1. Выведите уравнение для длинных волн в решетке для случаев, когда возвращающая сила имеет вид $F=k\left(\Delta+\alpha \Delta^{3}\right)$. Вы обнаружите, что соответствующее уравнение – это модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза (мКдФ). Исследуйте его решения, имеющие вид бегущих волн. Зависит ли их существование от знака $\alpha$ ?
2. Оказывается, что комплексный вариант мКдФ-тоже универсальное уравнение в том смысле, что оно возникает во многих асимптотических задачах. Одна из них – это задача о низших гибридных волнах в плазме. Читателю рекомендуется обратиться к ссылкам в [118], и в частности к статье Г. Дж. Моралеса и И. Ц. Ли «Солитоноподобные структуры в плазме» в Rocky Mountain J. Math., 8, 1, 2, зима, весна 1978.
3. Покажите, что асимптотическое по пространству и времени поведение поля $u(x-c t, \sqrt{\varepsilon} t$ или $\sqrt{\varepsilon} x)$, подчиняющегося уравнению
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial}{\partial t}+(c-\sqrt{\varepsilon}) \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+(c+\sqrt{\varepsilon}) \frac{\partial}{\partial x}\right) u= \\
=\varepsilon \sqrt{\varepsilon} \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\varepsilon \frac{\partial^{4} u}{\partial x^{4}}
\end{array}
\]
задается уравнением Буссинеска. Можете ли вы указать какой-либо конкретный пример, который приводил бы к этому уравнению ${ }^{1}$ )? Найдите также стационарные волны в $(2,26)$. Чем они отличаются от аналогичных решений КдФ?
4. Рассмотрите двумерную решеточную модель, в которой каждая масса связана с двумя типами соседей – правым, левым и верхним, нижним. Если упругая постоянная $k_{\perp}$ вертикальных пружин намного меньше постоянной $k$ горизонтальных пружин и одного порядка с квадратичной нелинейностью $\alpha$ последних, то если $k_{\perp} \sim \alpha \sim h^{2}$, где $h$-смещения решеточных масс, то уравнение для слегка наклонных, распространяющихся вправо или влево волн в этой решетке будет уравнением $\mathrm{Ka}$ домцева – Петвиашвили. Будьте осторожны. Помните, что в закон Гука входит удлинение пружин, а не его вертикальные или горизонтальные составляющие. Найдите бегущие волны для этой модели. Как они связаны с бегущими волнами КдФ?
1) После того как я задал этот вопрос на лекциях ИВМС, Ц.Х.Сю нашел такой пример [49].