За последние двадцать лет в нелинейной физике произошла революция. Два значительных открытия, каждое из которых (любопытное совпадение) было сделано с помощью вычислительного эксперимента, радикальным образом изменили наши представления о природе нелинейности и ввели в динамику две новые теоретические конструкции. Первым из них является солитон, вторым – странный аттрактор. Накануне этих открытий понимание нелинейного поведения в системах со многими степенями свободы ограничивалось ситуациями, которые либо можно было описать системой уравнений гиперболического типа (сжимаемые течения, ударные волны), либо они являлись малыми возмущениями линейных состояний. Хотя по-прежнему существует много нелинейных процессов, таких как развитая турбулентность и процессы в квантовых системах с большими флуктуациями, о которых пока известно довольно мало, но есть также и несколько других типов нелинейного поведения, широко встречающихся в природе, которые теперь могут быть классифицированы, предсказаны и поняты. Ныне слово нелинейность, которое буквально означает «отсутствие линейности», больше не является синонимом области, лежащей за пределами доступного пониманию.

Эта книга о солитонах и о том, как они выглядят в математике и физике. Она является итогом лекций, прочитанных мною в июне 1982 г. в рамках цикла, поддержанного Национальным научным фондом через Консультативный совет по математическим наукам. При ее написании я старался ориентироваться на серьезного студента, не специалиста в данной области, принимая во внимание как стиль изложения, так и цену. Книга не является энциклопедией информации по солитонам, в которой каждое предложение прерывается либо ссылкой, либо спором по поводу приоритета. Я скорее сделал попытку изложить историю солитона так, как я хотел бы услышать ее в качестве аспиранта, с некоторыми историческими отступлениями, подробной мотивировкой, часто пытаясь установить

связь обсуждаемой темы с целостной картиной и ясным указанием направления или направлений, в которых происходит развитие изучаемого предмета. Важные идеи зачастую повторяются несколько раз, иногда в несколько отличающихся контекстах. Вследствие такой манеры изложения книга местами явно не оценивает должным образом вклада многих коллег, так много сделавших для развития этой удивительной темы. Я приношу извинения за эти опущения.

С другой стороны, книга не является простой и, исключая начальную главу, в которой повествуется об открытии солитона, не предназначена для чтения в кресле. Она требует остро заточенного карандаша и еще более острой сообразительности. В ней пять глав, цель первой я уже изложил. Вторая глава знакомит читателя с истоками и физикой уравнения Кортевега де Фриза (КдФ) и нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ), причем особый упор делается на их универсальность и широкую распространенность. Об этом я больше скажу во второй половине введения. В этой главе также обсуждается вывод этих уравнений как условий асимптотической разрешимости. В попытке подчеркнуть, что именно носит универсальный характер, в данной главе мы уделяем особое внимание неустойчивости Бенджамина – Фейера, или модуляционной неустойчивости огибающей, которая играет важную роль во многих физических приложениях. Она представляет собой проявление того, что монохроматическая волна зачастую неустойчива и порождает локальное поведение, подобное импульсу или солитону. В одномерном случае импульс эволюционирует до тех пор, пока не сформируется солитон огибающей. В многомерном случае эффект более впечатляющ, так чго решение может стать сингулярным за конечное время; это наблюдается в нелинейной оптике (самофокусировка) и в физике плазмы (коллапс ленгмюровских волн). Последний раздел посвящен детальному обсуждению связи теории Уизема и нелинейного уравнения Шрёдингера. По виду может показаться, что последнее представляет собой простой предел малых амплитуд предыдущего. Это не так, используются намного более тонкие предельные переходы. Оказывается, что этот случай является прямым аналогом проблемы, касающейся поведения непрерывной системы вдали и в окрестности фазового перехода. Вдали от точки перехода амплитуда параметра порядка жестко привязана к градиенту фазы (как это имеет место в решениях теории Уизема), в то время как вблизи от нее амплитуда обладает независимой динамикой развития.

В третьей главе стандартным образом вводится солитонная математика. Сначала мы покажем, как выводится семейство

интегрируемых уравнений, связанное с заданной (спектральной) задачей, и как наделять уравнения гамильтоновой структурой. Хотя эта глава в основном посвящена двум простейшим семействам, КдФ и НУШ, материалы упражнений в конце разделов 3 и и 3с включают более трудные темы. Читатель должен научиться уверенно обращаться с этими упражнениями; в частности, упражнение 3b (5) знакомит со схемой метода обратной задачи для эволюционных уравнений с пространственной размерностью больше единицы. Основываясь на этих разделах, я приведу метод обратной задачи и покажу, как решать начально-краевую задачу для уравнения Кортевега – де Фриза на бесконечной оси. Я также привожу пространное обсуждение того, как использовать идеи теории обратной задачи для изучения ситуаций, которые могут быть описаны возмущенным уравнением Кортевега – де Фриза. В частности, весьма подробно обсуждается задача о распространении уединенной волны в канале с медленно меняющейся глубиной и развивается общий метод расчета поля возмущенного потока, включая волну отражения. Қак вы увидите, эта проблема нетривиальна, так как возмущение не только изменяет уединенную волну, но также порождает новые компоненты потока. В последнем разделе этой главы рассматриваются пути построения специальных классов решений, которые зачастую наиболее интересны в приложениях; здесь вы встретите многосолитонные решения, рациональные решения и, наконец, многофазные периодические решения. В последней части гл. 3 начинают проявляться некоторые особенности нового подхода к солитонным уравнениям, который будет представлен в гл. 5. Постоянно подчеркивается, что отыскивается решение не просто одного какого-то уравнения, а целого семейства уравнений.

