В этом разделе мы возвращаемся к модели, с которой все началось. Мы хотим аккуратно вывести уравнения КдФ для волн на воде. Следуя статье Джонсона [44], мы включим также влияние слабо меняющейся глубины и коснемся методов решения возникающего в результате возмущенного уравнения Кортевега — де Фриза. В конце раздела сделаны некоторые замечания об уравнении Буссинеска (двухволновом) и Кадомцева Петвиашвили (слабодвумерном КдФ).

Рассмотрим следующую ситуацию, изображенную на рис. 2. (Отношение масштабов амплитуды и длины возмущения сильно изменено так, чтобы на рисунке поместилось все необходимое.) Рассмотрим двумерное безвихревое поле скорости $\mathbf{U}(x, y, t)$ жидкости в односвязной области, ограниченной независящей от времени границей $y=-H(x)$ и свободной поверхностью $y=$ $=h_{0}+N(x, t)$. Условия на концах $x=-\infty$, $+\infty$ останутся пока неопределенными, но мы будем представлять себе, что в этих точках глубина жидкости постоянна. Мы также введем потенциал скорости $\mathbf{U}=
abla \varphi$.

Предположим также, что рассматриваемые возмущения имеют следующие свойства. Их горизонтальный размер $l$ велик по сравнению со средней глубиной $h_{0}: \varepsilon=h_{0}^{2} / l^{2} \ll 1$. Их амплитуда $a$ мала по сравнению со средней глубиной $h_{0}$, так

что $a / h_{0}=\mu \ll 1$. Интересующее нас явление происходит, когда эти две величины одного порядка. Кроме того, расстояния, на которых дно заметно меняется (на величину порядка единицы) больше $l$. Помня все это, обезразмерим зависимые и независимые переменные следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
x \rightarrow l x, \quad y \rightarrow h_{0} y, \quad t \rightarrow \frac{l}{\sqrt{g h_{0}}} t, \\
H \rightarrow h_{0} h, \quad N=a \eta, \quad \varphi \rightarrow \frac{a}{h_{0}} l \sqrt{g h_{0}} \varphi .
\end{array}
\]

Здесь $g$ — ускорение силы тяжести, и в соответствии с последним предположением мы полагаем, что $h_{x}=\varepsilon h_{X}, X=\varepsilon x$ и $h_{X}$

Рис. 2. Уединеннье волны, распространяющиеся по каналу переменной глубины.

самое большее порядка единицы. В этих безразмерных переменных уравнение неразрывности, граничное условие на нормальную скорость при $y=-h$, условие непрерывности нормального напряжения (давления) на свободной поверхности, записанное с использованием уравнения Бернулли, и кинематическое граничное условие на свободной поверхности, состоящее в равенстве нормальной скорости жидкой частицы на поверхности нормальной скорости самой поверхности, примут следующий вид (нижние индексы обозначают частные производные):
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{y y}+\varepsilon \varphi_{x x}=0, \\
\varphi_{y}=-\varepsilon^{2} h_{x} \varphi_{x}, \quad y=-h, \\
\varphi_{t}+\eta+\frac{1}{2} \mu \varphi_{x}^{2}+\frac{1}{2} \frac{\mu}{\varepsilon} \varphi_{y}^{2}=0, \quad y=1+\mu \eta, \\
\eta_{t}+\mu \varphi_{x} \eta_{x}=\frac{1}{\varepsilon} \varphi_{y}, \quad y=1+\mu \eta .
\end{array}
\]

Решение получается разложением потенциала в (2.3) в степенной ряд по $y$ (более удобно по $(y+h)$ ). Используя (2.4), получаем
\[
\begin{aligned}
\varphi(x, y, t)= & F(x, t)-\frac{\varepsilon}{2} F_{x x}(y+h)^{2}+ \\
& +\varepsilon^{2}\left(\frac{1}{24} F_{x x x x}(y+h)^{4}-h_{X} F_{x}(y+h)\right)+\ldots
\end{aligned}
\]

Выведем сначала уравнения мелкой воды, получающиеся при $\varepsilon \rightarrow 0$ и конечных $\mu$. Из (2.7)
\[
\frac{1}{\varepsilon} \varphi_{y}=-F_{x x}(1+\mu \eta+h)-F_{x} h_{x},
\]

где мы записали $h_{x}$ вместо $\varepsilon h_{x}$. Теперь рассмотрим предел $\varepsilon \rightarrow 0$ и положим $\varphi_{x}=u$. Для (2.5) и (2.6) получаем
\[
\begin{array}{c}
u_{t}+\mu u u_{x}+\eta_{x}=0, \\
\eta_{t}+((1+h+\mu \eta) u)_{x}=0,
\end{array}
\]
т. е. уравнения мелкой воды. (В решеточной модели этот предел соответствует нулевому расстоянию между массами.) Хорошо известно, что для большинства начальных условий за конечное время происходит образование ударного фронта, на котором $\eta_{x}$ и $u_{x}$ становятся бесконечными за конечное время.

