В разд. $2 \mathrm{~b}$ мы получили (2.16)
\[
q_{\tau}+6 q q_{\theta}+q_{\theta \theta \theta}=-\frac{9}{4} \frac{D_{\tau}}{D} q
\]

в качестве модели для описания длинных волн, распространяющихся вправо по каналу переменной глубины. Если относительное изменение глубины $D_{\tau} / D$ мало по сравнению с длиной рассматриваемых волн, то зависящий от $\tau$ параметр $\Gamma=(9 / 4) D_{\tau} / D$ мал, скажем, порядка $\sigma$, где $0<\varepsilon \ll \sigma \ll 1$. Может показаться, что такую на вид несложную задачу можно решить в лоб, используя стандартную технику теории возмущений. Однако это не так. Потребовалось около десяти лет, чтобы прояснить большинство трудностей, связанных с уравнением (3.111), и его связь с полной двухволновой задачей о волнах на воде. А некоторые вопросы до сих пор остаются открытыми. Поэтому это прекрасный пример для иллюстрации различных подходов к решению возмущенных солитонных уравнений. Результаты, которые я намереваюсь обсудить, получены в серии статей с моим коллегой Дэвидом Каупом [45] и позже с моим студентом Колленом Кникербокером [43]. Қарпман с коллегами [46] независимо получили многие из этих результатов почти одновременно с нами.

Задача, которую мы рассмотрим, такова: вообразим уединенную волну
\[
q(\theta, \tau)=2 \eta_{0}^{2} \operatorname{sech}^{2} \eta_{0}\left(\theta-4 \eta_{0}^{2} \tau-\theta_{0}\right),
\]

входящую в область меняющейся глубины при $\theta=\tau=0$. (Напомним связь новых координат $q, \theta, \tau$ со старыми:
\[
\theta=-t+\frac{1}{\varepsilon} \int^{x} \frac{d X}{D^{1 / 2}}, \quad \tau=\frac{1}{6} \int^{X} D^{1 / 2}(X) d X, \quad X=\varepsilon x ;
\]

возвышение $N$ пропорционально $D^{2} q$, где $D(X)$ – безразмерная глубина.) Наша цель – описать дальнейшую эволюцию. Для этого есть много способов, одни в чем-то лучше других, но нет единственно верного. В пунктах (i) и (ii) ниже мы опишем как прямой метод возмущений, так и связанный с обратной задачей, и укажем их преимущества и недостатки. Метод, разбираемый в п. (iii), который я называю методом разумного использования

законов сохранения, я считаю весьма удобным, если уже есть некоторое понимание того, чего следует ожидать, – понимание, приобретаемое посредством метода (ii). В ї. (iv) я вкратце опишу, как пользоваться (iii) для преодоления несоответствия между постоянным потоком массы $M=\int_{-\infty}^{\infty} D(x) U(x, t) d t$ в полных двухволновых уравнениях и величиной, сохраняющейся в одноволновом приближении, $\quad$ ( $\int_{-\infty}^{\infty} D^{3 / 4}(x) U_{+}(x, t) d t$. В упражнениях есть несколько примеров, на которых вы можете себя проверить.
(i) Прямой метод. Самое простое, что приходит в голову, это искать решение (3.111) в виде
\[
q(\theta, \tau)=q^{(0)}+\sigma q^{(1)}+\ldots,
\]

где предполагается, что $q^{(0)}$ имеет вид солитона (3.112) с той разницей, что $\eta$, параметр амплитуды, является медленно меняющейся функцией $\tau(\eta=\eta(T), T \equiv \sigma \tau$ ), а соответствующая фазовая скорость равна
\[
\bar{\theta}_{\tau}=4 \eta^{2}+O(\sigma) .
\]

Исходя из этого, естественно использовать систему координат, движущуюся вместе с солитоном ( $\xi=\theta-\bar{\theta}, s=\tau$ ), в которой уравнение для $q^{(1)}$ имеет вид
\[
q_{s}^{(1)}-4 \eta^{2} q_{\xi}^{(1)}+q_{\xi \xi}^{(1)}+6 q_{\xi}^{(0)} q^{(1)}+6 q^{(0)} q_{\xi}^{(1)}=-\mathrm{I} / \sigma q^{(0)}-q_{T}^{(0)} .
\]

