Что мы собираемся делать. Первой нашей задачей будет получение многосолитонных решений для КдФ-иерархии новым и поучительным способом. Подход этот поучителен тем, что он демонстрирует единую структуру собственных функций $\psi\left(x, t_{2 k+1} ; \zeta\right)$, связанных с многосолитонным решением. В подходящей нормировке они имеют вид произведения многочлена по $\zeta^{-1}$ на простую экспоненту, и при выводе формулы для решения непосредственно используется эта структура. Затем аналогичным способом вводятся рациональные решения, что проясняет их связь с многосолитонными, предельным случаем которых они являются. В обоих случаях $q\left(x, t_{2 k+1}\right)$ задается формулой
\[
q\left(x, t_{2 k+1}\right)=2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} \ln \tau,
\]

где $\tau$ – это определитель матрицы $N \times N$, после раскрытия принимающий вид (3.88). В пределе рационального решения $\tau$ является полиномом.

Вторая и бо́льшая часть этого раздела посвящена выводу конечнозонных, или иначе многофазных, квазипериодических решений. Это значит, что $q\left(x, t_{2 k+1}\right)$ является периодической функцией $N$ фаз $\theta_{i}, i=1, \ldots, N$, каждая из которых линейна по $x$ и $t_{2 k+1}, \theta_{i}=\sum_{\text {нечетн. } j} c_{i j} t_{j}, t_{1}=x$. Поскольку $c_{i j}$ не обязательно

соизмеримы, $q$ лишь квазипериодично по $t_{2 k+1}$ и $x$. Однозонное решение уравнения $К Д \Phi q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0$ имеет вид
\[
\begin{array}{c}
q(x, t)= \\
=\beta+(\alpha-\beta) \operatorname{cn}^{2}\left\{\sqrt{\frac{\alpha-\gamma}{2}}\left(x-2(\alpha+\beta+\gamma) t-x_{0}\right) ; \frac{\alpha-\beta}{\alpha-\gamma}\right\} .
\end{array}
\]

Я разбил вычисления, связанные с подобными решениями, на три этапа. Сначала я покажу связь $N$-зонного решения с не зависящей от $t_{2 k+1}, k=0, \ldots, N$, римановой поверхностью
\[
R: y^{2}=-\prod_{i=0}^{2 N}\left(\lambda-\lambda_{j}\right)
\]

Потом я введу новые координаты $\mu_{i}, j=1, \ldots, N$, лежащие в фиксированных интервалах $\left(\lambda_{2 j-1}, \lambda_{2 j}\right), j=1, \ldots, N$. Их зависимость от $t_{2 k+1}, k=0, \ldots, N$, определяемая формулой (3.167), получается из простого и красивого вычисления. На первый взгляд эти уравнения не кажутся проще первоначальных, из которых они были выведены. Однако на третьем этапе я покажу, как осуществить отображение из римановой поверхности, на которой лежат $\mu_{j}$, в новое многообразие, называемое многообразием Якоби, так чтобы новые, соответствующие $\mu_{/}$, координаты на многообразии Якоби изменились линейно по всем временам. Решение для $q\left(x, t_{2 k+1}\right)$ имеет вид
\[
c+2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} \ln \Theta\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{N}\right),
\]

где $c$-константа, $\theta$-это $\Theta$-функция Римана, а $\theta_{j}=$ $=\sum_{\text {нечетн. } j} c_{i j} t_{j}$, и константы $c$, $c_{i j}$ могут быть определены. Отметим, что решение снова имеет вид $2\left(d^{2} / d x^{2}\right) \ln \tau$. Здесь $\tau=$ $=\theta e^{(c / 4) x^{2}}$.

Многосолитонные и рациональные решения. Если вы снова посмотрите на (3.84), вы заметите, что собственная функция $\psi(x, t, \zeta)$ как функция § имеет вид мероморфной функции с полюсами в точках $\zeta=-\xi_{k}=-i \eta_{k}, k=1, \ldots, N$. Можно перенормировать $\Psi(x, t, \zeta)$, умножая (3.84) на $\zeta^{-N} \prod_{1}^{N}\left(\zeta+i \eta_{k}\right)$, после чего получится произведение $e^{i \zeta x}$ на многочлен степени $N$ по $\zeta^{-1}$. Так как перенормировка не затрагивает $x$ и $t$, то $\psi$ попрежнему удовлетворяет (3.1) и (3.92).

Исходя из этих наводящих соображений, давайте искать многосолитонные решения сразу для всего семейства КдФ (3.9)

(первые три уравнения приведены в (3.14) – (3.16)), отыскивая решения уравнения (3.1) и семейства уравнений (3.3),
\[
v_{t_{k}}=\frac{1}{2} B_{x}^{(k)} v-B^{(k)} v_{x},
\]

где
\[
B^{(k)}=-\lambda^{k}+B_{1} \lambda^{k-1}+\ldots+B_{k},
\]

в виде ${ }^{1}$ )
\[
v\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)=e^{H(\zeta)}\left(1+\frac{C_{1}}{i \zeta}+\ldots+\frac{C_{N}}{(i \zeta)^{N}}\right)
\]
c
\[
H=i \zeta x+i \zeta^{3} t_{3}+\ldots+i \zeta^{2 n+1} t_{2 n+1}+\ldots .
\]

Перенос $q_{t_{1}}=q_{x}$ сюда не включен; он может быть вновь введен подстановкой $x+t_{1}$ вместо $x$. Совместность (3.1) и (3.128) гарантирует, что $q\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)$ как функция $t_{3}, t_{5}, \ldots$ удовлетворяет уравнениям семейства КдФ. Подстановка (3.130) в (3.1) и сравнение коэффициентов при различных степенях $\zeta^{-1}$ дает нам соотношение между $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{N}$, с одной стороны, и $q$ и его производными по $x$ – с другой. В самом деле, $C_{1}, C_{2}, \ldots$ $\ldots, C_{N}$ – это первые $N$ членов асимптотического разложения для $v(x, \zeta)$, получающиеся из (3.27). Вот первые два:
\[
q=-2 C_{1 x}, \quad C_{2}=C_{1}^{2}+\frac{q}{4} .
\]

Тот факт, что $C_{N+r}=0, r \geqslant 1$, означает, что возникающие в результате этой процедуры решения $q\left(x, t_{3}, \ldots\right)$ удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Позже мы вернемся к этому вопросу в настоящем разделе.

