Цель этой главы — убедить вас в вездесущности и, следовательно, важности уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ) и нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ). Обсуждение этих уравнений займет большую часть главы, а в последнем разделе я упомяну вкратце другие канонические системы.

Уравнение КдФ появляется во всех тех ситуациях, когда в главном порядке возникает гиперболическая система первого порядка плюс малые нелинейные и дисперсионные члены. Это уравнение описывает, как каждый из инвариантов Римана (который в отсутствие нелинейности и дисперсии распространялся бы вдоль соответствующей характеристики без изменений) медленно и независимо меняется вследствие этих влияний. Мы видели пример этого в первой главе. Там механическая система описывалась в первом порядке линейным волновым уравнением, а слабые нелинейность и дисперсия возникали вследствие ангармоничности упругого потенциала и дискретности решетки соответственно. Возмущение, первоначально сосредоточенное внутри пространственного интервала первого порядка длины ${}^1$ ), на временных масштабах первого порядка будет распадаться на идущие влево и вправо компоненты, как и полагается в линейном волновом уравнении. Однако на больших временах и расстояниях, обратно пропорциональных нелинейности и дисперсии, последующая эволюция каждой компоненты будет описываться двумя независимыми уравнениями КдФ. В следующем разделе мы покажем, как появляется КдФ в контексте длинных волн на воде в узком и мелком канале. Я выбрал этот пример по двум причинам. Первая — историческая, вторая состоит в том, что он дает возможность наглядно представить и интуитивно понять контекст, в котором ясно проявляется, как разного рода другие влияния портят интегрируемость КдФ. В частности, мы изучим, что будет происходить с длинными волнами в канале с медленно увеличивающейся или уменьшающейся глубиной.
1) Имеется в виду метод многих масштабов. — Прим. перев.

Отклик волн не будет чисто аднабатическим. Мы выведем также уравнение (или я попрошу вас вывести его в качестве упражнения), моделирующее ситуацию, когда все гребни волн не совсем параллельны линии берега или друг другу. Это уравнение называется уравнением Кадомцева — Петвиашвили (КП), или иногда двумерным уравнением КдФ. Оно также обладает замечательными свойствами. В упражнениях я попрошу вас вывести уравнения для цепочки Тоды и подумать, в каком пределе волны в этой решетке описываются уравнением КдФ. Мы также встретимся с уравнением Буссинеска, которое, так же как и уравнения КдФ и КП, обладает свойством интегрируемости, и мы обсудим, в каких ситуациях оно появляется.

Если на вас произвели впечатление разнообразные приложения, в которых возникает уравнение КдФ или родственные ему уравнения, вас, без сомнения, удивит вездесущность нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ) и уравнений, тесно с ним связанных. Это есть уравнение на комплексное скалярное поле $q(x,t)$,
$$q_t=i{q}_{xx}\pm 2i{q}^2{q}^{\ast }$$
* означает комплексное сопряжение. Оно описывает эволюцию огибающей волнового пакета и в отличие от соответствующего линейного уравнения содержит в себе солитонное решение, воплощающее концепцию волнового пакета. Для осуществления такого решения необходимо, чтобы волновой пакет был сильно диспергирующим, почти монохроматическим и слабонелинейным. В (2.1) $x$-это координата в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью линейных волн, соответствующей волновому числу несущей волны, а само уравнение описывает баланс между линейной дисперсией, стремящейся размазать пакет, и фокусирующим действием кубичной нелинейности, возникающей вследствие самовоздействия волн. Мы встретимся также с модификациями этого уравнения. Нелинейность не всегда имеет простой вид $q^2{q}^{\ast }$, диктуемый типом взаимодействия $q^2{e}^{2i\theta }\cdot q^{\ast }{e}^{-i\theta }$ $(\theta =kx-\omega t)$, но может также включать среднюю (неосциллирующую) компоненту $p(x,t)$ вида $pq$. В некоторых случаях среднее поле $p$ алгебраически пропорционально $q{q}^{\ast }$, и тогда получается (2.1). В других случаях (2.1) дополняется другим уравнением, связывающим эво.юцию среднего поля $p$ с пространственными производными от $q{q}^{\ast }$. Вместо обширных вычислений, возникающих во многих физических ситуациях, я предлагаю читателю анализ каждой из ситуаций в простейшей нетривиальной постановке, подчеркивая те аспекты, которые отличают одну ситуацию от другой, и затем указывая читателю на соответствующие работы.

Я хочу также ввести некоторые связанные с этим уравнением понятия и показать их связь с НУШ. В частности, мы увидим, как получать НУШ предельным переходом из теории Уизема, предназначенной для описания эволюции полностью нелинейных волновых пакетов в слабо изменяющихся условиях. Этот предел не вполне тривиален и не очень известен в литературе. Мы также познакомимся с эффектами большего числа пространственных измерений. В противоречии с обычной нашей интуицией замена в (2.1) ${\partial }^2/\partial x^2$ на $abl{a}^2$ при знаке плюс перед нелинейностью приводит к усилению фокусирующих свойств уравнения до такой степени, что решения становятся локально неограниченными за конечное время. Это явление фокусировки широко распространено в физике и встречается в плазме в виде коллапса ленгмюровских волн и в оптике при самофокусировке. Естественно, что когда амплитуда пакета и величина, обратная его ширине, становятся очень большими, теряют применимость те предположения, в которых были выведены уравнения, и требуется новое описание. Тем не менее уравнение все же описывает начальную стадию процесса локальной самофокусировки волн.