{2 \theta_{1}}, e^{2 \theta_{2}}$ и $e^{2 \theta_{1}+2 \theta_{2}}$ представляют собой $P(0)$ и поэтому равны нулю. Коэффициент при таком слагаемом, как $e^{2 \theta_{1}+\theta_{2}}$, возникающий при умножении $e^{\theta_{1}+\theta_{2}}$ на $e^{\theta_{1}}$, это
\[
P\left(k_{1}+k_{2}-k_{2},-k_{1}^{3}+k_{2}^{3}-k_{2}^{3}, \ldots\right)=P\left(k_{1},-k_{1}^{3}, \ldots\right),
\]

который также равен нулю. Единственным не равным нулю слагаемым является $e^{\theta_{1}+\theta_{2}}$, которое имеет коэффициент
\[
P\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}\right)+e^{A_{12} P}\left(\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}\right),
\]

где по определению
\[
P\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}\right)=P\left(k_{1}-k_{2},-k_{1}^{3}+k_{2}^{3}, \ldots,(-1)^{r}\left(k_{1}^{2 r+1}-k_{2}^{2 r+1}\right), \ldots\right) .
\]

Таким образом, в общем случае
\[
e^{A_{12}}=-\frac{P\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}\right)}{P\left(\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}\right)} .
\]

Так как для уравнения (КдФ) 3 (4.38) многочлен $P\left(x_{1}, x_{3}, x_{5}, \ldots\right)$ есть $x_{1} x_{3}+x_{1}^{4}$, то
\[
e^{A_{12}}=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2}
\]

Кроме того, мы имеем мощный результат, состоящий в том, что поскольку фазовый сдвиг каждого члена семейства КдФ один

и тот же, то члены данного семейства характеризуются всей совокупностью многочленов $P\left(D_{t_{1}}, D_{t_{2}}, \ldots\right)$, обладающих в дополнение к (4.43) — (4.45) свойством
\[
\left(k_{1}-k_{2}\right)^{2} P\left(\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}\right)+\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2} P\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}\right)=0 .
\]

Для того чтобы представить это утверждение в должном контексте, давайте проанализируем сделанное. Мы нашли, что введением преобразования (4.24) уравнение КдФ можно записать в представлении Хироты
\[
P\left(D_{t_{1}}, D_{t_{i}}, \ldots\right) \tau \cdot \tau=0,
\]

где $P\left(x_{1}, x_{3}, \ldots\right)=x_{1} x_{3}+x_{1}^{4}$. Далее я сформулировал утверждение, что оно обладает $N$-солигонным решением для произвольного $N$. Естественным образом возникают следующие вопросы:
(i) Приводит ли каждый четный многочлен $P\left(x_{1}, x_{3}, \ldots\right)$ к появлению $N$-солитонных решений при $N>2$ ? На основании последних расчетов нам извєстно, что для любого четного $P$ можно всегда найти двухсолитонное решение. Но как обстоит дело для $N>2$ ? Ответ отрицателен. Многочлен $P$ должен будет удовлетворять жестким ограничениям.
(ii) Можно ли в удобной форме охарактеризовать эти ограничения и посредством этого выписать все многочлены $P\left(x_{1}, x_{3}, \ldots\right)$, которые допускают $N$-солитонные решения? Мы будем называть их многочленами Хироты. Ответ положителен. Мы можем задать более конкретный вопрос.
(iii) Задан многочлен $P$, скажем $x_{1} x_{3}+x_{1}^{4}$. Можем ли мы (a) определить, имеет ли он $N$-солитонные решения для произвольного $N$, (b) найти в представлении Хироты все другие члены семейства и (с) найти все другие многочлены Хироты, совместные с заданным, и определить, сколько их существует? Ответами, по-видимому, являются ДА, ДА и ДА. Я покажу, как подойти к доказательству, но, однако, я пока не придал ему строгость или полноту. Я должен объяснить более подробно, что означает вопрос (с). Если $\tau$ такова, что удовлетворяет
\[
\left(D_{t_{1}} D_{t 3}+D_{t_{1}}^{4}\right) \tau \cdot \tau=0,
\]

то удовлетворяет ли она другому уравнению с весом 6? Заметим, что многочлены Хироты однородны в том смысле, что если $D_{t_{2 k+1}}$ мы поставим в соответствие вес $2 k+1$ и будем складывать веса в произведениях, то каждый член в уравнении Хироты имеет один и тот же вес. Например, вес, связанный с (4.38), paвен 4. Суть вопроса состоит в следующем. Дано, что $\tau$ удовлетворяет (4.38); каким образом «применить» оператор $D_{x}^{2}$ к этой функции? Простым умножением это сделать нельзя.

