Мы начнем с теоремы, утверждающей, что под действием преобразований
\[
\begin{array}{l}
Q^{(k)} \rightarrow R Q^{(k)} R^{-1}+R_{t_{k}} R^{-1}=\tilde{Q}^{(k)}, \\
Q \rightarrow R Q R^{-1}=\tilde{Q}
\end{array}
\]

уравнение
\[
Q_{t_{k}}^{(j)}-Q_{t_{j}}^{(k)}+\left[Q^{(j)}, Q^{(k)}\right]=0
\]

и его предел
\[
Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right]
\]

сохраняют свой вид. Доказывается это непосредственно. Такой выбор преобразования мотивируется тем, что (5.135) и (5.136) суть условия интегрируемости последовательности уравнений
\[
V_{t_{k}}=Q^{(k)} V,
\]

и уравнения (5.137) сохраняют свой вид при преобразовании
\[
V \rightarrow R V=W,
\]

если выполняется (5.133).
Кроме того, иногда также бывает полезно нормировать $V$, добавляя член в правую часть (5.137):
\[
V_{t_{k}}=Q^{(k) V}+V N^{(k)} .
\]

Условие интегрируемости для (5.139) есть в точности (5.135), если ротор бесконечномерного вектора $N^{(k)}$ равен нулю, т. е.
\[
N_{t_{j}}^{(k)}=N_{t_{k}}^{(f)}
\]
(Я напомню, что мы выбрали $N^{(1)}=0, N^{(k)}=i \zeta^{k} H$ при $k \geqslant 2$, чтобы быть уверенным, что асимптотика $V$ в $-\infty$ имеет вид
\[
V_{0}=\left(\begin{array}{cc}
e^{-i \zeta k} & 0 \\
0 & e^{i \zeta x}
\end{array}\right)
\]
(см. разд. $\mathrm{f}(\mathrm{i})$ ). Добавление нормировки $N^{(k)}$ выполняется преобразованием $V$
\[
V \rightarrow R V S=V
\]

и легко показать, что
\[
N^{(k)}=S^{-1} S_{t_{k}} .
\]

Условие (5.140) тогда выполняется, если
\[
\left[N^{(k)}, N^{(j)}\right]=0 .
\]

Обратите внимание, что преобразование (5.134) матрицы $Q$ не включает $S$. Это происходит потому, что умножение $V$ справа просто сводится к замене базиса столбцов $V$. Преобразование (5.141) с условием (5.143) вместе с (5.133) и (5.134) называется калибровочным преобразованием. Но взгляните на (5.134). Мы знаем, что если $Q$ удовлетворяет (5.136), то и $\widetilde{Q}=R Q R^{-1}$ удовлетворяет этому соотношению. Но уравнение (5.134) есть просто бесконечный набор соотношений между переменными $\left\{h_{r}, e_{r}, f_{r}\right\}$ в $Q$ и соответствующими переменными $\left\{\tilde{h}_{r}, \tilde{e}_{r}, \tilde{f}_{r}\right\}$ в $\tilde{Q}$. Следовательно, (5.134) есть автопреобразование Бэклунда между двумя произвольными членами набора интегрируемых уравнений, ассоциированных с $\widetilde{\operatorname{sl}}(2, C)$.

До сих пор мы ничего не сказали про $R$ и $S$, кроме того, что они должны быть обратимыми. Как их следует выбирать? Мы уже отметили, что $S$ не имеет существенного значения. Поэтому все зависит от того, как мы выберем $R$.

Во-первых, заметьте, что $R$ обладает легко выводимым из (5.133) свойством
\[
\frac{\partial}{\partial t_{k}} \operatorname{det} R=\left(\operatorname{Tr} \widetilde{Q}^{(k)}-\operatorname{Tr} Q^{(k)}\right) \operatorname{det} R=0,
\]