Поскольку $v(\mathbf{x}, \zeta)\left(\mathbf{x}=\left(x, t_{3}, \ldots\right)\right)$ удовлетворяет (3.1), то же можно сказать и о линейно независимом решении $v(\mathbf{x},-\xi)$. Если мы возьмем $v(\mathbf{x}, \zeta)$ пропорциональным $\psi(x, \zeta)$, определенным в разд. d, то $v(x,-\xi)$ примет вид асимптотического разложения для $\varphi(x, \zeta)$. Мы знаем, что в точках дискретного спектра $\zeta=i \eta_{k}$, $k=1, \ldots, N, \varphi$ пропорционально $\psi$. Определим поэтому функции $C_{1}, \ldots, C_{N}$ из условия, чтобы в несовпадающих точках $\xi=$ $=i \eta_{k}, \eta_{k}>0, k=1, \ldots, N$, выполнялось
\[
\boldsymbol{v}\left(\mathbf{x}, i \eta_{k}\right)=e^{-2 \eta_{k} \bar{x}_{k}}\left(\mathbf{x},-i \eta_{k}\right),
\]

где $e^{-2 \eta_{k} \bar{x}_{k}}$ коэффициент пропорциональности. Тогда (3.133) превращается в систему $N$ уравнений для $N$ неизвестных,
1) Такую собственную функцию часто называют формальной функцией Бейкера-Ахиезера. – Прим. перев.

которая легко может быть решена. В результате получим
\[
q=-2 C_{1 x}=2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} \ln W\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{N}\right) .
\]

В этой формуле при нечетных
\[
W=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}
\operatorname{ch} \theta_{1} & -\eta_{1} \operatorname{sh} \theta_{1} & \eta_{1}^{2} \operatorname{ch} \theta_{1} \ldots \\
: & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
\operatorname{ch} \theta_{N} & -\eta_{l} \operatorname{sh} \theta_{N} & \cdots
\end{array}\right) .
\]

При четных $N$ первый столбец состоит из $\operatorname{sh} \theta_{j}$, в остальных столбцах поочередно стоят то сh $\theta_{j}$, то $\operatorname{sh} \theta_{j}$. Фаза $\theta_{j}$ линейна по всем независимым переменным и равна ( $H$ определено в (3.131))
\[
\theta_{j}=H\left(i \eta_{j}\right)+\eta_{j} \bar{x}_{j}=\eta_{j}\left(x-\bar{x}_{j}\right)+\eta_{j}^{3} t_{3}-\eta_{j}^{5} t_{5}+\ldots
\]

Читатель может теперь легко вычислить несколько первых решений. Для $N=1$ (3.133) имеет вид
\[
e^{\theta_{1}}\left(1-\frac{C_{1}}{\eta_{1}}\right)=e^{-\theta_{1}}\left(1+\frac{C_{1}}{\eta_{1}}\right),
\]

откуда $C_{1}=\eta_{1}$ th $\theta_{1}, q=-2 C_{1 x}=2 \eta_{1}^{2} \operatorname{sech}^{2} \theta_{1}$, т. е. представляет собой односолитонное решение.

Теперь произведем действия в обратном порядке. Рассмотрим $v(\mathbf{x}, \zeta), v(\mathbf{x},-\zeta)$, заданные в (3.130), и потребуем, чтобы выполнялось (3.133). Тогда из всего предыдущего следует, что такое $v(\mathbf{x}, \zeta)$ единственно ( $C_{1}, \ldots, C_{N}$ определяются однозначно). Таким образом, существует одна и только одна функция $v(\mathbf{x}, \zeta)$, удовлетворяющая (3.130) и (3.133). Я теперь утверждаю, что полученная таким образом функция $v(x, \zeta)$ удовлетворяет (3.1) и (3.128). Проверим это прямым вычислением:
\[
\begin{aligned}
v_{x x}+\zeta^{2} v= & 2 i \zeta e^{H}\left(\frac{C_{1 x}}{i \zeta}+\frac{C_{2 x}}{(i \zeta)^{2}}+\ldots+\frac{C_{N x}}{(i \zeta)^{N}}\right)+ \\
& +e^{H}\left(\frac{C_{1 x x}}{i \zeta}+\ldots+\frac{C_{N x x}}{(i \zeta)^{N}}\right) .
\end{aligned}
\]

Поэтому функция $w(\mathbf{x})$, которую мы определим как
\[
\begin{aligned}
w(\mathbf{x}, \zeta) & =v_{x x}+\left(\zeta^{2}-2 C_{1 x}\right) v= \\
& =e^{H}\left(\frac{d_{1}}{i \zeta}+\ldots+\frac{d_{N}}{(i \zeta)^{N}}\right),
\end{aligned}
\]

где $d_{j}=C_{j x x}+2 C_{j+1 x}, j=1, \ldots, N, d_{N}=C_{N x x}$, имеет вид многочлена но $\xi^{-1}$ степени $N$. Однако все $d_{i}, j=1, \ldots, N$, должны

равняться нулю, поскольку иначе можно было бы добавить $w(\mathbf{x}, \zeta)$ к $v(\mathbf{x}, \zeta)$ и сумма $v(\mathbf{x}, \zeta)+w(\mathbf{x}, \zeta)$ удовлетворяла бы $(3.130)$ и (3.133). Однако $v(\mathbf{x}, \varepsilon)$ единственно и, следовательно, $w(\mathbf{x}, \xi) \equiv 0$. Таким образом, $v(\mathbf{x}, \zeta)$ удовлетворяет (3.1) с $q=$ $=-2 C_{1 x}$. В качестве упражнения покажите с помощью аналогичных рассуждений, что
\[
v_{t_{3}}-\frac{q_{x}}{4} v-\left(\zeta^{2}-\frac{q}{2}\right) v_{x}=0 .
\]

Обратите серьезное внимание на эти рассуждения. Аргументы такого рода, использующие единственность функций, вновь и вновь возникают в стройной теории, созданной И. М. Кричевером для нахождения конечнозонных решений семейства КдФ.

