В этой главе мы видим, что $\tau$-функция, $\tau\left(t_{1}, t_{3}, t_{5}, \ldots, t_{2 k+1}, \ldots\right)$, содержит всю необходимую информацию о пространстве решений для семейства КдФ. Она меняется одним из двух способов. В первом случае она может изменяться из-за потоков, когда независимые переменные $\left\{t_{2 k+1}\right\}_{0}^{\infty}$ эволюционируют, а функциональная форма $\tau$ остается прежней. Например, двухсолитонное решение (4.47)
\[
\begin{aligned}
\tau & =1+e^{\theta_{1}}+e^{\theta_{2}}+e^{\theta_{1}+\theta_{2}+A_{12}}, \\
\theta_{j} & =\sum_{0}^{\infty}(-1)^{k} \eta_{j}^{2 k+1} t_{2 k+1}, \quad e^{A_{12}}=\left(\frac{\eta_{1}-\eta_{2}}{\eta_{1}+\eta_{2}}\right)^{2}
\end{aligned}
\]

эволюционирует под действием потоков, но по-прежнему остается двухсолитонным решением. Во втором случае, как мы только что выяснили в предыдущем разделе, $\tau$-функция может изменить свой функциональный вид под действием преобразования Бэклунда, в то время как последовательность независимых переменных $\left\{t_{2 k+1}\right\}_{0}^{\infty}$ сохраняется неизменной. Қаждое изменение является действием группы, и в каждом случае новая $\tau$ также удовлетворяет всем уравнениям семейства КдФ, т. е. или бесконечной последовательности квадратичных уравнений Хироты, или последовательности
\[
q_{t_{2 k+1}}=\frac{\partial}{\partial x} L^{k} q, \quad L^{k} q=2 \frac{\partial^{2}}{\partial t_{1} \partial t_{2 k+1}} \ln \tau .
\]

Поэтому пространство решений семейства КдФ отображается совместным действием потоков и преобразований Бэклунда. Инфинитезимальные симметрии фсрмируют бесконечномерную градуированную алгебру Ли (алгебру Каца – Муди), изоморфную центральному расширению алгебры петель $\mathrm{sl}(2, C)$; последняя обозначается как $\tilde{\text { si }}(2, C)$. Этот подход развит в работе Дейта, Дзимбо и Мивы [39]. Данная точка зрения противоположна подходу, развитому в гл. 5 , в котором часть $\widetilde{\mathrm{s}} 1(2, C)$ используется как фазовое пространство. Переход от последней картины, в которой решения представляются кривыми в алгебре Ли, к предыдущей, в которой решения являются точками в простран-
7 А. Ньюэлл

стве представлений, т. е. $\tau\left(t_{1}, t_{3}, \ldots\right)$, все еще не разработан логически в рамках теории групп Ли, однако я попытаюсь объединить эти две точки зрения посредством некоторых наводящих на размышления формул в разд. 5 .

Сейчас мы вернемся к задаче нахождения и представления инфинитезимальных симметрий, соответствующих потокам и преобразованиям Бэклунда. Сначала заметим, что действие потоков на $\tau\left(t_{1}, t_{3}, \ldots\right)$ есть просто действие трансляции аргументов и может быть представлено формулой
\[
\begin{array}{l}
\quad \exp \left(\sum_{0}^{\infty} a_{2 k+1} \frac{\partial}{\partial t_{2 k+1}}\right) \tau\left(t_{1}, \ldots, t_{2 k+1} \ldots\right)= \\
=\tau\left(t_{1}+a_{1}, \ldots, t_{2 k+1}+a_{2 k+1}\right)
\end{array}
\]

при произвольных значениях $a_{1}, \ldots, a_{2 k+1}$. Инфинитезимали действий этой группы представляются последовательностью $\left\{\partial / \partial t_{2 k+1}\right\}_{0}^{\infty}$. Заметим также, что поскольку все интересующие нас величины
\[
L^{k} q=2 \frac{\partial^{2}}{\partial t_{1} \partial t_{2 k+1}} \ln \tau
\]

