В этой главе мы видим, что $\tau$-функция, $\tau (t_1,t_3,t_5,\dots ,t_{2k+1},\dots )$, содержит всю необходимую информацию о пространстве решений для семейства КдФ. Она меняется одним из двух способов. В первом случае она может изменяться из-за потоков, когда независимые переменные ${\left\{t_{2k+1}\right\}}_0^{\mathrm{\infty }}$ эволюционируют, а функциональная форма $\tau$ остается прежней. Например, двухсолитонное решение (4.47)
$$\begin{array}{rl}\tau & =1+e^{{\theta }_1}+e^{{\theta }_2}+e^{{\theta }_1+{\theta }_2+A_{12}},\\ {\theta }_j& =\sum _0^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{\eta }_j^{2k+1}{t}_{2k+1},e^{A_{12}}={\left(\frac{{\eta }_1-{\eta }_2}{{\eta }_1+{\eta }_2}\right)}^2\end{array}$$

эволюционирует под действием потоков, но по-прежнему остается двухсолитонным решением. Во втором случае, как мы только что выяснили в предыдущем разделе, $\tau$-функция может изменить свой функциональный вид под действием преобразования Бэклунда, в то время как последовательность независимых переменных ${\left\{t_{2k+1}\right\}}_0^{\mathrm{\infty }}$ сохраняется неизменной. Қаждое изменение является действием группы, и в каждом случае новая $\tau$ также удовлетворяет всем уравнениям семейства КдФ, т. е. или бесконечной последовательности квадратичных уравнений Хироты, или последовательности
$$q_{t_{2k+1}}=\frac{\partial }{\partial x}{L}^{k}q,L^{k}q=2\frac{{\partial }^2}{\partial t_1\partial t_{2k+1}}\ln \tau .$$

Поэтому пространство решений семейства КдФ отображается совместным действием потоков и преобразований Бэклунда. Инфинитезимальные симметрии фсрмируют бесконечномерную градуированную алгебру Ли (алгебру Каца — Муди), изоморфную центральному расширению алгебры петель $\mathrm{sl}(2,C)$; последняя обозначается как $\widetilde{\text{ si }}(2,C)$. Этот подход развит в работе Дейта, Дзимбо и Мивы [39]. Данная точка зрения противоположна подходу, развитому в гл. 5 , в котором часть $\tilde{\mathrm{s}}1(2,C)$ используется как фазовое пространство. Переход от последней картины, в которой решения представляются кривыми в алгебре Ли, к предыдущей, в которой решения являются точками в простран-
7 А. Ньюэлл

стве представлений, т. е. $\tau (t_1,t_3,\dots )$, все еще не разработан логически в рамках теории групп Ли, однако я попытаюсь объединить эти две точки зрения посредством некоторых наводящих на размышления формул в разд. 5 .

Сейчас мы вернемся к задаче нахождения и представления инфинитезимальных симметрий, соответствующих потокам и преобразованиям Бэклунда. Сначала заметим, что действие потоков на $\tau (t_1,t_3,\dots )$ есть просто действие трансляции аргументов и может быть представлено формулой
$$\begin{array}{l}\exp \left(\sum _0^{\mathrm{\infty }}{a}_{2k+1}\frac{\partial }{\partial t_{2k+1}}\right)\tau (t_1,\dots ,t_{2k+1}\dots )=\\ =\tau (t_1+a_1,\dots ,t_{2k+1}+a_{2k+1})\end{array}$$

при произвольных значениях $a_1,\dots ,a_{2k+1}$. Инфинитезимали действий этой группы представляются последовательностью ${\left\{\partial /\partial t_{2k+1}\right\}}_0^{\mathrm{\infty }}$. Заметим также, что поскольку все интересующие нас величины
$$L^{k}q=2\frac{{\partial }^2}{\partial t_1\partial t_{2k+1}}\ln \tau$$

