Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Что мы собираемся делать. Первой нашей задачей будет получение многосолитонных решений для КдФ-иерархии новым и поучительным способом. Подход этот поучителен тем, что он демонстрирует единую структуру собственных функций $\psi\left(x, t_{2 k+1} ; \zeta\right)$, связанных с многосолитонным решением. В подходящей нормировке они имеют вид произведения многочлена по $\zeta^{-1}$ на простую экспоненту, и при выводе формулы для решения непосредственно используется эта структура. Затем аналогичным способом вводятся рациональные решения, что проясняет их связь с многосолитонными, предельным случаем которых они являются. В обоих случаях $q\left(x, t_{2 k+1}\right)$ задается формулой где $\tau$ — это определитель матрицы $N \times N$, после раскрытия принимающий вид (3.88). В пределе рационального решения $\tau$ является полиномом. Вторая и бо́льшая часть этого раздела посвящена выводу конечнозонных, или иначе многофазных, квазипериодических решений. Это значит, что $q\left(x, t_{2 k+1}\right)$ является периодической функцией $N$ фаз $\theta_{i}, i=1, \ldots, N$, каждая из которых линейна по $x$ и $t_{2 k+1}, \theta_{i}=\sum_{\text {нечетн. } j} c_{i j} t_{j}, t_{1}=x$. Поскольку $c_{i j}$ не обязательно соизмеримы, $q$ лишь квазипериодично по $t_{2 k+1}$ и $x$. Однозонное решение уравнения $К Д \Phi q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0$ имеет вид Я разбил вычисления, связанные с подобными решениями, на три этапа. Сначала я покажу связь $N$-зонного решения с не зависящей от $t_{2 k+1}, k=0, \ldots, N$, римановой поверхностью Потом я введу новые координаты $\mu_{i}, j=1, \ldots, N$, лежащие в фиксированных интервалах $\left(\lambda_{2 j-1}, \lambda_{2 j}\right), j=1, \ldots, N$. Их зависимость от $t_{2 k+1}, k=0, \ldots, N$, определяемая формулой (3.167), получается из простого и красивого вычисления. На первый взгляд эти уравнения не кажутся проще первоначальных, из которых они были выведены. Однако на третьем этапе я покажу, как осуществить отображение из римановой поверхности, на которой лежат $\mu_{j}$, в новое многообразие, называемое многообразием Якоби, так чтобы новые, соответствующие $\mu_{/}$, координаты на многообразии Якоби изменились линейно по всем временам. Решение для $q\left(x, t_{2 k+1}\right)$ имеет вид где $c$-константа, $\theta$-это $\Theta$-функция Римана, а $\theta_{j}=$ $=\sum_{\text {нечетн. } j} c_{i j} t_{j}$, и константы $c$, $c_{i j}$ могут быть определены. Отметим, что решение снова имеет вид $2\left(d^{2} / d x^{2}\right) \ln \tau$. Здесь $\tau=$ $=\theta e^{(c / 4) x^{2}}$. Многосолитонные и рациональные решения. Если вы снова посмотрите на (3.84), вы заметите, что собственная функция $\psi(x, t, \zeta)$ как функция § имеет вид мероморфной функции с полюсами в точках $\zeta=-\xi_{k}=-i \eta_{k}, k=1, \ldots, N$. Можно перенормировать $\Psi(x, t, \zeta)$, умножая (3.84) на $\zeta^{-N} \prod_{1}^{N}\left(\zeta+i \eta_{k}\right)$, после чего получится произведение $e^{i \zeta x}$ на многочлен степени $N$ по $\zeta^{-1}$. Так как перенормировка не затрагивает $x$ и $t$, то $\psi$ попрежнему удовлетворяет (3.1) и (3.92). Исходя из этих наводящих соображений, давайте искать многосолитонные