Я надеюсь, что к настоящему моменту вы уже убедились, что особые свойства, которыми наделены интегрируемые системы, являются по своему характеру алгебраическими. Поэтому уместно спросить, существует ли алгебраическая аналогия метода обратной задачи или задачи Римана – Гильберта. Она существует. Основная идея в том, что уравнение Лакса (5.52) является редукцией более простого потока на большем многообразии, причем редукция осуществляется при помощи интегралов движения более простого потока и соответствующих им симметрий с целью получить меньшее фазовое пространство. За меньшее фазовое пространство приходится платить тем, что простой поток уже не выглядит столь простым.

В разд. 4с я отмечал, что каждой симметрии гамильтоновой системы отвечает интеграл движения (теорема Нётер) и наоборот ${ }^{1}$ ). Хорошо известные симметрии, вроде инвариантности гамильтониана относительно трансляций или вращений, приводят к законам сохранения импульса и момента количества движения. Группа симметрий соответствует векторам импульса и момента количества движения, компоненты которых являются интегралами движения и которые находятся в инволюции друг с другом относительно скобки Пуассона на динамическом многообразии. Теорема такова: если существует $n$ независимых симметрий и, следовательно, $n$ интегралов движения в инволюции, то $2 n$ из $2 m$ переменных фазового пространства можно исключить. Если $n=m$, то фазовое пространство редуцируетея до одной точки и движение полностью интегрируемо. Такая система называется полностью иятегрируемой. Эта классическая теорема была исследована в более общей постановке Марсденом и Вейнстейном [88], а процесс исключения переменных с помощью симметрий назван редукцией. Грубо говоря, метод состоит из нескольких шагов. Чтобы получить более полное представление, читателю следует почитать книги Абрахама и Марсдена [84], В. И. Арнольда [105] и новую книгу Марсдена, Ратью, Вейнстейна, Шмидта и Спенсера.

Пусть нам дано симплектическое многообразие $P$ с группой симметрий $\bar{G}$, действующей на $P$ каноническими преобразованиями, т. е. действие $\bar{G}$ сохраняет 2 -форму $\omega$ на $P$. Пусть $G-$ алгебра Ли группы $\bar{G}$, а $G^{*}$ – пространство, двойственное к $G$.
4) Речь идет о симметриях, сохраняющих гамильтониан. Если же понимать симметрию как уравнение, коммутирующее с исходным, то соответствующих интегралов движения может и не существовать. Примером может служить преобразование подобия. – Прим. перев.

Тогда отображение моментов $J$, приписанное к точке многообразия $P$, принимает значение в $G^{*}$; а именно, $J$ есть вектор, принадлежащий $G^{*}$, перечисляющий все интегралы движения. Набор уровней $J^{-1}(\mu)$, т. е. набор точек $p$ в $P$, для которых $J(p)=$ $=\mu$, является многообразием и инвариантен относительно коприсоединенного действия подгруппы изотропии $\bar{G}_{\mu}$ группы $\bar{G}$; а именно, $\bar{G}_{\mu}$ – это набор $g \in \bar{C}$, такой что (в матричном представлении) $g \mu g^{-1}=\mu$. Тогда теорема Марсдена – Вейнстейна утверждает, что факторпространство $P_{\mu}=J^{-1}(\mu) / \bar{G}_{\mu}$ – это симплектическое многообразие со своей симплектической формой $\omega_{\mu}$, индуцированной $\omega . P_{\mu}$ – это редуцированное фазовое пространство. Кроме того, если Ф-функция Гамильтона на $P$, инвариантная относительно действия $\bar{G}$, то она индуцирует гамильтониан $\Phi_{\mu}$ на $P_{\mu}$. Если $F_{t}$ – поток гамильтонова векторного поля, соответствующего $\Phi$, то из-за $\mathrm{Ad}^{*}$-эквивариантности $J$ ( $\mathrm{Ad}^{*}$-эквивариантность означает, что $J(g \cdot p)=\operatorname{Ad}_{g-1}^{*} J(p)=$ $=g \mu g^{-1}$, где $g \cdot p$ обозначает действие $\bar{G}$ на $P$ ) набор уровней $J^{-1}(\mu)$ инвариантен относительно $F_{t}$ и $F_{t}$ индуцирует поток $F_{t}^{\mu}$ симплектических диффеоморфизмов на редуцированном многообразии $P_{\mu}$. Вторая часть теоремы Марсдена – Вейнстейна утверждает, что $F_{t}^{\mu}$ является потоком гамильтонова векторного поля, соответствующего $\Phi_{\mu}$.

Мы будем использовать также второй тип редукции, пуассонову редукцию. Если задано симплектическое многообразие $P$ с канонической группой симметрий $\bar{G}$, то фактормногообразие $P / \widehat{G}$ имеет естественную скобку Пуассона, индуцированную скобкой Пуассона на $P$. Более того, гамильтоновы векторные поля, соответствующие Ф на $P$ и $\widehat{\Phi}$ на $P / \bar{G}, \widehat{\Phi}([p])=\Phi(p)$ ( $[p]$ – это класс $p \in P$ на $P / \bar{G}$ ), связаны проектирующим отображением $P \rightarrow P / \bar{G}$, которое, если оно каноническое, сохраняет скобки Пуассона.