Рациональные решения возникают как специальный предельный случай многосолитонных. Следует устремить все $\zeta_{k}$ к нулю согласованным образом, и коэффициент пропорциональности в (3.133) становится равным (-1)N. Причина этого станет вам ясной, если вы проведете эти вычисления. Возьмем $N=1$ и применим (3.133),
\[
e^{H\left(\xi_{1}\right)}\left(1+\frac{C_{1}}{i \zeta_{1}}\right)=e^{2 \xi_{1} \bar{x}_{1}} e^{H\left(-\zeta_{1}\right)}\left(1–\frac{C_{1}}{i \zeta_{1}}\right) .
\]

Теперь разложим вблизи $\zeta_{1}=0$. Для баланса членов порядка $\zeta_{1}^{-1}$ необходимо, чтобы $\exp \left(2 i \zeta_{1} \bar{x}_{1}\right) \rightarrow-1$. Это соответствует сдвигу фазы $\bar{x}_{1}=\pi / 2 \xi_{1}$. Переходя к пределу $\xi_{1} \rightarrow 0$, мы получаем $C_{1} x+1=0$ или $C_{1}=-1 / x=-(d / d x) \ln x$. Следовательно,
\[
q=2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} \ln x=-\frac{2}{x^{2}} .
\]

Читателю предлагается прошерить, что для $N=2$
\[
q=2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} \ln \left(x^{3}+3 t\right) .
\]

Предельный переход утомителен, но несложен. $N$-фазное рациональное рсшение определяется формулой
\[
q=2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} \ln \tau_{N}
\]

где $\tau_{N}$ проще всего получается последовательным применением преобразования Бэклунда (4.107).

Конечнозонные решения и их связь с фиксированной римановой поверхностью. Мы теперь переходим к конечнозонным решениям, специальным предельыым случаем которых являются многосолитонные решения. Название же возникло в теории

уравнения (3.1) с периодическими граничными условиями. Если задано периодическое по $x q(x)$ с интервалом периодичности $[0, P]$, то известно, что спектр (набор таких $\zeta^{2}=\lambda$, при которых по крайней мере одна из собственных функций задачи (3.1) периодична или антипериодична) состоит из дискретного набора $\lambda_{0}<\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}<\lambda_{3} \leqslant \lambda_{4} \ldots<\lambda_{2 n-1} \leqslant \lambda_{2 n} \ldots\left(\lambda_{0}, \lambda_{3}, \lambda_{4}, \lambda_{7}, \lambda_{8}, \ldots\right.$ соответствуют периодическим собственным функциям, а $\lambda_{1}, \lambda_{2}$, $\lambda_{5}, \lambda_{6}, \ldots$ – антипериодическим). Зоны ( $\lambda_{2 n-1}, \lambda_{2 n}$ ), которые могут иметь и нулевую длину, называются зонами неустойчивости, поскольку в этих областях соответствующие блоховские собственные функции, определяемые условиями
\[
\begin{array}{l}
\psi_{ \pm}(x, \zeta)=1, \quad x=x_{0}, \quad 0 \leqslant x_{0} \leqslant P, \quad x_{0} \text { фиксировано, } \\
\psi_{ \pm}(x+P, \zeta)=\rho \psi_{ \pm}(x, \zeta),
\end{array}
\]

экспоненциально растут по $x$ (г. е. $\rho$, зависящее от $\zeta$, по абсолютной величине больше единицы). Если потенциал $q(x)$ таков, что лишь конечное число зон неустойчивости имеет ненулевую длину, то он называется $N$-зонным. Поскольку каждый поток из семейства КдФ сохраняет спектр, $q\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)$ остается $N$-зонным потенциалом при всех значениях $t_{3}, t_{5}, \ldots$ и, как мы увидим, является периодическим по всем временным переменным решением. Общее решение периодической задачи возникает как предел $N$-зонного с $N \rightarrow \infty$. Читатель может получить дополнительную информацию в [29].

Класс решений, исследуемый нами в этом разделе, возникает при ослаблении требования пернодичности $q\left(x, t_{3}, \ldots\right)$ по $x$ с фиксированным периодом $P$. Возникающее в результате $N$-зонное решение будет квазипериодическим по $x$ и по всем временам $t_{3}, \ldots, t_{2 N+1}$. Начнем мы с того, что перепишем уравнения (3.1) и (3.128) системы в виде
\[
\begin{array}{c}
V_{x}=\left(\begin{array}{cc}
-i \zeta & q \\
-1 & i \zeta
\end{array}\right) V=Q^{(1)} V, \\
V_{t_{3}}=\left(\begin{array}{cc}
-i \zeta^{3}+\frac{i g \zeta}{2}-\frac{q_{x}}{4} & \zeta^{2} q+\frac{i q_{x} \tau}{2}-\frac{q_{x x}+2 q^{2}}{4} \\
-\zeta^{2}+\frac{q}{2} & i \zeta^{3}-\frac{i q \zeta}{2}+\frac{q_{x}}{4}
\end{array}\right) V=Q^{(3)} V
\end{array}
\]

и в общем случае
\[
V_{t_{2 N+1}}=Q^{(2 N+1)} V .
\]

Предположим, что нам нужно найти решение для
\[
q_{t_{3}}=-\frac{1}{4}\left(q_{x x x}+6 q q_{x}\right),
\]

т. е. условия совместности (3.138) и (3.139) в виде $q\left(X=x-c t_{3}\right)$. Пусть $X=x-c t_{3}, T=t_{3}$, тогда (3.138), (3.139) принимают вид
\[
V_{X}=Q^{(1)} V, \quad V_{T}=\left(Q^{(3)}+c Q^{(1)}\right) V .
\]

Однако матрица коэффициентов зависит только от $X$, и можно решить уравнение по $T$, разделяя переменные, $V=U e^{y T}$, после чего (3.142) дает
\[
\begin{array}{l}
U_{X}=Q^{(1)} U, \\
y U=\left(Q^{(3)}+c Q^{(1)}\right) U=Q U .
\end{array}
\]