ибо $\operatorname{Tr} Q^{(k)}$ не зависит от $t_{k}$, а из (5.134) то же следует для $\operatorname{Tr} \widetilde{Q}^{(k)}$. Поэтому $\operatorname{det} R$ не зависит от $t_{k}$ и может быть лишь функцией $\zeta$. Пусть $\alpha$ – нуль $\operatorname{det} R$, и предположим, что это не нуль $\operatorname{det} V$. Тогда $\operatorname{det} \tilde{V}(\alpha)=\operatorname{det} R(\alpha) \operatorname{det} V(\alpha)=0$ и столбцы $\tilde{V}$ линейно зависимы при $\zeta=\alpha$. Теперь, вспоминая обсуждение в конце части (i) предыдущего раздела, мы видим, что это в точности условие наличия у $\bar{
abla}$ связанного состояния в точке $\alpha$. Мы знаем, что добавление пары связанных состояний в $\alpha, \bar{\alpha}$ соответствует добавлению солитона. С другой стороны, если $\operatorname{det} R$ имеет полюс в $\alpha$, то мы видим, что обратное преобразование $V=R^{-1} \tilde{V}$ создает новую фундаментальную матрицу $V$ с дополнительным связанным состоянием, параметризуемым $\alpha$.

Итак, нули $\operatorname{det} R$ соответствуют связанным состояниям $\mathscr{V}$, не содержащимся в $V$. Пара связанных состояний соответствует добавлению солитона. Более сложные функциональные формы $\operatorname{det} R$ соответствуют добавлению более сложных решений, что выходит за рамки этих лекций. Однако есть другой простой $1 / 29$ А. Ньюэлл.

класс преобразований Бэклунда, соответствующих $\operatorname{det} R=$ $=$ constant. Эти преобразования, меняющие монодромию фундаментальной матрицы решений з $\zeta=\infty$ и известные как преобразования Шлезингера [125]. Они играют центральную роль в той истории, которую я сейчас хочу рассказать.

Давайте обратимся к конкретным случаям, иллюстрируя эти идеи несколькими примерами. Непосредственная цель этого раздела – выписать формулы, выражающие новые $\tau$-функции $\tilde{\tau}, \tilde{\sigma}, \tilde{\rho}$ через прежние $\tau, \boldsymbol{\sigma}, \rho$. Но, как мы увидим, лучше рассматривать каждый такой триплет в качестве трех следующих друг за другом членов бесконечной последовательности.

Первый пример хорошо известен (хотя, возможно, вы не встречались с изложенным выше подходом) и состоит в попытке добавить к решению $Q$ один дополнительный солитон. Я вновь напомню, что вся информация о солитоне содержится в структуре фундаментальной матрицы решений. Ее столбцы становятся линейно зависимыми при значениях $\zeta$, соответствующих солитонным параметрам. С помощью преобразования базиса, действующего на столбцы $V$ посредством $S$, этот критерий можно сформулировать в вполне эквивалентной форме, если потребовать, чтобы первый столбец в $R V$ обращался в нуль при $\zeta=\zeta_{1}$, а второй в сопряженной точке $\bar{\zeta}_{1}$. Вспомним краткое обсуждение задачи рассеяния для задачи на собственные значения Захарова – Шабата в разд. 5f. Для $r$ и $q$ общего вида собственные значения появляются парами, $\zeta, \bar{\zeta}$ – нули соответственно $a(\zeta)$ и $\bar{a}(\zeta)$ в верхней и нижней полуплоскостях. Если $f_{1}=-e_{1}^{*}$ (или $r=-q^{*}$ ), то $\bar{\xi}=\zeta^{*}=\xi-i \eta$ и $\eta$ и $\xi$-амплитуда и скорость огибающей солитона. В целях настоящего обсуждения мы возьмем $r=-q$ и в этом случае $\zeta_{1}=i \eta, \bar{\zeta}_{1}=-i \eta$. Вычисления упрощаются, и результат читателю уже знаком из разд. 4f. Положим
\[
R=\left(\begin{array}{cc}
\zeta+d+a & b \\
c & \zeta+d-a
\end{array}\right), \quad V=\left(\begin{array}{ll}
V_{11} & V_{12} \\
V_{21} & V_{22}
\end{array}\right) .
\]

Нетрудно показать, что условия того, что
\[
R\left(\begin{array}{l}
V_{11} \\
V_{21}
\end{array}\right)=0 \quad \text { при } \quad \zeta=i \eta, \quad R\left(\begin{array}{l}
V_{21} \\
V_{22}
\end{array}\right)=0 \quad \text { при } \quad \xi=-i \eta,
\]

приводят к следующим значениям $a, b, c, d$ :
\[
a=i \eta-\frac{2 i \eta}{1+\gamma^{2}}, \quad b=c=\frac{-2 i \eta \gamma}{1+\gamma^{2}}, \quad d=0,
\]