В нашем случае мы берем в качестве исходного многообразия $T^{*} \bar{G}$, кокасательное расслоение группы $\bar{G}$, т. е. группы Ли алгебры петель $G=\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C)$. (Под этим я имею в виду, что каждый элемент $\bar{G}$ является экспонентой $\exp t \xi$ некоторого элемента $\xi$ в алгебре. Последуюцие рассмотрения, связанные с преобразованиями Бэклунда – Шлезингера из разд. $5 \mathrm{~g}$ и обсуждаемые в резюме этого раздела, наводят на мысль расширить группу $\bar{G}$, включив в нее некоторые дискретные симметрии в дополнение к непрерывным, наподобие включения отражения при построении $O(3)$ из so (3). Но настоящее определение удовлетворит наши насущные цели.) Многообразие $T^{*} \bar{G}$ является, естественно, симплектическим и состоит из базы $\bar{G}$, над каждой точкой $g$ которой висит слой, т. е. пространство, двойственное

к касательному пространству в точке $g$. На языке классической механики, $\bar{G}$ – это набор координат $q$, касательное пространство в точке $g$ – это набор скоростей $\dot{q}$, а слой – это пространство импульсов $p$. Всякий элемент $g$ группы $\bar{G}$ может быть единственным образом разложен в произведение (аналог задачи Римана – Гильберта)
\[
g=k^{-1} n,
\]

где $k$ и $n$-экспоненты от элементов, принадлежащих подалгебрам $K$ и $N$ соответственно. Запись левого множителя в виде обратного выбрана из соображений удобства. Группой симметрий, с помощью которой мы осуществляем редукцию Марсдена – Вейнстейна на фазовом пространстве $T^{*} \bar{G}$, будет $\bar{K}$ – подгруппа, соответствующая $K$. Редуцированным многообразием будет $\bar{N} \times\left(\varepsilon+N^{*}\right)$, где $\varepsilon$ – это единственный отмеченный элемент в $K^{*}$, который вскоре будет указан. Тогда тривиальное применение пуассоновой редукции с помощью $\bar{N}$ редуцирует наше многообразие до $\varepsilon+N^{*}$, фазового пространства разд. 5с. Временны́е потоки в $\varepsilon+N^{*}$, порождаемые определенными в (5.48) гамильтонианами $\Phi_{j}$, могут быть «проинтегрированы» и дают
\[
Q\left(t_{j}\right)=k\left(t_{j}\right)(-i H) k^{-1}\left(t_{j}\right),
\]

где $K^{-1}$ – левый множитель в разложении элемента $g\left(t_{j}\right)$. Мы увидим, что $g\left(t_{j}\right)$ очень просто эволюционируют во временах,
\[
g\left(t_{j}\right)=\exp \left(-i \sum \zeta^{i} t_{j} H\right) g_{0}
\]

где $g_{0}=k^{-1}(0)$ и $Q(0)=k(0)(-i H) k^{-1}(0)$.
Мы проделаем эту процедуру за пять шагов. Во-первых, мы тривиализуем расслоение $T^{*} \bar{G}$, представив его как $\bar{G} \times G^{*}$, и посредством этого наделим его коюрдинатами. Во-вторых, мы возьмем наши исходные гамильтонианы $\Phi_{j}$ из разд. 5с, которые $\mathrm{Ad}^{*}$-инвариантны на $G^{*}$, и расширим их определение на все.расслоение $T^{*} \bar{G}$. Мы затем используем естественную симплектическую структуру на $T^{*} \bar{G}$, чтобы определить поток, порожденный $\Phi_{j}$. Поток на $T^{*} \bar{G}$ будет очень походить на поток, действующий в силу (5.98) на матрицу рассеяния. В-третьих, мы найдем поток на редуцированном многообразии $\bar{N} \times\left(\varepsilon+N^{*}\right)$ ( $\bar{N}$ – это подгруппа $\bar{G}$, ассоциированная с подалгеброй $N$, а $N^{*}$ двойственно к $N$ ) с канонической симплектической структурой. Тогда пуассонова редукция к $\varepsilon+N^{*}$ тривиальна. Типичный элемент второй компоненты в $\bar{N} \times\left(\varepsilon+N^{*}\right)$, который есть матрица $Q$ (см. (5.45)), помноженная на $\zeta$, будет эволюционировать согласно (5.210) и удовлетворять уравнению Лакса (5.52). В-четвертых, мы отождествим $k\left(t_{j}\right)$ из (5.210), обратную степень левого мно-

жителя элемента $g\left(t_{j}\right)$, с матрицей $\hat{V}\left(t_{j}\right)$, определенной в разд. Бе.

Наконец, на пятом шаге мы обсудим, как решить уравнение Лакса (5.52) алгебраически. Наиболее важный шаг, как мы увидим, – это разложение группового элемента $g$ в $k^{-1} n$. Это разложение и есть алгебраическая аналогия задачи РиманаГильберта, которая, как вы помните, явилась главным шагом при построении фундаментальной матрицы решений Ф из данных рассеяния в разд. $5 \mathrm{f}(\mathrm{i})$. Найдя $k$, мы получим решение уравнений Лакса. Из-за того что эти шаги требуют введения целого ряда новых математических идей и обозначений, я попытаюсь обсудить результаты на языке, уже знакомом читателям этой книги. Читателя, который заинтересуется дальнейшим изучением деталей, я отсылаю к четвертой статье из нашей серии «Алгебра Қаца – Муди и солитонные уравнения» [38].