Условие совместности (3.143), (3.144) имеет лаксов вид
\[
Q_{X}=\left[Q^{(1)}, Q\right]
\]

или, после раскрытия,
\[
q_{X X X}+6 q q_{X}-4 c q_{X}=0
\]

и допускает решения
\[
Q(X, \zeta)=U(X, \zeta) Q\left(X_{0}, \zeta\right) U^{-1}(X, \zeta),
\]

где связь $U$ с $Q^{(\mathrm{l})}$ определяется в (3.143). Следовательно, характеристический многочлен для $Q$ не зависит от $X$ и
\[
R(y, \zeta)=\operatorname{det}(Q-y I)=0
\]

является алгебраической кривой с постоянными по $X$ коэффициентами. В нашем случае (3.148) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
y^{2}=h^{2}+e f, \quad Q=\left(\begin{array}{cc}
h & e \\
f & -h
\end{array}\right) \\
R(y, \zeta)=-\lambda^{3}-2 c \lambda^{2}+\lambda\left(\frac{q_{X X}+3 q^{2}}{4}-c q-c^{2}\right)+ \\
+\left(\frac{q_{X}^{2}}{16}+\left(\frac{q}{2}-c\right)\left(-\frac{q_{X X}+2 q^{2}}{4}+c q\right)\right),
\end{array}
\]

где $\lambda=\zeta^{2}$. Но из (3.146)
\[
-\frac{q_{X X}+3 q^{2}}{4}+c q=E_{1}
\]

и
\[
-\frac{q_{X}^{2}}{16}-\frac{q^{3}}{8}+\frac{c q^{2}}{4}-\frac{q E_{1}}{2}=E_{2},
\]

откуда
\[
y^{2}=-\lambda^{3}-2 c \lambda^{2}-\left(E_{1}+c^{2}\right) \lambda+\left(E_{2}+c E_{1}\right) .
\]

Уравнение (3.149) определяет риманову поверхность первого рода (топологически эквивалентную тору или бублику), которая не зависит от $X$.

Обратно, добавим к (3.138), (3.139) связь $y V=\left(Q^{(3)}+c Q^{(1)}\right) V$, тогда $q$ зависит от $x$ и $t_{3}$ только в комбинации $X=x-c t_{3}$ и выполняется (3.146). Посмотрим на это с более общей точки зрения и добавим к списку (3.138) – (3.140) связь
\[
y V=Q V, \quad Q=\left(\begin{array}{cc}
h & e \\
f & -h
\end{array}\right)
\]
$\mathrm{c}$
\[
Q=\sum_{0}^{N} u_{2 r+1} Q^{(2 r+1)}, \quad Q^{(2 r-1)}=\left(\begin{array}{cc}
h_{r} & e_{r} \\
f_{r} & -h_{r}
\end{array}\right),
\]

где $u_{2 r+1}$ – константы. Дифференцируя (3.150) и пользуясь (3.138) и тем, что
\[
Q_{t_{2 j+1}}^{(1)}-Q_{x}^{(2 j+1)}+\left[Q^{(1)}, Q^{(2 j+1)}\right]=0,
\]

убеждаемся, что
\[
\sum_{0}^{N} u_{2 r+1} Q_{t}^{(1)}=0
\]

или
\[
\sum_{0}^{N} u_{2 r+1} q_{2 r+1}=0
\]

Можно смотреть на (3.153) двояко. С одной стороны, как дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка по $x, t_{3}, t_{5}, \ldots, t_{2 N+1}$, оно означает, что $q$ является функцией от $N$ фаз, образованных из соотношений
\[
\frac{d x}{u_{1}}=\frac{d t_{3}}{u_{3}}=\ldots=\frac{d t_{2 N+1}}{u_{2 N+1}},
\]

линейных по $x, t_{3}, \ldots, t_{2 N+1}$. Однако мы можем смотреть на (3.153) как на нелинейное автономное обыкновенное дифференциальное уравнение по $x$ порядка $2 N+1$; заменим $q_{t_{2 r+1}}$ на
\[
\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta H_{2 r+1}}{\delta q}=\frac{\partial}{\partial x} L^{r} q,
\]

где оператор $L$ определен в (3.12). Поэтому $N$-зонное решение $q\left(x, t_{3}, \ldots, t_{2 N+1}\right)$ со связанными согласно (3.154) независимыми переменными принимает вид автономного обыкновенного диф-

ференциального уравнения на $q$ как функцию $x$ :
\[
\sum_{0}^{N} u_{2 r+1} L^{r} q=\text { const. }
\]

Уравнение (3.156) известно как уравнение Лакса-Новикова. Поскольку все потоки коммутируют и совместны с (3.156), уравнение (3.156) описывает форму $N$-зонного решения для всех времен $t_{1}, t_{3}, t_{5}, \ldots, t_{2 N-1}$. Mы вскоре увидим, что эти времена параметризуют его решения. Более того, связанный с временем $t_{2 m+1}, m \geqslant N$, поток
\[
q_{t_{2 m+1}}=\frac{\partial}{\partial x} L^{m} q
\]

может быть записан как линейная комбинация потоков $q_{t_{2 r+1}}$, $r=0, \ldots, N-1 \quad\left(t_{1}=x\right)$ с помощью (3.156). Поэтому $N$-зонныс решения — это решения не только для первых $N$ членов семейства КдФ, но и для всей ҚдФ-иерархин.

