1. Рассмотрите (a) $v_{x}=u(x, t) v$ и (b) $v_{t}=\left(u^{2}+u_{x}\right) v$. Убедитесь, что условие интегрируемости – это уравнение Бюргерса (c) $u_{t}=2 u u_{x}+u_{x x}$. Однако, дифференцируя (a), убеждаемся, что (b) превращается в $v_{t}=v_{x x}$, т. е. в уравнение теплопроводности. Поэтому (c) может быть точно решено с помощью отображения (a).
2. Рассмотрите $q(x)=Q_{0} \delta(x)$ и покажите, что $a(\zeta)=$ $=\left(Q_{0}+2 i \zeta\right) / 2 i \zeta, R(\zeta)=-Q_{0} /\left(Q_{0}+2 i \zeta\right)$. Есть одно связанное состояние при $\zeta=i Q / 2$, и, кроме того, $R(0)=-1$. В действи-
тельности для всех потенциалов, кроме безотражательных (для которых $R(\zeta) \equiv 0$ ), $R(0)=-1$. Проверьте выполнение (3.60). Вычислите $\varphi(x, \zeta), \psi(x, \zeta)$ и найдите $b_{k}$.
3. Возьмите $q(x)=Q$ при $0<x<L$ и $q=0$ при остальных $x$. Покажите, что
\[
\begin{array}{l}
a(\zeta)=e^{i \zeta L}\left(\cos \sqrt{\zeta^{2}+Q} L-\frac{i\left(2 \zeta^{2}+Q\right)}{2 \zeta \sqrt{\zeta^{2}+Q}} \sin \sqrt{\zeta^{2}+Q} L\right), \\
b(\zeta)=e^{-i \zeta L} \frac{i Q}{2 \zeta \sqrt{\zeta^{2}+Q}} \sin \sqrt{\zeta^{2}+Q} L .
\end{array}
\]

Почему $a(\zeta)$ аналитично при $\operatorname{Im} \zeta>0$ ? Отметьте, что $R(\zeta) \rightarrow-1$ при $\zeta \rightarrow 0$.

Чтобы найти нули $a(\zeta)$, положите $\zeta=i \sqrt{\bar{Q}} \cos \theta$ и получите $a(\zeta)=\sin (2 \theta+\alpha \sin \theta) / \sin 2 \theta$, где $\alpha=\sqrt{Q} L$. Исследуйте зависимость нулей $a(\zeta)$ от $\alpha$ по поведению точек пересечения графиков $y=a \sin \theta$ и $y=n \pi-2 \theta, n=1,2, \ldots$ при $0<\theta<\pi / 2$.

Замечание. Отметьте, что в этом случае $a(\xi), b(\zeta) / a(\zeta)$ и все собственные функции $\varphi(x, \zeta), \psi(x, \xi)$ аналитичны везде, кроме $\zeta=0, \infty$. Это свойство выполняется для всех $q(x)$ с компактным носителем.
4. Рассмотрите $q(x)=2 \eta^{2} \operatorname{sech}^{2} \eta(x-\bar{x})$ и покажите, что преобразованием th $\eta(x-\bar{x})=t$ уравнение (3.51) может быть превращено в присоединенное уравнение Лежандра. Покажите, что $R(\zeta) \equiv 0$. Получите в явном виде $a(\zeta)$, собственные функции и собственные значения (есть только одно $\xi_{1}=i \eta$ ) и нормировочную константу $b_{1}$ и покажите, что
\[
q(x)=-4 i\left(b_{1}^{\prime} a_{1}^{\prime}\right) \eta_{1} \psi^{2}\left(x, \zeta_{1}\right) .
\]
5. Рассмотрите $q(x)=A \operatorname{sech}^{2} x$ и покажите, что (3.51) может быть решено в гипергеометрических функциях и что коэффициенты отражения и прохождения даются Г-функциями с аргументами, зависящими от $\xi$ и $A$. Покажите, что в частном случае $A=n(n+1), n$ – положительное целое, выполняется $R(\zeta) \equiv 0$ и возникает в чистом виде $n$-солитонное решение. Заметьте, что когда $A \approx n(n+1)$, то $R(0)=-1$, в то время как при $A=n(n+1) R(\zeta) \equiv 0$. (Детали читатели могут найти в книге Лэма [69].)