Рассмотрим частицу единичной массы с координатным вектором $\left(q_{1}, q_{2}\right.$ ) и вектором импульса $\left(p_{1}, p_{2}\right)$, движущуюся в плоскости под действием консервативного поля центральных сил. Гамильтониан этой системы имеет вид
\[
H\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+V\left(\sqrt{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}\right),
\]

и движение задается формулой
\[
\dot{z}=J
abla H
\]

где $z=\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right),
abla$ — градиент по этим четырем переменным и $J=\left(\begin{array}{cc}0 & I \\ -I & 0\end{array}\right)$; здесь $I$ — единичная матрица ( $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$.

Далее, интуитивно ясно, что мы могли бы выбрать для описания движения в любой системе отсчета, которая представляет собой поворот координат $z$ в плоскости на угол $\theta$,
\[
z^{\prime}=R z
\]

где
\[
R=\left(\begin{array}{cc}
M & 0 \\
0 & M
\end{array}\right), \quad M=\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)
\]

и где $\theta$, которая определяет величину угла вращения, является произвольной. Поскольку как гамильтониан $H$, так и уравнения

движения инвариантны относительно действия группы вращений (это означает, что $H^{\prime}\left(z^{\prime}(z)\right)=H(z)$ и $z^{\prime}=J
abla^{\prime} H^{\prime}$ ), то инфинитезимальное изменение $\partial z^{\prime} / \partial \theta$, вычисленное при $\theta=0$, удовлетворяет линеаризованному уравнению (4.20). Читатель может проверить это сам. Для малых $\theta \quad q_{1}^{\prime}=q_{1}+\theta q_{2}, \partial / \partial p_{1}^{\prime}=\partial / \partial p_{1}+$ $+\theta\left(\partial / \partial p_{2}\right)$, и поэтому $\dot{q}_{1}^{\prime}=\partial H^{\prime} / \partial p_{1}^{\prime}$ принимает вид $\left(\dot{q}_{1}+\theta \dot{q}_{2}\right)=$ $=\left(\left(\partial / \partial p_{1}\right)+\theta\left(\partial / \partial p_{2}\right)\right) H$ (напоминаем, что $\left.H^{\prime}\left(z^{\prime}\right)=H(z)\right)$, что действительно имеет место.

Поэтому можно видеть, что свойство инвариантности гамильтониана и уравнений движения относительно действия группы вращения может быть выражено посредством того, что частная производная решения $\partial z /\left.\partial \theta\right|_{\theta=0}$, вычисленная при $\theta=0$, является решением линеаризованного уравнения. Қак мы уже подчеркнули, линеаризация может быть осуществлена относительно любого решения исходных уравнений (4.20).

Группу преобразований, под действием которых гамильтониан и уравнения движения не изменяются, мы назовем симметрией системы. Как мы упоминали, необходимое и достаточное условие того, чтобы действие непрерывной группы было симметрией, состоит в том, что ее инфинитезимальное действие, измеряемое здесь выражением $\delta(z)=\partial z /\left.\partial \theta\right|_{\theta=0}$, является решением линеаризованных уравнений движения. О самой функции $\sigma(z)$ мы также будем говорить как о симметрии.

Симметрии очень полезны. В гамильтоновых системах каждая симметрия связана с интегралом движения (теорема Нётер), благодаря чему размерность системы может быть уменьшена на два. В упомянутом примере интеграл движения, связанный с группой вращения, является моментом количества движения. Угловая переменная, соответствующая моменту количества движения (одна из двух переменных действия в (4.19), другая сам $H$ ), может быть также исключена (она становится циклической или несущественной в гамильтоновом формализме) путем соответствующего выбора координат. Поэтому, фиксируя момент количества движения $h$, можно найти редуцированное уравнение размерности два. Действительно, в этом случае, используя полярные координаты $r=\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)^{1 / 2}$, получаем уравнение
\[
\ddot{r}-\frac{h^{3}}{r^{3}}+\frac{\partial V}{\partial r}=0
\]

из которого с помощью анализа на фазовой плоскости легко описывается орбитальное движение частицы. Для некоторых потенциалов $V$ движение $r(t)$ может быть точно вычислено в терминах известных функций.

Идея о том, что симметрин может быть использована для уменьшения размерности механической системы, была известна давно [87]. Однако в большинстве классических примеров симметрии были довольно очевидными и имели простые геометрические интерпретации (движение инвариантно относительно сдвига или вращения). Такими же представляются соответствующие законы сохранения, которые имеют соответственно простую физическую интерпрегацию сохранения импульса или момента количества движения. Однако в солитонных уравнениях дело обстоит не так просто. Я уже обратил ваше внимание на то, что после первых двух законов сохранения уравнения КдФ (которые соответствуют сохранению массы (или импульса) и энергии) бесконечная серия, следующая за ними, не имеет физической интерпретации. Ее не имеют и соответствующие симметрии. По этой причине они называются скрытыми (подразумевается: неочевидными) симметриями. В начале гл. 5 мы увидим, что они связаны с действием некоторых бесконечномерных групп Ли. В случае семейства КдФ группа симметрии является группой Каца — Муди, соответствующей градуированной алгебре Ли $\tilde{\mathrm{sl}}(2, C)$, алгебре петель для $\mathrm{sl}(2, C)$. Позже в гл. 5 мы также обсудим метод редукции для этих случаев и покажем, используя обобщенный Марсденом и Вейнстейном [88] классический метод редукции, что семейства уравнений, заданные формулами (3.9) и (3.49), являются редукциями значительно более простых потоков на многообразии большей размерности.