являются вторыми логарифмическими производными от $\tau$-функции, то можно умножить $\tau$ на экспоненту, аргумент которой линеен по ${\left\{t_{2k+1}\right\}}_0^{\mathrm{\infty }}$, т. е. на $\exp \sum _0^{\mathrm{\infty }}{b}_{2k+1}{t}_{2k+1}$ при произвольных $b_1,\dots ,b_{2k+1}$. Инфинитезимали этого класса симметрий представлены посредством ${\left\{t_{2k+1}\right\}}_0^{\mathrm{\infty }}$. Для набора элементов ${\left\{\partial /\partial t_{2k+1}\right\}}_0^{\mathrm{\infty }}$ и ${\left\{t_{2k+1}\right\}}_0^{\mathrm{\infty }}$ генерируют алгебру Гейзенберга
$$\begin{array}{c}[\frac{\partial }{\partial t_{2k+1}},t_{2j+1}]={\delta }_{kj},\\ [\frac{\partial }{\partial t_{2k+1}},\frac{\partial }{\partial t_{2j+1}}]=0,[t_{2k+1},t_{2j+1}]=0.\end{array}$$

Еще раз напомню читателю, что эта алгебра является следствием симметрий, возникающих из потоков и того факта, что существует класс эквивалентности $\tau$-функций, причем все функции одного класса соответствуют одному и тому же решению $q$ семейства КдФ. Сейчас полезно перейти на язык метода обратной задачи рассеяния. Мы знаем, что тип решения характеризуется «начальными» данными рассеяния
$$S(0)=\{R(\xi ,0),\mathrm{Im}\xi =0;{({\zeta }_j=i{\eta }_j,b_j(0)=e^{2{\eta }_j{\overline{x}}_j})}_1^N\}.$$

Потоки линейно во времени изменяют данные рассеяния, меняя только фазу коэффициента отражения и координаты местона-

хождения ${\overline{x}}_i$ солитонов. Изменение задается формулой
$$\begin{array}{l}S(\mathbf{t})=\{R(\xi ,0)\exp \left(2i\sum _0^{\mathrm{\infty }}{\xi }^{2k+1}{t}_{2k+1}\right),\mathrm{Im}\xi =0;\\ {({\zeta }_j=i{\eta }_j,b_j(\mathbf{t})=b_j(\mathbf{0})\exp \left(2i\sum _0^{\mathrm{\infty }}{\zeta }_j^{2k+1}{t}_{2k+1}\right))}_1^N\}.\end{array}$$
(Отступление. Мы уже указали на то, что метод обратной задачи представляет собой каноническое преобразование, которое старым координатам $q(x)$ сопоставляет новые переменные типа действие — угол (см. [13], [70], [75]):
$$\begin{array}{c}\mathbf{p}=\{p_j=-2{\eta }_j^2,p(\xi )=-\frac{2\xi }{\pi }\ln (1-|R{|}^2)\},\\ \mathbf{q}=\{q_j=\ln b_j,q(\xi )=\mathrm{Arg}b(\xi )\};\end{array}$$

соответствующие скобки Пуассона также образуют алгебру Гейзенберга
$$\{p_j,q_k\}={\delta }_{jk},\{p(\xi ),q\left({\xi }^{\prime }\right)\}=\delta (\xi -{\xi }^{\prime });$$

все остальные скобки равны нулю. Я до сих пор не знаю способа идентификации при помощи теории Ли этих двух гейзенберговских алгебр, а также не знаю, является ли на самом деле одна из них проявлением другой.)

Потоки сохраняют тип решения. С другой стороны, преобразования Бэклунда изменяют тип решения в том смысле, что они добавляют новые компоненты к данным рассеяния. Например, начиная с вакуумного состояния
$$S=\{R(\xi ,0)\equiv 0,\mathrm{Im}\xi =0;N=0\},$$

можно построить односолитонное состояние
$$\begin{array}{rl}S=\{R(\xi ,0)& \equiv 0,\mathrm{Im}\xi =0;{\zeta }_1=i\eta ,\\ b_1& =\exp (2\eta x_0+\sum _0^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}{\eta }^{2k+1}{t}_{2k+1})\},\end{array}$$

применяя преобразование Бэклунда
$${\tau }_{\text{нов }}=(AX(\zeta )+BX(-\zeta )){\tau }_{\text{crap }},$$