Я хочу отметить, что замечание о том, что потоки $\mathrm{AKHC}$ являются редукциями более простых потоков на больших многообразиях, не является введенной нами новинкой. Я сошлюсь на статьи Реймана и Семенова-Тян-Шанского [106]; эти идеи также весьма близки к идеям, которые использовали Костант, Каждан, Стернберг [100], Мозер [107] в связи с цепочкой Тоды, системами Қалоджеро и Мозера – Сюзерленда; они также тесно связаны со схемой одевания Захарова – Шабата [108]. Мы (Флашка, Ратью и автор) вперзые включили в общую картину потоки, которые соответствуют отрицательным временам $t_{k}$, в следующем разделе. А сейчас я хочу поподробнее разработать шаги от первого до пятого.

Шаг 1. Мы осуществляем (правую) тривиализацию расслоения $T^{*} \bar{G}$, отождествляя его с $\bar{G} \times G^{*}$, где $G^{*}$ – пространство, двойственное к алгебре Ли $G=T_{e} \bar{G}$, т. е. к пространству, касательному к $\bar{G}$ в единице этой группы. Отождествление производится следующим образом. Берем кривую $e^{t \xi}, \xi \in G$, проходящую через единицу группы $\bar{G}$, и берем ее касательный вектор $\left.(d / d t) e^{t \xi}\right|_{t=0}$ в этой точке. Перенесём касательный вектор с помощью правого действия $g$ и назовем этот элемент $T_{e} R_{g} \xi$. В матричном представлении, когда $\xi \in \operatorname{sl}(2, C)$ и определитель $g$ равняется единице, $T_{e} R_{g} \xi$ – это просто $\xi g$. Затем мы задаем для элементов $\mu_{g} \in T^{*} \bar{G}$, лежащих в слое над $g$, координаты $(g, \mu)$, $\mu \in G^{*}$, где
\[
\langle\mu, \xi\rangle=\left\langle\mu_{g}, T_{e} R_{g} \xi\right\rangle
\]
a $\langle\cdot, \cdot\rangle$ – это спаривание между $G$ и $G^{*}$. Правая часть может быть записана как $\left\langle T^{*} R_{g} \mu_{g}, \xi\right\rangle$, откуда $\mu=T^{*} R_{g} \mu_{g}$; т. е. $\mu$ явля-

ется элементом $G^{*}$, слоя в единице, который под действием правого переноса с помощью $g$ переносит $(e, \mu)$ в $\mu_{g}$.

Шаг 2. Пусть $\Phi(\mu)-\mathrm{Ad}^{*}$-инвариантная функция на $G^{*}$, т. е. $\Phi\left(g^{-1} \mu g\right)=\Phi(\mu)$. Қак вы помните, в разд. 5с мы очень скоро отождествили $G^{*}$ с $G$, ибо на самом $G$ можно было ввести внут. реннее произведение. В этом случае $\Phi(X)$ была $\mathrm{Ad}^{*}$-инвариантной на $G$ функцией, если $\Phi\left(e^{t Y} X e^{-t Y}\right)=\Phi(X)$ для всех $X, Y \in G$ и вещественных $t$. Это условие выражалось как $[
abla \Phi(X), X]=0$. Здесь такое же обозначение расшифровывается так: Ф-это $\mathrm{Ad}^{*}$-инвариантная функция на $G^{*}$, если $\Phi\left(e^{-t Y} X e^{t Y}\right)=\Phi(X)$ для всех $X \in G^{*}, Y \in G$. Мы расширяем $\Phi(\mu)$ на $T^{*} \bar{G}$ следующим образом:
\[
\bar{\Phi}\left(\mu_{g}\right)=\Phi(\mu) .
\]

Теперь можно работать с потоком, заданным на $T^{*} \bar{G}$; детали даны в [38, IV]. Это просто прямолинейное движение
\[
\begin{array}{l}
\dot{\mu}=0, \\
\dot{g}=T_{e} R_{g} \frac{\delta \Phi}{\delta \mu},
\end{array}
\]

которое в матричных обозначениях записывается в виде
\[
\dot{g}=\frac{\delta \Phi}{\delta \mu} g .
\]

Здесь $\delta \Phi / \delta \mu$, элемент из $G$, – это градиент Ф по $\mu$, т. е. $D \Phi(\mu)=$ $=\langle\delta \Phi / \delta \mu, \mu\rangle$, где $D \Phi(\mu)$ – производная Фреше Ф по $\mu$. Интегрируя (5.214), получим
\[
\begin{array}{l}
\mu=\mu_{0}, \\
g=\exp \left(t \frac{\delta \Phi}{\delta \mu_{0}}\right) g_{0} .
\end{array}
\]

Обратите внимание на связь с временным потоком для переменных действие – угол. Переменные действия (новые импульсы) есть интегралы движения, тогда как аргументы новых координат, угловые переменные, меняются линейно по времени. Это в точности подобно поведению данных рассеяния в (5.98). Без представления для $\mu_{0}$. Далее, если $\Phi(\mu)$ – это $\Phi_{j-1}$, т. е. $\zeta^{-j+1}$. компонента в разложении – $\left(h^{2}+e f\right)$, то это $\mathrm{Ad}^{*}$-инвариантная функция, и по отношению к форме Киллинга $\langle\cdot, \cdot\rangle_{0}$
\[
\frac{\delta \Phi_{j-1}}{\delta \mu_{0}}=-i \zeta^{\dagger} H
\]

Далее, как функция всех времен
\[
g=\exp \left(-i \sum \xi^{j} t_{j} H\right) g_{0} .
\]

Шаг 3. Теперь доведем до конца симплектическую редукцию расслоения $T^{*} \bar{G}$ с помощью $\bar{K}$ и элемента $\varepsilon$, принадлежащего $K^{*}=K^{\perp}$. Оказывается, более удобно использовать первую гамильтонову структуру и выделенный элемент $\varepsilon$, равный – $i H \zeta$. Я не буду проделывать все вычисления подробно, а просто вкратце изложу результаты. Для более подробного обсуждения читателю следует обратиться к [38, IV].