решения сразу для всего семейства КдФ (3.9) (первые три уравнения приведены в (3.14) — (3.16)), отыскивая решения уравнения (3.1) и семейства уравнений (3.3), где в виде ${ }^{1}$ ) Перенос $q_{t_{1}}=q_{x}$ сюда не включен; он может быть вновь введен подстановкой $x+t_{1}$ вместо $x$. Совместность (3.1) и (3.128) гарантирует, что $q\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)$ как функция $t_{3}, t_{5}, \ldots$ удовлетворяет уравнениям семейства КдФ. Подстановка (3.130) в (3.1) и сравнение коэффициентов при различных степенях $\zeta^{-1}$ дает нам соотношение между $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{N}$, с одной стороны, и $q$ и его производными по $x$ — с другой. В самом деле, $C_{1}, C_{2}, \ldots$ $\ldots, C_{N}$ — это первые $N$ членов асимптотического разложения для $v(x, \zeta)$, получающиеся из (3.27). Вот первые два: Тот факт, что $C_{N+r}=0, r \geqslant 1$, означает, что возникающие в результате этой процедуры решения $q\left(x, t_{3}, \ldots\right)$ удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Позже мы вернемся к этому вопросу в настоящем разделе. Поскольку $v(\mathbf{x}, \zeta)\left(\mathbf{x}=\left(x, t_{3}, \ldots\right)\right)$ удовлетворяет (3.1), то же можно сказать и о линейно независимом решении $v(\mathbf{x},-\xi)$. Если мы возьмем $v(\mathbf{x}, \zeta)$ пропорциональным $\psi(x, \zeta)$, определенным в разд. d, то $v(x,-\xi)$ примет вид асимптотического разложения для $\varphi(x, \zeta)$. Мы знаем, что в точках дискретного спектра $\zeta=i \eta_{k}$, $k=1, \ldots, N, \varphi$ пропорционально $\psi$. Определим поэтому функции $C_{1}, \ldots, C_{N}$ из условия, чтобы в несовпадающих точках $\xi=$ $=i \eta_{k}, \eta_{k}>0, k=1, \ldots, N$, выполнялось где $e^{-2 \eta_{k} \bar{x}_{k}}$ коэффициент пропорциональности. Тогда (3.133) превращается в систему $N$ уравнений для $N$ неизвестных, которая легко может быть решена. В результате получим В этой формуле при нечетных При четных $N$ первый столбец состоит из $\operatorname{sh} \theta_{j}$, в остальных столбцах поочередно стоят то сh $\theta_{j}$, то $\operatorname{sh} \theta_{j}$. Фаза $\theta_{j}$ линейна по всем независимым переменным и равна ( $H$ определено в (3.131)) Читатель может теперь легко вычислить несколько первых решений. Для $N=1$ (3.133) имеет вид откуда $C_{1}=\eta_{1}$ th $\theta_{1}, q=-2 C_{1 x}=2 \eta_{1}^{2} \operatorname{sech}^{2} \theta_{1}$, т. е. представляет собой односолитонное решение. Теперь произведем действия в обратном порядке. Рассмотрим $v(\mathbf{x}, \zeta), v(\mathbf{x},-\zeta)$, заданные в (3.130), и потребуем, чтобы выполнялось (3.133). Тогда из всего предыдущего следует, что такое $v(\mathbf{x}, \zeta)$ единственно ( $C_{1}, \ldots, C_{N}$ определяются однозначно). Таким образом, существует одна и только одна функция $v(\mathbf{x}, \zeta)$, удовлетворяющая (3.130) и (3.133). Я теперь утверждаю, что полученная таким образом функция $v(x, \zeta)$ удовлетворяет (3.1) и (3.128). Проверим это прямым вычислением: Поэтому функция $w(\mathbf{x})$, которую мы определим как где $d_{j}=C_{j x x}+2 C_{j+1 x}, j=1, \ldots, N, d_{N}=C_{N x x}$, имеет вид многочлена но $\xi^{-1}$ степени $N$. Однако все $d_{i}, j=1, \ldots, N$, должны равняться