Как видим, при $q^{(0)}(\theta, \tau)$ общего вида решить (3.115) довольно трудно, поскольку неясно, как можно разделить переменные (метод (ii) автоматически приводит к такому разделению). Однако в данном случае, когда $q^{(0)}$ зависит только от $\xi$, решение возможно. Если мы ищем $q^{(1)}$, зависящее только от $\xi$, но не от $s$, тогда условие разделимости (3.115) сводится к требованию ортогональности правой части решению сопряженного уравнения $L^{A} V=-V_{\xi \xi}+4 \eta^{2} V_{\xi}-6 q^{(0)} V_{\xi}=0$, убывающего при $\xi \rightarrow \pm \infty$. Единственным кандидатом является само $q^{(0)}$. Поэтому мы потребуем, чтобы
\[
\frac{\partial}{\partial T} \int_{-\infty}^{\infty} q^{(0):} d \theta=-\frac{2 \Gamma}{\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} q^{(0)^{2}} d \theta ;
\]

откуда
\[
\eta_{\tau}=-\frac{2}{3} \Gamma \eta
\]
5 А. Ньюэлл

Если не требовать (3.116a) и допустить зависимость $q^{(i)}$ от $s$, то тогда оно будет линейно расти по $s$, и на больших расстояниях порядка $s=\tau=O(1 / \sigma)$ будет нарушаться равномерность асимптотического разложения (3.113).
Теперь найдем $q^{(1)}$ :
\[
\begin{aligned}
q^{(1)}= & \frac{\Gamma}{6 \eta}\left\{-1+\text { th } \eta \xi+\operatorname{sech}^{2} \eta \xi(3-3 \eta \xi \text { th } \eta \xi+2 \eta \xi-\right. \\
& \left.\left.-2 \eta^{2 \xi} \xi^{2} \text { th } \eta \xi\right)\right\}+\frac{\Gamma}{2}(1-\text { th } \eta \xi) \operatorname{sech}^{2} \eta \xi .
\end{aligned}
\]

Отметим, что $q^{(1)} \rightarrow 0$ при $\xi \rightarrow+\infty$, однако в хвосте уединенной волны, $\xi \rightarrow-\infty$,
\[
q^{(1)}=-\frac{\Gamma}{3 \eta},
\]
т. е. равно ненулевой (почти) константе. Увы Ряд (3.113) сходится неравномерно в хвосте уединенной волны. Этот факт был впервые открыт и подтвержден численными расчетами Лейбовичем и Рэнделлом [82].

Однако впереди еще худшее. Проверим точный закон сохранения,
\[
\frac{\partial}{\partial \tau} \int_{-\infty}^{\infty} q(\theta) d \theta=-\Gamma \int_{-\infty}^{\infty} q(\theta) d \theta,
\]

что представляет собой запись закона сохранения потока массы $m=\int D^{9 / 4} q d \theta$ для движущегося вправо потока. (Я буду пользоваться строчным $m$, чтобы отличить его от истинного потока массы $M$ в полной двухволновой задаче, допускающей движения как вправо, так и влево.) Если $q$ близко к $q^{(0)}$, то левая часть (3.118) равна $(\partial / \partial \tau)(4 \eta)=4 \eta\left(-\frac{2}{3} \Gamma\right)$, в то время как правая часть равна $-\Gamma(4 \eta)$. Поэтому (пусть $\Gamma<0, D$ уменьшается) из дополнительной массы жидкости, накопляемой в области меняющейся глубины, только $2 / 3$ идет на рост уединенной волны. Куда девается остальное?

