Основная наша цель в этом разделе- показать, как восстанавливать потенциал $q(x)$ по данным рассеяния $S$. Конечным результатом будет знаменитое уравнение Гельфанда – Левитана [81], хотя попутно мы получим уравнение, более удобное для нахождения безотражатель-

ных (чисто солитонных) потенциалов. Мы рассмотрим в деталях двухсолитонный потенциал и объясним, что понимается под сдвигом фаз.

Первая и наиболее утомительная часть анализа – это восстановление фундаментальной матрицы решений
\[
\Phi=\left(\begin{array}{ll}
\varphi(x, \zeta) & \psi(x, \zeta) \\
\varphi_{x}(x, \zeta) & \psi_{x}(x, \zeta)
\end{array}\right) .
\]

Если известна Ф и, в частности, ее элементы, то можно получить, что она удовлетворяет уравнению Шрёдингера, и из этого извлечь потенциал $q(x)$. Наиболее удобный, но не единственный способ сделать последний шаг состоит в том, чтобы выделить $q(x)$, производя асимптотическое разложение для $\psi(x) e^{-i \zeta x}$, определенное в (3.29a). Получаем
\[
\begin{array}{l}
q(x)=\lim _{\zeta \rightarrow \infty}-2 i \xi \frac{d}{d x}\left(\psi(x, \zeta) e^{-i \xi x}-1\right), \\
\operatorname{Im} \zeta \geqslant 0 .
\end{array}
\]

Аналогичный анализ, основанный на (3.29), показывает, что функции $\varphi(x, \xi) e^{i \zeta x}, \varphi(x,-\zeta) e^{-i \zeta x}, \psi(x,-\zeta) e^{i \xi x}$ все стремятся к единице в полуплоскостях, в которых они аналитичны $(\operatorname{Im} \zeta \gtreqless 0)$.

Мы хотим найти $\varphi(x, \xi) e^{i \zeta x}$ (или $\psi(x, \zeta) e^{-i \zeta x}$ ), которая, как мы уже знаем, аналитична в верхней полуплоскости с асимптотическим поведением $\varphi e^{i \zeta x} \rightarrow 1$ при $\zeta \rightarrow \infty, \operatorname{Im} \zeta>0$. Мы также знаем, что $\psi(x,-\xi) e^{i \zeta x}$ аналитична при $\operatorname{Im} \zeta<0$ и на вещественной оси $\zeta, \zeta=\xi$, уравнение (3.59) определяет скачок между $(\varphi / a) e^{i \xi x}$, имеющей лишь конечное число полюсов при $\operatorname{Im} \xi>0$, и $\psi(x,-\zeta) e^{i \zeta x}$. Этот скачок, $R(\zeta) \psi(x, \zeta) e^{i \zeta x}$, должен быть непрерывной функцией. Это – классическая задача Римана Гильберта, решение которой строится следующим образом.

При $\operatorname{Im} \zeta>0$ рассмотрим интеграл вдоль вещественной оси $\xi:$
\[
I=\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\varphi(x, \xi) e^{i \xi x} d \xi}{a(\xi)(\xi+\zeta)}, \operatorname{Im} \zeta>0 .
\]

Вычислим $I$ двумя способами. Во-первых, мы воспользуемся тем фактом, что $\varphi(x, \zeta) e^{i \zeta x}$ и $a(\zeta)$ аналитичны при $\operatorname{Im} \zeta \geqslant 0$, и деформируем контур интегрирования в окружность $|\xi|=R, R \rightarrow \infty$, $0<\operatorname{Arg} \xi<\pi$. Получим
\[
I=\sum_{k=1}^{N} \frac{\gamma_{k} \psi_{k} e^{i \zeta_{k} x}}{\zeta+\zeta_{k}}-\frac{1}{2} .
\]