нулю, поскольку иначе можно было бы добавить $w(\mathbf{x}, \zeta)$ к $v(\mathbf{x}, \zeta)$ и сумма $v(\mathbf{x}, \zeta)+w(\mathbf{x}, \zeta)$ удовлетворяла бы $(3.130)$ и (3.133). Однако $v(\mathbf{x}, \varepsilon)$ единственно и, следовательно, $w(\mathbf{x}, \xi) \equiv 0$. Таким образом, $v(\mathbf{x}, \zeta)$ удовлетворяет (3.1) с $q=$ $=-2 C_{1 x}$. В качестве упражнения покажите с помощью аналогичных рассуждений, что Обратите серьезное внимание на эти рассуждения. Аргументы такого рода, использующие единственность функций, вновь и вновь возникают в стройной теории, созданной И. М. Кричевером для нахождения конечнозонных решений семейства КдФ. Рациональные решения возникают как специальный предельный случай многосолитонных. Следует устремить все $\zeta_{k}$ к нулю согласованным образом, и коэффициент пропорциональности в (3.133) становится равным (-1)N. Причина этого станет вам ясной, если вы проведете эти вычисления. Возьмем $N=1$ и применим (3.133), Теперь разложим вблизи $\zeta_{1}=0$. Для баланса членов порядка $\zeta_{1}^{-1}$ необходимо, чтобы $\exp \left(2 i \zeta_{1} \bar{x}_{1}\right) \rightarrow-1$. Это соответствует сдвигу фазы $\bar{x}_{1}=\pi / 2 \xi_{1}$. Переходя к пределу $\xi_{1} \rightarrow 0$, мы получаем $C_{1} x+1=0$ или $C_{1}=-1 / x=-(d / d x) \ln x$. Следовательно, Читателю предлагается прошерить, что для $N=2$ Предельный переход утомителен, но несложен. $N$-фазное рациональное рсшение определяется формулой где $\tau_{N}$ проще всего получается последовательным применением преобразования Бэклунда (4.107). Конечнозонные решения и их связь с фиксированной римановой поверхностью. Мы теперь переходим к конечнозонным решениям, специальным предельыым случаем которых являются многосолитонные решения. Название же возникло в теории уравнения (3.1) с периодическими граничными условиями. Если задано периодическое по $x q(x)$ с интервалом периодичности $[0, P]$, то известно, что спектр (набор таких $\zeta^{2}=\lambda$, при которых по крайней мере одна из собственных функций задачи (3.1) периодична или антипериодична) состоит из дискретного набора $\lambda_{0}<\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}<\lambda_{3} \leqslant \lambda_{4} \ldots<\lambda_{2 n-1} \leqslant \lambda_{2 n} \ldots\left(\lambda_{0}, \lambda_{3}, \lambda_{4}, \lambda_{7}, \lambda_{8}, \ldots\right.$ соответствуют периодическим собственным функциям, а $\lambda_{1}, \lambda_{2}$, $\lambda_{5}, \lambda_{6}, \ldots$ — антипериодическим). Зоны ( $\lambda_{2 n-1}, \lambda_{2 n}$ ), которые могут иметь и нулевую длину, называются зонами неустойчивости, поскольку в этих областях соответствующие блоховские собственные функции, определяемые условиями экспоненциально растут по $x$ (г. е. $\rho$, зависящее от $\zeta$, по абсолютной величине больше единицы). Если потенциал $q(x)$ таков, что лишь конечное число зон неустойчивости имеет ненулевую длину, то он называется $N$-зонным. Поскольку каждый поток из семейства КдФ сохраняет спектр, $q\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)$ остается $N$-зонным потенциалом при всех значениях $t_{3}, t_{5}, \ldots$ и, как мы увидим, является периодическим по всем временным переменным решением. Общее решение периодической задачи возникает как