В то время как трудности, связанные с (3.117), были замечены при использовании прямого метода, только что описанная трудность оказалась незамеченной.
(ii) Использование обратной задачи рассеяния. Как преодолеть две эти трудности? В 1976 г. Дэвид Қауп и я вновь обратились к этой задаче с точки зрения теории рассеяния. Идея состояла в том, что в этой задаче естественнее всего изучать эф-фекты возмущения, преобразовав возмущенные уравнения к переменным действие – угол или нормальным модам точно решаемой системы. Кауп [73] еще раньше показал, как выписывать эти уравнения для возмущенного НУШ. В этом подходе мы прямо приходим к (3.99), (3.100) и (3.101). Вспомним, что если $\delta q$ или $q_{t}$ эволюционирует в соответствии с любым уравнением из КдФ-иерархии, например (КдФ) , $^{\text {, как в }}$ в 3.52 ), то все интегралы вычисляются и соответственно дают $8 i \zeta^{3} b^{*} / a, 0$ и $8 i \zeta_{k}^{3} b^{*} / a$. Для вычисления эффекта от возмущения – $-\Gamma$ используем для $q$ главный порядок – односолитонное решение – и вычислим соответствующие квадраты собственных функций. Для чисто $q=-4 \gamma_{1} \xi_{1} \psi^{2}\left(x, \xi_{1}\right)$, и поэтому (3.100) приобретает вид $\zeta_{1}=$ $=i \eta_{\tau}=-(2 / 3) i \Gamma \eta$, что в точности дает (3.116b). Когда мы использовали (3.99) для вычисления возмущений непрерывного спектра (напомним, что при $\tau=0 b^{*} / a=0$ ), мы получили, что сингулярный вклад в окрестности $\zeta=0$ приводит к появлению нового поля $q_{c}$, которое для малых расстояний имеет вид
\[
q_{c}(\theta, \tau)=\left\{\begin{array}{ll}
-\frac{\Gamma}{3 \eta}, & 0<\theta<\ddot{\theta}, \\
0 & \text { в других случаях. }
\end{array}\right.
\]

Таким образом, образуется шельф, располагающийся между текущим положением солитона $\bar{\theta}$ и $\theta=0$. В исходных координатах он находится между уединенной волной и местом, до которого может распространяться наиболее длинная волна, выходящая из точки начала изменения глубины. Он в точности имеет величину той части $q^{(1)}$, а именно (3.117), которая не убывает при $\xi \rightarrow-\infty$. Это тот шельф, который обнаружили Лейбович и Рэнделл, однако они не осознали, в каком смысле он имеет конечную протяженность. Хотя шельф медленно меняется по амплитуде, его протяженность меняется со скоростью порядка единицы. Это означает, что отклик решения на медленное изменение глубины не является чисто адиабатическим! И именно этот факт позволил нам удовлетворить условию сохранения потока массы в локальной форме:
\[
\frac{\partial}{\partial \tau} \int_{-\infty}^{\infty} q d \theta=-\frac{9}{4} \frac{D_{\tau}}{D} \int_{-\infty}^{\infty} q d \theta .
\]

Поскольку $q_{c}$ мало и меняется медленно, из (3.111) мы ожидаем, что $\partial q_{c} / \partial \tau=-\frac{9}{4}\left(D_{\tau} / D\right) q_{c}$, т. е. просто закон Грина: постоянство $D^{9 / 4} q_{c}$ вдоль правых характеристик $\theta=-t+$
$5 *$

\[
\begin{array}{l}
+\int d x / D^{1 / 2} \text {. Следовательно, левая часть (3.120) равна (введем } \\
\left.\Gamma=\frac{9}{4} D_{\tau} / D\right) \\
\begin{array}{r}
\frac{\partial}{\partial \tau} \int_{-\infty}^{\infty} q_{s} d \theta+\frac{\partial}{\partial \tau} \int_{0}^{\theta} q_{c} d \theta=4 \eta\left(-\frac{2 \Gamma}{3}\right)+\frac{\partial \bar{\theta}}{\partial \tau} q_{c}(\bar{\theta})+\int_{0}^{\theta} \frac{\partial q_{c}}{\partial \tau} d \theta= \\
=4 \eta\left(-\frac{2 \Gamma}{3}\right)+4 \eta^{2}\left(-\frac{\Gamma}{3 \eta}\right)-\Gamma \int_{0}^{\infty} q_{c} d \theta= \\
=-\Gamma \int_{-\infty}^{\infty} q_{s} d \theta-\Gamma \int_{0}^{\theta} q_{c} d \theta
\end{array}
\end{array}
\]
т. е. правой части. Отметим решающую роль второго члена (область, занимаемая $q_{c}, 0<\theta<\bar{\theta}$, меняется не медленно). И действительно, по локальному дефициту потока массы можно вычислить начальную амплитуду шельфа («начальная» означает амплитуду после его возникновения непосредственно за уединенной волной); таким образом, вместо того чтобы проверять формулу (3.120), мы можем воспользоваться ею для нахождения $q_{c}(\bar{\theta})$.