Как уже было упомянуто, мы тривиализовали $T^{*} \bar{G}$, взяв его в виде $\bar{G} \times G^{*}$. Пусть $\varphi$-отображение, которое приписывает координаты $\left(g, \mu=T_{e}^{*} R_{g} \mu_{g}\right)$ элементу $\mu_{g}$ в $T^{*} \bar{G} . \bar{K}$ – это группа симметрий, с помощью которой мы будем редуцировать $T^{*} \bar{G} . \bar{K}$ действует слева на $T^{*} \bar{G}$, и в тривиализации для $k \in \bar{K}$
\[
(k, g, \mu) \rightarrow\left(k g, \operatorname{Ad}_{k-1}^{*} \mu\right),
\]

что в матричном представлении есть $\left(k g, k \mu k^{-1}\right)$. Отображение моментов для левого действия $\vec{K}$ на $T^{*} \bar{G}$
\[
J: T^{*} \bar{G} \rightarrow k^{*}
\]

записывается в координатах в зиде
\[
\left.\mu_{\mathrm{g}} \rightarrow \mu\right|_{K},
\]

где $\left.\mu\right|_{K}$ означает, что $\mu=T_{e}^{*} R_{\mathrm{g}} \mu_{\mathrm{g}}$ должно лежать в $K^{*}$ и поэтому должно быть ограничено на $K$. Если мы отождествим $G^{*}$ с $G$, $K^{*}$ с $N^{\perp}$, то это означает, что внутреннее произведение $\left.\mu\right|_{K}$ с любым элементом $N$ есть нуль. При тривиализации отображение моментов есть
\[
\tilde{J}=J \cdot \varphi^{-1}:\left.(g, \mu) \rightarrow \mu\right|_{K} .
\]

Теперь введем набор уровней $\gamma-1(\varepsilon)$ для элемента $\varepsilon$, принадлежащего $K^{*}=N^{\perp}$.
\[
\tilde{J}^{-1}(\varepsilon)=\left\{(g, \mu)|\mu|_{K}=\varepsilon\right\},
\]

что из-за отождествления $G^{*}$ и $G$ можно записать как
\[
\tilde{J}^{-1}(\varepsilon)=\bar{G} \times\{\varepsilon+v\},
\]

где $v$ – это любой элемент $K^{\perp}$.
Затем мы определим подгруппу изотропий $\bar{K}_{\varepsilon}$ элемента $\varepsilon$. Можно показать, что это есть $\bar{K}$. Важно, что $\varepsilon$ выбран так, что

$\left.\varepsilon\right|_{[K, K]}=0$. Тогда в $\tilde{J}^{-1}(\varepsilon) / \bar{K}_{\varepsilon}$ всякий элемент ( $\left.g=K^{-1} n, \varepsilon+v\right)$ набора уровней $\gamma^{-1}(\varepsilon)$ эквивалентен при действии $\bar{K}$ элементу, у которого первая координата лежит в $\bar{N}$, т. е.
\[
\left(k^{-1} n, \varepsilon+v\right) \sim(n, \lambda) .
\]

Я уже говорил, что удобно писать $g$ как $k^{-1} n$. Но что такое $\lambda$ ? Чтобы отделить $k^{-1}$ от $k^{-1} n$ в первом элементе, естественно подействовать $k$ на ( $\left.k^{-1} n, \varepsilon+v\right)$. Но мы уже знаем, что действие это таково:
\[
k\left(k^{-1} n, \varepsilon+v\right)=\left(n, \operatorname{Ad}_{k^{-1}}^{*}(\varepsilon+v)\right) .
\]

Нетрудно показать, что $\operatorname{Ad}_{k-1}^{*}(\varepsilon+v)$ также принадлежит $\varepsilon+N^{*}$. В матричных обозначениях это $k(\varepsilon+v) k^{-1}$; ясно, что как $k$, так и $k^{-1}$ могут быть записаны в виде рядов по степеням $\zeta^{-i}$, начиная с единицы при $j=0$, и так как $\varepsilon+v$ принадлежит $\varepsilon+N^{*}$, то $k(\varepsilon+v) k^{-1}$ тоже принадлежит $\varepsilon+N^{*}$.

Последняя (пуассонова) редукция, осуществляемая с помощью правого действия $\bar{N}$, попросту убирает групповой элемент $n$ из $\vec{N} \times\left(\varepsilon+N^{*}\right)$. Из-за того, что действие $\vec{K}$ коммутирует с действием $\bar{N}$ (они действуют с разных сторон) и $\vec{N}$ оставляет $f^{-1}(\varepsilon)$ неизменным, то эта редукция тривиальна. Следовательно, элемент общего вида в редуцированном фазовом пространстве $\varepsilon+N^{*}=\varepsilon+K^{\perp}$ задается формулой $k(\varepsilon+v) k^{-1}$.