Четвертый вопрос, который приводит нас к выяснению связи всех различных подходов, ставится следующим образом:
(iv) Существует ли алгебраический способ объяснения специального вида многочленов Хироты? Я надеюсь, что это так. Что я хотел бы иметь, так это ответ на вопрос (iv), который данные ограничения ставит в соответствие алгебрам, связанным c sl(2). Причина этого заключается в моей вере (читатель увидит предпосылки этому в гл. 5) в то, что данное свойство является «общим знаменателем» всех «методов» анализа солитонных уравнений, введенных в данной главе.

Вернемся теперь к вопросам (i), (ii) и (iii). Предположим, что $P$ удовлетворяет (4.43)-(4.45), и будем искать трехсолитонное решение для (4.51) в следующем виде:
\[
\begin{aligned}
\tau= & 1+e^{\theta_{1}}+e^{\theta_{2}}+e^{\theta_{3}}+e^{\theta_{2}+\epsilon_{3}+A_{23}}+e^{\theta_{3}+\theta_{1}+A_{34}}+e^{\theta_{1}+\theta_{2}+A_{12}}+ \\
& +e^{\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}+A_{12} A_{31}+A_{23} .}
\end{aligned}
\]

Используя свойства (4.43) — (4.45) и (4.50), убеждаемся, что все слагаемые, исключая $e^{\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}}$, имеют нулевые коэффициенты. Коэффициент при $e^{\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}}$ строится из четырех квадратичных взаимодействий и имеет вид
\[
p_{123} e^{A_{23} P}\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}-\mathbf{k}_{3}\right)+e^{A_{12}+A_{13}+A_{n} P}\left(\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}+\mathbf{k}_{3}\right),
\]

где $p_{123}$ — циклическая перестановка индексов $1,2,3$ и
\[
P\left(\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}+\mathbf{k}_{3}\right)=P\left(k_{1}+k_{2}+k_{3},-k_{1}^{3}-k_{2}^{3}-k_{3}^{3}, k_{1}^{5}+k_{2}^{5}+k_{3}^{5}, \ldots\right) .
\]

Это выражение также может быть переписано (с использованием (4.50)) в виде
\[
\begin{array}{l}
p_{123} P\left(\mathbf{k}_{2}+\mathbf{k}_{3}\right) P\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}\right) P\left(\mathbf{k}_{3}-\mathbf{k}_{1}\right) P\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}-\mathbf{k}_{3}\right)+ \\
\quad+P\left(\mathbf{k}_{2}-\mathbf{k}_{3}\right) P\left(\mathbf{k}_{3}-\mathbf{k}_{1}\right) P\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}\right) P\left(\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}+\mathbf{k}_{3}\right) .
\end{array}
\]

Поэтому условием того, что (4.52) имеет трехсолитонное решение, является равенство нулю выражения (4.53). Далее, аналогичным путем можно показать, что условием существования $N$-солитонных решений уравнения (4.52) является условие
\[
\sum_{\mu_{j}=-1,1} P\left(\sum_{i}^{N} \mu_{l} \mathbf{k}_{l}\right) \prod_{D i} P\left(\mu_{j} \mathbf{k}_{j}-\mu_{i} \mathbf{k}_{i}\right) \mu_{i} \mu_{j}=0 .
\]

Мы назовем его условием Хироты. Будем говорить, что уравнение, приводимое к представлению Хироты с многочленом $P$, удовлетворяющим (4.54) (и некоторым дополнительным свойствам, подобным (4.23)-(4.25)), обладает $Н$-свойством. В частных случаях, таких как (КдФ) $)_{3}$, где $P=x_{1} x_{3}+x_{1}^{4}$, можно показать, что (4.54) имеет место. Доказательство обычно проводится

по индукции. Однако мне представляется ясным, что это условие весьма неуклюже, неудобно и трудно доказывается в общем случае, поэтому полезно иметь альтернативный подход.