В гл. 4 появляется новый герой. Им является $\tau$-функция. В первых разделах этой главы я показываю, как она вводится в виде потенциальной функции и в качестве естественного следствия формы законов сохранения и симметрий. На этой стадии читателю должно быть абсолютно ясно, что он имеет дело с бесконечным набором коммутирующих потоков и что $\tau$ должна рассматриваться как функция времен $\left\{t_{k}\right\}$ всех потоков, выбранных в качестве независимых переменных. В центральных разделах для построения многосолитонных решений используется формализм Хироты и уделяется особое внимание алгебраической структуре билинейных уравнений Хироты, которые допускают $N$-солитонные решения для произвольного $N$. В частности, мы покажем, каким образом существование $N$-солитонного решения (для произвольного $N$ ) специального уравнения Хироты является эквивалентным существованию бесконечного

семейства уравнений Хироты возрастающей степени, к которому принадлежит специальное уравнение и которое характеризуется общей для всех уравнений семейства функцией фазового сдвига. Особо подчеркивается роль функции фазового сдвига при построении бесконечного семейства. Некоторые из этих идей абсолютно новы. После обсуждения формализма Хироты в следующем разделе я знакомлю читателя со свойством Пенлеве, которым, по-видимому, обладают все интегрируемые системы ${ }^{1}$ ). Подчеркивается связь этого важного свойства, из которого вытекает легко реализуемый тест на точную интегрируемость систем, с условием Хироты (условие, которому должен удовлетворять заданный многочлен Хироты для того, чтобы соответствующее билинейное уравнение допускало $N$-солитонное решение). В заключительном разделе этой главы вводятся преобразования Бэклунда, при помощи которых из простых могут быть построены значительно более сложные решения. Окөзывается особо полезным представить преобразование Бэклунда в форме $\tau_{\text {стар }}=e^{\beta Y} \tau_{\text {нов }}$. Oператор $Y$ является очень важным. Он называется вершинным оператором.

На протяжении первых четырех глав происходило постепенное изменение концепции. Поначалу солитонное уравнение понимали как нелинейное эволюционное уравнение, как рецепт, по которому изменяется заданная функция пространственно-подобной переменной $x$ относительно времени-подобной переменной $t$. Несомненно, что принимается именно эта точка зрения, когда применяется метод обратной задачи рассеяния, в котором для эволюционного уравнения рассматривается задача Коши (задача с начальными условиями). Однако по мере прояснения чудес солитонных уравнений становится все яснее, что данное уравнение правильнее всего считать локальным соотношением между функцией (или функциями) бесконечного числа независимых переменных и ее различными производными по отношению к независимым переменным – соотношением, являющимся весьма специфическим из-за заложенной в нем алгебраической структуры. Благодаря локальности уравнения нет необходимости рассматривать какую-либо переменную как пространственно-подобную и поэтому специальным образом выделенную.

Новая концепция подхода к солитонным уравнениям, основанная на этих идеях, приведена в гл. 5. Это самая большая глава, посвященная материалу, который должен быть новым для всех, кроме нескольких специалистов в этой области. Я ста-
1) Обсуждению этой гипотезы посвящено множество работ. В ряде частных случаев ее удалось обосновать. Однако в последнее время становится ясно, что свойство Пенлеве не является ни необходимым, ни достаточным для интегрируемости. Қонтрпримеры можно найти в работе [1*]. – Прим. ред,

рался избежать изложения новых идей на чрезмерно математическом языке, так что я рассчитываю, что у читателя хватит выносливости, чтобы ее осилить. Я начну с пояснения роли, которую играет метод Уолквиста – Эстабрука при выявлении алгебраической структуры, присущей заданному уравнению. В случаях КдФ и НУШ оказывается, что фазовое пространство, в котором «живут» солитонные потоки, является бесконечномерной градуированной алгеброй Ли $G=\widetilde{\mathrm{sl}}(\overline{2}, C)$, алгеброй петель $\sum_{\infty}^{-N} X_{j} \zeta^{-j}$ для $\mathrm{sl}(2, C)$. Выражение $\sum_{\infty}^{-N} X_{j} \zeta^{-j} \quad$ является про-
сто степенным рядом, в котором все коэффициенты принадлежат $\operatorname{sl}(2, C)$ и могут быть представлены в матричном виде матрицами $2 \times 2$ с нулевым следом. Физик легко увидит, что спиновые матрицы Паули можно использовать в качестве базиса в этом векторном пространстве.