Временные потоки $k$ и $\varepsilon+v$ задаются (5.215а) и (5.217); а именно, $k^{-1}\left(t_{j}\right)$ – это левый множитель элемента $\exp \left(-i \sum t_{j} \zeta^{\prime} H\right) g_{0}$, а $\varepsilon+v-$ интеграл движения, выбранный нами в виде $\varepsilon=-i H \zeta$. Следовательно, движение точки $\mu$, которую мы обозначали $\zeta Q\left(t_{j}\right)$, в редуцированном фазовом пространстве $\varepsilon+N^{*}$ будет (после зыбрасывания множителя $\zeta$ ) таким:
\[
Q\left(t_{j}\right)=k\left(t_{j}\right)(-i H) k^{-1}\left(t_{j}\right) .
\]

Шаг 4. Сейчас полезно отождествить элемент $k\left(t_{j}\right)$ с элементами, которые нам уже встреча.лись. После несложных вычислений перепишем (5.223) в виде
\[
Q_{t_{j}}=\left[k_{t_{j}} k^{-1}, Q\right] \text {. }
\]

Но из (5.217)
\[
g_{t_{j}}=-i \zeta^{\jmath} H g=-k^{-1} k_{i_{j}} k^{-1} n+k n_{t_{j}}
\]

что записывается также в виде
\[
\zeta^{i} k(-i H) k^{-1}=-k_{t_{i}} k^{-1}+n_{t j} n^{-1}
\]

Қаждый член в (5.225) – это элемент $G$. Возьмем проекцию на $N$ и найдем
\[
n_{t_{j}} n^{-1}=\prod_{N} \zeta^{l} k(-i H) k^{-1}=\prod_{N} \zeta^{j} Q\left(t_{j}\right)=Q^{(j)}
\]

в согласии с (3.48) и (5.52). Следовательно,
\[
k_{t_{j}}=Q^{(j)_{k}}+k\left(i H \zeta^{i}\right) .
\]

Теперь вспомним собственную функцию $V$ из разд. 5е. Чтобы вычислить ее асимптотическое разложение, мы записали ее как $\widehat{V} \exp \left(-i \sum \zeta^{i} t_{j} H\right)$, где $\hat{V}$ удовлетворяет (5.226b). Фактически (см. (5.88)) $Q=V(-i H) V^{-1}=\hat{V}(-i H) \hat{V}^{-1}$, потому что экспоненциальный множитель в $V$ коммутирует с $H$. Поэтому элемент $k$ – это просто $\hat{
abla}$, т. е. левый множитель $V$, записанный в виде асимптотического разложения вблизи $\zeta=\infty$. Затем посмотрим на соотношение (5.224). Это
\[
Q_{t_{j}}=\left[Q^{(i)}, Q\right]
\]
– уравнение Лакса (5.52) для семейства $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$. Итак, временны́е потоки элемента $\zeta Q$, принадлежащего $\varepsilon+N^{*}$, полученные как редукции линейных потоков на $T^{*} \bar{G}$, те же самые, что и определенные с помощью гамильтоновых векторных полей в разд. 5 с.

Шаг 5. Как нам «решить» (5.227)? При заданном $Q(0)$ вычислим матрицу $k(0)$, которая определяется с помощью
\[
\operatorname{Ad}_{k^{-1}(0)}^{*}(-i H)=Q(0)
\]
т. е. $k(0)(-i H) k^{-1}(0)=Q(0)$. Именно тот факт, что мы всегда можем найти такую $k(0)$, для зоторой матрица $\zeta Q(0)$ будет подобна $-i H \zeta$, и позволяет нам взять $\varepsilon=-i H \zeta$ без потери общности. Мы можем также взять $n(0)=1$; определенная таким образом матрица $k(0)$ не будет единственной, так как она может быть умножена справа на любой множитель, коммутирующий с $H$. Но это не важно. Мы можем взять любую $k(0)$ в этом классе эквивалентности, так как коммутирующий с $H$ правый множитель матрицы $k(0)$ превращается в левый множитель матрицы $k^{-1}(0)$ и поэтому коммутирует также с временно́й зависимостью $g$ (см. (5.229) ниже). Поэтому этот множитель попросту включается в правый гостоянный множитель при $k\left(t_{j}\right)$, и поэтому он не вносит вклада в $Q\left(t_{j}\right)$ при вычислении с по-

мощью (5.223). Читатель мог уже заметить, что матрица $k\left(t_{i}\right)$, которую мы определяли как
\[
\widehat{V}\left(t_{j}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & -\frac{i}{2} b \\
\frac{i}{2} c & 1
\end{array}\right) e^{\psi H+\varphi},
\]

уже имеет правый множитель, коммутирующий с $H$. При вычислении $Q \Longrightarrow \hat{V}(-i H) \hat{V}^{-1}$ этот множитель, содержащий нелокальные члены, исчезает. Вспомним, что эти нелокальные члены выражаются через логарифмические производные от $\tau$ и поэтому являются интегралами от $h_{r}, e_{r}, f_{r}$ – координат в фазовом пространстве.

Решение (5.227) – это (5.223), где $k$ – величина, обратная левому множителю в
\[
g=\exp \left(i \sum \zeta^{i} t_{j} H\right) k^{-1}(0),
\]

которая может быть вычислена. Факторизация – это не всегда простая задача, и у меня нет доказательства, что это может быть сделано. Переписывая (5.209) как
\[
k g=n
\]

и беря затем проекцию на $\bar{K}$, получаем
\[
\prod_{\bar{K}} k g=0 .
\]

Эти уравнения эквивалентны (5.99). Для $N$-солитонного решения уравнения (5.229) – это система неоднородных линейных уравнений порядка $2 N$. Оказывается, что матрицей коэффициентов для нее служит $N$-солитонная $\tau$-функция, $\tau$ из (5.70). В случае общего решения система линейных уравнений имеет бесконечный порядок, и определитель матрицы коэффициентов, который и есть $\tau$-функция, тоже бесконечного порядка.