где (вспомните обозначения, используемые в разд. 4f)
\[
\gamma=\frac{V_{21}(i \eta)}{V_{11}(i \eta)}=-\frac{V_{22}(-i \eta)}{V_{12}(-i \eta)} .
\]

Последнее равенство справедливо, поскольку из разд. 5f мы знаем, что если $V_{1}(x, \zeta), V_{2}(x, \xi)$ – решение уравнений Захарова – Шабата, то $V_{2}(x,-\zeta),-V_{1}(x,-\zeta)$ тоже являются решениями, если $r=-q$. Вычислив $R$, давайте используем преобразование Бэклунда ( 5.134) для вычисления новых рядов $\tilde{h}, \tilde{e}, \tilde{f}$ через старые $h, e, f$.
Несложные вычисления показывают, что если
\[
R\left(\begin{array}{cc}
\zeta+a & b \\
b & \zeta-a
\end{array}\right), \quad Q=\left(\begin{array}{cc}
h & e \\
f & -h
\end{array}\right), \quad \tilde{Q}=\left(\begin{array}{cc}
\tilde{h} & \tilde{e} \\
\tilde{f} & -\tilde{h}
\end{array}\right),
\]

то (5.134) можно записать как
\[
\zeta\left(\begin{array}{l}
\tilde{h}-h \\
\tilde{e}-e \\
\tilde{f}-f
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}
a(h-\tilde{h})+b(\tilde{f}-\tilde{e}) \\
a(\tilde{e}+e)-b(\tilde{h}+h) \\
-a(\tilde{f}+f)+b(\tilde{h}+h)
\end{array}\right) .
\]

Вспомните, что $h_{0}=\tilde{h}_{0}=-i, \quad e_{0}=f_{0}=\tilde{e}_{0}=\tilde{f}_{0}=h_{1}=\tilde{h}_{1}=0$. Вычисляя коэффициенты при $\zeta^{3}$, мы получим
\[
\begin{array}{c}
\tilde{e}_{1}-e_{1}=2 i b=\frac{4 \eta \gamma}{1+\gamma^{2}}, \\
\tilde{f}_{1}-f_{1}=-2 i b=\frac{-4 \eta \gamma}{1+\gamma^{2}},
\end{array}
\]

откуда видно, что поскольку $f_{1}=-e_{1}$, то $\tilde{f}_{1}=-\tilde{e}_{1}$, т. е. мы остаемся в классе решений. Пусть $e_{1}=-u_{x} / 2, \tilde{e}_{1}=-\tilde{u}_{x} / 2$ и $\gamma=\operatorname{tg}(u+\tilde{u}) / 4$, откуда из (5.147а) имеем
\[
u_{x}-\tilde{u}_{x}=4 \eta \sin \frac{u+\tilde{u}}{2}
\]
– определенно знакомый результат (см. разд. 4f). Коэффициенты при высших степенях $\zeta$ дают соотношения между $\tilde{\hbar}_{s}, \tilde{e}_{s}, \tilde{f}_{s}$ и $h_{s}, e_{s}, f_{s}$. Вспоминая, что $e_{s}=(i / 2) \partial e_{1} / \partial t_{s-1}$, мы получим все соотношения Бэклунда для погоков семейства мКдФ. В этом примере мы, конечно должны зафиксировать $t_{2 n}, n=1,2, \ldots$, ибо в противном случае мы не сохраним класс $f_{1}=-e_{1}$. Поэтому выражения, полученные с помощью вычислений коэффициентов при нечетных степенях $\zeta$, удовлетворяются автоматически и не дают нам новых состношений Бэклунда.

Они играют одну важную роль. Вы можете спросить, почему я смог выбрать $\gamma=\operatorname{tg}(u+\tilde{u}) / 4$. Строго говоря, это совсем не
$1 / 29^{*}$

следует из того, что я рассказал. Однако, если вы взглянете на коэффициенты при $\zeta^{-1}$ в (5.146), вы обнаружите, что
\[
\tilde{e}_{2}-e_{2}=a\left(\tilde{e}_{1}+e_{1}\right) .
\]

Теперь продифференцируйте (5.147a) по $x$ или $t_{1}$ и умножьте на $i / 2$. Получится
\[
\tilde{e}_{2}-e_{2}=i \eta \cos \varphi \varphi_{x},
\]

где мы воспользовались тем, что $e_{2}=(i / 2) \partial e_{1} / \partial t_{1}$, и положили $\gamma=\operatorname{tg}(\varphi / 2)$. Теперь вспомним, что $a=-i \eta \cos \varphi$, и поэтому
\[
\tilde{e}_{1}+e_{1}=-\varphi_{x},
\]

или
\[
\frac{\tilde{u}+u}{2}=\varphi \text {. }
\]

Поэтому введение $\gamma=\operatorname{tg}[(u+\tilde{u}) / 4]$ совершенно естественно. Это не фокус и не обман!