Однако для нас интересен предел, когда нелинейность, измеряемая $\mu$, и дисперсия, измеряемая $\varepsilon$, малы и уравновешивают друг друга. Полагая $\mu=\varepsilon$ и разлагая (2.5) и (2.6) вблизи $y=1$, получаем
\[
\begin{array}{ll}
\varphi_{t}+\eta+\frac{1}{2} \varepsilon \varphi_{x}^{2}=0, & y=1, \\
\eta_{t}+\varepsilon\left(\varphi_{x} \eta\right)_{x}=\frac{1}{\varepsilon} \varphi_{y}, & y=1,
\end{array}
\]

где теперь
\[
\frac{1}{\varepsilon} \varphi_{y}=-F_{x x}(1+h)+\frac{\varepsilon}{6} F_{x x x x}(1+h)^{3}-\varepsilon F_{x} h_{X} .
\]

Фундаментальная разница между этими двумя пределами состоит в том, что дисперсия, входящая в виде высших производных $F$, входит таким образом, что может уравновесить стремление волны обрушиться. Принимая $u=F_{x}$ ( $u$ — единственная горизонтальная компонента скорости в главном порядке, так как $\left.\varphi_{x}=F_{x}-(\varepsilon / 2)(y+h)^{2} F_{x x x}+O\left(\varepsilon^{2}\right)\right)$, мы после дифференци-

рования (2.9) по $x$ получаем
\[
\begin{aligned}
u_{t}+\eta_{x} & =\varepsilon\left(\frac{1}{2} D^{2} u_{x x t}-u u_{x}\right), \\
\eta_{t}+(D u)_{x} & =\varepsilon\left(\frac{1}{6} D^{3} u_{x x x}-(u \eta)_{x}\right),
\end{aligned}
\]

где $D=1+h$. (Напомним, что $\varphi_{x}(y=1)=u-\varepsilon\left(h^{2} / 2\right) u_{x x}+$ $+O\left(\varepsilon^{2}\right)$.) Эти уравнения описывают движение жидкости с волнами, идущими как вправо, так и влево, однако, если искать решения (2.11), распространяющиеся только в одну сторону, можно в пределе получить более простое уравнение КдФ. Очень важно использовать правильныє характеристики
\[
\Theta_{ \pm}=\mp t+\frac{1}{\varepsilon} \int^{X} \frac{d X}{D^{1 / 2}}
\]

где $X=\varepsilon x$. Из (2.11) и (2.12) можно получить одно уравнение для $F$, интегрируя (2.11) или разрешая (2.9):
\[
\eta=-\varphi_{t}-\frac{1}{2} \varepsilon \varphi_{x}^{2} .
\]

Подставляя (2.7) в (2.12), получаем
\[
F_{t t}-\left(D F_{x}\right)_{x}=-2 \varepsilon F_{x} F_{x t}-\varepsilon F_{t} F_{x x}+\varepsilon \frac{D^{3}}{3} F_{x x x x} .
\]

Теперь уже нетрудно вывести уравнение, описывающее поведение $F$ на больших расстояниях. Во-первых, положим $D=1$. Далее, будем решать (2.14) итерациями (аналогичная процедура использовалась в разд. 1c). Положим $F=f+\varepsilon F_{1}+\ldots$, где $f=f\left(\Theta_{+}=-t+x, X=\varepsilon x\right)$. Тогда в главном порядке (2.14) будет удовлетворено, а члены порядка $O(\varepsilon)$ приведут к уравнению для $F_{1}$ (полагаем $\Theta_{+}=\Theta$ )
\[
F_{1 t t}-F_{1 x x}=-4 \frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial \Theta_{-} \partial \Theta}=2 f_{\Theta: X}+3 f_{\Theta} f_{\theta \Theta}+\frac{1}{3} f_{\theta \Theta \theta \Theta},
\]

где $\Theta_{-}=t+x$. Член $2 f_{\theta x}$ возник из $F_{x x}$ и учитывает слабую зависимость $f$ от $X$. Так как правая часть этого уравнения не зависит от $\Theta_{-}, F_{1}$ будет линейной функцией $\Theta_{-}$, если только $f$ не будет удовлетворять уравнению
\[
2 f_{\theta x}+3 f_{\Theta} f_{\theta \theta}+\frac{1}{3} f_{\Theta \theta \Theta \theta}=0 .
\]