Поэтому у нас есть второй способ ввести и определить $\tau$-функцию. Вспомните, что впервые мы ввели ее в разд. 5 д как потенциал. Здесь это определитель бесконечного порядка, порожденный решением задачи Римана – Гильберта. Напомним (см. разд. $5 \mathrm{~g}$ ), что вспомогательные $\tau$-функции $\sigma$, $\rho$ могут быть построены из $\tau$ с помощью преобразований Бэклунда – Шлезингера.

Позвольте показать, как вылолняется (5.230) в случае простого примера. Этот пример соответствует простейшему виду связанного состояния ( $N, \bar{N})$, описанному в разд. $5 \mathrm{~g}$, а именно

$N=1, \bar{N}=0$. Тогда из $(5.99 \mathrm{a}, \mathrm{b})$ (я нормирую собственные функции так: $\left.\bar{\psi} \sim\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) e^{-i \theta}, \quad \psi \sim\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) e^{i \theta}, \quad x \rightarrow+\infty, \quad \theta=\sum \zeta^{i} t_{j}\right)$
\[
\begin{array}{l}
\bar{\psi}\left(\zeta, t_{j}\right) e^{i \theta}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\frac{\gamma}{\zeta-\zeta_{1}} \psi_{1} e^{i \theta_{1}}, \\
\psi\left(\zeta, t_{j}\right) e^{-i \theta}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right), \quad \theta_{1}=\sum \zeta_{1} t_{j},
\end{array}
\]

откуда $\psi_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) e^{i \theta_{1}}$. Итак,
\[
k=V \exp \left(i \sum \zeta^{j} t_{j} H\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{\gamma e^{2 i \theta_{1}}}{\zeta-\zeta_{1}} & 1
\end{array}\right) .
\]

Можно найти $f_{1}\left(t_{j}\right)$, вспоминая, что первый член асимптотического разложения матричного элемента $(2,1)$ в $k$ есть $i f_{1} / 2 \zeta$, где
\[
f_{1}\left(t_{j}\right)=-2 i \gamma e^{2 i \theta_{\mathrm{i}}} .
\]

Заметим, что $f_{1, t_{j}}=-2 i \gamma\left(2 i \zeta_{1}^{l}\right) e^{2 i \theta_{1}}=(-i / 2)^{j-1} f_{1, t_{1} \ldots t_{1}}$, где $f_{1, t_{1} \ldots t_{1}}$ обозначает производную порядка $j$ от $f_{1}$ по $t_{1}=x ; e_{1}$, a потому и $e$, суть тождественные нули. Таковы уравнения Лакса в этом случае.

Давайте проверим, что проекция $k g$ на $\bar{K}$ равна нулю. Рассмотрим
\[
k g=k\left(t_{j}\right) e^{-i \theta H} k^{-1}(0)=\left(\begin{array}{cc}
e^{-i \theta} & 0 \\
\gamma e^{i \theta} \frac{e^{2 i\left(\theta_{1}-\theta\right)}-1}{\zeta-\zeta_{1}} & e^{i \theta}
\end{array}\right) .
\]

Вы заметите, что полюс в $\xi_{1}$ можно удалить и что $k g$ разлагается в ряд Тейлора около $\zeta_{1}$. Поэтому $k g$ принадлежит $\bar{N}$. Далее, давайте проверим также
\[
Q=k\left(t_{j}\right)(-i H)^{-1} k\left(t_{j}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-i & 0 \\
\frac{-2 i \gamma}{\zeta-\zeta_{1}} e^{2 i \theta_{1}} & i
\end{array}\right)=-i H+\frac{f_{1}}{\zeta-\zeta_{1}} F .
\]

Но мы знаем, что
\[
f=\sum_{1}^{\infty} \frac{f_{l}}{\zeta^{j}}=\frac{1}{\zeta} f_{1}-\frac{i}{2} \sum_{1}^{\infty} \frac{f_{1, t_{j}}}{\zeta^{j+1}},
\]

и так как $f_{1}, t_{j}=2 i \zeta_{1}^{l} f_{1}$ то,
\[
f=\frac{1}{\zeta-\zeta_{1}} f_{1}
\]

Так как $e \equiv 0$, то $h^{2}=-1$, или $h=-i$. Итак, (5.223) есть
\[
Q=-i H+O E+f F .
\]

Еще о преобразованиях Бэклунда; схема «одевания» [108] Захарова-Шабата. Полезно заметить, что вид (5.223) весьма напоминает (5.134)
\[
\widetilde{Q}=R Q R^{-1}
\]

для преобразований Бэклунда. Также (5.226b) в точности совпадает с (5.133), если вместо $k$ написать $R$. Действительно, чтобы добавить одно связанное состояние в точке $\zeta=\zeta_{1}$ к вакууму
\[
Q\left(t_{j}\right)=-i H, \quad V\left(t_{l}, \zeta\right)=e^{-i \theta H}
\]

с $\theta=\sum_{1}^{\infty} \zeta^{j} t_{j}$, мы используем (5.184):
\[
R_{L}=\left(\begin{array}{cc}
-2 i\left(\zeta-\zeta_{1}\right) & e_{1}=0 \\
f_{1}=-2 i \gamma e^{2 i \theta_{1}} & -1
\end{array}\right),
\]

что можно нормировать и получить
\[
R=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{\gamma e^{2 i \theta_{1}}}{\zeta-\zeta_{1}} & 1
\end{array}\right) .
\]

Интерпретация $\left(\zeta-\zeta_{1}\right)^{-1}$ как $\sum_{0}^{\infty}\left(\zeta_{1}^{j} / \zeta^{j+1}\right)$ означает, что такое $R$ в точности имеет форму $I+\sum_{i}^{\infty} R_{i} \zeta^{-j}$. Поэтому $R$ можно записать как экспоненту от элемента $\sum_{1}^{\infty} X_{1} \zeta^{-j}$ подалгебры $K$ и, следовательно, $R$ принадлежит $\bar{K}$. Читателю следует сравнить это со структурой $R$, используемой в преобразовании Бэклунда – Шлезингера и не имеющей этой формы.