Я утверждаю, не имея пока завершенного доказательства, следующее. Рассмотрим многочлен $P_{L}\left(x_{1}, x_{3}, \ldots\right)$ с заданным весом и вычислим для него функцию фазового сдвига
\[
e^{A_{12}}=-\frac{P_{L}\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}\right)}{P_{L}\left(\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}\right)} .
\]

Затем вычислим все многочлены $P_{M}$, которые обладают тем же фазовым сдвигом. Зачастую их больше одного для каждого веса. Если существует по крайней мере один такой многочлен для бесконечного ряда весов, то справедливы три следующих утверждения:
(i) $P_{L}$ является многочленом Хироты, т. е. для произвольного $N$ обладает $N$-солитонным решением (удовлетворяющим (5.54)).
(ii) Қаждый $P_{M}$ порождает уравнение Хироты $P_{M} \tau \cdot \tau=0$ в семействе $P_{L}$.
(iii) Қаждое уравнение $P_{M} \tau \cdot \tau=0$, содержащееся в списке, является многочленом Хироты (т. е. удовлетворяет (4.54) и поэтому обладает $N$-солитонным решением для произвольного $N$ ).

Проиллюстрируем эти утверждения на некоторых конкретных примерах. В качестве $P_{4}$ выберем $x_{1} x_{3}+x_{1}^{4}$. Тогда предположим, что $P_{6}$ имеет следующий вид (из (4.43) следует, что допустимы только четные значения весов):
\[
P_{6}=x_{1} x_{5}+a x_{3}^{2}+b x_{1}^{3} x_{3}+c x_{1}^{6} \text {. }
\]

Ясно, что (4.43) и (4.44) удовлетворяются. То же верно для (4.45), если
\[
1+a-b+c=0 .
\]

Теперь потребуем, чтобы
\[
\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2} P_{6}\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}\right)+\left(k_{1}-k_{2}\right) P_{6}\left(\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}\right)=0
\]

имело место для всех $k_{1}, k_{2}$. Левую часть можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
2\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}\left(k_{1}-k_{2}\right)^{2}\left\{k_{1}^{4}+k_{1}^{2} k_{2}^{2}+k_{2}^{4}+\right. \\
\left.+a\left(k_{1}^{4}+3 k_{1}^{2} k_{2}^{2}+k_{2}^{4}\right)-b\left(k_{1}^{4}+k_{2}^{4}\right)+c\left(k_{1}^{4}+6 k_{1}^{2} k_{2}^{2}+k_{2}^{4}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Поэтому дополнительно к (4.56) мы должны выбрать
\[
a=-2 c-1 / 3 \text {. }
\]

Следовательно, поскольку $c$ произвольно,
\[
P_{6}=x_{1} x_{5}+x_{1}^{6}+\frac{5}{3}\left(x_{1}^{3} x_{3}+x_{3}^{2}\right)+(c+1)\left(x_{1}^{6}-2 x_{3}^{2}-x_{1}^{3} x_{3}\right)
\]

представляет собой однопараметрическое семейство многочленов Хироты с весовым значением 6 , базисными многочленами которого служат
\[
\begin{array}{c}
P_{6}^{(1)}\left(x_{1}, x_{3}, x_{5}, \ldots\right)=x_{1} x_{5}-x_{1}^{6}+\frac{3}{5}\left(x_{1}^{3} x_{3}+x_{3}^{2}\right), \\
P_{6}^{(1)}\left(x_{1}, x_{3}, x_{5}\right)=x_{1}^{6}-2 x_{3}^{2}-x_{1}^{3} x_{3} .
\end{array}
\]