Алгебру $G$ можно разложить на две подалгебры, и на ортогональном дополнении к одной из них, которая может быть отождествлена с двойственной к другой и поэтому является многообразием Пуассона, имеются естественные гамильтоновы векторные поля или потоки. Векторные поля являются солитонными уравнениями, если они порождаются специальным набором (последовательностью) функций. Они являются переопределенной бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с бесконечным числом независимых переменных $\left\{t_{k}\right\}_{0}^{\infty}$. При желании выделить одну из независимых переменных, скажем $t_{1}$, которую мы затем назовем $x$, эти уравнения можно использовать для выражения бесконечного числа зависимых переменных в виде производных все более и более высокого порядка по $x$ от первых членов этой последовательности. Оставшиеся уравнения дают тогда хорошо известную иерархию солитонных уравнений АКНС; первым нетривиальным ее членом является нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ). Однако равно допустимо выбрать в качестве выделенной переменной $x$ переменную $t_{2}$, и в этом случае бесконечное число зависимых переменных выражается как производные по $x$ от первого и второго членов этой последовательности. Оставшиеся уравнения тогда дают новую иерархию солитонных уравнений; в этом случае они известны как иерархия НУШП (нелинейного уравнения Шрёдингера с производной). В разделах, в которых обсуждаются эти вопросы, мы также затронем связи между новой гамильтоновой структурой, которая естественным образом связана с алгеброй, и старой варнационной гамильтоновой структурой, знакомой из предыдущих глав. В конце раздела, в котором очерчены эти идеи, я приглашаю читателя попытаться (и

помогаю ему) выполнить несколько упражнений, в которых с этой точки зрения выводятся уравнения для гармонического осциллятора и конечной цепочки Тоды со свободными концами.

Оказывается также, что форма уравнений подсказывает идею ввести потенциалы, которые заменяют бесконечное число зависимых переменных. Ими являются $\tau$-функции Хироты (для $\tilde{\mathbf{s} l}(2, C)$ существуют три из них, одна «главная», называемая $\tau$, и две вспомогательные функции $\sigma$ и $\rho$, хотя мы увидим, что этот триплет лучше всего воспринимать как последовательную тройку $\rho, \tau$, $\sigma$ бесконечной последовательности $\left\{\tau_{n}\right\}$ ), и, будучи выраженными через эти новые потенциалы, эволюционные уравнения являются билинейными уравнениями Хироты. В этом разделе мы также введем обобщенные потоки $F_{i k}=$ $=\left(\partial^{2} / \partial t_{j} \partial t_{k}\right) \ln \tau$, которые играют очень важную роль во всей теории.

В последующих разделах этой главы с чисто алгебраической точки зрения продолжаются обсуждения калибровочных преобразований, преобразований Бэклунда и Шлезингера, метода обратной задачи и проблемы Рииана – Гильберта, а также другие разнообразные вопросы, объединившиеся под зонтом нашего нового подхода. Более подробное обсуждение этих вопросов откладывается до пятой главы, а сейчас я хочу обсудить с вами немного подробнее значение открытия солитона и его влияние на другие разделы физики. Однако, прежде чем это сделать, я хочу, чтобы в вашем сознании нестираемо запечатлелась одна мысль. Она состоит в том, что солитонные уравнения являются магическими исключительно по алгебраическим причинам, которые должны проявляться в структуре уравнений в виде весьма специфического отношения между функцией и ее различными производными. Не требуется никаких глобальных свойств, чтобы обеспечить особую значииость этого отношения.

Дальнейшее обсуждение. Солитон сам по себе является драматически новой концепцией в нелинейной теории. В нем наконец на классическом уровне реализуется объект, существование которого специалисты по теории поля постулировали многие годы: локальный бегущий волновой импульс, компактная когерентная структура, удивительно устойчивое решение полевого уравнения и частице-подобные свойства. Он существенно нелинеен и возникает благодаря равновесию двух сил; одна из них линейна и стремится размазать импульс, другая является нелинейной и сжимает его. До появления солитона физики часто говорили о волновых пакетах и фотонах, которые являлись решениями линейного не зависящего от времени уравнения Шрёдингера. Но такие пакеты всегда будут расплываться за время

обратно пропорциональное квадрату ширины пакета в $k$-пространстве. Нелинейность существенна для прекращения и уравновешивания дисперсионного расплывания. В одномерии взаимодействие дисперсии и сжатия волновых пакетов описывается нелинейным уравнением Шрёдингера (НУШ)
\[
2 i q_{t}+q_{x x}+2 q^{2} q^{*}=0,
\]

которое описывает эволюцию огибающей $q(x, t)$ цуга волн (в системе координат, движущейся с групповой скоростью несущей волны). Оно является универсальным уравнением нелинейной физики и возникает в огромном разнообразии ситуаций: в нелинейной оптике [19], в теории волн на глубокой воде [59], при описании переноса энергии вдоль $\alpha$-спиралей белков [112]. Оно не только универсально; легко предсказать условия, при которых оно возникает.