Новые координаты и их зависимость от времени. Қак же нам получить эти решения? В методе обратной задачи мы отправлялись от уравнения по $x$ (3.138) и получали из него данные рассеяния, эволюция которых во времени находилась из (3.139), (3.140). В периодической по $x$ задаче мы можем пойти по этому же пути, хотя я уже упоминал, что найти временну́ю динамику этим способом затруднительно, поскольку у нас нет точки $\infty$ $(x= \pm \infty)$, в которой было бы известно $q$ в любой момент времени. Однако при исследовании $N$-зонного решения с ослабленным требованием периодичности по $x$ (квазипериодичность) удобно начинать не с (3.138), а с алгебраической системы уравнений (3.150). Мы немедленно получаем условие существования нетривиальных решений $V$ :
\[
y^{2}=\operatorname{det} Q=h^{2}+e f=-\prod_{0}^{2 N}\left(\lambda-\lambda_{f}\right)
\]

Уравнение (3.158), характеристический многочлен для $Q$, является алгебраической кривой в $(y, \lambda)$ и определяет гиперэллиптическую риманову поверхность рода $N$. Определитель матрицы $Q$ – это многочлен по $\lambda$ степени $2 N+1$. Легко проверить, что старший коэффициент равен -1 , и мы предположим, что его корни $\lambda_{j}, j=0, \ldots, 2 N$, вещественны. Риманова поверхность $R$ играет ту же роль для конечнозонных решений, что и спектр для начальной задачи. Первым и важнейшим ее свойством является ее независимость от $x, t_{1}, t_{3}, \ldots$, т. е. она – интеграл движения. Чтобы убедиться в этом, продифференцируем (3.150)

по любому из времен и получим
\[
Q_{t_{2 r+1}}=\left[Q^{(2 r+1)}, Q\right]
\]

с решением
\[
Q=V Q_{0} V^{-1},
\]

где $Q_{0}$ не зависит от $x$ и $t_{1}, t_{3}, t_{5}, \ldots$. Поэтому характеристический многочлен $Q$ действительно является интегралом движения. Как следствие, корни $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 N}$ многочлена $\operatorname{det} Q$-также интегралы движения, и дяя $q$, периодического по $x$, представляют собой простой спектр задачи (3.1) для периодических и антипериодических граничных условий.

Далее введем новые переменные $\mu_{j}, j=1, \ldots, N$, являющиеся корнями $f(\lambda),(2,1)$-элеиента $Q$ (см. (3.150)). (В нашем примере (3.144) $N=1, f=-\lambda+q / 2-c$ и есть только одно $\mu$, равное $q / 2-c$.) Для выяснения свойств этих переменных нужны некоторые вычисления. Если мы переведем (3.159) в три уравнения для $h_{k}, e_{k}, f_{k}$, вспомнив, что
\[
Q^{(2 k-1)}=\left(\begin{array}{cc}
h_{k} & e_{k} \\
f_{k} & -h_{k}
\end{array}\right),
\]

то для полиномов $h, e, f$ получим
\[
\begin{array}{l}
h_{x}=q f+e, \\
e_{x}+2 i \zeta e=-2 h q, \\
f_{x}-2 i \zeta f=-2 h,
\end{array}
\]

и для $h_{t_{k}}, e_{t_{k}}, f_{t_{k}}$ получаются уравнения, из которых нам нужно только первое:
\[
h_{t_{2 k-1}}=e_{k} f-f_{k} e .
\]

Теперь несложные вычисления показывают, что из (3.161) следует
\[
y^{2}=h^{2}+e f=-\frac{1}{2} f f_{x x}+\frac{1}{4} f_{x}^{2}-(\lambda+q) f^{2},
\]

и поскольку $f$ всегда вещественно, $y^{2}\left(\mu_{f}\right)=\frac{1}{2} f_{x}^{2}\left(\lambda=\mu_{f}\right)>0$. Следовательно, корни $f$ лежат между $\lambda_{2 k-1}$ и $\lambda_{2 k}, k=1, \ldots, N$, и мы перенумеруем их так, чтобы $\lambda_{2 k-1} \leqslant \mu_{k} \leqslant \lambda_{2 k}, k=1, \ldots, N$,
\[
f(\lambda)=-\prod_{1}^{N}\left(\lambda-\mu_{i}\right) \text {. }
\]

Теперь, сравнивая коэффициенты при $\lambda^{2 N}$, получим из (3.162), (3.163), (3.164)
\[
q=-\sum_{0}^{2 N} \lambda_{I}+2 \sum_{1}^{N} \mu_{f}
\]

Проверим это для $N=1: \mu=q / 2-c$ и $q(x)=-\lambda_{0}-\lambda_{1}-\lambda_{2}+$ $+q(x)-2 c$; но мы видели, что сумма корней равна $-2 c$, и поэтому выполняется (3.165).

Все $\mu_{j}$ содержатся внутри интервалов $\left(\lambda_{2 j-1}, \lambda_{2 j}\right.$ ) и движутся при изменении $x, t_{3}, \ldots, t_{2 N+1}$. Сейчас мы найдем эту зависимость. Поскольку $h^{2}+$ ef постоянно, то
\[
2 h h_{t_{2 k-1}}+e f_{t_{2 k-1}}+e_{t_{2 k-1}} f=0 .
\]

При $\lambda=\mu_{j}$, используя (3.162), получим из (3.166)
\[
2 h\left(\mu_{j}\right)\left(-e f_{k}\left(\mu_{j}\right)\right)+e f_{t_{2 k-1}}\left(\mu_{j}\right)=0 .
\]

Вспоминая (3.164), имеем
\[
f_{t_{2 k-1}}\left(\mu_{j}\right)=-\mu_{t_{2 k-1}} \prod_{l
eq j}\left(\mu_{i}-\mu_{t}\right)
\]

и из (3.158)
\[
h\left(\mu_{f}\right)=\left(\prod_{l=0}^{i 2 N}\left(\lambda_{l}-\mu_{l}\right)\right)^{1 / 2} .
\]

Поэтому
\[
\mu_{j t_{2 k-1}}=\mp 2 \frac{\left(\prod_{0}^{2 N}\left(\lambda_{l}-\mu_{j}\right)\right)^{1 / 2}}{\prod_{l
eq j}\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)} f_{k}\left(\mu_{j}\right), \quad k=1, \ldots, N,
\]

и мы получаем зависимость $\mu_{j}$ от $t_{1}=x, t_{3}, \ldots, t_{2 N-1}$. В частности, для $k=1\left(t_{1}=x\right)$
\[
\mu_{j x}=\mp \frac{\left(\prod_{0}^{2 N}\left(\lambda_{l}-\mu_{f}\right)\right)^{1 / 2}(-1)}{\prod_{l
eq l}\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)} .
\]

Для $k=2$, т. е. для потока КдФ,
\[
\mu_{j t_{3}}=\mp \frac{\left(\prod_{0}^{2 N^{2}}\left(\lambda_{l}-\mu_{j}\right)\right)^{1 / 2}}{\prod_{l
eq j}\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)}\left(\frac{q}{2}-\mu_{j}\right),
\]

и $q$ следует выразить через $\lambda_{i}$ и $\mu_{i}$ с помощью (3.165).

