В разд. 5с мы ввели уравнение Лакса для положительных временных ( $t_{k}, k \geqslant 0$ ) потоков $(5.52)$
\[
Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right]
\]

где $Q$ – это $\lim _{j \rightarrow \infty}\left(1 / \zeta^{j}\right) Q^{(j)}$, и
\[
Q^{(i)}=\zeta^{j}\left(Q_{0}+\frac{Q_{1}}{\zeta}+\ldots+\frac{Q_{j}}{\zeta^{j}}\right) .
\]

Эти уравнения Лакса есть условия интегрируемости для
\[
V_{t_{k}}=Q^{(k) V}, \quad k \geqslant 0 .
\]

Но известно [23], что потоки уравнения sin-Гордон получаются, если включить в (5.233) новые уравнения, соответствующие $k<0$. Например, при $k=-1$
\[
Q^{(-1)}=\frac{1}{\zeta} Q_{-1},
\]

и совместность уравнений (5.234) при $k=1$ и при $k=-1$ дает
\[
Q_{t_{-1}}^{(1)}-Q_{x}^{(-1)}+\left[Q^{(1)}, Q^{(-1)}\right]=0 .
\]

Приравнивание коэффициентов при степенях $\zeta$ дает
\[
Q_{0 t_{-1}}=0, \quad Q_{1, t_{-1}}=-\left[Q_{0}, Q_{-1}\right], \quad Q_{-1 x}=\left[Q_{1}, Q_{-1}\right] .
\]

Несложные вычисления показывают, что это уравнение sin-Гордон. Пусть $Q_{0}=-i H, Q_{1}=q E+r F, Q_{-1}=h_{-1} H+e_{-1} E+f_{-1} F$. Находим
\[
\begin{array}{l}
q_{t_{-1}}=2 i e_{-1}, \\
r_{t_{-1}}=-2 i f_{-1}, \\
h_{-1 x}=q f_{-1}-r e_{-1}, \\
e_{-1 x}=-2 q h_{-1}, \\
f_{-1 x}=2 r h_{-1} .
\end{array}
\]

Теперь посмотрим на уравнения, которым удовлетворяют квадратичные произведения:
\[
h=-i\left(\bar{\psi}_{1} \psi_{2}+\psi_{1} \bar{\psi}_{2}\right), \quad e=2 i \psi_{1} \bar{\psi}_{1}, \quad f=-2 i \psi_{2} \bar{\psi}_{2},
\]

где $\psi$ и $\bar{\psi}$-векторные решения (5.234), определенные в разд. $5 \mathrm{f}(\mathrm{i})$, с тем отличием, что при $x \rightarrow+\infty$ они нормированы на асимптотику
\[
\begin{array}{l}
\psi \sim\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) \exp \left(i \sum_{-\infty}^{\infty} \zeta^{j} t_{j}\right), \\
\bar{\psi} \sim\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) \exp \left(-i \sum_{-\infty}^{\infty} \zeta^{j} t_{j}\right) .
\end{array}
\]

Находим
\[
\begin{array}{l}
h_{x}=q f-r e, \\
e_{x}+2 i \zeta e=-2 q h, \\
f_{x}-2 i \zeta f=2 r h .
\end{array}
\]

Заметьте, что если разлагать (5.239) вблизи $\zeta=\infty$,
\[
h=\sum \frac{h_{r}}{\zeta^{r}}, \quad e=\sum \frac{e_{r}}{\zeta^{r}}, \quad f=\sum \frac{f_{r}}{\xi^{r}},
\]

то в точности получим $h, e, f$ в
\[
Q=\sum_{0}^{\infty} \frac{h_{r} H+e_{r} E+f_{r} F}{\zeta^{r}} .
\]

Теперь разложим около $\xi=0$. Отметим, что первые члены удовлетворяют в точности тем же уравнениям, что и $h_{-1}, e_{-1}, f_{-1}$. Поэтому $(5.236 \mathrm{a}, \mathrm{b})$ суть
\[
q_{t_{-1}}=-\left.4 \psi_{1} \bar{\psi}_{1}\right|_{\zeta=0}, \quad r_{t_{-1}}=-\left.4 \psi_{2} \bar{\psi}_{2}\right|_{\xi=0} .
\]

Для простоты возьмем $q=r=\left(u_{x} / 2\right)$. Тогда $\psi_{1}=\operatorname{sh}(u / 2)$, $\psi_{2}=\operatorname{ch}(u / 2), \bar{\psi}_{1}=\operatorname{ch}(u / 2), \bar{\psi}_{2}=\operatorname{sh}(u / 2)$ (где требуется, чтобы $u \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \pm \infty$ ), откуда (5.241) – это просто уравнение sh-Гордон
\[
u_{x t_{-1}}=-4 \operatorname{sh} u \text {. }
\]

