Есть много других важных в физике уравнений, проявляющих солитонные свойства. Список ссылок содержит много обзорных статей, специальных изданий, труды конференций, и читатель при желании может заняться поисками интересующего его уравнения. Тем не менее есть еще два уравнения, заслуживающие особого упоминания из-за их распространенности. нелинейной оптике (в модели распространения импульсов в резонансной среде), в физике конденсированных сред в магнетизме, где оно моделирует волны зарядовой плотности в периодическом потенциале подложки и спиновые волны в жидком гелии-3. В сверхпроводимости оно описывает динамику джозефсоновских контактов, в статистической механике оно возникает при описании критической области в моделях типа модели Изинга. Причиной такой вездесущности является то, что многие системы оказываются эквивалентны динамической системе с лагранжианом, состоящим из кинетической энергии $\frac{1}{2} \int \varphi_{t}^{2} d x$ и потенциальной, состоящей из двух частей – упругой энергии, которую в непрерывном пределе можно описать членом
\[
\frac{1}{2} c^{2} \int \varphi_{x}^{2} d x
\]
и потенциала, создаваемого некоей наложенной решеткой. Часто наилучшим приближением для этого потенциала является
\[
\omega_{p}^{2} \int(1-\cos \varphi) d x .
\]

Нетрудно видеть, что из этого лагранжиана получается уравнение Эйлера вида
\[
\varphi_{t t}-c^{2} \varphi_{x x}+\omega_{p}^{2} \sin \varphi=0 .
\]

Обсуждение и перечень задач, в которых появляется уравнение (2.96), можно найти в [68], [69], [19], [71].

Второе из упомянутых уравнений – это не одно уравнение, а система, описывающая резонансное взаимодействие трех волн.

Эту систему можно записать в виде [53]
\[
\frac{\partial A_{j}}{\partial t}+\mathbf{c}_{j} \cdot
abla A_{j}=\theta_{j k l} A_{k}^{*} A_{i}^{*},
\]

где $(j, k, l)$-циклические перестановки $(1,2,3), A_{j}(x, t)$ – медленно меняющаяся огибающая волнового пакета с основной гармоникой $e^{i\left(k_{j} x-\omega_{j} t\right)}, \omega_{j}=\omega\left(k_{j}\right), \mathbf{c}_{j}-$ линейная групповая скорость $
abla \omega_{j}$. Левая часть получается из тех простых соображений, что в порядке $\varepsilon$ (здесь $\varepsilon$ – спектральная ширина пакета с основным волновым числом $k$ ) огибающая $a\left(X, T_{1}\right)$, входящая в НУШ, удовлетворяет $a_{T_{1}}+\omega^{\prime} a_{X}=0$. Правая часть возникает из квадратично нелинейных членов, которые в слабонелинейной системе соответствуют наиболее сильному взаимодействию с резонансными соотношениями
\[
\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}+\mathbf{k}_{3}=0, \quad \omega\left(\mathbf{k}_{1}\right)+\omega\left(\mathbf{k}_{2}\right)+\omega\left(\mathbf{k}_{3}\right)=0 .
\]

В терминах дуализма волн и частиц (2.98) описывает сохранение импульса и энергии в трехчастичных столкновениях.

Структура (2.97) такова, что нас не должна удивлять та важная роль, которую эта система играет в тех областях физики, в которых доминируют волновые процессы. По существу она описывает перераспределение энергии по спектру вследствие нелинейных резонансных взаимодействий. Она появляется в физике плазмы, в волнах в атмосфере и океане. (Иногда линейное дисперсионное соотношение $\omega(\mathbf{k})$ не допускает (2.98) ни для каких триад волновых векторов $\mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}, \mathbf{k}_{3}$. В этих случаях перераспределение энергии осуществляется в следующем порядке за счет четырехчастичных процессов, как, например, для поверхностных гравитационных волн.)

Наилучшим подробным обзором по (2.97) и ее свойствам интегрируемости (при определенном выборе $\theta_{j k l}$ она точно решаема) является статья Каупа, Римана и Берса [72]. (По поводу ее решения см. [74].)