Второй пример иллюстрирует преобразование Шлезингера [86], [125]. На этот раз мы выбираем $R$ таким образом, чтобы асимптотическое разложение фундаментальной матрицы решений $\widetilde{
abla}$ имело канонический вид, заданный (5.77), но к тому же умноженный на матрицу
\[
\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta & \\
& \frac{1}{2 i \zeta}
\end{array}\right),
\]

которая меняет монодромию в $\xi=\infty$.
Сначала позвольте привести ответ и изучить его ограничения. Как найти нужное $R$, я расскажу после. Возьмем
\[
R=\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta-\frac{\partial}{\partial t_{1}} \ln e_{1} & e_{1} \\
\tilde{f}_{1} & 0
\end{array}\right) .
\]

Қанонический вид $V$ есть
\[
V=\frac{1}{\tau}\left(\begin{array}{cc}
X_{-} \tau & -\frac{i}{2 \zeta} X_{+} \sigma \\
\frac{i}{2 \xi} X_{-} \rho & X_{+} \tau
\end{array}\right),
\]

н, как я сказал, $R$ была выбрана так, чтобы
\[
\tilde{V}=R V=\tilde{V}_{c}\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta & \\
& \frac{1}{2 i \zeta}
\end{array}\right) .
\]

Здесь $\tilde{V}_{c}$ обозначает $\tilde{V}$, нормиэованную умножением на зависящее от $\zeta$ преобразование, с тем чтобы добиться канонического вида (т. е. (5.77) и (5.151) с заменой $\tau, \sigma, \rho$ на $\tilde{\tau}, \tilde{\sigma}, \tilde{\rho}$ ). Так как $\operatorname{det} R=-1$, то $e_{1} \tilde{f}_{1}=1$.
Но из (5.152) и (5.151)
\[
\begin{array}{l}
R=\tilde{V}_{c}\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta & \\
\end{array}\right) V^{-1}= \\
=\frac{1}{\tau \tilde{\tau}}\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta \tilde{\tau}_{-} \tau_{+}+\frac{i}{8 \zeta^{3}} \tilde{\sigma}_{+} \rho_{-} & \sigma_{+} \tilde{\tau}_{-}-\frac{1}{4 \zeta^{2}} \tilde{\sigma}_{+} \tau_{-} \\
\tilde{\rho}_{-} \tau_{+}-\frac{1}{4 \zeta^{2}} \tilde{\tau}_{+} \rho_{-} & \frac{i}{2 \zeta}\left(\sigma_{+} \tilde{\rho}_{-}-\tilde{\tau}_{+} \tau_{-}\right.
\end{array}\right), \\
\end{array}
\]

где $\tau_{+}=\tau\left(t_{k}+i / 2 k \zeta^{k}\right), \quad \tilde{\rho}_{-}=\tilde{\boldsymbol{\rho}}\left(t_{k}-i / 2 k \zeta^{k}\right)$. Все экспоненциальные множители $e^{\mp i \sum b^{k} t_{k} H} \quad$ в $X_{+}$и $X_{-}$сокращаются. Tеперь, сравнивая (5.150) и (5.153), мы находим
\[
\begin{array}{c}
\sigma_{+} \tilde{\rho}_{-}=\tilde{\tau}_{+} \tau_{-}, \\
\tilde{\rho}_{-} \tau_{+}-\frac{1}{4 \zeta^{2}} \tilde{\tau}_{+} \rho_{-}=\tilde{f}_{1} \tau \tilde{\tau}=\tilde{\rho} \tau .
\end{array}
\]

Но $\tilde{f}_{1}=e_{1}^{-1}(\operatorname{det} R=-1$ ) означает, что
\[
\tilde{\rho} \sigma=\tau \tilde{\tau} .
\]