Отображение Абеля из римановой поверхности в многообразие Якоби. На первый взгляд уравнения (3.167) выглядят ужасно. Тем не менее мы собираемся показать, что после некоторых манипуляций в них начнут проявляться порядок и структура. Вначале я напомню, что при равном единице $u_{2 N+1}$
\[
f=u_{1} f_{1}+u_{3} f_{2}+\ldots+u_{2 N-1} f_{N}+f_{N+1},
\]

где
\[
f_{k}=\lambda^{k-1} L^{(0)}(-1)+\lambda^{k-2} L^{1}(-1)+\ldots+\lambda^{0} L^{k-1}(-1) .
\]

В (3.171) $L-$ это оператор (3.12), а $L^{0}(-1)=-1 L(-1)=q / 2$. Отметим, что $f_{2}=q / 2-\lambda$. Как это можно увидеть? Заметим, что если записать $t$-уравнения (3.3) в виде системы с $v_{2}=v$,
\[
\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right)_{t_{2 k-1}}=\left(\begin{array}{cc}
h_{k} & e_{k} \\
f_{k} & -h_{k}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right),
\]

то тогда $f_{k}=B^{(k)}=B_{0} \lambda^{k-1}+\ldots+B_{k-1}$, где $B_{r}$ определены в (3.13). Кроме того, поскольку
\[
f(\lambda)=-\prod_{j=1}^{N}\left(\lambda-\mu_{j}\right)
\]

то сравнивая коэффициенты при различных степенях $\lambda$, получаем
\[
\begin{array}{l}
S_{1}=L(-1)+u_{2 N-1} L(-1), \\
-S_{2}=L^{2}(-1)+u_{2 N-1} L^{1}(-1)+u_{2 N-3} L^{0}(-1), \\
\vdots \\
(-1)^{N=1} S_{N}=L^{N}(-1)+u_{2 N-1} L^{N-1}(-1)+\ldots+u_{1} L^{0}(-1),
\end{array}
\]

где $\left\{S_{r}\right\}_{r=1}^{N}$ – симметрические многочлены от корней $\mu_{k}$ :
\[
S_{1}=\sum \mu_{k}, \quad S_{2}=\sum_{k
eq t} \mu_{k} \mu_{i}, \ldots, \quad S_{N}=\mu_{1} \ldots \mu_{N} .
\]

И наконец, удобно оиределить последовательность $\left\{A_{r}\right\}_{1}^{\infty}$ соотношением
\[
\left(1-\frac{u_{2 N-1}}{\lambda}+\frac{u_{2 N-3}}{\lambda^{2}}+\ldots+(-1)^{N} \frac{u_{1}}{\lambda^{N}}\right)^{-1}=\sum_{0} \frac{A_{r}}{\lambda^{r}} .
\]

Вот первые несколько:
\[
\begin{array}{l}
A_{0}=1, \quad A_{1}=u_{2 N-1}, \quad A_{2}=-u_{2 N-3}+u_{2 N-1}^{2}, \\
A_{3}=u_{2 N-5}-2 u_{2 N-1} u_{2 N^{\prime}-3}+u_{2 N-1}^{3},
\end{array}
\]

При этих определениях можно обратить (3.173) и получить
\[
\begin{array}{l}
L(-1)=S_{1}+A_{1}, \\
-L^{2}(-1)=S_{2}+A_{1} S_{1}+A_{2}, \\
L^{3}(-1)=S_{3}+A_{1} S_{2}+A_{2} S_{1}+A_{3}, \\
\vdots \\
(-1)^{N-1} L^{N}(-1)=S_{N}+A_{1} S_{N-1}+\ldots+A_{N} .
\end{array}
\]

Отметим, что первое уравнение (3.177) совпадает с (3.165): $\frac{1}{2} A_{1}=\frac{1}{2} u_{2 N-1}=-\sum_{0}^{2 N} \lambda_{j}$, поскольку $\lambda_{j}$ – это корни $h^{2}+e f$.
Теперь исследуем (3.167) и запишем это уравнение так:
\[
\frac{d \mu_{j}}{y\left(\mu_{i}\right)}=\frac{2 f_{k}\left(\mu_{j}\right)}{\prod_{l
eq j}\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)} d t_{2 k-1} .
\]

Введем для точки гиперэллиптической римановой поверхности $R$
\[
y^{2}(\lambda)=\prod_{0}^{2 N}\left(\lambda_{l}-\lambda\right)
\]

координаты $(y, \lambda)$. Далее образуем $N$ линейно независимых голоморфных дифференциалов над $R$
\[
\omega_{s}(\lambda)=\frac{\lambda^{s} d \lambda}{y(\lambda)}, \quad s=0, \ldots, N-1 .
\]

Из (3.178) получаем
\[
\begin{array}{l}
d \varphi_{s}=\sum_{j=1}^{N} \omega_{s}\left(\mu_{j}\right)=\sum_{j=1}^{N} \frac{\mu_{j}^{s} d \mu_{j}}{y\left(\mu_{j}\right)}=\sum_{j=1}^{N} \frac{\mu_{j}^{s} \sum_{1}^{N} \mu_{f t_{2 k-1}} d t_{2 k-1}}{y\left(\mu_{j}\right)}= \\
=2 \sum_{k=1}^{N} d t_{2 k-1} \sum_{j=1}^{N} \frac{\mu_{j}^{s} f_{k}\left(\mu_{j}\right)}{\prod_{l
eq j}\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)}= \\
=2 \sum_{k=1}^{N} d t_{2 k-1} \sum_{j=1}^{N} \frac{\mu_{j}^{s}\left(\mu_{j}^{k-1} L^{0}(-1)+\mu\right.}{\prod_{l
eq j}} \frac{\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)}{\left.(-1)+\ldots+L^{k-1}(-1)\right)}, \\
s=0, \ldots, N-1 .
\end{array}
\]