Метод обратной задачи силен с теоретической точки зрения тем, что он переводит возмущенное уравнение в правильные координаты. В сущности он разрешает основную трудность прямого метода – как разделить переменные в (3.115). Базис, по которому следует разлагать $q^{(1)}$ – это (3.105). В этом базисе (3.115) автоматически разделяется вне зависимости от степени сложности $q^{(0)}(\theta, \tau)$ !! Более того, формулы, получающиеся для зависимости от времени коэффициентов разложения $q^{(1)}$ по этому базису, а именно порождаемые возмущением вариаций $b^{*} / a, \xi_{k}$ и $\beta_{k}$, – это в точности те же формулы, которые получаются разложением (3.99)-(3.101) в ряд теории возмущений с $\delta=\partial / \partial \tau$, $q_{\tau}=\left(q_{\tau}\right)_{I}+\left(q_{\tau}\right)_{p} \quad\left(\left(q_{\tau}\right)_{I}\right.$ – это «интегрируемая часть» (3.111), а $\left(q_{\tau}\right)_{p}$-это часть, связанная с возмущением). Квадраты собственных функций аппроксимируются односолитонными выражениями.

Этот метод, однако, слаб в практическом аспекте. Ясно, что на больших расстояниях порождаются новые компоненты потока (которые порядка $O(\sigma)$, однако несут $O(1)$ потока массы). Поэтому приближение односолитонными собственными функциями неприменимо на больших временах. Причина состоит в єингулярности поправок к собєтвенным функциям при $\zeta=0$. Тем

не менее в (3.100) можно пользоваться таким приближением на больших временах. Однако, несмотря на эти слабости, подход, основанный на обратной задаче, дает ключ к разрешению острых и принципиальных вопросов, связанных с балансом потока массы, и уже только по этой причине заслуживает высокой оценки. Сейчас я опишу подход, объединяющий преимущества подходов (i) и (ii) и позволяющий успешно рассматривать развитие шельфа солитона на больших расстояниях порядка $O\left(\sigma^{-1}\right)$.
(iii) Разумное использование законов сохранения. Если знать все то, что мы знаем, то это, оказывается, лучший метод. Мы знаем, что законы сохранения точны. Используя закон сохранения энергии
\[
\frac{\partial}{\partial \tau} \int_{-\infty}^{\infty} q^{2} d \theta=-2 \Gamma \int_{-\infty}^{\infty} q^{2} d \theta,
\]

а в действительности любой из остальных, мы, заменяя $q$ на медленно меняющуюся одиночную солитонную волну, приходим к (3.116b). Причина правильности этой операции в том, что другие компоненты потока порядка $O(\sigma)$ по амплитуде и не больше $O\left(\sigma^{-1}\right)$ по длине. Поэтому единственная сохраняющаяся плотность, в которую они дают вклад порядка единицы, – это поток массы. Поправки к энергии и к высшим сохраняющимся величинам не превосходят $O(\sigma)$. Все законы сохранения, начиная с энергии и выше, дают одно и то же поведение $\eta$, а именно (3.116b). Теперь мы уже знаем, что меняющаяся уединенная волна не может (вспомним, что $\Gamma=(9 / 4) D_{\tau} / D<0$ ) нести достаточную массу воды, чтобы удовлетворялся закон сохранения
\[
\frac{\partial}{\partial \tau} \int_{-\infty}^{\infty} q^{-} d \theta=-\Gamma \int_{-\infty}^{\infty} q d \theta
\]