Теперь, если $D$ не константа, а зависит от $X=\varepsilon x$, вся процедура останется точно такой же, если только пользоваться правильными характеристическими координатами $\Theta_{+}$и $\Theta_{-}$, определенными в (2.13). Я оставляю читателю в качестве упражнения

показать, что для исключения секулярного роста $F_{1}$, где $F_{1}=$ $=f\left(\theta_{+}, X\right)+\varepsilon F_{1}+\ldots$, необходимо выполнение условия
\[
q_{\tau}+6 q q_{\Theta}+q_{\ominus \Theta \Theta}=-\frac{9}{4} \frac{D_{\tau}}{D} q,
\]

где мы написали $\boldsymbol{\theta}$ вместо $\boldsymbol{\theta}_{+}$,
\[
f_{\theta}=\frac{2}{3} D^{2} q
\]

и $\tau$ выражается через расстоянне $X$ по формуле
\[
\tau=\frac{1}{6} \int^{X} D^{1 / 2} d X .
\]

Мы будем называть (2.16) возмущенным уравнением КдФ, или вКдФ.

Следует сделать несколько замечаний. Во-первых, заметим, что избранная нами форма записи уравнения является эволюционной по $x$, а не по $t$ для профиля $q(\tau, \Theta)$, зависящего от (отрицательного) времени с запаздыванием,
\[
\Theta=-t+\frac{1}{\varepsilon} \int^{X} \frac{d X}{D^{1 / 2}} .
\]

Если $D$ постоянно, одинаково удобно использовать и $t$, и $x$ как эволюционную переменную. Если, однако, среда сама зависит от $x$, необходимо использовать последнюю. Одна из проблем, которую мы будем позже достаточно подробно анализировать, формулируется следующим образом: если при $x=0$ задано $q$ как функция $t$, обращающаяся в нуль при $t \rightarrow \pm \infty$, найти $q(x, t)$ для всех $x \geqslant 0$.

Во-вторых, мы покажем, что для того, чтобы считать правую часть (2.16) возмущением, необходимо, чтобы $D_{X} / D$ было порядка $\sigma \ll 1$. Однако, как мы помним, мы уже пренебрегли членами порядка $\varepsilon^{2}$ в уравнениях (2.11), (2.12), и поэтому мы должны потребовать
\[
\varepsilon \ll \sigma \ll 1 .
\]

В-третьих, рассмотрим поток массы через сечение $x$ в зависимости от времени. Из самих уравнений получаем
\[
\frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{1+\varepsilon \eta} \tilde{u} d y=-\eta_{t},
\]

где $\tilde{\imath}=\varphi_{x}$ — это истинная горизонтальная скорость. Таким образом, если массы при $t=+\infty$ и — совпадают, получаем
\[
\frac{\partial}{\partial x} \int_{-\infty}^{\infty} d t\left(\int_{-h}^{1+\varepsilon \eta} \tilde{u} d y\right)=0,
\]

и в главном порядке это означает, что
\[
\frac{\partial}{\partial x} \int_{-\infty}^{\infty} D u d t=0
\]

с $u=F_{x}$. Теперь заметим, что из (2.16) можно увидеть, что
\[
\frac{\partial}{\partial \tau} \int_{-\infty}^{\infty} D^{9 / 4} q d \Theta=0,
\]

или, возвращаясь к координатам $x$ и $t$,
\[
\frac{\partial}{\partial x} \int_{-\infty}^{\infty} D^{3 / 4} u d t=0 .
\]

Это означает, что вКдФ не сохраняет полный поток массы через заданное сечение. Объясняется это тем, что происходит отражение части воды. Поэтому для корректного анализа влияния переменной глубины следует рассматривать также движения противоположного направления. Мы сделаем это, когда будем разбирать распространение уединенной волны в сторону берега.

В-четвертых, выведем закон Грина, известный уже около 150 лет. Представим себе линейную волну, входящую в область медленного изменения глубины. Тогда уравнение, описывающее эволюцию ее амплитуды $q$, дается (2.16) без двух последних членов в левой части. Результаг состоит в том, что $D^{9 / 4} q, D^{3 / 4} u$ и $D^{1 / 4} \eta$ (напомним, что $\eta \sim-\varphi_{t} \sim D^{-1 / 2} \varphi_{x}$ ) зависят только от $\Theta$ и поэтому не меняются вдоль истинных характеристик.