Мы находим (вспоминая, чго $\tau_{+} \tau_{-}-\sigma_{+} \rho_{-} / 4 \zeta^{2}=\tau^{2}$ из-за $\operatorname{det} V=1$ )
\[
\ddot{\tau}=\sigma, \quad \tilde{\rho}=\tau
\]

и, раскрывая выражение
\[
\sigma_{+} \bar{\tau}_{-}-\frac{1}{4 \tilde{\zeta}^{2}} \tilde{\sigma}_{+} \tau_{-}
\]

получаем
\[
\tilde{\sigma}=-\frac{1}{2 \tau} D_{t_{1}}^{2} \sigma \cdot \sigma,
\]

где $D_{t_{1}}$ – оператор Хироты. Записывая (5.151) в терминах $e_{1}$, $f_{1}$ и воспользовавшись тем, что $e_{1} f_{1}=-\tau_{11} / \tau+\tau_{1}^{2} / \tau$, находим (нижние индексы – это производные по $t_{1}=x$ )
\[
\tilde{e}_{1}=-e_{1 x x}+\frac{e_{1 x}^{2}}{e_{1}}+e_{1}^{2} f_{1}
\]

Кроме того,
\[
\tilde{f}_{1}=\frac{1}{e_{1}}
\]

Теперь давайте представим, что нам захотелось применить это преобразование Бэклунда – Шлезингера много раз. Пусть $\left(\tilde{e}_{1}, \tilde{f}_{1}\right)=\left(q_{n+1}, r_{n+1}\right)$ и $\left(e_{1}, f_{1}\right)=\left(q_{n}, r_{n}\right)$.

Тогда последовательное применение преобразования Бэклунда, меняющего монодромию $V$ на множитель
\[
\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta & \\
& \frac{1}{2 i \zeta}
\end{array}\right),
\]

дает последовательность
\[
\begin{array}{c}
q_{n+1}=-q_{n x x}+\frac{q_{n x}^{2}}{q_{n}}+q_{n}^{2} r_{n}, \\
r_{n+1}=\frac{1}{q_{n}} .
\end{array}
\]

Пусть $q_{n}=e^{u_{n}}$. Тогда $r_{n}=e^{-u_{n-1}}$ и (5.161a) есть
\[
u_{n x x}=e^{u_{n}-u_{n-1}}-e^{u_{n+1}-u_{n}} .
\]

Если мы обозначим $x=i t$, это будут уравнения цепочки Тоды! Итак, мы имеем замечательный результат, что цепочку Тоды можно решить последовательным применением преобразований Бэклунда определенного вида к иерархии $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C)$.

Можно не добавлять, что уравнения Хироты для цепочки Тоды – это
\[
\tau_{n}=\sigma_{n-1}, \quad \rho_{n}=\tau_{n-1}
\]

и (так как $x=t_{1}=i t$ )
\[
\sigma_{n}=\frac{1}{2 \tau_{n-1}} D_{t \sigma_{n-1}}^{2} \cdot \sigma_{n-1}=\frac{1}{2 \sigma_{n-2}} D_{t}^{2} \sigma_{n-1} \cdot \sigma_{n-1} .
\]

Аналогия с цепочкой Тоды полезна потому, что она позволяет следующим образом наглядно представить действие $R$. Допустим, что мы считаем триплет $\{\rho, \tau, \sigma\}$-функциями цепочки Тоды, связанными с положениями $n-1, n$ и $n+1$, т. е. $\tau_{n-1}=\rho$, $\tau_{n}=\tau, \tau_{n+1}=\sigma$. По правилам для цепочки Тоды $\tau$-функция в точке $n+2$ задается выражением
\[
\tau_{n+2}=\frac{1}{2 \tau_{n}} D_{t}^{2} \tau_{n+1} \cdot \tau_{n+1} .
\]

Давайте применим $R$. Будучи матрицей, $R$ не действует непосредственно на скаляры. Мы будем поэтому обозначать буквой $R$ ее эффективное действие:
\[
\begin{array}{l}
R \cdot \rho=\tau \Leftrightarrow R \cdot \tau_{n-1}=\tau_{n}, \\
R \cdot \tau=\sigma \Leftrightarrow R \cdot \tau_{n}=\tau_{n+1} .
\end{array}
\]

Применяя $R$ к $\sigma$, получим
\[
R \cdot \sigma=-\frac{1}{2 \tau} D_{t_{1}}^{2} \sigma \cdot \sigma,
\]