Принципиальное различие между (5.223) и (5.134) состоит, конечно, в том, что первое соотношение говорит нам, как начальное состояние $Q(0)$,
\[
Q(0)=k(0)(-i H) k^{-1}(0),
\]

эволюционирует под действием набора потоков $\left\{t_{k}\right\}_{1}^{\infty}$, тогда как последнее связывает два разных типа решений при фиксированном наборе значений $t_{k}, k=1,2, \ldots$. Тем не менее они тесно связаны, и я сейчас покажу с помощью (5.231) и (5.223), что мы можем описать преобразование Бэклунда на языке метода редукций.

Давайте начнем, например, с вакуумного состояния (для него мы используем индекс 0 )
\[
Q_{0}(0)=-i \hbar, \quad V_{0}(0, \zeta)=I,
\]

которое эволюционирует под действием потоков как
\[
Q\left(t_{j}\right)=-i H, \quad V\left(t_{j}, \zeta\right)=e^{-i \theta H} .
\]

С другой стороны, если мы начнем с начального состояния
\[
Q_{1}\left(t_{\jmath}\right)=-i H-\frac{2 i \gamma}{\zeta-\zeta_{1}} F,
\]

то его временная эволюция описывается формулой
\[
Q_{1}\left(t_{j}\right)=-i H-\frac{2 i \gamma e^{2 i \theta_{1}}}{\zeta-\zeta_{1}} F,
\]

где $\theta_{1}=\sum_{1}^{\infty} \zeta_{1} t_{j}$. Соответствующая собственная матрица $V_{1}$ есть
\[
V_{1}=\hat{V}\left(t_{j}\right) e^{-i \theta H}=k\left(t_{j}\right) e^{-i \theta H},
\]

где $k\left(t_{j}\right)$-это величина, обратная левому множителю в разложении элемента
\[
e^{-i \theta H} k^{-1}(0)
\]

который я обозначаю
\[
\left(e^{-i \theta H} k^{-1}(0)\right)_{-} .
\]

Заметьте, что это также равно
\[
\left(e^{-i \theta H} k^{-1}(0) e^{i \theta H}\right)_{-},
\]

потому что $e^{i \theta H}$ принадлежит $\bar{N}$, а любой элемент $\bar{N}$ можно умножить справа под знаком нижнего индекса минус, т. е. $\left(k^{-1} n n^{\prime}\right)_{-}=\left(k^{-1} n\right)_{-}=k^{-1}$.

Эти наблюдения подсказывают алгоритм получения новых решений из вакуумного состояния. Возьмем элемент $k^{-1}(0)$, принадлежащий $\bar{K}$, который, как я упоминал, связывает два типа решений в момент времени нуль (здесь это одно связанное состояние и вакуум). Образуем произведение
\[
\left(e^{-i \theta H} k^{-1}(0) e^{i \theta H}\right)
\]

и обратим его левый множитель
\[
\left\{\left(e^{-l \theta H} k^{-1}(0) e^{l \theta H}\right)_{-}\right\}^{-1} \text {. }
\]

Тогда собственная матрица
\[
V_{1}=\left\{\left(e^{-i \theta H} k^{-1}(0) e^{i \theta H}\right)_{-}\right\}^{-1} e^{-i \theta H}
\]

соответствует решению $Q\left(t_{j}\right)$ с одним связанным состоянием. Это в точности алгоритм одевания Захарова – Шабата [108]. Что получится, если мы применим этот алгоритм снова? Я попрошу вас показать в упражнении в конце этого раздела, что
\[
\left\{\left(V_{1} k_{2}^{-1}(0) V_{1}^{-1}\right)_{-}\right\}^{-1} V_{1}=\left\{\left(e^{-i \theta H} k_{2}^{-1}(0) k_{1}^{-1}(0) e^{i \theta H}\right)_{-}\right\}^{-1} e^{-i \theta H},
\]

а это указывает, что данное действие обладает групповым свойством [40], [106] .

Резюме. В заключение этого раздела я хочу сделать несколько важных наблюдений. Во-первых, я напоминаю читателю, что характерный элемент $Q\left(t_{j}\right)$ фазового пространства задан с помощью (5.223) :
\[
Q\left(t_{j}\right)=k\left(t_{j}\right)(-i H) k^{-1}\left(t_{j}\right),
\]

где $k\left(t_{j}\right)$ вычисляется как $\left(\exp (-i \theta H) k^{-1}(0)\right)_{-}^{-1}$. Элемент $k^{-1}(0)$ определяет тип решения, т. е. будет ли это решение односолитонным, двухсолитонным, связанным состоянием $(1,0)$ и т. п. Можно считать $k^{-1}(0)$ аналогом данных рассеяния в нулевой момент времени. Коль скоро тип решения определен, поток всей последовательности времен $\left\{t_{k}\right\}_{0}^{\infty}$ отображает его на некоторое подмножество фазового пространства. В следующем разделе мы увидим, что оператор потока $\partial / \partial t_{k}$ можно связать с элементами $-i H \zeta^{k}, k \geqslant 0$, алгебры $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$. Эти элементы вместе с элементами $-i H \zeta^{k}, \quad k<0$, образуют подалгебру Гейзенберга в $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C)+Z$, т. е. в алгебре петель $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C)$, пополненной центральным элементом.

