Я начну с напоминания читателю, что гамильтонова структура, введенная в начале разд. 5с, и вариационная гамильтонова структура, введенная в разд. 3b и с помощью (5.56), (5.57) в конце разд. 5с, совершенно различны. Вспомните ваэиационную гамильтонову структуру, введенную в разд. 3b для иерархии КдФ, а именно
\[
q_{t_{2 n+1}}=N \frac{\delta H_{2 n+1}}{\delta q}=-\frac{1}{4} M \frac{\delta H_{2 n-1}}{\delta q},
\]

где $N$ и $M$ задаются (3.6). Две симплектические структуры $N$ и $M$ локальны (хотя также вырождены) в том смысле, что применение любой из них к элеме:ту фазового пространства (т. е. к элементу дифференциальной алгебры, содержащей $q$ и все

производные $q$ по $x$ ) не выводит за пределы этого фазового пространства. С другой стороны, вариационная гамильтонова структура для иерархии АКНС, оказывается, не допускает введения двух локальных структур. В разд. 5d мы показали, что ( $q=e_{1}$, $r=f_{1}$ )
\[
\left(\begin{array}{l}
q \\
r
\end{array}\right)_{t_{n}}=-2 i L^{n}\left(\begin{array}{r}
q \\
-r
\end{array}\right)
\]

и в [75] было показано, что это может быть записано как $J
abla H_{n}$, где
\[

abla=\left(\frac{\delta}{\delta q}, \frac{\delta}{\delta r}\right), \quad J=\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right)
\]

и $H_{n}$ является интегралом движения, пропорциональным коэффициенту при $\xi^{-n}$ в асимптотическом разложении $\ln a(\zeta)$ вблизи $\zeta=\infty$ (см. разд. $5 \mathrm{f}(\mathrm{i}))$. Оператор $L$ был выписан в разд. $5 \mathrm{~d}$, и хотя (5.205) можно записать в форме
\[
\left(\begin{array}{l}
q \\
r
\end{array}\right)_{t_{n}}=J L
abla H_{n-1}=J L^{2}
abla H_{n-2} \quad \text { и т. д., }
\]

но симплектические операторы $J L, I L^{2}$ и т. д. более не являются локальными, они выводят нас за пределы исходного фазового пространства, которое вариационной гамильтоновой структуры состоит из $q, r$ и : оизводных всех порядков по $x$.

Поэтому интересно, что гамильтоново описание, связанное с алгебраическим подходом разд. 5с, вполне естественно позволяет ввести две локальные структуры. Вторую структуру мы получим, если определим форму Киллинга или внутреннее произведение $\langle X, Y\rangle$ на $G$ как коэффициент при $\zeta^{-1}$, а не при $\zeta^{0}$, в выражении для следа произведения $X Y$. Эту форму мы будем обозначать $\langle X, Y\rangle_{-1}$. Если мы теперь чуточку подумаем, то поймем, что $K^{\perp}=K$ (и так же $N^{\perp}=N$ ). Қак и раньше, существует естественная гамильтонова структура на $K^{\perp}$, которая переносится также на $K^{\perp}+\varepsilon$, где $\varepsilon$ – фиксированный элемент $G$. Мы выбираем элемент $\varepsilon$ таким образом, чтобы он содержался в ортогональном дополнении как к $[K, K]$, так и к $[N, N]$. Он несомненно принадлежит к последнему, поскольку написав $\varepsilon+K^{\perp}$, мы уже указываем, что $\varepsilon$ не принадлежит $K^{\perp}$. Поэтому он должен принадлежать $N^{\perp}$ и ортогональному дополнению к $[N, N]$. Это может быть, только если $\varepsilon=X \zeta^{0}$, так как $[K, K]$ содержит лишь члены $\xi^{p}, p \leqslant-2$, а $[N, N]$ содержит лишь члены $\zeta^{p}, p \geqslant 0$; (новое) внутреннее произведение $\varepsilon$ с тем и другим равно нулю.

Если $\varepsilon$ удовлетворяет этому условию и если Ф – это аd-инвариантная функция на $G$, то гамильтоново векторное поле задается с помощью
\[
x_{\Phi}(X+\varepsilon)=\left[\pi_{K}
abla \Phi(X+\varepsilon), X+\varepsilon\right] .
\]

Более того, если $\Phi$ и $\Psi$ – две ad-инвариантные функции на $G$, то они находятся в инволюции по отношению к скобке Пуассона на $K^{\perp}+\varepsilon$. Для наших целей мы берем
\[
\varepsilon=-i H^{-} ; \quad \Phi_{k}=-\frac{1}{2}\left\langle S^{k} X, X\right\rangle_{0}=-\frac{1}{2}\left\langle S^{k-1} X, X\right\rangle_{-1},
\]

где индексы 0 и – 1 обозначают, какое внутреннее произведение мы выбираем. Тогда $\Phi_{k+1}$ – это гамильтониан, порождающий поток вдоль $t_{k}$. Тогда для $P \in K^{\perp}=K$ потоки задаются с помощью
\[
\begin{aligned}
P_{t_{k}} & =-\left[\pi_{K}
abla \Phi_{k+1}(\varepsilon+P), \varepsilon+P\right]= \\
& =\left[\pi_{N} S^{k}(\varepsilon+P), \varepsilon+P\right]=\left[Q^{(k)}, \varepsilon+P\right] .
\end{aligned}
\]

Это в точности те же уравнения Лакса, что и (5.52), если $\varepsilon+P=Q$.

Основные различия между двумя подходами, связанными с двумя гамильтоновыми структурами, таковы: (i) гамильтонианы сдвинуты; (ii) элемент $\zeta^{0}$, который постоянен вследствие характера действия потоков в первом подходе, фиксирован раз и навсегда во втором. В нашей первой градуировке $\varepsilon=-i H$, тогда как во второй градуировке, введенной в разд. 5 h, $\varepsilon=$ $=-F+E / \zeta$. Выбор второй гамильтоновой структуры позволяет избежать того, что выглядит как довольно произвольный выбор, вроде $e_{0}=f_{0}=0$ в разд. 5 с и $h_{0}=0$ в разд. 5 h. Тем не менее хочу подчеркнуть, что между этими двумя структурами нет существенной разницы, нет также значительных преимуществ использования одной структуры вместо другой.

В следующем разделе, в котором мы обсудим процедуру редукции, мы пользуемся первой структурой, где $K^{\perp}=N^{*}$ $\left(X+\sum_{0}^{\infty} X_{j} \xi^{\prime}\right), K^{*}=N^{\perp}\left(X=\sum_{1}^{\infty} X_{j} \xi^{\prime}\right)$ и элемент $\varepsilon$, принадлежащий $K^{*}$, есть $-i H \zeta$. Характерным элементом нашего фазового пространства теперь будет использованная ранее матрица $Q$, умноженная на $\zeta$ :
\[
-i H \zeta+Q_{1}+\frac{Q_{2}}{\zeta}+\ldots=Q \zeta,
\]

где $Q, Q_{1}, Q_{2}$ и т. д. в точности такие, как раньше.