Следующий шаг в серии открытий был сделан в результате попытки описать решение (1.6) при малом $\delta^{2}$ усреднением по осцилляциям тонкой структуры решения. Эта процедура, естественно, пригодна не для всех времен и должна быть изменена, когда тонкая структура развивается в четкую солитонную цепочку, как на рис. 1 (С). Тем не менее она может позволить исследовать замечательные свойства (типа обратимой ударной волны) той части решения, где $q_{\xi}$ велико. Следовательно, по аналогии с газовой динамикой важно найти законы сохранения, для того чтобы можно было записать условия на скачках в областях резких изменений решения. Нужно знать четыре таких величины (число характеристических скоростей до и после скачка плюс положение самого скачка) вместо трех для обычной
2 А. Ньюэля

газовой динамики. Два закона сохранения
\[
\begin{array}{c}
q_{t}+\left(3 q^{2}+\delta^{2} q_{x x}\right)_{x}=0 \\
\left(\frac{1}{2} q^{2}\right)_{t}+\left(2 q^{3}+\delta^{2}\left(q q_{x x}-\frac{1}{2} q_{x}^{2}\right)\right)_{x}=0
\end{array}
\]

соответствующие сохранению массы и импульса (1.8) и энергии (1.9) для волн на воде и сохранению импульса и энергии для нелинейной пружины, были уже известны. Уизем, развивший к этому времени плодотворную теорию для изучения модулированных периодических волн, нашел третий, соответствующий знаменитому моменту неустойчивости Буссинеска. Забуски и Крускал искали и нашли четвертый, и их метод поиска (нахождение уравнений для коэффициентов всех членов веса 4, 5,6 и т. д. при условии, что вес $q$ есть 1 , а вес $\partial / \partial x$ равен $1 / 2$ ) указал, что уравнения для коэффициентов на стадии 6 (как и для следующих) переопределены, и поэтому они были не очень удивлены, когда не нашли закона сохранения этого веса. Однако они сделали алгебраическую ошибку, и прощло более года, прежде чем они вновь двинулись по этому пути.

Следующий шаг вперед был сделан с привлечением Роберта Миуры, которого Крускал попросил попытаться отыскать закон сохранения веса 7. Он нашел его и быстро получил пропущенный вес 6 . Вскоре были найдены восьмой и девятый, и Крускал и Миура стали вполне уверены, что их бесконечное число. Однако из Института Куранта пришел слух, что девять-это предел. (Что исследователи на самом деле открыли – это нечто, что они сочли изменением в алгебраической структуре.) Миура после этого почувствовал себя обязанным найти десятый. Он сделал это в течение двух недель каникул в Канаде летом 1966 г. (Есть также молва, что его видели примерно в это же время на горе Синай, несущего все десять.) Теперь было ясно, что есть законы сохранения любого веса. (Қаждый закон сохранения имеет вид $(\partial U / \partial t)+(\partial F / \partial x)=0 ; U$ называется сохраняющейся плотностью, а $F$ – соответствующим потоком. Им может быть приписан вес, получающийся сложением степени $q$ с половиной числа операций $\delta(\partial / \partial x)$ в каждом члене в этих величинах. Например, вес $q$ – единица, веса $3 q^{2}$ и $\delta^{2} q_{x x}$ оба равны двум, $2 q^{3}, \delta^{2} q q_{x x}$ и $\delta^{2} q_{x}^{2}$ все имеют вес три и так далее. Вес закона сохранения определяется по весу сохраняющейся плотности.) Как их найти и к какого рода ограничениям на решения уравнения КдФ они могут привести – эти вопросы волновали исследователей. Первоначальная мотивировка поиска законов сохранения временно стала неактуальной. Внезапно появилось слишком много независимых законов сохранения, и

все условия на скачке (соотношения Рэнкина-Гюгонио), выводящиеся из этих законов, должны были быть совместными. Как часто бывает с новыми открытиями, этот вопрос уже не казался таким важным, как раньше.

