Несмотря на то, что временная динамика угловых переменных более сложна, но как периодический, так и быстро убывающий случай обладают тем ключевым свойством, что если $q(x, t)$ эволюционирует согласно (1.28), то спектр оператора $L$ в (1.29), рассматриваемого как оператор в $L^{2}(R)(R=(-\infty, \infty)$ или $[0, P])$, остается неизменным. Это свойство было элегантно сформулировано Лаксом (1968) в той же статье [14], в которой он исследовал двухсолитонное взаимодействие. Он заметил, что если оператор $L(t)$ (в данном случае — самосопряженный) и $L(0)$ имеют одинаковые спектры, то они унитарно эквивалентны, т. е. существует унитарный оператор $U\left(U U^{*}=U^{*} U=I\right.$, т. е. разны тождественному оператору), такой что
\[
L(t) U(t)=U(t) L(0) .
\]

Таким образом, если $\varphi(x, 0 ; \lambda)$ является собственной функцией оператора $L=-\left(d^{2} / d x^{2}\right)-q(x)$ при $t=0$ с собственным значением $\lambda$, то $\varphi(x, t ; \lambda)=U(t) \varphi(x, 0 ; \lambda)$ есть собственная функция оператора $L(t)$ с тем же собственным значением. Это видно
прямо из (1.41), поскольку $L(t) U(t) \varphi(x, 0 ; \lambda)=\lambda U(t) \varphi(x, 0 ; \lambda)$. Дифференцирование (1.41) по времени дает
\[
L_{t}=B L-L B=[B, L],
\]
где $B=U_{t} U^{*}$ — кососопряженный оператор. Уравнение называется уравнением Лакса, а $L$ и $B$-парой Лакса. Заметим, что $B$ может быть получен из таких соображений: $\varphi_{t}(x, t ; \lambda)=U_{t} \varphi(x, 0 ; \lambda)=U_{t} U^{*} \varphi(x, t ; \lambda) . \quad$ Для $\quad$ КдФ из (1.30) получаем $B$ в виде (напомним, что $\lambda \varphi_{x}=-\varphi_{x x x}-(q \varphi)_{x}$ )
\[
B=-4 \frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}-3\left(q \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial x} q\right)+C .
\]

Оказывается, что все интегрируемые уравнения типа КдФ могут быть представлены в форме Лакса. Как показал Лакс, существует бесконечная последовательность дифференциальных по $x$ операторов $B$ всех нечетных порядков и поэтому бесконечное семейство потоков $q_{t}$, сохраняющих спектр $L$. Мы получим формулы для них в гл. 3. Читатель может прямым вычислением проверить, что (1.42) — это на самом деле (1.21).