что эквивалентно
\[
R \cdot \tau_{n+1}=\frac{1}{2 \tau_{n}} D_{t}^{2} \tau_{n+1} \cdot \tau_{n+1}=\tau_{n+2} .
\]

Действие $R$ на функцию $\tau_{n-2}$, заданную формулой $\left(1 / 2 \tau_{n}\right) \times$ $\times D_{t}^{2} \tau_{n-1} \cdot \tau_{n-1}$, состоит в сдвиге индексов на единицу и дает $\tau_{n-1}$. Итак,
\[
R\left\{\ldots, \tau_{n-1}, \tau_{n}, \tau_{n+1}, \ldots\right\}=\left\{\ldots, \tau_{n}, \tau_{n+1}, \tau_{n+2}, \ldots\right\} .
\]

Поэтому лучше всего считать, что $R$ действует не на триплет $\{\rho, \tau, \sigma\}$, а на последовательность $\left\{\tau_{n}\right\}_{-\infty}^{\infty}$.

Наконец, я расскажу, как вычислять матрицы $R$, которые изменяют монодромию в $\zeta=\infty$. Попросту возьмем
\[
R=\frac{1}{2}(I+H) \sum \frac{\alpha_{r}}{\xi^{r}}+\frac{1}{2}(I-H) \sum \frac{\delta_{r}}{\xi^{r}}+E \sum \frac{\beta_{r}}{\zeta^{r}}+F \sum \frac{\gamma_{r}}{\zeta^{r}},
\]

где суммировать надо от 0 до $\infty$, и выпишем уравнения
\[
R Q=\tilde{Q} R .
\]

Для коэффициентов при $\zeta^{-n}$ находим
\[
\begin{array}{l}
\sum_{0}^{n}\left\{\alpha_{r}\left(h_{n-r}-\tilde{h}_{n-r}\right)+b_{r} f_{n-r}-c_{r} \tilde{e}_{n-r}\right\}=0, \\
\sum_{0}^{n}\left\{\delta_{r}\left(h_{n-r}-\tilde{h}_{n-r}\right)-c_{r} e_{n-r}+b_{r} \tilde{f}_{n-r}\right\}=0, \\
\sum_{0}^{n}\left\{\alpha_{r}\left(e_{n-r}-\tilde{e}_{n-r}\right)-b_{r}\left(h_{n-r}+\tilde{h}_{n-r}\right)\right\}=0, \\
\sum_{0}^{n}\left\{\delta_{r}\left(f_{n-r}-\tilde{f}_{n-r}\right)+c_{r}\left(h_{n-r}+\tilde{h}_{n-r}\right)\right\}=0 .
\end{array}
\]

Чтобы изменить монодромию $V$ на множитель
\[
\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta & 0 \\
0 & \frac{1}{2 i \zeta}
\end{array}\right)
\]

поищем решение, для которого $\delta_{r}=0, \alpha_{r}, \beta_{r}, \gamma_{r}$ – нули при $r \geqslant 2$ и $\beta_{0}=\gamma_{0}=0$. Теперь решим уравнения и найдем
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{0}=\text { constant }=-2 i, \quad \alpha_{1}=2 i e_{2} / e_{1}, \\
\beta_{1}=e_{1}, \quad \gamma_{1}=\tilde{f}_{1} .
\end{array}
\]

Несложные вычисления показывают, что
\[
\tilde{h}_{n-1}=h_{n-1}+\frac{i}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t_{1} \partial t_{n-2}} \ln e_{1},
\]

и это дает
\[
\tilde{\tau}=\tau e_{1}=\sigma .
\]

Другие соотношения (5.157) и (5.158) также выводятся прямым вычислением. Подводя итоги, мы воспользуемся более удобными обозначениями. Если
\[
V \rightarrow V_{+}=R_{+} V
\]
c
\[
R_{+}=\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta-\frac{\partial}{\partial t_{1}} \ln e_{1} & e_{1} \\
f_{1+}=\frac{1}{e_{1}} & 0
\end{array}\right),
\]

то асимптотическое разложение $V_{+}$имеет вид
\[
V_{+} \sim \frac{1}{\tau_{+}}\left(\begin{array}{cc}
X_{-} \tau_{+} & -\frac{i}{2 \xi} X_{+} \rho_{+} \\
\frac{\tau}{2 \zeta} X_{-} \rho_{+} & X_{+} \tau_{+}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta & 0 \\
0 & \frac{1}{2 i \zeta}
\end{array}\right)
\]