Теперь мы можем описать, как надо работать с уравнением (2.16) и с полной двухволновой задачей (2.11), (2.12). Вообразим следующую ситуацию. Уединенная волна $q_{s}$ амплитуды $\eta_{0}$ появляется в момент времени $t=0$ в точке $x=0$, в которой начинает изменяться невозмущенная глубина. Уединенная волна будет адиабатически изменяться (т. е. будет медленно меняться ее амплитуда) так, чтобы выполнялся закон сохранения энергии
\[
\frac{\partial}{\partial \tau} \int q_{s}^{2} d \Theta=-\frac{9}{2} \frac{D \tau}{D} \int q_{s}^{2} d \Theta
\]

Однако при $q=q_{s}$ закон сохранения массы
\[
\frac{\partial}{\partial \tau} \int q d \Theta=-\frac{9}{4} \frac{D_{\tau}}{D} \int q d \Theta
\]

не будет выполняться. Поэтому мы должны добавить к идущему направо потоку «шельф» с амплитудой (относительно амплитуды уединенной волны) порядка $\sigma$, простирающийся между точкой $\Theta_{+}=0$, до которой могут дойти бесконечно малые возмущения, и самой уединенной волной, т. е. располагающийся на длине порядка $\sigma^{-1}$ (в единицах ширины уединенной волны). Поэтому этот шельф переносит поток массы того же порядка, что и уединенная волна. В области, непосредственно следующей за задним фронтом солитона, его амплитуда определяется невязкой в балансе массы. Его дальнейшая эволюция из этой области происходит по закону Грина.

Этого, однако, еще недостаточно, так как мы уже видели, что закон сохранения потока массы по-прежнему не выполняется для полных (двухволновых) уравнений, допускающих встречные волны. Поэтому мы должны добавить еще одну компоненту — отраженную волну, имеющую амплитуду (относительно уединенной) порядка $\sigma \varepsilon$ и сосредоточенную на интервале с длиной, равной величине $(\sigma \varepsilon)^{-1}$, умноженной на ширину уединенной волны, так что поток массы, создаваемый ею, имеет тот же порядок, что и поток массы, вызванный двумя другими компонентами, движущимися вправо. Поле скорости этой отраженной волны задается на «правой» характеристике при $\Theta_{+}=0$ и имеет величину, определяемую различием в потоках массы, определяемых по вКд $Ф$ и по полным двухволновым уравнениям. Ee пространственное поведениє определяется решением задачи Гурса: заданы $u$ на $\Theta_{+}=0$ и $\eta=u=0$ на $\Theta_{-}=0$, нужно найти $\eta, u$, удовлетворяющие линеаризованным уравнениям (2.11), (2.12) в квадранте $\Theta_{+}<0, \Theta_{-}>0$. Оказывается, что $D u$ и $\eta-$ константы с точностью до $O(\varepsilon \sigma)^{2}$ вдоль отрицательных характеристик $\Theta_{-}$. Закон Грина здесь неприменим, поскольку градиенты полевых переменных $u, \eta$ одного порядка с градиентом невозмущенной глубины.

Исходя из этих идей (которые могут быть охарактеризованы как «разумное использование законов сохранения»), можно получить полностью самосогласованное решение исходной задачи. Любопытно сравнить потоки массы, связанные с каждой из трех компонент решения. Поток массы будем нормировать на $(8 / 3) \eta_{0} \rho \varepsilon^{1 / 2} h_{0}^{2} \quad\left((4 / 3) \eta_{0}^{2} 8 h_{0}\right.$ — амплитуда набегающей уединенной волны, $\rho$ — плотность, $h_{0}, h(x)$ и $h_{f}$ — начальная, текущая и ко-

нечная невозмущенные глубины соответственно) :
уединенная волна $\frac{h}{h_{0}}$,
хвост солитона $\left(\frac{h}{h_{0}}\right)^{1 / 4}-\frac{h}{h_{0}}$.
отраженная волна $\left(\frac{h_{f}}{h_{0}}\right)^{1 / 4}-\left(\frac{h}{h_{0}}\right)^{1 / 4}$.