предел $N$-зонного с $N \rightarrow \infty$. Читатель может получить дополнительную информацию в [29]. Класс решений, исследуемый нами в этом разделе, возникает при ослаблении требования пернодичности $q\left(x, t_{3}, \ldots\right)$ по $x$ с фиксированным периодом $P$. Возникающее в результате $N$-зонное решение будет квазипериодическим по $x$ и по всем временам $t_{3}, \ldots, t_{2 N+1}$. Начнем мы с того, что перепишем уравнения (3.1) и (3.128) системы в виде и в общем случае Предположим, что нам нужно найти решение для т. е. условия совместности (3.138) и (3.139) в виде $q\left(X=x-c t_{3}\right)$. Пусть $X=x-c t_{3}, T=t_{3}$, тогда (3.138), (3.139) принимают вид Однако матрица коэффициентов зависит только от $X$, и можно решить уравнение по $T$, разделяя переменные, $V=U e^{y T}$, после чего (3.142) дает Условие совместности (3.143), (3.144) имеет лаксов вид или, после раскрытия, и допускает решения где связь $U$ с $Q^{(\mathrm{l})}$ определяется в (3.143). Следовательно, характеристический многочлен для $Q$ не зависит от $X$ и является алгебраической кривой с постоянными по $X$ коэффициентами. В нашем случае (3.148) имеет вид где $\lambda=\zeta^{2}$. Но из (3.146) и откуда Уравнение (3.149) определяет риманову поверхность первого рода (топологически эквивалентную тору или бублику), которая не зависит от $X$. Обратно, добавим к (3.138), (3.139) связь $y V=\left(Q^{(3)}+c Q^{(1)}\right) V$, тогда $q$ зависит от $x$ и $t_{3}$ только в комбинации $X=x-c t_{3}$ и выполняется (3.146). Посмотрим на это с более общей точки зрения и добавим к списку (3.138) — (3.140) связь где $u_{2 r+1}$ — константы. Дифференцируя (3.150) и пользуясь (3.138) и тем, что убеждаемся, что или Можно смотреть на (3.153) двояко. С одной стороны, как дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка по $x, t_{3}, t_{5}, \ldots, t_{2 N+1}$, оно означает, что $q$ является функцией от $N$ фаз, образованных из соотношений линейных по $x, t_{3}, \ldots, t_{2 N+1}$. Однако мы можем смотреть на (3.153) как на нелинейное автономное обыкновенное дифференциальное уравнение по $x$ порядка $2 N+1$; заменим $q_{t_{2 r+1}}$ на где оператор $L$ определен в (3.12). Поэтому $N$-зонное решение $q\left(x, t_{3}, \ldots, t_{2 N+1}\right)$ со связанными согласно (3.154) независимыми переменными принимает вид автономного обыкновенного диф- ференциального уравнения на $q$ как функцию $x$ : Уравнение (3.156) известно как уравнение Лакса-Новикова. Поскольку все потоки коммутируют и совместны с (3.156), уравнение (3.156) описывает форму $N$-зонного решения для всех времен $t_{1}, t_{3}, t_{5}, \ldots, t_{2 N-1}$. Mы вскоре увидим, что эти времена параметризуют его решения. Более того, связанный с временем $t_{2 m+1}, m \geqslant N$, поток может быть записан как линейная комбинация потоков $q_{t_{2 r+1}}$, $r=0, \ldots, N-1 \quad\left(t_{1}=x\right)$ с помощью (3.156). Поэтому $N$-зонныс решения — это решения не только для первых $N$ членов семейства КдФ, но и для всей ҚдФ-иерархин. Новые координаты и их зависимость от времени. Қак же нам получить эти решения? В методе обратной задачи мы отправлялись от уравнения по $x$ (3.138) и получали из него данные рассеяния, эволюция которых во времени находилась из (3.139), (3.140). В