Первый член в (3.75) представляет собой вклад от нулей функции $a(\zeta)$, которые просты и расположены в точках $\zeta_{k}$, в которых $\varphi_{k}=b_{k} \psi_{k}$ ( $\psi_{k}$ обозначает $\left.\psi\left(x, \zeta_{k}\right)\right)$. Мы определяем $\gamma_{k}$ как $b_{k}\left(a_{k}^{\prime}\right)^{-1}$, где $a_{k}^{\prime}=d a / d \zeta \mid \hbar_{k}$. Второй член происходит от интеграла по полуокружности на $\infty$, относительно которого мы знаем, что подынтегральное выражение стремится к $\xi^{-1}$.
Теперь оценим $I$, используя (3.59):
\[
I=\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\psi(x,-\xi) e^{i \xi x} d \xi}{\xi+\zeta}+\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} R(\xi) \frac{\psi(x, \xi) e^{i \xi x} d \xi}{\xi+\zeta} .
\]

Из свойств аналитичности подынтегрального выражения в первом интеграле получаем
\[
I=-\psi(x, \zeta) e^{-i \xi x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2 \pi i} \int R(\xi) \frac{\psi(x, \xi) e^{i \xi x} d \xi}{\xi+\xi} .
\]

Теперь мы получаем из (3.75) и (3.77) замкнутое интегральное уравнение на $\psi(x, \zeta)$
$\psi(x, \xi) e^{-i \zeta x}=1-\sum_{k=1}^{N} \frac{\gamma_{k} \Psi_{k} e^{i \zeta_{k} x}}{\zeta+\zeta_{k}}+\frac{\mathrm{I}}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} R(\xi) \frac{\psi(x, \xi) e^{j \xi x}}{\xi+\zeta} d \xi$.
Отметим, что необходимые для решения (3.78) данные-это в точности $S=\left(R(\xi), \xi\right.$ вещественно, $\left.\left(\xi_{k}, \gamma_{k}\right)_{1}^{N}\right)$. Для завершения решения (3.78) и доказательства существования и единственности решения иногда удобно взять преобразование Фурье от (3.74) и ввести «временну́ю» переменную, которую мы в разд. 3d назвали т. Мы сделаем подстановку
\[
\psi(x, \zeta) e^{-i \zeta x}=1+\int_{x}^{\infty} K(x, s) e^{i \zeta(s-x)} d s, \quad \operatorname{Im} \zeta>0 .
\]

Несложно показать, что такое $K(x, s)$, не зависящее от $\zeta$, существует [12]. Асимптотическое разложение (3.79) дает
\[
\psi(x, \zeta) e^{-i \xi x}=1-\frac{1}{i \zeta} K(x, x)+O\left(\frac{1}{\zeta^{2}}\right),
\]

и сравнение с (3.73) приводит к
\[
q(x)=2 \frac{d}{d x} K(x, x) .
\]

Подставим (3.79) в (3.78), умножим на $e$ и проинтегрируем по $\zeta$ от $-\infty$ до $+\infty$ вдоль контура, расположенного чуть выше

вещественной оси. Тогда, пользуясь формулами
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} d \zeta e^{i \zeta(s-\tau)}=2 \pi \delta(s-\tau) \\
\int_{-\infty}^{\infty} d \zeta \frac{e^{i \zeta(x-\tau)}}{\zeta+\zeta_{k}}=-2 \pi i e^{-i \zeta_{k}(x-\tau)} H(\tau-x) \\
\int_{-\infty}^{\infty} d \zeta \frac{e^{i \zeta(x-\tau)}}{\zeta+\xi}=-2 \pi i e^{-i \xi(x-\tau)} H(\tau-x)
\end{array}
\]

где $H(y)$ – функция Хевисайда, мы получим
\[
K(x, \tau)+B(x+\tau)+\int_{x}^{\infty} K(x, s) B(s+\tau) d s=0, \quad \tau>x,
\]

где
\[
B(z)=-i \sum_{k=1}^{N} \gamma_{k} e^{i \xi_{k} z}+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} R(\xi) e^{i \xi z} d \xi .
\]

Уравнение (3.81)-это уравнение Гельфанда – Левитана. Это фредгольмово уравнение, из которого находится $K(x, \tau)$ как функция от $\tau>x$ по $B(x+\tau)$. После этого $q(x)$ находится из (3.80). Иногда удобнее записывать (3.82) в более компактной форме
\[
B(z)=\frac{1}{\pi} \int_{C} R(\xi) e^{i \xi z} d \xi
\]

где контур $C$ идет из $\xi=-\infty$ в $\xi=+\infty$ над полюсами $R(\xi)$. Эта формула верна только тогда, когда $R(\xi)$ допускает аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость.