потока массы, и непосредственно за уединенной волной образуется шельф амплитуды $q_{c}=-\Gamma / 3 \eta$. Мы можем вывести это следующим образом. Предположим, что $q(\theta, \tau)$ состоит из уединенной волны $q_{s}(\theta, \tau)$ с $\eta$, медленно меняющимся в соответствии с (3.116b), и из компоненты $q_{c}(\theta, \tau)$, располагающейся между $\theta=0$ и $\theta=\bar{\theta}$, т. е. текущим положением уединенной волны. Поскольку $q_{c}$ медленно меняется по $\theta$ и мало по амплитуде, его эволюция по $\tau$ определяется законом Грина, который при $\Gamma=(9 / 4) D_{\tau} / D$ дает, что $\partial q_{c} / \partial \tau=-\Gamma q_{c}$ и что $D^{9 / 4} q_{c}$ зависит только от $\theta$ и поэтому постоянно вдоль идущих вправо характеристик. Теперь используем (3.122): ( $(/ / \tau) 4 \eta+q_{c}(\bar{\theta}) \bar{\theta}_{\tau}=$ $=-\Gamma(4 \eta)$, и пөэтому $q_{c}(\bar{\theta})=-\Gamma / 3 \eta$. Чтобы получить $q_{c}(\theta, \tau)$

везде, посмотрим на рис. 4. Мы знаем, что $D^{9 / 4} q_{c}(\theta, \tau)$ постоянно вдоль траектории $\theta=$ const. Поэтому проследуем вдоль идущей вправо характеристики, проходящей через $\theta$ и $\tau$, обратно вплоть до ее пересечения с траекторией солитона. В этой точке мы знаем $q_{c}$ и, следовательно,
\[
q_{c}(\theta, \tau)=\frac{D^{9 / 4}\left(\tau_{c}\right)}{D^{9 / 4}(\tau)} q_{c}\left(\tau_{s}\right),
\]

Рис. 4. Движущийся вправо шлейф.

где $q_{c}$ задается как функция $\theta$ интегрированием и обращением формулы траектории солитона
\[
\theta_{\tau}=4 \eta^{2} \text {. }
\]

Для конкретности рассмотрим пример. Пусть $-(9 / 4) D_{\tau} / D=\sigma$, т. е. постоянно. Тогда
\[
\eta=\eta_{0} e^{2 / 3 \sigma \tau}
\]

Траектория солитона имеет вид
\[
\theta_{s}=\frac{3 \eta_{0}^{2}}{\sigma}\left(e^{4 / 3 \sigma \tau_{s}}-1\right) .
\]

Далее, мы знаем, что на траектории $P_{s}\left(\theta_{s}, \tau_{s}\right)$
\[
q_{c}\left(\tau_{s}\right)=\frac{\sigma}{3 \eta\left(\tau_{s}\right)}=\frac{\sigma}{3 \eta_{0}} e^{-2 / 3 \sigma \tau_{s}} .
\]

Мы знаем также, что
\[
q_{c}(\theta, \tau)=e^{\sigma\left(\tau-\tau_{s}\right)} q_{c}\left(\tau_{s}\right)=\frac{\sigma}{3 \eta_{0}} e^{\sigma \tau} e^{-5 / 3 \sigma \tau_{s}},
\]

что после обращения формулы траектории солитона дает
\[
q_{c}(\theta, \tau)=\frac{\sigma}{3 \eta_{0}} e^{\sigma \tau}\left(1+\frac{\sigma \theta}{3 \eta_{0}^{2}}\right)^{-5 / 4} .
\]

Вычислим теперь поток массы, связанный с шельфом,
\[
m_{c}=D^{9 / 4}(\tau) \int_{0}^{\theta} q(\theta, \tau) d \theta .
\]

Используя закон Грина, а именно, что вдоль характеристики $\theta=\mathrm{const}$,
\[
D^{9 / 4}(\tau) q(\theta, \tau)=D^{9 / 4}\left(\tau_{s}\right) q_{c}\left(\theta=\theta_{s}, \tau_{s}\right),
\]