К слову сказать, до сих пор так и не ясно, почему теплопроводность твердых тел конечна!
«Ключ» нашел Миура [11]. Он обнаружил, что модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза (мКдФ)
\[
v_{t}+6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}=0
\]

тоже имеет бесконечное число законов сохранения, и ему удалось установить соответствие между ними и соответствующими законами сохранения КдФ с помощью преобразования, носящего теперь его имя:
\[
q=v^{2}-i v_{x} .
\]

Начиная с этого места, мы будем писать $x, t$ вместо $\xi, \tau$ и примем $\delta^{2}=1$. В действительности Миура показал, что
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=\left(2 v-i \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(v_{t}+6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}\right),
\]

и поэтому если $v(x, t)$ – решение (1.10), то $q(x, t)$ – решение (1.6). Далее, так как (1.11) представляет собой уравнение Риккати, преобразование Миуры может быть линеаризовано:
\[
v(x, t)=-i \varphi_{x} / \varphi
\]

в результате чего воз ${ }^{–}$т уравнение Шрёдингера с нулевой энергией
\[
q=-\varphi_{x x} / \varphi
\]

В силу галилеевской инвариантности уравнения (1.6) ничего не изменится, если к $q$ добавить постоянную скорость $\lambda$, после чего (1.14) принимает вид
\[
\varphi_{x x}+(\lambda+q(x, t)) \varphi=0,
\]
т. е. становится стационарным уравнением Шрёдингера с потенциалом $V(x)=-q(x, t)$ и энергией $E=\lambda$. (Замечание: временная переменная в нестациснарном уравнении Шрёдингера не имеет ничего общего с временем $t$ в уравнении КдФ.) Теперь уже в наличии имеются все составляющие, из которых должно появиться обратное преобразование рассеяния ${ }^{1}$ ). На этой стадии Гарднер и Грин объединили свои усилия.
1) В литературе на русском языке принят термин «метод обратной задачи рассеяния» (МОЗР).
2*

Перед описанием дальнейших событий имеет смысл описать гарднеровскую модификацию преобразования Миуры, автоматически включающую $\lambda$ и приведшую к идее, что бесконечное число сохраняющихся величин какого-либо уравнения может быть выведено из одной сохраняющейся величины для другого уравнения, если только их решения связаны преобразованием специального вида (вариантом преобразования Бэклунда). Гарднер положил
\[
q=w+i \varepsilon w_{x}+\varepsilon^{2} w^{2}
\]

и получил эквивалент (1.12) в виде
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=\left(1+2 \varepsilon^{2} w+i \varepsilon \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(w_{t}+6\left(w+\varepsilon^{2} w^{2}\right) w_{x}+w_{x x x}\right) .
\]

После линеаризации (1.16) подстановкой
\[
w+\frac{1}{2 \varepsilon^{2}}=\frac{i}{\varepsilon} \frac{\varphi_{x}}{\varphi}
\]
(1.16) принимает вид
\[
\varphi_{x x}+\left(q+\frac{1}{4 \varepsilon^{2}}\right) \varphi=0 .
\]

Теперь выразим $w$ через $q$ и его производные в виде асимптотического ряда по $\varepsilon$ при малых $\varepsilon$ (мы увидим позднее, что асимптотическое разложение $\varphi$ для больших $\lambda$ очень существенно в теории) и найдем, что
\[
w=q-i \varepsilon q_{x}-\varepsilon^{2}\left(q_{x x}+q^{2}\right)+\ldots .
\]

Так как $\int w d x$ постоянно во времени, если интеграл берется по бесконечной прямой и $q$ стремится к нулю вместе со всеми своими производными при $x \rightarrow \pm \infty$, или по интервалу при периодических граничных условиях, то не зависят от времени $\int q d x, \int q^{2} d x, \int\left(q^{3}-(1 / 2) q_{x}^{2}\right) d x$ и т. д. Таким образом, из первого закона сохранения для уравнения $w_{l}+6\left(w+\varepsilon^{2} w^{2}\right) w_{x}+$ $+w_{x x x}=0$ получается бесконечное число законов сохранення для уравнения КдФ.