Хотя НУШ первым появилось среди солитонных уравнений [21], но родоначальником солитона стало не оно, а знаменитое уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ) [12],
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0 .
\]

Оно также универсально. Уравнение КдФ описывает, как инвариант Римана, который при отсутствии посторонних воздействий распространялся бы неискаженным вдоль прямых параллельных характеристик линейной гиперболической системы (вспомните решение Даламбера $u(x, t)=f(x-t)+g(x+t)$ линейного волнового уравнения), эволюционирует под воздействием нелинейности и дисперсии. В (2) $x$ измеряется относительно системы отсчета, движущейся с характеристической скоростью линейной волны. В КдФ нелинейность порождает тенденцию к опрокидыванию волны и появлению сходимости в семействе характеристик и поэтому стремление к возникновению за конечное время бесконечных пространственных производных. С другой стороны, дисперсия сглаживает процесс, расщепляя все более крутой фронт в цуг импульсов или солитонов, каждый из которых, взятый отдельно, имеет следующий вид:
\[
q(x, t)=2 \eta^{2} \operatorname{sech}^{2} \eta\left(x-x_{0}-4 \eta^{2} t\right) .
\]

Уравнение КдФ также встречается повсюду, и, как и для НУШ, можно сформулировать условия, при которых оно возникает. Это уравнение списывает эволюцию волн на мелкой воде, ионноакустические волны, длинные волны в сдвиговых потоках (см. [120]) и множество других ситуаций, которые читатель может найти перечисленными в различных обзорах и материалах, указанных в списке литературы.

Как уравнение КдФ, так и НУШ появляются в качестве асимптотических условий разрешимости. Вкратце формулировка «асимптотическое условие разрешимости» означает условие на главный порядок аппроксимации решения более сложной системы уравнений, которое обеспечивает равномерную ограниченность последующих итераций аппроксимации. Другими универсальными уравнениями, возникающими аналогично и также допускающими солитонные решения, являются модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза (мКдФ), нелинейное уравнение Шрёдингера с производной (НУШП), уравнения трехволнового взаимодействия (УТВ), уравнение Буссинеска, уравнение Кадомцева – Петвиашвили (двумерное КдФ или КП), уравнение Бенджамина – Оно (БО), уравнение для умеренно длинных волн, уравнение Бенни – Роскеса – Дэви – Стюартсона (двумерное НУШ), уравнения $\sin -Г$ Гордон и sh-Гордон, массивная модель Тирринга, уравнение Ландау – Лифшица, модели кирального поля Вакса – Ларкина – Намбу – Ионы Лазинио.

Что примечательно и, насколько мне известно, до сих пор не объяснено, это то, что многие уравнения, полученные как асимптотические условия разрешимости при очень общих и широко применимых предположениях, также являются солитонными уравнениями. Другими словами, почему уравнение, являющееся универсальным в физике, должно также обладать столь удивительными математическими свойствами? Я буду объяснять эти свойства более подробно как в следующих абзацах, так и на протяжении всех этих лекций, но одно из ключевых свойств солитонного уравнения состоит в том, что оно обладает бесконечным числом законов сохранения и ассоциированными симметриями. Несомненно ясно, что при построении математических моделей для физических приложений естественным образом учитываются некоторые симметрии, вроде трансляционной инвариантности, при помощи которых отбрасывается ненужное и выявляются существенные особенности изучаемого процесса. Однако почему процесс нахождения асимптотического условия разрешимости должен вводить так много симметрий, большинство из которых скрытые и не обладают легко понятной физической интерпретацией? Чтобы нагляднее подчеркнуть необычность ситуации, предположим, что вам предлагают полную шляпу уравнений и просят случайным образом выбрать одно из них. Очень маловероятно, чтобы оно оказалось полностью интегрируемым. Однако в совокупности уравнений, которые возникают в физике в качестве асимптотических условий разрешимости, пожалуй, содержится непропорциональная доля уравнений с солитонными свойствами. Может ли это быть просто совпадением?