мы можем записать это в виде интеграла по $\tau_{s}$, переменной вдоль траектории солитона, от $\tau_{s}=0$, т. е. точки, начиная с которой глубина меняется, и до $\tau_{s}=\tilde{\tau}$ т. е. текущего положения уединенной волны:
\[
\begin{aligned}
m_{c} & =\int_{0}^{\bar{\tau}} D^{9 / 4}\left(\tau_{s}\right) q_{c}\left(\theta_{s}, \tau_{s}\right) \frac{d \theta_{s}}{d \tau_{s}} d \tau_{s}= \\
& =\int_{0}^{\bar{\tau}} D^{9 / 4}\left(\tau_{s}\right)\left(-\frac{3 D_{\tau}\left(\tau_{s}\right)}{4 \eta\left(\tau_{s}\right) D\left(\tau_{s}\right)}\right) 4 \eta^{2}\left(\tau_{s}\right) d \tau_{s}= \\
& =-3 \eta_{0} \int_{0}^{\bar{\tau}} D^{-1 / 4}\left(\tau_{s}\right) D_{\tau}\left(\tau_{s}\right) d \tau_{s}
\end{aligned}
\]

и так как $\eta D^{3 / 2}=\eta_{0} D_{0}^{3 / 2}=\eta_{0}$ (поскольку $D_{0}=1$ ), то $m_{c}=4 \eta_{0}$ – $4 \eta_{0} D^{3 / 4}(\bar{\tau})$. Однако поток массы, связанный с уединенной волной, есть
\[
m_{s}=D^{9 / 4}(\tau) \cdot 4 \eta(\tau)=4 \eta_{0} D^{3 / 4}(\bar{\tau}) .
\]

Поэтому полный поток массы, связанный с идущей вправо компонентой потока,
\[
m=m_{s}+m_{c}=\int_{-\infty}^{\infty} D^{9 / 4}(\tau) q(\theta, \tau) d \theta=4 \eta_{0},
\]

действительно постоянен, как и требуется в соответствии с уравнением (3.111).

Прежде чем разобраться с несоответствием между потоком массы в уравнении КДФ, описывающем только распространяющиеся вправо волны, и потоком в полных уравнениях, посмотрим, как выразить шельф через данные рассеяния. Вспомним первую из формул следов (3.70) для массы:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} q d \theta=4 \sum_{1}^{N} \eta_{k}+\frac{2}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \ln \left(1-|R|^{2}\right) d \zeta .
\]

Из (3.111) получаем, что $\int_{-\infty}^{\infty} q d \theta$ в точности совпадает с $4 \eta_{0}(1 / D)^{9 / 4}$. Солитонная компонента решения $q_{s}$, с которой мы связываем солитон $\eta_{1}$, имеет массу $4 \eta_{1}=4 \eta_{0}(1 / D)^{3 / 2}$. Если $1>D$, глубина уменьшается; тогда, поскольку вклад непрерывного спектра $(2 / \pi) \int_{0}^{\infty} \ln \left(1-|R|^{2}\right) d \zeta$ всегда отрицателен, $q_{c}$ должно быть разложимо на солитоны для осуществления баланса в (3.70), поскольку $1 / D^{9 / 4}>1 / D^{5 / 2}$. Шельф, имеющий в этом случае положительную амплитуду порядка $\sigma$ и длину порядка $\sigma^{-1}$, будет разлагаться на большое число солитонов, представленных в спектре набором точек $\zeta_{k}=i \eta_{k}, k=2, \ldots, N$, плотно расположенных на отрезке мнимой оси между $\xi=0$ и $\zeta=O(i \sigma)$. (Подумайте об упражнении $3 \mathrm{~d}(3)$ с $Q=\sigma, L=1 / \sigma$.) Постепенно, за время $(1 / \sigma) \ln (1 / \sigma)$, солитоны, составляющие шельф, отделяются друг от друга.