Мы получили замечательный результат: величины
\[
\sum_{j=1}^{N} \frac{\mu^{\varepsilon} f_{k}\left(\mu_{j}\right)}{\prod_{l
eq j}\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)}
\]

не зависят от $x, t_{3}, \ldots, t_{2 r-1}, \ldots$. Поэтому можно легко проинтегрировать (3.180), поскольку $\int d \varphi_{s}=\varphi_{s}, \int d t_{2 k-1}=t_{2 k-1}$.
Для доказательства нам нужно воспользоваться тем, что
\[
I_{s}=\sum_{j=1}^{N} \frac{\mu_{j}^{s}}{\prod_{l
eq j}\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)}=\delta_{s, N-1} \text { для } s \leqslant N-1
\]

и что оставшиеся члены последовательности $I_{N}, I_{N+1}, \ldots, I_{2 N-1}$ удовлетворяют рекуррентным соотношениям
\[
\begin{array}{l}
I_{N}=S_{1} I_{N-1}, \\
I_{N+1}=S_{1} I_{N}-S_{2} I_{N-1} \\
I_{N+2}=S_{1} I_{N+1}-S_{2} I_{N}+S_{3} I_{N-1} \\
\vdots \\
I_{2 N-1}=S_{1} I_{2 N-2}-S_{2} I_{2 N-3}+\ldots+(-1)^{N-1} S_{N} I_{N-1}
\end{array}
\]

Доказательство этого я оставляю читателю в качестве упражнения, а (3.182) доказывается рассмотрением
\[
\frac{1}{2 \pi i} \int_{C} \frac{z^{s} d z}{\prod_{l=1}^{N}\left(z-\mu_{l}\right)},
\]

где $C$ – бесконечноудаленная окружность.
Доказательство же (3.183) получается вычитанием соответствующих кратных $z^{p} \prod_{1}^{N}\left(z-\mu_{k}\right), p=0, \ldots, r$ из числителя $z^{N+r}$ для обеспечения сходимости интеграла при $|z| \rightarrow \infty$.

Показать справедливость (3.181) проще всего, вычисляя несколько первых выражений. Для $k=1$
\[
\sum_{i=1}^{N} \frac{\mu_{j}^{s}(-1)}{\prod_{l
eq i}\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)}=-\delta_{s, N-1}
\]

для $k=2$, пользуясь (3.183), (3.182) и первым из уравнений (3.177), получаем
\[
\sum_{j=1}^{N} \frac{\mu_{j}^{s+1}(-1)+L(-1) \mu_{j}^{s}}{\prod_{l
eq j}\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)}=\left\{\begin{array}{ll}
0, & s \leqslant N-3, \\
-1, & s=N-2, \\
A_{1}, & s=N-1 .
\end{array}\right.
\]

Для $k=3$, заменяя $L(-1), L^{2}(-1)$ из (3.177),
\[
\sum_{j=1}^{N} \frac{\mu_{j}^{s+2}(-1)+L(-1) \mu_{j}^{s+1}+L^{2}(-1) \mu_{j}^{s}}{\prod_{l
eq j}\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)}=\left\{\begin{array}{ll}
0, & s \leqslant N-4, \\
-1, & s=N-3, \\
A_{1}, & s=N-2, \\
-A_{2}, & s=N-1,
\end{array}\right.
\]

поскольку и $-I_{N+1}+S_{1} I_{N}-S_{2} I_{N-1}$, и $I_{N}-S_{1}$ равны нулю вслед ствие (3.183). Теперь картина ясна, и по индукции легко показать, что (строки $s=0, \ldots, N-1$, столбцы $k=1, \ldots, N$ )
\[
M_{s k}=\sum_{j=1}^{N} \frac{\mu_{j}^{s} f_{k}\left(\mu_{j}\right)}{\prod_{l
eq j}\left(\mu_{j}-\mu_{l}\right)}=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & \ldots & -1 \\
0 & 0 & & A_{1} \\
& & & -A_{2} \\
\vdots & -1 & & \vdots \\
-1 & A_{1} & & A_{N-1}
\end{array}\right) .
\]

Теперь вернемся к (3.180) и проинтегрируем, поскольку теперь переменные разделяются. Из правой части получаем
\[
2 t_{2 k-1} M_{s k}, \quad s=0, \ldots, N-1, \quad k=1, \ldots, N, \quad t_{1}=x .
\]

Левую часть, а именно $\sum_{j=1}^{N} \omega_{s}\left(\mu_{j}\right)$, проинтегрируем от фиксированной точки на римановой поверхности $p_{0}\left(y\left(\mu_{0}\right), \mu_{0}\right)$ до $p_{i}\left(y\left(\mu_{j}\right), \mu_{j}\right)$ :
\[
\varphi_{s}\left(p_{1}, \ldots, p_{N}\right)=\sum_{j=1}^{N} \int_{p_{j}}^{p_{j}} \omega_{s}\left(\mu_{j}\right)=2 \sum_{k=1}^{N} t_{2 k-1} M_{s k} .
\]

Фазы $\varphi_{s}\left(p_{1}, \ldots, p_{N}\right)$ – это просто линейные комбинации $x, t_{3}, \ldots$ $\ldots, t_{2 N-1}$.