являются вторыми логарифмическими производными от $\tau$-функции, то можно умножить $\tau$ на экспоненту, аргумент которой линеен по $\left\{t_{2 k+1}\right\}_{0}^{\infty}$, т. е. на $\exp \sum_{0}^{\infty} b_{2 k+1} t_{2 k+1}$ при произвольных $b_{1}, \ldots, b_{2 k+1}$. Инфинитезимали этого класса симметрий представлены посредством $\left\{t_{2 k+1}\right\}_{0}^{\infty}$. Для набора элементов $\left\{\partial / \partial t_{2 k+1}\right\}_{0}^{\infty}$ и $\left\{t_{2 k+1}\right\}_{0}^{\infty}$ генерируют алгебру Гейзенберга
\[
\begin{array}{c}
{\left[\frac{\partial}{\partial t_{2 k+1}}, t_{2 j+1}\right]=\delta_{k j},} \\
{\left[\frac{\partial}{\partial t_{2 k+1}}, \frac{\partial}{\partial t_{2 j+1}}\right]=0, \quad\left[t_{2 k+1}, t_{2 j+1}\right]=0 .}
\end{array}
\]

Еще раз напомню читателю, что эта алгебра является следствием симметрий, возникающих из потоков и того факта, что существует класс эквивалентности $\tau$-функций, причем все функции одного класса соответствуют одному и тому же решению $q$ семейства КдФ. Сейчас полезно перейти на язык метода обратной задачи рассеяния. Мы знаем, что тип решения характеризуется «начальными» данными рассеяния
\[
S(0)=\left\{R(\xi, 0), \operatorname{Im} \xi=0 ;\left(\zeta_{j}=i \eta_{j}, b_{j}(0)=e^{2 \eta_{j} \bar{x}_{j}}\right)_{1}^{N}\right\} .
\]

Потоки линейно во времени изменяют данные рассеяния, меняя только фазу коэффициента отражения и координаты местона-

хождения $\bar{x}_{i}$ солитонов. Изменение задается формулой
\[
\begin{array}{l}
S(\mathbf{t})=\left\{R(\xi, 0) \exp \left(2 i \sum_{0}^{\infty} \xi^{2 k+1} t_{2 k+1}\right), \quad \operatorname{Im} \xi=0 ;\right. \\
\left.\left(\zeta_{j}=i \eta_{j}, b_{j}(\mathbf{t})=b_{j}(\mathbf{0}) \exp \left(2 i \sum_{0}^{\infty} \zeta_{j}^{2 k+1} t_{2 k+1}\right)\right)_{1}^{N}\right\} .
\end{array}
\]
(Отступление. Мы уже указали на то, что метод обратной задачи представляет собой каноническое преобразование, которое старым координатам $q(x)$ сопоставляет новые переменные типа действие – угол (см. [13], [70], [75]):
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{p}=\left\{p_{j}=-2 \eta_{j}^{2}, p(\xi)=-\frac{2 \xi}{\pi} \ln \left(1-|R|^{2}\right)\right\}, \\
\mathbf{q}=\left\{q_{j}=\ln b_{j}, q(\xi)=\operatorname{Arg} b(\xi)\right\} ;
\end{array}
\]

соответствующие скобки Пуассона также образуют алгебру Гейзенберга
\[
\left\{p_{j}, q_{k}\right\}=\delta_{j k}, \quad\left\{p(\xi), q\left(\xi^{\prime}\right)\right\}=\delta\left(\xi-\xi^{\prime}\right) ;
\]

все остальные скобки равны нулю. Я до сих пор не знаю способа идентификации при помощи теории Ли этих двух гейзенберговских алгебр, а также не знаю, является ли на самом деле одна из них проявлением другой.)

Потоки сохраняют тип решения. С другой стороны, преобразования Бэклунда изменяют тип решения в том смысле, что они добавляют новые компоненты к данным рассеяния. Например, начиная с вакуумного состояния
\[
S=\{R(\xi, 0) \equiv 0, \operatorname{Im} \xi=0 ; N=0\},
\]

можно построить односолитонное состояние
\[
\begin{aligned}
S=\{R(\xi, 0) & \equiv 0, \operatorname{Im} \xi=0 ; \zeta_{1}=i \eta, \\
b_{1} & \left.=\exp \left(2 \eta x_{0}+\sum_{0}^{\infty}(-1)^{k+1} \eta^{2 k+1} t_{2 k+1}\right)\right\},
\end{aligned}
\]