Что мы понимаем под солитонным уравнением? Все, что я до сих пор говорил о солитоне, сводится к тому, что он представляет собой уединенный бегущий волновой импульс нелинейного дифференциального уравнения в частных производных с выраженными свойствами устойчивости и поведением, подобным частице. Я намекнул, что истинный солитон, решение уравнения с очень специфическими свойствами, – это нечто существенно большее, чем просто уединенная волна. Это действительно так. Многие уравнения допускают уединенные волны, а именно локальные бегущие волновые решения с нелинейными свойствами устойчивости. Например, если мы заменим керрову или кубическую нелинейность в (1) на насыщенную нелинейность $-i q\left(1+2 q q^{*}\right)^{-1}$ или слагаемое $6 q q_{x}$ в (2) на $6 q^{3} q_{x}$, то по-прежнему будут существовать бегущие волновые решения, нейтрально устойчивые по отношению к малым возмущениям. Однако решения в виде уединенных волн солитонных уравнений имеют дополнительные свойства. Одно из свойств состоит в том, что две уединенные волны проходят друг через друга, не утрачивая своей индивидуальности. Например, заметим, что скорость уединенной волны (3) зависит от амплитуды. Теперь представим, что в некоторый начальный момент времени две уединенные волны далеко отстоят друг от друга, причем волна слева имеет бо́льшую амплитуду и скорость. Бо́льшая волна в конце концов догонит меньшую. Взаимодействие будет существенно нелинейным и будет совершенно непохожим на взаимодействие двух линейных волн, в котором результирующее решение является линейной суммой двух индивидуальных волн. Тем не менее после нелинейного взаимодействия опять появляются два импульса с бо́льшим в качестве лидера, причем каждый примет в точности прежнюю форму. При этом не возникнет никакого излучения, процессом рассеяния не порождается никакой другой моды. Единственным последствием взаимодействия является фазовый сдвиг; каждый импульс будет сдвинут на некоторое расстояние от того положения, в котором он находился бы, перемещаясь беспрепятственно. Хотя данное свойство взаимодействия представляется примечательным и в действительности часто используется как тест для обнаружения солитонных уравнений, само по себе оно недостаточно. Существуют уравнения, которые допускают решения, представляющие собой нелинейную суперпозицию двух уединенных волн, но не обладающие всеми свойствами, присущими решениям солитонных уравнений. Солитонное уравнение, если оно допускает решения типа уединенных волн, должно допускать решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию $N$ уединенных волн при произвольном $N$.

Оно также является точно интегрируемым в смысле бесконечномерного обобщения полностью интегрируемой гамильтоновой системы. Мы говорим, что конечномерная ( $2 m$ переменных) гамильтонова система полностью интегрируема, если она допускает $m$ интегралов движения $F_{i}, i=1, \ldots, m$, которые независимы и находятся в инволюции по отношению к скобке Пуассона, связанной с гамильтоновой структурой, и поверхность уровня, определенная пересечением поверхностей $F_{i}=c_{i}$, является компактной и связной. Существует теорема, которая гласит, что такую систему каноническим образом можно преобразовать (тем самым сохраняя гамильтонову структуру) в набор новых координат, переменных типа действие – угол, в когорых система полностью расцепляема. Переменные действия $J_{i}, 1 \leqslant$ $\leqslant i \leqslant m$ (которые являются функциями интегралов движения $F_{i}$ ), неизменны во времени, а угловые переменные $\theta_{i}$ линейно меняются во времени; т. е. $\theta_{i}=\omega_{i} t+a_{i}, 1 \leqslant i \leqslant m, a_{i}$, $\omega_{i}$ постоянны. Қак следствие, движение должно быть квазипериодическим и осуществляться на $m$-мерном торе, топологически эквивалентном прямому произведению $m$ окружностей. На сегодняшний день все известные солитонные уравнения имеют гамильтоновы структуры и бесконечный набор интегралов движения, находящихся в инволюции. Существует также каноническое преобразование (метод обратной задачи или МОЗР, нелинейный аналог преобразования Фурье), которое трансформирует солитонное уравнение в бесконечную систему отдельных уравнений с переменными типа действие – угол, каждое из которых может быть проинтегрировано тривиальным образом. На этом пути можно в принципе решить начальную задачу Коши. При этом оказывается, что некоторые переменные действия являются солитонными параметрами; в этом заключается причина сохранения индивидуальных признаков солитона при рассеянии, а именно параметров, задающих его форму, скорость, амплитуду, собственную частоту и т. д. Остальные переменные действия связаны с энергией излучения каждой нелинейной моды, нелинейным аналогом континуума мод Фурье линейной системы.