С другой стороны, переход от одного типа решений к другому (при фиксированных значениях $t_{k}$ ) осуществляется преобразованием Бэклунда. Сейчас мы подошли к очень важному вопросу. Для подхода этого раздела пригодны лишь такие преобразования Бэклунда (5.134), в которых
\[
R=I+\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{\zeta^{I}} C_{i} .
\]

Причина в том, что для того, чтобы $R$ совпадало с $k$, оно должно записываться с помощью экспоненты от элемента $\sum_{i}^{\infty} D_{j} \xi^{-1}$.

Преобразования Бэклунда, относящиеся к этому классу $R$, включают преобразования, добавляющие связанные состояния и солитоны, но не включают преобразования Бэклунда – Шлезингера. Эти последние относятся к дискретным симметриям, и соответствующий элемент группы $g$ не может быть просто представлен как $k^{-1} n$, но должен включать в матричном представлении средний элемент, являющийся диагональной матрицей.

Поэтому многое нужно еще сделать. Во-первых, следует понять, как расширить группу $\bar{G}_{\text {, }}$ чтобы включить в нее дискретные симметрии. Во-вторых, хотелось бы иметь теорию, подобную теории семейства КдФ, которая обсуждалась в разд. $4 \mathrm{~g}$. Здесь аналогией (5.223) является (5.90)
\[
Q=k X k^{-1}, \quad k=\hat{U},
\]

где $X=-F+E / \lambda$ и $O$ задано в (5.90). Фазовое пространство целиком покрывается с помощью присоединенного действия потоков и преобразований Бэклунда. Дискретных симметрий нет. Не составит большого труда установить прямое соответствие между формулой (5.232) и соответствующим поведением $\tau$-функции $\tau\left(t_{1}, t_{2}, t_{3}, \ldots\right)$ под действием потоков и под действием преобразований Бэклунда (см. упражнение $5 \mathrm{j}(2)$ ).

В нашей ситуации фазовое пространство разделено на дискретные части, каждая из которых помечена монодромными свойствами $V$ в точке $\xi=\infty$. В каждой части потоки и преобразования Бэклунда, добавляющие солитоны и связанные состояния, действуют как непрерывные симметрии. Чтобы перейти от одной части фазового пространства к другой, требуется преобразование Бэклунда – Шлезингера. Теперь вспомним из (5.169b) и (5.174b), что действие преобразования Бэклунда- Шлезингера можно трактовать как сдвиг бесконечной в обе стороны последовательности
\[
\left\{\ldots, \tau_{n-1}, \tau_{n}, \tau_{n+1}, \ldots\right\},
\]

соответствующей состоянию цепочки Тоды при любых заданных значениях времен $t_{k}$. Введенные ранее потенциалы $\rho, \tau$, $\sigma$ могут быть любой тройкой стоящих друг за другом членов этой последовательности, и этот триплет будет удовлетворять семейству уравнений Хироты и соответствовать решению иерархии АКНС. Похоже, что аналог $\tau$-функции семейства КдФ-это не одна функция или триплет, но бесконечная последовательность.

Если это действительно так, то $\tau$-функцию нужно считать не просто функцией бесконечного числа непрерывных времен, но также функцией целого числа $n$. Потоки меняют непрерывные времена. Преобразования Бэклунда меняют характер $\tau$, пере-

водят вакуумное состояние в односолитонное и т. д., но сохраняют неизменными $n$ и $\left\{t_{k}\right\}_{0}^{\infty}$. Преобразования Бэклунда Шлезингера меняют дискретную переменную. Какая группа связана с этими действиями и как инфинитезимальные действия связаны с алгеброй Каца – Муди? Как выбор градуировки указывает на необходимость дискретных симметрий? В главной градуировке в $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C$ ), которая давала нам (упражнение $5 \mathrm{c}(3)$ ) семейство КдФ, была лишь одна $\tau$-функция и не было дискретных симметрий. В однородной градуировке был бесконечный набор дискретных симметрий и $\tau=\tau\left(n, t_{k}\right)$ как функция $n$ и $t_{1}$ удовлетворяла уравнениям цепочки Тоды. Алгебра петель, связанная с $\widetilde{s i}(r, C), r>2$, может иметь более чем один набор дискретных симметрий, в зависимости от градуировки. Каким дифференциально-разностным уравнениям они удовлетворяют? Например, если бы $\tau$ зависела от двух дискретных переменных $m, n$, то должны ли «решеточные» уравнения, которым удовлетворяет $\tau\left(m, n, t_{k}\right)$, иметь какое-нибудь отношение к статистической механике?

Идея, что важно позволить $\tau$-функции зависеть от дискретных переменных, восходит к работе Дзимбо и Мивы [125]. Читателю, который хочет узнать о последующем развитии, следует посмотреть том 2 новой шпрингеровской серии, где опубликованы доклады конференции Research Institute of Mathematical Sciences (RIMS), проведенной в Калифорнийском университете в Бэркли. Название этой конференции «Вершинные операторы в математике и в физике».