1. В нижеприведенных примерах найдите, как изменяется параметр $\eta$, а также форму шельфа при условии, что $q(x, 0)=$ $=2 \eta_{0}^{2} \operatorname{sech}^{2} \eta_{0} x$ :
(a) $q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=\sigma q_{x x}, \quad 0<\sigma \ll 1$
(b) $q_{t}+6 q^{2} q_{x}+q_{x x x}=\sigma q, \quad 0<\sigma \ll 1$.

Ответы.
(a)
\[
\begin{array}{l}
\eta=\eta_{0}\left(1+\frac{16 \eta_{0}^{2} \sigma t}{15}\right)^{-1 / 2}, \\
q_{c}=\frac{8 \eta_{0} \sigma}{15} \exp \left(\frac{-2 \sigma x}{15}\right), \quad 0<x<\bar{x}, \\
\bar{x}_{t}=4 \eta^{2} .
\end{array}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
\eta & =\eta_{0} e^{2 \sigma t} \\
q_{c} & =\frac{\pi \sigma e^{2 \sigma t}}{\eta_{0}^{2}+4 \sigma x}, \quad 0<x<\bar{x}, \\
\bar{x}_{t} & =\eta^{2} .
\end{aligned}
\]

2. Используйте законы сохранения
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int q q^{*} d x, \quad \frac{\partial}{\partial t} \int\left(q q_{x}^{*}-q^{*} q_{x}\right) d x
\]

и найдите, как меняются параметры $\eta, \xi$ солитона НУШ
\[
q(x, t)=2 \eta \operatorname{sech} 2 \eta(x-\bar{x}) \exp (-2 i \xi x-2 i \bar{\sigma}),
\]

удовлетворяющего уравнению
\[
q_{t}=i q_{x x}+2 i q^{2} q^{*}-\Gamma q-E e^{i \omega_{c} t}, \quad \Gamma, E \ll 1 .
\]

Покажите, что $(\xi \eta)_{t}=-\Gamma(\xi \eta)$. Предположите, что $\xi=0$. Покажите тогда, что
\[
\eta_{t}=-2 \Gamma \eta+\frac{1}{2} \pi E \sin \left(\omega_{0} t+2 \bar{\sigma}\right), \quad \bar{\sigma}_{t}=-2 \eta^{2} .
\]

Проанализируйте эти уравнения и покажите, как фаза уединенной волны привязывается к вынуждающей частоте $\omega_{0}$. Подробности можно найти в [45].