Сравните это поведение с тем, которое ожидалось бы в механической системе с сильной связью между многими степенями свободы. В общем случае не следует ожидать, что такая система будет расцепляемой. Следовательно, нельзя ожидать, чтобы энергетический спектр временныхх рядов для какой-либо из зависимых переменных состоял из $m$ отдельных частот, как это было, например, в случае полностью интегрируемой гамильтоновой системы с компактным гамильтонианом. Напротив, следует ожидать по крайней мере небольшого спектрального уширения, свидетельствующего о стохастичности поведения, хотя

оно не обязательно будет эргодическим. Действительно, вторым значительным открытием последнего десятилетия, упоминавшимся в первом абзаце, является осознание того, что в системах уравнений с небольшим числом степеней свободы может существовать стохастическое поведение зависимости от времени. Важна качественная природа системы уравнений, а не размерность системы. Если уравнения таковы, что решения сильно зависят от начальных условий, то малые погрешности начальных данных экспоненциально растут в фазовом потоке, и начиная с некоторого момента становится совершенно невозможно предсказать будущее состояние системы. Этот процесс может происходить даже в диссипативных системах, в которых имеет место сжатие заданного объема в фазовом потоке пространства состояний. Оказывается, что для систем обыкновенных дифференциальных уравнений размерности три или более (например, уравнения Лоренца и Реслера), для двумерных обратимых отображений (например, отображений Хенона и Икеды) или для одномерных необратимых отображений (например, логистического уравнения $x_{n+1}=\mu x_{n}\left(1-x_{n}\right)$, автомодельная структура которого в пространстве $(\mu, x)$ была открыта в новаторской работе Митчелла Фейгенбаума), движение может происходить на аттракторе нового типа (в противоположность известным типам, которые были либо фиксированной точкой, либо предельным циклом), названном странным аттрактором. Аттрактор назван странным не просто благодаря своей структуре (локально он может быть представлен как прямое произведение между $R^{n}, n=1,2,3, \ldots$, и канторовым множеством), а потому что движение на нем очень сильно зависит от начальных условий. В самом деле, разумно ожидать, что в некоторых случаях явно стохастический характер зависимости от времени системы со многими степенями свободы может быть объяснен с помощью движения точки пространства состояний на странном аттракторе, размерность которого много меньше. Экспериментальное обоснование этого предположения может быть найдено в работе [123].

Это отступление в теорию неинтегрируемых систем имело целью максимально заострить внимание на том, что для полной интегрируемости уравнение должно обладать очень специальными свойствами. Заметим, что решения интегрируемых систем не обладают большой чувствительностью к начальным условиям. Начальные погрешности растут со временем самое большее линейным образом. До появления солитонных уравнений число интегрируемых систем можно было пересчитать по пальцам одной руки. Наиболее упоминаемыми были гармонический осциллятор, движение тела в поле центральных сил, движение

жесткого тела. Действительно, единственный пример бесконечномерной точно решаемой физической задачи был вовсе не связан с ньютоновской механикой. Напротив, это была двумерная модель равновесной статистической механики – модель Изинга с взаимодействием ближайших соседей, предложенная для описания фазовых переходов. Знаменитым «силовым приемом» Онзагер вычислил статистическую сумму этой модели, применив ряд искусных и кажущихся колдовскими трюков. В том, что несомненно должно восприниматься как совершенно неожиданное развитие, обнаружилась глубокая связь между солитонными уравнениями и точно решаемыми моделями равновесной статистической механики, а также квантовой теории поля. Позже этот вопрос будет обсуждаться более подробно.

К сожалению, свойство полной интегрируемости нельзя установить непосредственно из самого уравнения ${ }^{1}$ ). Поэтому полезно поискать другие свойства, характеризующие солитонные уравнения, которые легче применить в качестве теста на интегрируемость к заданному уравнению. Также поучительно выяснить, что происходит с этими свойствами, когда солитонная природа уравнений нарушается либо добавлением новых членов, либо изменением некоторых критических коэффициентов. Ожидается, что такое возмущение породит некоторые области стохастичности в фазовом пространстве, в частности вблизи гомоклинных или гетероклинных орбит. Если возмущение мало, можно ожидать, что будет имєть место результат типа Колмогорова – Арнольда – Мозера (KАМ) (хотя для бесконечномерных систем это до сих пор не доказано). Повторим, что в полностью интегрируемых гамильтоновых системах с ограниченным гамильтонианом движение осуществляется на инвариантном $m$-мерном торе, параметризуемом $m$ значениями переменных действия. Теорема КАМ гласит, что под действием малых возмущений большинство этих торов сохраняется. Однако между этими торами существуют узкие области стохастичности. Можно задаться вопросом, каким образом проявляется эта особенность при нарушении других свойств солитонных уравнений. Более того, можно также использовать эти идеи для описания турбулентного или стохастического поведения в других моделях физики, моделях, которые, будучи невозмущенными, являются точно решаемыми, вроде моде.іи Изинга, и которые тесно связаны с солитонными уравнениями.
1) С этим утверждением автора можно не согласиться. В настоящее время имеется строгая и последовательная теория, позволяющая не только ответить на вопрос об интегрируемости конкретного уравнения, но и описать все интегрируемые уравнения заданного вида (порядка) [2*], [3*]. – Прим. ред.