Я думаю, что такие сложности при анализе безобидного на вид возмущения могут вызвать удивление. Хотя этот вопрос для меня полностью не ясен, частичная причина – в принципиально различном влиянии возмущения на «сохраняющуюся величину» $\int q d x$, т. е. функционал Казимира, возникающий вследствие вырожденности скобки Пуассона (3.25), и на все остальные интегралы движения $\int q^{2} d x, \int\left(\frac{1}{2} q_{x}^{2}-q^{3}\right) d x, \ldots$

(iv) Отраженный поток [43]. Сейчас мы займемся отысканием поля отраженного потока $\eta_{-}(x, t)$ и $u_{-}(x, t)$, порожденного взаимодействием распространяющейся вправо компоненты $\eta_{+}(x, t)$ и $u_{+}(x, t)$ с изменением глубины. Мы воспользуемся той же стратегией, что и раньше. Сначала вычислим $u_{-}$на идущей вправо характеристике $\theta_{+}=0$, для чего рассмотрим рис. 5.
Рис. 5. Отраженный поток.
Зафиксируем $x, 0<x<\bar{x}$, где $\bar{x}$ – текущее положение солитона. Поскольку амплитуда отраженного потока оказывается порядка $O(\sigma \varepsilon)$, в этом вычислении мы можем пренебречь различием между реальной траекторией солитона и $\theta_{+}=0$. Кроме того, $\eta_{-}(x, t)$ и $u_{-}(x, t)$ удовлетворяют линейным уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\eta_{-t}+\left(D u_{-}\right)_{x}=0, \\
u_{-t}+\eta_{-x}=0
\end{array}
\]
(см. (2.11), (2.12)) в треугольной области плоскости $(x, t)$, изображенной на рис. 5. Пусть $t_{+}(x)$ – точка пересечения вертикальной линии $x=$ const и кривой $\theta_{+}=0$, а $t_{-}(x)$ – точка пересечения этой прямой с характеристикой, идущей влево и проходящей через текущее положение солитона ( $\bar{x}, \bar{t})$. Тогда,

поскольку $\int_{-\infty}^{\infty} D(x) u(x, t) d t$ не зависит от $x$ в главном порядке по $\varepsilon$, то
\[
\frac{\partial}{\partial x} \int_{t_{+}(x)}^{t_{-}(x)} D(x) u_{-}(x, t) d t+\frac{\partial}{\partial x} D^{1 / 4}(x) \int_{-\infty}^{\infty} D^{3 / 4}(x) u_{+}(x, t) d t=0 .
\]

Второй член в этом уравнении равен
\[
\frac{1}{4} D_{x} D^{-3 / 4} m
\]

где $m=(8 / 3) \eta_{0}$, поток массы идущего вправо потока, и не зависит от $x$. Уравнение (3.124) означает, что (вспомним: $d t_{+} / d x=$ $\left.=1 / \sqrt{D}, d t_{-} / d x=-1 / \sqrt{D}\right)$
$-D^{1 / 2}(x) u_{-}\left(x, t_{-}\right)-D^{1 / 2}(x) u_{-}\left(x, t_{+}\right)+\eta_{-}\left(x, t_{-}\right)+\eta_{-}\left(x, t_{+}\right)=$
\[
=-\frac{2}{3} \eta_{0} D_{x} D^{-3 / 4}-\eta_{-}\left(x, t_{-.}\right)-\eta_{-}\left(x, t_{+}\right)=-\frac{2}{3} \eta_{0} D_{x} D^{-3 / 4},
\]

где мы заменили ( $\left.D u_{-}\right)_{x}$ с помощью (3.123a). Вычитая и добавляя $D^{1 / 2}(x) u_{-}\left(x, t_{+}\right)$, имеем
\[
\begin{array}{l}
D(x) u_{-}\left(x, t_{+}\right)=\frac{1}{3} D^{-1 / 4} D_{x} \eta_{0}-\frac{\sqrt{D}}{2}\left(\eta_{-}+\sqrt{\bar{D}} u_{-}\right)_{t_{-}}+ \\
+\frac{\sqrt{D}}{2}\left(\eta_{-}+\sqrt{D} u_{-}\right)_{t_{+}} \text {. } \\
\end{array}
\]

Теперь мы можем выбрать $x$ произвольно близким к $\bar{x}$, и тогда $t_{+} \rightarrow t_{-} \rightarrow \bar{t}$. В этом случае (3.125) дает нам двоякую информацию. Во-первых, непосредственно за идущей вправо компонентой
\[
D(\bar{x}) u_{-}(\bar{x}, \bar{t})=\frac{1}{3} \eta_{0} D^{-1 / 4} D_{x}
\]

и, во-вторых,
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\eta_{-}+\sqrt{D} u_{-}\right)=0 .
\]