применяя преобразование Бэклунда
\[
\tau_{\text {нов }}=(A X(\zeta)+B X(-\zeta)) \tau_{\text {crap }},
\]

где $\tau_{\text {стар }}=1$ и $X(\zeta)$ – оператор, задаваемый (4.18). В принципе можно построить все решения из вакуумного состояния преобразованиями Бэклунда, но в действительности анализировать можно только многосолитонные решения. Группа из Киото предпочитает считать многосолитонные решения плотным множеством в пространстве всех решений, но они не поясняют, в каком
7*

смысле следует понимать это. Однако в целях продолжения нашего обсуждения примем эту точку зрения. Для многосолитонных решений можно переписать (4.122) в виде
\[
\tau_{\text {нов }}=(1+\beta Y(\zeta)) \tau_{\text {стар }},
\]

где $\beta=B / A=e^{-2 \eta X_{0}}$ описывает начальное положение солитона, который мы собираемся добавить, а
\[
Y(\zeta)=\exp \left(-2 i \sum_{0}^{\infty} \zeta^{2 k+1} t_{2 k+1}\right) \exp \left(\sum_{0}^{\infty} \frac{2}{i(2 k+1) \zeta^{2 k+1}} \frac{\partial}{\partial t_{2 k+1}}\right) .
\]

Соотношение (4.123) справедливо, так как всегда можно выделить из $\tau$ экспоненциальный множитель, аргумент которого линеен по времени. Читателю следует доказать, что
\[
\dot{Y}(\zeta) Y\left(\zeta^{\prime}\right) 1=\left(\frac{\zeta-\zeta^{\prime}}{\zeta+\zeta^{\prime}}\right)^{2} \exp \left(-2 i \sum_{0}^{\infty}\left(\zeta^{2 k+1}+\zeta^{\prime 2 k+1}\right) t_{2 k+1}\right) \text {. }
\]

Заметим, в частности, что $Y^{2}\left(\begin{array}{c}5 \\ b\end{array}\right) 1=0$, и поэтому можно записать (4.123) в виде
\[
\tau_{\text {нов }}=\exp (\beta Y(\zeta)) \tau_{\text {стар }} .
\]

Инфинитезимальное действие (при $x_{0} \rightarrow \infty \beta$ становится меньше и меньше) задано вершинным оператором $Y(\zeta)$. Формально $Y(\zeta)$ может быть представлен как бесконечный ряд Лорана
\[
Y(\zeta)=\sum_{-\infty}^{\infty} Y_{2 k+1} \zeta^{2 k+1}
\]

Поскольку операторы $Y(\zeta), \quad Y\left(\zeta^{\prime}\right)$ не коммутируют, когда $\zeta+\zeta^{\prime}=0$ (из-за того, что множитель $\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right)^{2}$ входит в знаменатель (4.125)), козффициенты $Y_{2 k+1}$ удовлетворяют нетривиальному набору коммутационных соотношений [39].

Важным обстоятельством является следующее. Леповски и Уилсон [102] показали, что эти соотношения совместно с алгеброй Гейзенберга (4.118) изоморфны бесконечномерной градуированной алгебре Ли (алгебре Каца – Муди) $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C) \oplus Z$, обозначаемой $A_{1}^{(1)}$, т. е. центральному расширению лагебры петель для $\operatorname{sl}(2, C)$. Каждый член в $\widetilde{s l}(2, C)$ является произведением градуирующего параметра $\lambda$, умноженного на элемент из $\mathrm{sl}(2, C)$, который может быть записан в матричном представлении как $h H+e E+f F$ с базисными векторами
\[
H=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad E\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Поэтому мы имеем один ответ на вопрос: «Қакое отношение имеет $\mathrm{sl}(2, C)$ к КдФ?» Решения солитонных уравнений семейства КДФ образуют орбиту (набор всех $\tau\left(t_{1}, t_{3}, \ldots\right)$ ) вектора с наибольшим весом (соответствующего $\tau=1$ ) в базисном представлении $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C) \oplus Z$. Алгебра действует на решения как алгебра симметрий. Альтернативная точка зрения, в которой алгебра используется как фазовое пространство, и связи между этими двумя точками зрения приведены в гл. 5.