Среди многих специальных свойств солитонных решений, которые будут обсуждаться в этих лекциях, существуют два свойства, на которых я хочу остановиться. Первым из них является свойство Хироты, открытое Хиротой, который нашел очень полезный и важный метод вычисления многосолитонных решений. Необходимо, чтобы уравнения были записаны в билинейной форме; для уравнения (2) этот шаг (для которого не существует общего алгоритма) осуществляется с помощью представления
\[
q(x, t)=2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln \tau .
\]

Функция $\tau(x, t)$ удовлетворяет квадратичному уравнению
\[
\tau \tau_{x t}-\tau_{x} \tau_{t}+\tau \tau_{x x x x}-4 \tau_{x} \tau_{x x x}+3 \tau_{x x}^{2}=0 .
\]

Для этих уравнений Хирота создал новое исчисление, в котором производные $\partial / \partial t, \partial / \partial x$ заменены операторами $D_{t}, D_{x}$; в этих обозначениях квадратичное уравнение (5) может быть записано в виде
\[
P\left(D_{t}, D_{x}\right) \tau \cdot \tau \equiv\left(D_{t} D_{x}+D_{x}^{4}\right) \tau \cdot \tau=0 ;
\]

здесь $P$-многочлен от своих аргументов. Из этого уравнения довольно просто определить условия (условия Хироты), которым должен удовлетворять многочлен $P$ для того, чтобы уравнение допускало $N$-солитонные решения для произвольных $N$. Для $P\left(D_{t}, D_{x}\right)=D_{x} D_{t}+D_{x}^{4}$ (уравнение КдФ), или $P\left(D_{t}, D_{x}\right)=$ $=D_{x} D_{t}+D_{x}^{6} \quad$ (уравнение Кортевега – Савады) условия Хироты выполняются. Для $P\left(D_{t}, D_{x}\right)=D_{t} D_{x}+D_{x}^{8}$ их нет, и могут быть найдены только решения в виде двойной уединенной волны. Одни и те же условия на $P$ допускают родственный класс решений, бесконечную последовательность рациональных решений, для каждого из которых $\tau$-функция является многочленом от $x$ и $t$ и для которых соответствующее решение $q$ является рациональной функцией. Первыми тремя нетривиальными рациональными решениями (5) являются $\tau=x, \tau=x^{3}+12 t, \tau=$ $=x^{6}+60 x^{3} t-720 t^{2}$. Соответствующие решения $q(x, t)$ имеют двойной полюс с коэффициентом -2 в каждом из нулей $x=$ $=x(t)$ функции $\tau(x, t)$.

Существование этих рациональных решений эквивалентно другому свойству, которым обладают солитонные уравнения, свойству Пенлеве. Это свойство было первоначально введено в связи с обыкновенными нелинейными уравнениями второго порядка. Целью являлась классификация всех уравнений второго порядка, свойством реше:ий которых было то, что единственными подвижными особенностями были полюса. Это озна-

чает, что единственным типом сингулярностей, положение которых зависит от начальных данных, являются полюса.

Например, решением уравнения $d y / d x=-y^{2}, y(0)=1 / c$ служит $y(x)=1 /(x+c)$, имеющее полюс при $x=-c$. С другой стороны, точки $x=0, \infty$ представляют собой неподвижные критические точки уравнения $2 x d y / d x=y$. Пенлеве обнаружил, что существует пятьдесят типов уравнений, удовлетворяющих этому требованию, состоящих из сорока четырех приводимых к известным уравнениям и шести новых уравнений, решения которых названы трансцендентами Пенлеве. Вторым в списке шести уравнений является
\[
y_{x x}=x y+2 y^{3},
\]

о котором значительно больше будет сказано в гл. 4 и 5 . В данный момент важно, что (7) допускает решение вида
\[
y=\frac{1}{x-x_{0}}+\sum_{0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n},
\]

в котором $x_{0}$ и $a_{3}$ произвольны, а все остальные $a_{n}$ определяются единственным образом. Уравнение, которое определяет $a_{3}$, имеет вид $0 \cdot a_{3}=0$; нуль справа возникает в результате как раз нужного сочетания слагаемых в (7). Если бы $x y$ было заменено на $x^{2} y$ или слагаемое $y^{3}$ на $y^{4}$ (что потребовало бы, чтобы членом главного порядка являлся полюс второго порядка), то возникла бы несовместность в уравнениях на $\left\{a_{n}\right\}$, которая неизбежно повлекла бы необходимость введения слагаемого, пропорционального $\left(x-x_{0}\right)^{m} \ln \left(x-x_{0}\right)$. Тогда уравнение не имело бы свойства Пенлеве, для произвольной начальной точки $x_{0}$ более не существовало бы сингулярности в виде полюса.