периодической по $x$ задаче мы можем пойти по этому же пути, хотя я уже упоминал, что найти временну́ю динамику этим способом затруднительно, поскольку у нас нет точки $\infty$ $(x= \pm \infty)$, в которой было бы известно $q$ в любой момент времени. Однако при исследовании $N$-зонного решения с ослабленным требованием периодичности по $x$ (квазипериодичность) удобно начинать не с (3.138), а с алгебраической системы уравнений (3.150). Мы немедленно получаем условие существования нетривиальных решений $V$ : Уравнение (3.158), характеристический многочлен для $Q$, является алгебраической кривой в $(y, \lambda)$ и определяет гиперэллиптическую риманову поверхность рода $N$. Определитель матрицы $Q$ — это многочлен по $\lambda$ степени $2 N+1$. Легко проверить, что старший коэффициент равен -1 , и мы предположим, что его корни $\lambda_{j}, j=0, \ldots, 2 N$, вещественны. Риманова поверхность $R$ играет ту же роль для конечнозонных решений, что и спектр для начальной задачи. Первым и важнейшим ее свойством является ее независимость от $x, t_{1}, t_{3}, \ldots$, т. е. она — интеграл движения. Чтобы убедиться в этом, продифференцируем (3.150) по любому из времен и получим с решением где $Q_{0}$ не зависит от $x$ и $t_{1}, t_{3}, t_{5}, \ldots$. Поэтому характеристический многочлен $Q$ действительно является интегралом движения. Как следствие, корни $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 N}$ многочлена $\operatorname{det} Q$-также интегралы движения, и дяя $q$, периодического по $x$, представляют собой простой спектр задачи (3.1) для периодических и антипериодических граничных условий. Далее введем новые переменные $\mu_{j}, j=1, \ldots, N$, являющиеся корнями $f(\lambda),(2,1)$-элеиента $Q$ (см. (3.150)). (В нашем примере (3.144) $N=1, f=-\lambda+q / 2-c$ и есть только одно $\mu$, равное $q / 2-c$.) Для выяснения свойств этих переменных нужны некоторые вычисления. Если мы переведем (3.159) в три уравнения для $h_{k}, e_{k}, f_{k}$, вспомнив, что то для полиномов $h, e, f$ получим и для $h_{t_{k}}, e_{t_{k}}, f_{t_{k}}$ получаются уравнения, из которых нам нужно только первое: Теперь несложные вычисления показывают, что из (3.161) следует и поскольку $f$ всегда вещественно, $y^{2}\left(\mu_{f}\right)=\frac{1}{2} f_{x}^{2}\left(\lambda=\mu_{f}\right)>0$. Следовательно, корни $f$ лежат между $\lambda_{2 k-1}$ и $\lambda_{2 k}, k=1, \ldots, N$, и мы перенумеруем их так, чтобы $\lambda_{2 k-1} \leqslant \mu_{k} \leqslant \lambda_{2 k}, k=1, \ldots, N$, Теперь, сравнивая коэффициенты при $\lambda^{2 N}$, получим из (3.162), (3.163), (3.164) Проверим это для $N=1: \mu=q / 2-c$ и $q(x)=-\lambda_{0}-\lambda_{1}-\lambda_{2}+$ $+q(x)-2 c$; но мы видели, что сумма корней равна $-2 c$, и поэтому выполняется (3.165). Все $\mu_{j}$ содержатся внутри интервалов $\left(\lambda_{2 j-1}, \lambda_{2 j}\right.