Поскольку те же рассуждения применимы вне зависимости от расположения идущей вправо компоненты вдоль характеристики $\theta_{+}=0$, мы получаем, что $u_{-}(x, t)$ на $\theta_{+}=0$ определяется по (3.126a) и что (3.126b) верно во всей треугольной области на рис. 5. Небольшое вычисление с помощью (3.123) и (3.126b) показывает, что
\[
\left(\frac{\partial}{\partial t}-\sqrt{D} \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\begin{array}{c}
\eta_{-} \\
D u_{-}
\end{array}\right)=0,
\]

что означает, что как $\eta_{-}$, так и $D u_{-}$постоянны вдоль характеристик $\theta_{-}$.

Эти факты проверялись численно при решении (3.123) как задачи Гурса: заданы $u_{-}, \eta_{-}=0$ на $\theta_{-}=0$, и при $u_{-}$, заданном из (3.126a) на $\theta_{+}=0$, находятся $\eta_{-}, u$.

Поэтому закон Грина не выполняется для отраженных волн. Причина состоит в том, что закон Грина следует из соображений геометрической оптики, для справедливости которых требуется медленное изменение характеристик среды по сравнению с горизонтальными градиентами в волне. Здесь же как $\left(1 / u_{-}\right) \partial u_{-} / \partial x$, так и $D_{x} / D$ имеют одинаковый порядок малости $O(\sigma \varepsilon)$. Из (3.123a) ясно также, что амплитуда отраженной волны порядка $O(\sigma \varepsilon)$. Однако, поскольку ее длина $\sim O(\sigma \varepsilon)^{-1}$, она переносит поток массы порядка единицы, и мы сейчас его вычислим.

Пусть $x=x_{f}$-это точка, в которой глубина снова становится постоянной $D_{f}$. Тогда полный поток массы через произвольное сечение $x$ должен быть равен потоку массы, переносимому движущейся вправо компонентой через сечение в точке $x_{f}$, поскольку правее ее уже нет отражения.

Мы уже получили, что поток, переносимый правонаправленной компонентой, равен
\[
\frac{8}{3} \eta_{0} D^{1 / 4}(x) .
\]

Теперь мы получаем, что поток массы, связанный с отраженной волной, равен
\[
\frac{8}{3} \eta_{0}\left(D_{f}^{1 / 4}-D^{1 / 4}(x)\right)
\]

Рассмотрим выражение
\[
\int_{t_{+}(x)}^{t_{f}} D(x) u_{-}(x, t) \cdot d t
\]

и запишем его как интеграл вдоль пути $\theta_{+}=0$ от $x=x$ до $x=x_{f}$, пользуясь постоянством $D u_{-}$вдоль характеристик $\theta_{-}$. Отметим, что $t$-координата точки $P(x, t)$ на рис. 5 и $x$-компонента $P_{+}\left(y, t_{y}\right)$ точки, в которой пересекаются идущая влево через точку $P$ характеристика $t+\int^{x} D^{-1 / 2}(s) d s=t_{y}+\int^{y} D^{-1 / 2}(s) d s$

с кривой $\theta_{+}=0, t_{y}=\int^{y} D^{-1 / 2}(s) d s$, связаны соотношением
\[
t+\int^{x} D^{-1 / 2}(s) d s=2 \int^{y} D^{-1 / 2}(s) d s .
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{l}
\int_{x}^{x_{f}}\left(\frac{\eta_{0}}{3} D^{-1 / 4}(y) D_{y}(y)\right) \frac{2}{D^{1 / 2}(y)} d y= \\
=\int_{x}^{x_{f}} \frac{2 \eta_{0}}{3} D^{3 / 4}(y) D_{y} d y=\frac{8 \eta_{0}}{3}\left(D_{f}^{1 / 4}-D^{1 / 4}\right),
\end{array}
\]

что и требовалось.
Читателю следует обратить внимание на постоянство полного потока массы через сечение $x$, который равен
\[
\frac{8}{3} \eta_{0} D_{f}^{1 / 4} .
\]

Это означает, что при малом $D_{i}$ бо́льшая часть воды отражается и лишь очень небольшая распространяется до берега.