До сих пор мы придерживались той точки зрения, что класс задач, которые мы пытаемся решать, это начально-краевые задачи. А именно, во всех уравнениях мы считали $x$ пространственной координатой, а в качестве граничных условий рассматривали периодичность или убывание на бесконечности. Такой подход выделяет в качестве первоочередной задачи, а фактически делает необходимым изучение аналитической природы функций, с которыми мы имели дело. Например, мы обнаружили, что если $q(x, 0)$ убывает достаточно быстро при $x \rightarrow \pm \infty$ и удовлетворяет некоторому интегральному условию, то данные рассеяния обладают определенными аналитическими свойствами. Но в действительности уравнения, которые мы изучаем, являются «магическими» из-за своих локальных свойств; например, тот факт, что уравнение КдФ имеет многосолитонные и рациональные многополюсные решения, никак не связан с граничными условиями и является просто следствием весьма специфического равновесия, которое имеет место между различными членами уравнения. Изменение этого равновесия добавлением членов $q$ или $q q_{x x}$ нарушает магические свойства уравнения. Изменение граничного условия на бесконечности может сделать уравнение более сложным с точки зрения решения начально-краевой задачи, но не разрушает его свойства локальной интегрируемости.

Поэтому в данной главе мы стараемся сосредоточиться на тех методах, которые зависят скорее от локальных, чем от глобальных свойств уравнений. Центральной фигурой в списке действующих лиц служит $\tau$-функция, готовая теперь предъявить свои права и потребовать, чтобы весь свет был направлен на нее. Она является вездесущей и возникает почти в каждой сцене, зачастую независимо от наших первоначальных намерений. Ей, по-видимому, откуда-то известно, насколько она важна.