Однако подождите! Интегралы в левой части (3.187) неоднозначно определены, поскольку не зафиксированы пути интегрирования. Рассмотрим рис. 6 с контурами $\left\{a_{j}\right\}_{1}^{N},\left\{b_{j}\right\}_{1}^{N}$. Контур $a_{r}$ окружает разрез между точками ветвления $\lambda_{2 r-1}, \lambda_{2 r}$. Контур

же $b_{s}$ приходит из $-\infty$ к разрезу $\left(\lambda_{2 r-1}, \lambda_{2 r}\right)$, там переходит на другой лист и возвращается обратно. Поэтому левые части определены с точностью до сумм вида
\[
\sum_{1}^{N} n_{k} \int_{a_{k}} \omega_{s}\left(\mu_{j}\right)+\sum_{1}^{N} m_{k} \int_{b_{k}} \omega_{s}\left(\mu_{j}\right) .
\]

Рис. 6. Контуры $\left\{a_{i}\right\},\left\{b_{i}\right\}$ на $\lambda$-плоскости.
Удобно следующим образом нормировать замкнутые интегралы по циклам $a_{k}$ : положим
\[
U_{r}=\sum_{0}^{N-1} C_{r s} \omega_{s}
\]

и выберем $C_{m s}$ так, чтобы
\[
\int_{a_{n}} U_{m}=\delta_{n m}
\]

Теперь определим фазы $\theta_{r}$ :
\[
\theta_{r}\left(p_{1}, \ldots, p_{N}\right)=\sum_{j=1}^{N} \int_{p_{0}}^{p_{j}} U_{r}\left(\mu_{j}\right),
\]

и из (3.187) получаем
\[
\begin{aligned}
\theta_{r} & =\sum_{0}^{N-1} C_{r s} \varphi_{s}=2 \sum_{k=1}^{N} t_{2 k-1} N_{r k}, \\
C & =\left(C_{r s}\right),
\end{aligned}
\]

где $N$ – это произведение $C M$. Перепишем (3.188) как $\boldsymbol{\theta}=2 N \mathrm{t}$, где $\boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{N}\right)$ и $\mathbf{t}=\left(t_{1}, \ldots, t_{2 N-1}\right)$. Теперь, когда мы проинтегрировали уравнения, нам осталось вычислить всевозможные симметрические многочлены от $\mu_{i}$, определяющие $q, L q, \ldots$ $\ldots, L^{N} q$, которыми мы интересуемся. Вопрос состоит в следующем: заданы
\[
\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{N}
\]

и требуется определить $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{N}{ }^{1}$ ) и, в частности,
\[
\sum_{1}^{N} \mu_{j}=\frac{1}{2} q+\frac{1}{2} \sum_{0}^{2 \cdot v} \lambda_{j} .
\]

Для ответа на этот вопрос нам следует обратиться к свойствам отображения, носящего имя Абєля,
\[
\left(p_{1}, \ldots, p_{N}\right) \rightarrow\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{N}\right),
\]

и к его обращению. Поскольку любая перестановка набора $(1, \ldots, N)$ в любой части (3.189) дает те же $\theta_{j}$, отображение осуществляется из $R \times R \times \ldots \times R / P_{N}$, т. е. из прямого произведения $N$ идентичных римановых поверхностей, профакторизованных по модулю $P_{N}$ (группы перестановок $N$ символов), в $C^{N}$, т. е. в $N$-мерное комплексное пространство. Поскольку правая часть зависит от путей интегрирования, к $\theta_{r}$ можно добавить любую линейную комбинацию $\sum_{i=1}^{N}\left(n_{i} \int_{a_{i}} U_{r}+m_{i} \int_{b_{i}} U_{r}\right)$, где $n_{i}$, $m_{i}$ – целые. Назовем
\[
\int_{b_{i}} U_{r}=B_{r l}
\]

и примем без доказательства, что ( $\left.B_{r i}\right)$ – симметричная матрица и ее мнимая часть положительно определена [85]. Вспомним нормировку $\int_{a_{i}} U_{r}=\delta_{r i}$. Поэтому возникающая в результате точка в $C^{N}$ определена с точностью до целочисленной линейной комбинации из $2 N$ векторов:
\[
\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
\cdot \\
\cdot \\
0
\end{array}\right), \ldots,\left(\begin{array}{l}
0 \\
\cdot \\
\cdot \\
0 \\
1
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c}
B_{11} \\
B_{12} \\
\cdot \\
\cdot \\
B_{1 N}
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c}
B_{1 N} \\
\cdot \\
\cdot \\
B_{N N}
\end{array}\right) .
\]

Эти $2 N$ векторов порождают решетку $\Lambda$ в $C^{N} \simeq R^{2 N}$. Например, при $N=1$ комплексная плоскость покрывается решеткой из параллелограммов периодов, как известно из теории эллиптических функций. Таким образом, ( $p_{1}, \ldots, p_{N}$ ) определена внутри $N$-мерного параллелограмма периодов, внутри которого лежит точка $\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{N}\right)$, и не меняется при ее замене на конгруэнтную
1) Эта задача называется задачей обращения Якоби.- Прим. перев.

точку в другом параллелограмме периодов. Следовательно, симметрические многочлены от $p_{j}$ периодичны по всем $\theta_{k}$, и удобно отождествить противоположные грани параллелограммов периодов. Теперь мы видим, что точка $\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{N}\right)$ живет на $N$-мерном торе, называемом многообразием Якоби кривой (3.148).

Конечнозонное решение для семейства КдФ поэтому эквивалентно линейному потоку на многообразии Якоби. Решение $q\left(x, t_{3}, \ldots\right)$ выражается через риманову $\Theta$-функцию
\[
q\left(x, t_{3}, \ldots\right)=2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln \Theta\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{N}\right)+c,
\]

где
\[
\Theta\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{N}\right)=\sum_{v_{j}, v_{k} \in Z}^{\infty} \exp \left(\sum_{k=1}^{N} 2 \pi i v_{k} \theta_{k}+i \pi \sum_{k, j=1}^{N} B_{k j} v_{k} v_{j}\right) ;
\]

здесь $Z$-множество целых чисел, а $c$-сложная константа [85]. Отметим тесную связь $N$-зонных решений с $N$-солитонными. Отметим также, что $\tau$-функция, определяемая по $q=$ $=2\left(\partial^{2} / \partial x^{2}\right) \ln \tau$, о которой я уже вкратце говорил и которая будет наиболее важной функцией в оставшейся части этих лекций, для конечнозонных потенциалов равна произведению $\Theta$-функции на $e^{(c / 4) x^{2}}$.