где ${\tau }_{\text{стар }}=1$ и $X(\zeta )$ — оператор, задаваемый (4.18). В принципе можно построить все решения из вакуумного состояния преобразованиями Бэклунда, но в действительности анализировать можно только многосолитонные решения. Группа из Киото предпочитает считать многосолитонные решения плотным множеством в пространстве всех решений, но они не поясняют, в каком
7*

смысле следует понимать это. Однако в целях продолжения нашего обсуждения примем эту точку зрения. Для многосолитонных решений можно переписать (4.122) в виде
$${\tau }_{\text{нов }}=(1+\beta Y(\zeta )){\tau }_{\text{стар }},$$

где $\beta =B/A=e^{-2\eta X_0}$ описывает начальное положение солитона, который мы собираемся добавить, а
$$Y(\zeta )=\exp (-2i\sum _0^{\mathrm{\infty }}{\zeta }^{2k+1}{t}_{2k+1})\exp \left(\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{i(2k+1){\zeta }^{2k+1}}\frac{\partial }{\partial t_{2k+1}}\right).$$

Соотношение (4.123) справедливо, так как всегда можно выделить из $\tau$ экспоненциальный множитель, аргумент которого линеен по времени. Читателю следует доказать, что
$$\dot{Y}(\zeta )Y\left({\zeta }^{\prime }\right)1={\left(\frac{\zeta -{\zeta }^{\prime }}{\zeta +{\zeta }^{\prime }}\right)}^2\exp (-2i\sum _0^{\mathrm{\infty }}({\zeta }^{2k+1}+{\zeta }^{\prime 2k+1})t_{2k+1})\text{. }$$

Заметим, в частности, что $Y^2\left(\begin{array}{c}5\\ b\end{array}\right)1=0$, и поэтому можно записать (4.123) в виде
$${\tau }_{\text{нов }}=\exp (\beta Y(\zeta )){\tau }_{\text{стар }}.$$

Инфинитезимальное действие (при $x_0\to \mathrm{\infty }\beta$ становится меньше и меньше) задано вершинным оператором $Y(\zeta )$. Формально $Y(\zeta )$ может быть представлен как бесконечный ряд Лорана
$$Y(\zeta )=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{Y}_{2k+1}{\zeta }^{2k+1}$$

Поскольку операторы $Y(\zeta ),Y\left({\zeta }^{\prime }\right)$ не коммутируют, когда $\zeta +{\zeta }^{\prime }=0$ (из-за того, что множитель ${(\zeta +{\zeta }^{\prime })}^2$ входит в знаменатель (4.125)), козффициенты $Y_{2k+1}$ удовлетворяют нетривиальному набору коммутационных соотношений [39].

Важным обстоятельством является следующее. Леповски и Уилсон [102] показали, что эти соотношения совместно с алгеброй Гейзенберга (4.118) изоморфны бесконечномерной градуированной алгебре Ли (алгебре Каца — Муди) $\widetilde{\mathrm{sl}}(2,C)\oplus Z$, обозначаемой $A_1^{(1)}$, т. е. центральному расширению лагебры петель для $\mathrm{sl}(2,C)$. Каждый член в $\widetilde{sl}(2,C)$ является произведением градуирующего параметра $\lambda$, умноженного на элемент из $\mathrm{sl}(2,C)$, который может быть записан в матричном представлении как $hH+eE+fF$ с базисными векторами
$$H=\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),E\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),F=\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right).$$

Поэтому мы имеем один ответ на вопрос: «Қакое отношение имеет $\mathrm{sl}(2,C)$ к КдФ?» Решения солитонных уравнений семейства КДФ образуют орбиту (набор всех $\tau (t_1,t_3,\dots )$ ) вектора с наибольшим весом (соответствующего $\tau =1$ ) в базисном представлении $\widetilde{\mathrm{sl}}(2,C)\oplus Z$. Алгебра действует на решения как алгебра симметрий. Альтернативная точка зрения, в которой алгебра используется как фазовое пространство, и связи между этими двумя точками зрения приведены в гл. 5.