Примечательно то, что все интегрируемые уравнения представляются обладающими свойствами Пенлеве, хотя эта гипотеза должна быть несколько изменена, когда она применяется к уравнениям в частных производных. Это свойство представляется в точности эквивалентным существованию бесконечной последовательности рациональных решений. Отметим в нашем примере, что если $\tau$ разложима в ряд Тейлора вблизи точки поверхности, на которой она обращается в нуль, то $q$ разлагается в ряд по полюсам. Позтому представляется, что выраженное в терминах $\tau$-функции свойство Пенлеве требует, чтобы $\tau$-функция не имела подвижных критических точек.

Это наблюдение существенно и имеет потенциально важные следствия не только в контексте эволюционных уравнений, но также и для других точно решаемых моделей. Я уже упоминал, что двумерная модель Изинга с взаимодействием ближайших

соседей представляется связанной с солитонными уравнениями. Эта связь была впервые установлена в работе Сато, Мивы и Джимбо [103], которые показали, что в скейлинговом пределе $n$-точечная корреляционная функция удовлетворяет системе очень специальных нелинейных деформационных уравнений, которые выражают тот факт, что сохраняется группа монодромии соответствующей линейной системы. Рассмотрим конкретный пример линейной системы порядка $n$
\[
\zeta \frac{d W}{d \zeta}=\left(\zeta A+\zeta^{-1} B+C\right) W,
\]

в которой $n$-точечная корреляционная функция $\tau$ содержится в коэффициентах матриц $A, B, C$. Данная система имеет иррегулярные сингулярности в точках $\zeta=0, \infty$. Условие, что группа монодромии этой системы не зависит от аргументов $n$-точечной корреляционной функции, вынуждает последнюю удовлетворять нелинейному деформационному уравнению. Решение этого уравнения в принципе может быть построено с использованием свойства изомонодромности. Этим способом в замкнутом виде могут быть получены решения $n$-точечной корреляционной функцин. Эта замечательная конструкция тесно смыкается с конструкцией солитонов и другими специальными типами решений солитонных уравнений. В частности, двухточечная функция (в скейлинговом пределе) удовлетворяет тому же уравнению, что однофазное автомодельное решение уравнения sh-Гордон. Кроме того, существуют наводящие на дальнейшие размышления связи между моделями Изинга и интегрируемыми системами. Например, Маккой и Ву [109] показали, что при критической температуре двухточечная корреляционная функция как функция дискретных расстояний удовлетворяет точно интегрируемой дискретной версии цепочки Тоды.

В самом деле, если оказалось возможным установить точную связь между солитонными уравнениями и другими интегрируемыми моделями, кажется естественным задаться вопросом о турбулентном или стохастическом поведении последних. Мерой или критерием потери интегрируемости этих моделей является потеря свойства Пенлеве. В самом деле, Грином и Персивалем [110] показано, как в дифференциальном уравнении, моделирующем проявление стохастического поведения, полюса накапливаются в плоскости комплексного времени вдоль естественных границ, которые сами по себе имеют интересное автомодельное поведение. Кроме того, Сегур [111] показал, что при очень специальном выборе параметров в модели Лоренца, для которой имеет место свойство Пенлеве, модель является интегрируемой.

Что тогда следует ожидать в неинтегрируемой модели статистической физики? В принципе всегда могут быть введены статистическая сумма, свободная энергия и корреляционные функции. Наиболее естественным было бы предположить, что корреляционная функция как функция своих аргументов (повторим, что она является аналогом $\tau$-функции Хироты) не имеет свойства Пенлеве и вместо этого имеет алгебраические и существенные особенности, зависящие от данных. Поэтому функции будут вести себя вблизи сингулярностей очень нерегулярным образом; при этом небольшая неточность в знании исходных данных привела бы к катастрофической погрешности.

Подводя итог обсуждений, еще раз выделим два момента. Первый состоит в том, что алгебраические свойства решаемых моделей являются объединяющим элементом, и второй в том, что многое может дать понимгние связей между солитонными уравнениями и их разрешимыми аналогами в статистической и квантовой физике.

Благодарности. Я хочу поблагодарить тех, кто прочитал и сделал полезные замечания по некоторым разделам или по всему курсу лекций: Алехандро Асевеса, Джерри Бона, Джона Грина, Эрику Джин, Дейва Маклохлина, Мартина Крускала, Боба Миуру, Тюдора Ратиу, Нормана Забуски. Неоценимыми были, зачастую острые и безжалостные, но всегда уместные, критика и советы моего большого друга Германна Флашки. Я также чрезвычайно благодарен Гейл Дискерсен, которая сумела перепечатать рукопись и сохранить при этом юмор и здравый смысл. Книга посвящается моим учителям Виктору Грэму, Дэвиду Бенни, Виллему Малкусу и Мартину Крускалу и моим детям Джейми, Шейну, Мэту и Пиппе, которые также многому меня научили.

Кроме того, я признателен математическому отделу Управления оборонных исследований и Управления научных исследований военно-воздушных сил за щедрую и вдохновляющую поддержку.
Университет шт. Аризона Декабрь 1983 г.