Класс безотражательных потенциалов. Класс безотражательных потенциалов $q(x)$ возникает, когда коэффициент отражения $R(\zeta)$ тождественно равен нулю. В этом случае проще работать непосредственно с (3.78):
\[
\psi(x, \zeta) e^{-t \zeta x}=1-\sum_{1}^{N} \frac{\gamma_{k} \psi_{k} e^{i \zeta_{k} x}}{\zeta+\zeta_{k}} .
\]

Заметим, что из (3.71) при $\xi_{k}=i \eta_{k}$ получается
\[
q(x)=2 i \frac{d}{d x} \sum_{1}^{N} \gamma_{k} \psi_{k} e^{-\eta x} .
\]

Положим в (3.84) $\zeta=\zeta_{j}=i \eta_{j}$ и получим систему $N$ линейных уравнений относительно $\psi_{k}$,
\[
\sum_{k=1}^{N}\left(\delta_{j k}+\frac{\gamma_{k} e-\left(\eta_{k}+\eta_{j}\right) x}{i\left(\eta_{k}+\eta_{j}\right)}\right) \psi_{k}=e^{-\eta_{j} x}, \quad j=1, \ldots, N,
\]

из которой можно найти прямым вычислением $\psi(x, \xi) e^{-i \zeta x}$ и $q(x)$. Пользуясь свойствами $b_{k}$ и $a(\zeta)$, легко показать, что $\gamma_{k}$ является чисто мнимым и что
\[
\gamma_{k}=2 i \eta_{k} e^{2 \eta_{k} \vec{x}_{k}} .
\]
ное значение приводит к возникновению одного солитона)
\[
\begin{aligned}
\psi e^{-i \zeta x} & =1-\frac{i \zeta \operatorname{sech} \eta(x-\bar{x}) e^{-\eta(x-\bar{x})}}{\zeta+i \eta}, \\
\zeta e^{i \zeta x} & =1-\frac{i \eta \operatorname{sech} \eta(x-\bar{x}) e^{-\eta(x-\bar{x})}}{\xi+i \eta}, \\
a^{\prime}\left(\xi_{1}\right) & =\frac{1}{2 i \eta}, \quad b_{1}=e^{2 \eta \bar{x}}, \\
\psi\left(x, \zeta_{1}\right) & =\frac{e^{-\eta \bar{x}}}{1-e^{-2 \eta(x-\bar{x})}}, \\
\varphi\left(x, \zeta_{1}\right) & =b_{1} \psi\left(x, \zeta_{1}\right)=e^{2 \eta \bar{x}} \frac{e^{-\eta x}}{1+e^{-2 \eta(x-\bar{x})}}, \\
q(x) & =2 \eta^{2} \operatorname{sech}^{2} \eta(x-\bar{x}) .
\end{aligned}
\]

В частности, параметр $b_{1}$, отношение $\varphi(\zeta)$ и $\psi(\zeta)$ в точке $\xi_{1}$, равен $e^{2 \eta \bar{x}}$ и поэтому определяет положение солитона. В следующем разделе мы получим, как он зависит от времени $t$.