Теперь давайте определим и идентифицируем симметрии и соответствующие законы сохранения семейства КдФ. На основании предыдущего примера мы назовем функцию $v(\mathbf{u})$, означающую $v\left(u, u_{x}, u_{x x}, \ldots\right)$, симметрией скалярного уравнения
\[
u_{i}=Q(\mathbf{u}) \text {, }
\]

если $u+\varepsilon v(\mathbf{u})$ также удовлетворяет (4.21) для всех решений $u$ этого уравнения при произвольно малом $\varepsilon$. Это означает, что $v(\mathbf{u})$ должно удовлетворять линеаризованному варианту уравнения (4.21), имеющему вид
\[
v_{t}=Q^{\prime}(\mathbf{u})[\mathbf{v}] .
\]

Правая часть (4.22) обозначает пространственную производную (Фреше) от $Q$ в точке и по направлению v, т. е. $Q_{u} v+Q_{u_{x}} v_{x}+$ $+\ldots$, и определяется как
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon}(Q(u+\mathrm{ev}(\mathbf{u}))-Q(u)) .
\]

Отметим, что левая часть (4.22) также может быть записана в виде $v^{\prime}(\mathbf{u})[\mathbf{Q}]$, так как
\[
v_{t}=v_{u} u_{t}+v_{u_{x}} u_{x t}+\ldots=v_{u} Q+v_{u_{x}} Q_{x}+\ldots .
\]

Мы имеем много кандидатов в качестве симметрий для типичного представителя семейства КдФ (3.9)
\[
q_{t_{2 k+1}}=2 N B_{k+1}=\frac{\partial}{\partial x} L^{k} q,
\]

так как мы знаем, что все потоки (4.23) коммутируют, и поэтому $q$ можно считать функцией бесконечного числа независимых переменных $x=t_{1}, t_{3}, \ldots, t_{2 k+1}, \ldots$. Таким образом, мы можем дифференцировать (4.23) по $t_{2 j+1}$ и приходим к тому, что $\partial q / \partial t_{2 i+1}$ удовлетворяет линеаризованному уравнению. Следовательно, симметриями всех без исключения членов семейства КдФ являются $\sigma_{2 j+1}=\partial q / \partial t_{2 j+1}, j=0,1,2, \ldots$. Уравнение (4.23) также может быть один раз проинтегрировано и дает
\[
\frac{\partial w}{\partial t_{2 k+1}}=L^{k} q .
\]

С каждой симметрией $\sigma_{2 j+1}$ связан локальный закон сохранения
\[
\frac{\partial}{\partial t_{2 k+1}} \cdot \frac{\partial w}{\partial t_{2 j+1}}=\frac{\partial}{\partial t_{1}} \cdot \frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial t_{2 k+1} \partial t_{2 j+1}},
\]

причем интегралами движения (когда $x$ рассматривается как выделенная переменная) являются выражения
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial w}{\partial t_{2 f+1}} d x=\int_{-\infty}^{\infty} L^{j} q d x .
\]

Читатель может проверить, что они являются интегралами двнжения; случай $j=0$ представляет полную массу (или импульс), $j=1$-энергию, $j=2$ пропорционален первой скрытой симметрии $H_{3}$, т. е. гамильтониану, генерирующему уравнение КдФ. (Однако следует указать, что функционал $H_{3}$ очень полезен при. доказательстве устойчивости уединенных волн (см. [126]), Буссинеск назвал его моментом устойчивости.)

Существуют также другие симметрии. Они связаны с преобразованиями Бэклунда, которые я буду обсуждать в разд. 4f. Пока что рассмотрим следующую идею. Пусть $q\left(x, t_{1}, t_{3}, \ldots ; \eta\right.$, $x_{0}$ ) является односолитонным решением семейства КдФ (3.9), $n=0,1,2,3, \ldots$
\[
q=2 \eta^{2} \operatorname{sech}^{2} \eta\left(x-x_{0}+t_{1}+\sum_{i}^{\infty}(-1)^{k} \eta^{2 k} t_{2 k+1}\right) .
\]

Так как оно является решением для всех значений параметров амплитуды $\eta$ и местоположения $x_{0}$, то $\partial q / \partial \eta$ и $\partial q / \partial x_{0}$ являются решениями семейства линеаризованных уравнений КдФ и поэтому также являются симметриями. В частности, они являются решениями уравнений, линеаризованных вблизи тождественного состояния (либо $\eta=0$, либо $x_{0}=\infty$ ). Преобразованием Бэклунда является преобразование, которое порождает новые и более богатые решения (в том смысле, что преобразование может добавить дополнительные компоненты к данным рассеяния, которых прежде не было) из старых решений семейства КдФ. Они также могут быть построены непрерывным способом, начиная с тождественного состояния. Это означает, например, что мы можем добавить решение с произвольно малыми значениями параметра амплитуды $\eta$ или при сколь угодно больших расстояниях так, что параметр $b=\exp \left(2 \eta x_{0}\right)$ будет настолько малым, насколько мы захотим.

Поэтому в дополнение к симметриям, связанным с потоками (трансляция временныхх координат), существуют непрерывные симметрии, связанные с преобразованиями, которые преобразуют один тип решения в другой непрерывным образом. В последнем разделе этой главы, разд. $4 \mathrm{~g}$, я покажу, каким образом оба набора симметрий комбинируются в виде алгебры Қаца Муди, связанной с алгеброй петель алгебры $\operatorname{sl}(2, C)$.