Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Цель этой главы – убедить вас в вездесущности и, следовательно, важности уравнения Кортевега – де Фриза (КдФ) и нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ). Обсуждение этих уравнений займет большую часть главы, а в последнем разделе я упомяну вкратце другие канонические системы. Уравнение КдФ появляется во всех тех ситуациях, когда в главном порядке возникает гиперболическая система первого порядка плюс малые нелинейные и дисперсионные члены. Это уравнение описывает, как каждый из инвариантов Римана (который в отсутствие нелинейности и дисперсии распространялся бы вдоль соответствующей характеристики без изменений) медленно и независимо меняется вследствие этих влияний. Мы видели пример этого в первой главе. Там механическая система описывалась в первом порядке линейным волновым уравнением, а слабые нелинейность и дисперсия возникали вследствие ангармоничности упругого потенциала и дискретности решетки соответственно. Возмущение, первоначально сосредоточенное внутри пространственного интервала первого порядка длины ${ }^{1}$ ), на временных масштабах первого порядка будет распадаться на идущие влево и вправо компоненты, как и полагается в линейном волновом уравнении. Однако на больших временах и расстояниях, обратно пропорциональных нелинейности и дисперсии, последующая эволюция каждой компоненты будет описываться двумя независимыми уравнениями КдФ. В следующем разделе мы покажем, как появляется КдФ в контексте длинных волн на воде в узком и мелком канале. Я выбрал этот пример по двум причинам. Первая – историческая, вторая состоит в том, что он дает возможность наглядно представить и интуитивно понять контекст, в котором ясно проявляется, как разного рода другие влияния портят интегрируемость КдФ. В частности, мы изучим, что будет происходить с длинными волнами в канале с медленно увеличивающейся или уменьшающейся глубиной. Отклик волн не будет чисто аднабатическим. Мы выведем также уравнение (или я попрошу вас вывести его в качестве упражнения), моделирующее ситуацию, когда все гребни волн не совсем параллельны линии берега или друг другу. Это уравнение называется уравнением Кадомцева – Петвиашвили (КП), или иногда двумерным уравнением КдФ. Оно также обладает замечательными свойствами. В упражнениях я попрошу вас вывести уравнения для цепочки Тоды и подумать, в каком пределе волны в этой решетке описываются уравнением КдФ. Мы также встретимся с уравнением Буссинеска, которое, так же как и уравнения КдФ и КП, обладает свойством интегрируемости, и мы обсудим, в каких ситуациях оно появляется. Если на вас произвели впечатление разнообразные приложения, в которых возникает уравнение КдФ или родственные ему уравнения, вас, без сомнения, удивит вездесущность нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ) и уравнений, тесно с ним связанных. Это есть уравнение на комплексное скалярное поле $q(x, t)$, Я хочу также ввести некоторые связанные с этим уравнением понятия и показать их связь с НУШ. В частности, мы увидим, как получать НУШ предельным переходом из теории Уизема, предназначенной для описания эволюции полностью нелинейных волновых пакетов в слабо изменяющихся условиях. Этот предел не вполне тривиален и не очень известен в литературе. Мы также познакомимся с эффектами большего числа пространственных измерений. В противоречии с обычной нашей интуицией замена в (2.1) $\partial^{2} / \partial x^{2}$ на $
|
1 |
Оглавление
|