Кроме того, можно показать, что потенциал $q(x)$, соответствующий $N$-солитонному решению, может быть записан в виде второй производной по $x$ от логарифма функции, которую мы будем называть $\tau(x)$ (это не то $\tau$, которое входит в уравнение Гельфанда – Левитана) и которая имеет вид
\[
\tau=\sum_{\mu_{j}=0,1} \exp \left\{\sum_{i=1}^{N} \mu_{j} H_{i}+\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant N} A_{i j} \mu_{i} \mu_{j}\right\},
\]

где
\[
H_{j}=-2 \eta_{j}\left(x-\bar{x}_{j}\right), \quad e^{A_{i j}}=\left(\frac{\eta_{i}-\eta_{j}}{\eta_{i}+\eta_{j}}\right)^{2}
\]

и первая сумма берется по всем $\mu_{j}=0$ или 1. Читатель может при $N=2$ проверить, что
\[
\tau=1+e^{-2 \eta_{1}\left(x-\bar{x}_{1}\right)}+e^{-2 \eta_{2}\left(x-\bar{x}_{i}\right)}+e^{-2 \eta_{1}\left(x-\bar{x}_{1}\right)-2 \eta_{2}\left(x-\bar{x}_{2}\right)+A_{12}} .
\]

Рис. 3. Двухсолитонное взаимодействие.
Двухсолитонное взаимодействие. Давайте забежим вперед и воспользуемся тем, что если $q(x, t)$ эволюционирует согласно КдФ, то $\bar{x}_{j}=4 \eta_{j}^{2} t+\bar{x}_{j}^{(0)}$, и исследуем двухсолитонное взаимодействие. Предположим, что $\eta_{1}>\eta_{2}$ и рассмотрим окрестность $x \simeq \bar{x}_{2}$. Поскольку $\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=4\left(\eta_{1}^{2}-\eta_{2}^{2}\right) t$, второй и четвертый члены в (3.90) экспоненциально малы при $t \rightarrow-\infty$ и поэтому вблизи $x=\bar{x}_{2}$

и
\[
\tau \simeq 1+e^{-2 \eta_{2}\left(x-\bar{x}_{2}\right)}
\]
\[
q(x)=2 \eta_{2} \operatorname{sech}^{2} \eta_{2}\left(x-\bar{x}_{2}\right) .
\]

С другой стороны, при $x \simeq \bar{x}_{1}$ доминируют третий и четвертый члены, и
\[
\tau \simeq e^{-2 \eta_{2}\left(x-\bar{x}_{2}\right)}\left(1+e^{\left.-\eta_{1}\left(x-\bar{x}_{1}\right)+A_{12}\right)}\right) .
\]

Соответствующее $q(x)$ равно
\[
q(x)=2 \eta_{1} \operatorname{sech}^{2} \eta_{1}\left(x-\bar{x}_{1}-\frac{1}{2 \eta_{1}} A_{12}\right) .
\]

Аналогично при $t \rightarrow+\infty$ вблизи $x=\bar{x}_{1}$
\[
q(x)=2 \eta_{1} \operatorname{sech}^{2} \eta_{1}\left(x-\bar{x}_{1}\right),
\]

а вблизи $x=\bar{x}_{2}$
\[
q(x)=2 \eta_{2} \operatorname{sech}^{2} \eta_{2}\left(x-\bar{x}_{2}-\frac{1}{2 \eta_{2}} A_{12}\right) .
\]

Поэтому меньший солитон $\eta_{2}$, который при больших отрицательных временах располагается справа от солитона $\eta_{1}$, испытывает сдвиг фазы на $\left(1 / 2 \pi_{2}\right) A_{12}$, т. е. на отрицательную величину. Больший солитон $\eta_{1}$ сдвигается вперед на положительную величину $-A_{12} / 2 \eta_{1}$.

И наконец, из (3.88) читатель должен заметить, что если есть $N$ солитонов $\eta_{1}>\eta_{2}>\ldots>\eta_{N}$, то при изменении $t$ от $-\infty$ до $+\infty$ полный сдвиг фазы, испытываемый каждым солитоном, складывается из попарных сдвигов.

Справедливо также утверждение (и в гл. 4 я объясню почему), что функция, выражающая сдвиги фаз
\[
A_{12}=2 \ln \left|\frac{\eta_{1}-\eta_{2}}{\eta_{1}+\eta_{2}}\right|
\]

одна и та же для каждого уравнения, входящего в иерархию КдФ. Можете ли вы сейчас сообразить, почему это верно?