Сумма всех этих трех есть постоянная величина $\left(h_{f} / h_{0}\right)^{1 / 4}$, равная потоку массы вправо после того, как импульс достигнет новой невозмущенной глубины и дальнейшего отражения уже не будет. Отметим, в частности, такой интересный факт: если $h_{f} \ll h_{0}$, основная доля воды отражается. Некоторые из этих вычислений мы проделаем в гл. 3. Более детально с этими вычислениями и связанными с ними результатами можно познакомиться по работам $[43,45,46]$. Для некоторых необходимость введения отраженной волны все еще является предметом споров. Это связано с ощущением, что слабо меняющийся уклон будет в лучшем случае приводить к адиабатическому отклику волны, а отраженная волна будет экспоненциально малой. Однако существование точки, начиная с которой глубина начинает меняться, означает, что отклик не адиабатичен. Уединенная волна и амплитуда следующего за ней «хвоста» (шельфа) меняются незначительно, однако это не относится к области, занимаемой последним. Он тянется от заднего фронта солитона до точки, до которой распространились бы вышедшие из начальной точки наиболее длинные линейные волны. Это означает, что двигающийся вправо хвост имеет конечную длину и поэтому за его счет весь поток массы не может быть скомпенсирован.

Этот раздел мы закончим некоторыми пояснениями о роли точно решаемых уравнений Буссинеска [47] и КадомцеваПетвиашвили [48]. Первое из них имеет вид
\[
v_{t t}-v_{x x}=v_{x} v_{x x}+v_{x x x x} .
\]

Мы видим, что решеточное уравнение (1.3) имеет точно такой же вид, и если мы позволим себе некоторую широту (а именно, заменим $F_{t}$ на $-F_{x}$ ), то же относится к уравнению $\left.(2.14)^{1}\right)$. Однако в каком смысле (2.26) дает более точное описание событий, чем два несвязанных КдФ? Ответ заключается
1) Заметим, что (2.14) с $D=1$ принимает вид (2.26), только если мы ищем бегущие лишь в одну сторону решения $F(-t+x)$, полагая $F_{t}=-F_{x}$, $F_{x t}=-F_{x x}$. Именно этот вариант уравнения связывается с именем Буссинеска.

в том, что оно не является более точным, поскольку для того, чтобы правая часть в (1.3), т. е. нелинейный и дисперсионный члены, была одного порядка с левой, нужно, чтобы отброшенные нами члены ( $\varepsilon^{2} y_{x x x x x x}$ и нелинейные типа $\varepsilon^{2} y_{x x} y_{x x x x}$ ) были одинаково важны. Можно поэтому задать другой вопрос: бывает ли ситуация, в которой каноническим уравнением является (2.26)? Ответ положителен. Напомню, как я уже указывал, что если в первом приближении система является гиперболической с несовпадающими характеристическими скоростями, то малые отклонения соответствующего инварианта Римана вблизи каждого характеристического направления описываются уравнением КдФ. Однако если две эти характеристические скорости близки, то эволюции вдоль них не могут рассматриваться по отдельности. Очень просто показать, что поведение на больших временах решений уравнения
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial}{\partial t}-(c-\sqrt{\varepsilon}) \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+(c+\sqrt{\varepsilon}) \frac{\partial}{\partial x}\right) u= \\
=\varepsilon \sqrt{\varepsilon} \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\varepsilon \frac{\partial^{4} u}{\partial x^{4}}
\end{array}
\]

действительно описывается уравнением Буссинеска. В системе отсчета, движущейся с промежуточной скоростью $c$, эволюция поля $u$ как функция от $X=x-c t$ и $T=\sqrt{\varepsilon} t$ описывается уравнением (2.26). Причина того, что нелинейный член должен быть выбран меньше дисперсионного, состоит в том, что начальная амплитуда должна увеличиться в $1 / \sqrt{\varepsilon}$ раз за счет начального резонанса (в главном порядке ( $\partial / \partial t+c \partial / \partial x)^{2} u=0$ ), прежде чем вступят в игру нелинейность и дисперсия.

В качестве последнего замечания в этом разделе, посмотрим, что произойдет, если в задаче о волнах на воде или в решетке допустить слабую зависимость от другой горизонтальной координаты, которую мы будем обозначать $z$. Это приведет к появлению в левых частях (2.14) и (1.3) дополнительных членов, пропорциональных $-\varepsilon F_{z z}$ и — $\varepsilon c^{2} y_{z z}$ соответственно. Не составляет труда показать, что соответствующее (1.6) каноническое уравнение, описывающее поведение на больших временах, теперь будет иметь вид
\[
f_{z z}+\frac{2}{c} f_{\xi T}+f_{\xi} f_{\xi \xi}+\delta^{2} f_{\xi \xi \xi}=0 .
\]

Если положить $f_{\xi}=6 u, \tau=c T / 2$ и принять $\delta^{2}=1$, то его можно записать в другом виде:
\[
u_{z z}+\frac{\partial}{\partial \xi}\left(u_{\tau}+6 u u_{\xi}+u_{\xi \xi \xi}\right)=0 .
\]

Уравнение (2.27) известно как уравнение Кадомцева — Петвиашвили и также обладает рядом замечательных свойств.