$ ) и движутся при изменении $x, t_{3}, \ldots, t_{2 N+1}$. Сейчас мы найдем эту зависимость. Поскольку $h^{2}+$ ef постоянно, то При $\lambda=\mu_{j}$, используя (3.162), получим из (3.166) Вспоминая (3.164), имеем и из (3.158) Поэтому и мы получаем зависимость $\mu_{j}$ от $t_{1}=x, t_{3}, \ldots, t_{2 N-1}$. В частности, для $k=1\left(t_{1}=x\right)$ Для $k=2$, т. е. для потока КдФ, и $q$ следует выразить через $\lambda_{i}$ и $\mu_{i}$ с помощью (3.165). Отображение Абеля из римановой поверхности в многообразие Якоби. На первый взгляд уравнения (3.167) выглядят ужасно. Тем не менее мы собираемся показать, что после некоторых манипуляций в них начнут проявляться порядок и структура. Вначале я напомню, что при равном единице $u_{2 N+1}$ где В (3.171) $L-$ это оператор (3.12), а $L^{0}(-1)=-1 L(-1)=q / 2$. Отметим, что $f_{2}=q / 2-\lambda$. Как это можно увидеть? Заметим, что если записать $t$-уравнения (3.3) в виде системы с $v_{2}=v$, то тогда $f_{k}=B^{(k)}=B_{0} \lambda^{k-1}+\ldots+B_{k-1}$, где $B_{r}$ определены в (3.13). Кроме того, поскольку то сравнивая коэффициенты при различных степенях $\lambda$, получаем где $\left\{S_{r}\right\}_{r=1}^{N}$ — симметрические многочлены от корней $\mu_{k}$ : И наконец, удобно оиределить последовательность $\left\{A_{r}\right\}_{1}^{\infty}$ соотношением Вот первые несколько: При этих определениях можно обратить (3.173) и получить Отметим, что первое уравнение (3.177) совпадает с (3.165): $\frac{1}{2} A_{1}=\frac{1}{2} u_{2 N-1}=-\sum_{0}^{2 N} \lambda_{j}$, поскольку $\lambda_{j}$ — это корни $h^{2}+e f$. Введем для точки гиперэллиптической римановой поверхности $R$ координаты $(y, \lambda)$. Далее образуем $N$ линейно независимых голоморфных дифференциалов над $R$ Из (3.178) получаем Мы получили замечательный результат: величины не зависят от $x, t_{3}, \ldots, t_{2 r-1}, \ldots$. Поэтому можно легко проинтегрировать (3.180), поскольку $\int d \varphi_{s}=\varphi_{s}, \int d t_{2 k-1}=t_{2 k-1}$. и что оставшиеся члены последовательности $I_{N}, I_{N+1}, \ldots, I_{2 N-1}$ удовлетворяют рекуррентным соотношениям Доказательство этого я оставляю читателю в качестве упражнения, а (3.182) доказывается рассмотрением где $C$ — бесконечноудаленная окружность. Показать справедливость (3.181) проще всего, вычисляя несколько первых выражений. Для $k=1$ для $k=2$, пользуясь (3.183), (3.182) и первым из уравнений (3.177), получаем Для $k=3$, заменяя $L(-1), L^{2}(-1)$ из (3.177), поскольку и $-I_{N+1}+S_{1} I_{N}-S_{2} I_{N-1}$, и $I_{N}-S_{1}$ равны нулю вслед ствие (3.183). Теперь картина ясна, и по индукции легко показать, что (строки $s=0, \ldots, N-1$, столбцы $k=1, \ldots, N$ ) Теперь вернемся к (3.180) и проинтегрируем, поскольку теперь переменные разделяются. Из правой части получаем Левую часть, а именно $\sum_{j=1}^{N} \omega_{s}\left(\mu_{j}\right)$, проинтегрируем от фиксированной точки на римановой поверхности $p_{0}\left(y\left(\mu_{0}\right), \mu_{0}\right)$ до $p_{i}\left(y\left(\mu_{j}\right), \mu_{j}\right)$ : Фазы $\varphi_{s}\left(p_{1}, \ldots, p_{N}\right)$ — это просто линейные комбинации $x, t_{3}, \ldots$ $\ldots, t_{2 N-1}$. Однако подождите! Интегралы в левой части (3.187) неоднозначно определены, поскольку не зафиксированы пути интегрирования. Рассмотрим рис. 6 с контурами $\left\{a_{j}\right\}_{1}^{N},\left\{b_{j}\right\}_{1}^{N}$. Контур $a_{r}$ окружает разрез между точками ветвления $\lambda_{2 r-1}, \lambda_{2 r}$. Контур же $b_{s}$ приходит из $-\infty$ к разрезу $\left(\lambda_{2 r-1}, \lambda_{2 r}\right)$, там переходит на другой лист и возвращается обратно. Поэтому левые части определены