Представлением Хироты для (КдФ) 5 является
\[
P_{6}^{(1)}\left(D_{t_{1}}, D_{t_{3}}, D_{t_{5}}\right) \tau \cdot \tau=0
\]

и (4.59b) представляет собой уравнение, найденное «применением» $D_{t_{1}}^{2}$ к
\[
P_{4}\left(D_{1}, D_{t}\right) \tau \cdot \tau=0 .
\]

Отметим, как важно располагать в задаче тремя временами. $(\text { Кд } Ф)_{5}$ не может быть выражено в представлении Хироты только в терминах $t_{1}$ и $t_{5} !$
Я предоставляю читателю убедиться в том, что
\[
\begin{array}{l}
P_{8}^{(1)}=x_{1} x_{7}-\frac{1}{3} x_{3} x_{5}+\frac{2}{3} x_{1}^{3} x_{5}, \\
P_{8}^{(2)}=x_{1}^{8}+4 x^{3} x_{5}+5 x_{3} x_{5}, \\
P_{8}^{(3)}=-x_{3} x_{5}+x_{3} x_{1}^{5}, \\
P_{8}^{(4)}=-x_{1}^{3} x_{5}+x_{3}^{2} x_{1}^{2},
\end{array}
\]

где $P_{8}^{(r)} \tau \cdot \tau=0, r=1,2,3,4 . P_{8}^{(1)} \tau \cdot \tau=0$ является представлением Хироты для (КДФ) $)_{7} . P_{8}^{(r)}, r=2,3,4$, являются тем, что возникает в результате „применения “ $D_{t_{1}}^{2}, D_{t_{1}}^{4}$ и $D_{t_{1}}^{2}$ к соответствующим комбинациям ( $4,59 \mathrm{a}, \mathrm{b})$ и $\left(D_{t_{1}} D_{t_{3}}+D_{t_{1}}^{4}\right) \tau \cdot \tau=0$.

Повторяя этот процесс, нетрудно видеть, что для каждого весового значения $P_{2 M}, M>2$, существует несколько многочленов Хироты. Я укажу вам лучший способ интерпретации этого по сравнению с просто «применением $D_{t_{1}}^{2}$ к (4.37)», когда мы вновь будем обсуждать этот вопрос в гл. 5. Я также предложу идею подсчета числа многочленов для каждого весового значения.

В качестве упражнения предлагаю читателю вычислить последовательности, представляемые многочленами
\[
\begin{array}{l}
P=x_{1} x_{5}-x_{1}^{6}, \\
P=x_{1} x_{7}+x_{1}^{8} .
\end{array}
\]
$P$ из (4.62a) порождает серию Котеры — Савады [104] и обладает нетривиальными многочленами при бесконечном наборе

весовых значений, который не включает всех четных номеров. Можете ли вы определить, что они из себя представляют? С другой стороны, (4.62b) не обладает бесконечным набором многочленов с одной и той же функцией фазового сдвига. Более того, похоже, что у него их вообще нет. Поэтому оно имеет только двухсолитонное решение.
Также открытыми остаются следующие вопросы:
(i) Можно ли охарактеризовать свойства, необходимые для выражения уравнения в представлении Хироты? Коль скоро уравнение представлено в этом виде, известно, что оно обладает двухсолитонным решением. Имеет ли оно $N$-солитонное решение при произвольном $N$, зависит от того, можно ли найти бесконечную серию $P_{M}$, удовлетворяюшую условию
\[
P_{L}\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}\right) P_{M}\left(\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}\right)-P_{L}\left(\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}\right) P_{M}\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}\right)=0,
\]

где $P_{L}$ — заданный многочлен. Эта формула весьма содержательна, поскольку она выражает то, что оказывается условием коммутируемости многочленов и естественным образом приводит к определению скобок Пуассона на многообразии многочленов.
(ii) Предположим, что можно найти лишь конечное число таких $P_{M}$. Возможно ли это или, если найден один $P_{M}$, то их должно существовать бесконечное число? Если последнее неверно, то значит ли это, что при условии существования $M$ многочленов $P_{M}$ существуют $N$-солитонные решения вплоть до $N \leqslant N(M)$ ?