Аналогично, если мы возьмем $q=-r=-u_{x} / 2$, мы обнаружим, что (5.241) дает уравнение sin-Гордон. В этом случае мы можем позволить $и$ быть любым числом, кратным $\pi$, при $x \rightarrow \pm \infty$. Мы можем продолжить. Нетрудно показать, что если взять
\[
V_{t_{-2}}=Q^{(-2)} V=\left(\frac{1}{\zeta^{2}} Q_{-1}+\frac{1}{\zeta} Q_{-2}\right) V,
\]

то тогда
\[
q_{t_{-2}}=\left.2 i \frac{\partial}{\partial \zeta} \psi_{1} \bar{\psi}_{1}\right|_{\zeta=0}, \quad r_{t_{-2}}=\left.2 i \frac{\partial}{\partial \zeta} \psi_{2} \bar{\psi}_{2}\right|_{\zeta=0} .
\]

Перекрестное дифференцирование (5.243) и (5.233) с $k=1$ дает
\[
\begin{array}{l}
Q_{0 t_{-2}}=0, \\
Q_{1 t_{-2}}=-\left[Q_{0}, Q_{-2}\right], \\
Q_{-1 x}=\left[Q_{1}, Q_{-1}\right], \\
Q_{-2 x}=\left[Q_{1}, Q_{-2}\right]+\left[Q_{0}, Q_{-1}\right] .
\end{array}
\]

Заметьте, что (5.245с) совпадает с третьим уравнением (5.235), и элементы $h_{-2}, e_{-2}, f_{-2}$ матрицы $Q_{-2}=h_{-2} H+e_{-2} E+f_{-2} F$ удовлетворяют тем же уравнениям, что и $\partial h / \partial \zeta, \partial e / \partial \zeta, \partial f / \partial \zeta$ в точке $\zeta=0$.

После этих вычислений выпишем уравнение Лакса
\[
\begin{array}{l}
Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right] \text {, } \\
Q^{(k)}=\left\{\begin{array}{ll}
\zeta^{k}\left(Q_{0}+\frac{Q_{1}}{\zeta}+\ldots+\frac{Q_{k}}{\zeta^{k}}\right), & k \geqslant 0, \\
\zeta^{k}\left(Q_{-1}+\zeta Q_{-2}+\ldots+\zeta^{-k-1} Q_{k}\right), & k<0
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]

и
\[
Q=\lim _{j \rightarrow \infty} \frac{Q^{(j)}}{\zeta^{j}} .
\]

Если мы возьмем $j \rightarrow+\infty$ в (5.248), мы получим знакомый элемент
\[
Q=\sum_{0}^{\infty} \frac{Q_{j}}{\zeta^{j}}, \quad Q_{0}=-i H,
\]
т. е. элемент общего вида фазового пространства $N^{*}=K^{\perp}$ (в первой гамильтоновой структуре) или $-i H+K^{\perp}$ (во второй гамильтоновой структуре). С другой стороны, при $j \rightarrow-\infty$ мы имеем
\[
Q=\sum_{0}^{\infty} Q_{-1-f \delta^{\prime}}
\]

что является элементом общего вида в $K^{*}=N^{\perp}$ во второй гамильтоновой структуре.

Теперь вспомним, что уравнения Лакса формально решаются с помощью
\[
Q=V(-i H) V^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
-i\left(\bar{\psi}_{1} \psi_{2}+\psi_{1} \bar{\psi}_{2}\right) & 2 i \psi_{1} \bar{\psi}_{1} \\
-2 i \psi_{2} \bar{\psi}_{2} & i\left(\psi_{1} \bar{\psi}_{2}+\psi_{1} \bar{\psi}_{2}\right)
\end{array}\right)
\]

где
\[
V=\left(\begin{array}{ll}
\bar{\psi}_{1} & \Psi_{1} \\
\bar{\psi}_{2} & \psi_{2}
\end{array}\right)
\]

с асимптотикой
\[
V \sim \exp \left(-i \sum_{-\infty}^{\infty} \zeta t_{j} H\right)
\]

при $\zeta \rightarrow \infty$. (Обратите внимание, что суммирование в экспоненте включает отрицательные степени и времена.) Теперь относительно легко понять, что асимптотическое разложение (5.251) вблизи $\zeta=\infty$ – это в точности (5.249).