с точностью до сумм вида Рис. 6. Контуры $\left\{a_{i}\right\},\left\{b_{i}\right\}$ на $\lambda$-плоскости. и выберем $C_{m s}$ так, чтобы Теперь определим фазы $\theta_{r}$ : и из (3.187) получаем где $N$ — это произведение $C M$. Перепишем (3.188) как $\boldsymbol{\theta}=2 N \mathrm{t}$, где $\boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{N}\right)$ и $\mathbf{t}=\left(t_{1}, \ldots, t_{2 N-1}\right)$. Теперь, когда мы проинтегрировали уравнения, нам осталось вычислить всевозможные симметрические многочлены от $\mu_{i}$, определяющие $q, L q, \ldots$ $\ldots, L^{N} q$, которыми мы интересуемся. Вопрос состоит в следующем: заданы и требуется определить $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{N}{ }^{1}$ ) и, в частности, Для ответа на этот вопрос нам следует обратиться к свойствам отображения, носящего имя Абєля, и к его обращению. Поскольку любая перестановка набора $(1, \ldots, N)$ в любой части (3.189) дает те же $\theta_{j}$, отображение осуществляется из $R \times R \times \ldots \times R / P_{N}$, т. е. из прямого произведения $N$ идентичных римановых поверхностей, профакторизованных по модулю $P_{N}$ (группы перестановок $N$ символов), в $C^{N}$, т. е. в $N$-мерное комплексное пространство. Поскольку правая часть зависит от путей интегрирования, к $\theta_{r}$ можно добавить любую линейную комбинацию $\sum_{i=1}^{N}\left(n_{i} \int_{a_{i}} U_{r}+m_{i} \int_{b_{i}} U_{r}\right)$, где $n_{i}$, $m_{i}$ — целые. Назовем и примем без доказательства, что ( $\left.B_{r i}\right)$ — симметричная матрица и ее мнимая часть положительно определена [85]. Вспомним нормировку $\int_{a_{i}} U_{r}=\delta_{r i}$. Поэтому возникающая в результате точка в $C^{N}$ определена с точностью до целочисленной линейной комбинации из $2 N$ векторов: Эти $2 N$ векторов порождают решетку $\Lambda$ в $C^{N} \simeq R^{2 N}$. Например, при $N=1$ комплексная плоскость покрывается решеткой из параллелограммов периодов, как известно из теории эллиптических функций. Таким образом, ( $p_{1}, \ldots, p_{N}$ ) определена внутри $N$-мерного параллелограмма периодов, внутри которого лежит точка $\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{N}\right)$, и не меняется при ее замене на конгруэнтную точку в другом параллелограмме периодов. Следовательно, симметрические многочлены от $p_{j}$ периодичны по всем $\theta_{k}$, и удобно отождествить противоположные грани параллелограммов периодов. Теперь мы видим, что точка $\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{N}\right)$ живет на $N$-мерном торе, называемом многообразием Якоби кривой (3.148). Конечнозонное решение для семейства КдФ поэтому эквивалентно линейному потоку на многообразии Якоби. Решение $q\left(x, t_{3}, \ldots\right)$ выражается через риманову $\Theta$-функцию где здесь $Z$-множество целых чисел, а $c$-сложная константа [85]. Отметим тесную связь $N$-зонных решений с $N$-солитонными. Отметим также, что $\tau$-функция, определяемая по $q=$ $=2\left(\partial^{2} / \partial x^{2}\right) \ln \tau$, о которой я уже вкратце говорил и которая будет наиболее важной функцией в оставшейся части этих лекций, для конечнозонных потенциалов равна произведению $\Theta$-функции на $e^{(c / 4) x^{2}}$.
|
1 |
Оглавление
|