где
\[
\tau_{+}=\sigma, \quad \rho_{+}=\tau, \quad \sigma_{+}=-\frac{1}{2 \tau} D_{t_{1}}^{2} \sigma \cdot \sigma .
\]

В терминах цепочки Тоды это запишется как
\[
\left\{\ldots, \tau_{n-1}, \tau_{n}, \tau_{n+1}, \ldots\right\}_{+}=\left\{\ldots, \tau_{n}, \tau_{n+1}, \tau_{n+2}, \ldots\right\} .
\]

Заметьте, что последнее уравнение согласуется с (5.67), третьим уравнением в последовательности Хироты для $\tau, \sigma, \rho$, потому что
\[
D_{t_{1}}^{2} \sigma \cdot \sigma=D_{t_{1}}^{2} \tau_{+} \cdot \tau_{+}=-2 \sigma_{+} \rho_{+}=-2 \sigma_{+} \tau .
\]

Заметим также, что определитель $R$ постоянен и равен -1 .
Из (5.166) мы находим, что компоненты ( $\left.u_{1+}, u_{2+}\right)$ столбца $V_{+}$связаны с соответствующим столбцом в $V$ (напомним, что $e_{2}=i / 2 e_{1, t_{1}}$ ) соотношениями
\[
u_{1+}=\left(-2 i \zeta+2 i \frac{e_{2}}{e_{1}}\right) u_{1}+e_{1} u_{2}, \quad u_{2+}=\frac{1}{e_{1}} u_{1} .
\]

Дуальное преобразование
\[
V \rightarrow V_{-}=R_{-} V
\]

c
\[
R_{-}=\left(\begin{array}{cc}
0 & \frac{1}{f_{1}} \\
f_{1} & 2 i \zeta-2 i \frac{f^{2}}{f_{t}}
\end{array}\right)
\]

изменяет монодромию $V$ в точке $\zeta=\infty$ на множитель
\[
\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{2 i \zeta} & \\
& 2 i \zeta
\end{array}\right)
\]

то есть
\[
V_{-} \sim \frac{1}{\tau_{-}}\left(\begin{array}{cc}
X_{-} \tau_{-} & -\frac{i}{2 \zeta} X_{+} \sigma_{-} \\
\frac{i}{2 \zeta} X_{-} \rho_{-} & X_{+} \tau_{-}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{2 i \zeta} & 0 \\
0 & 2 i \zeta
\end{array}\right)
\]

и
\[
\tau_{-}=\rho, \quad \sigma_{-}=\tau, \quad \rho_{-}=-\frac{1}{2 \tau} D_{t_{i}}^{2} \rho \cdot \rho .
\]

В терминах цепочки Тоды это запишется как
\[
\left\{\ldots, \tau_{n-1}, \tau_{n}, \tau_{n+1}, \ldots\right\}_{-}=\left\{\ldots, \tau_{n-2}, \tau_{n-1}, \tau_{n}, \ldots\right\} .
\]

Столбцы $V_{-}$связаны со столбцами $V$ соотношениями
\[
u_{1-}=\frac{1}{f_{1}} u_{2}, \quad u_{2-}=f_{1} u_{1}+\left(2 i \zeta-2 i \frac{f_{2}}{f_{1}}\right) u_{2} .
\]

Читателю следует получить уравнения, аналогичные
Сейчас мы намерены использовать преобразования Бэклунда – Шлезингера, чтобы выписать формулу Бэклунда для добавления солитонов. Применяя ту же стратегию, что и в первом примере, мы потребуем, чтобы $R=R_{L}$ было выбрано так, чтобы один из двух столбцов $V_{L}=R_{L} V$ имел нуль в $\xi=\alpha$. Если взять
\[
R_{L}=\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta+a & b \\
c & d
\end{array}\right)
\]

с $a, b, c, d$, независящими от $\zeta$, то это означает, что
\[
(-2 i \alpha+a) u_{1}+b u_{2}=0, \quad c u_{1}+d u_{2}=0 .
\]

Из преобразования Бэклунда
\[
R Q=\tilde{Q} R
\]

которое в компонентах записывается в виде
\[
\begin{array}{c}
-2 i \zeta(\tilde{h}-h)=b f-\tilde{e} c, \\
(-2 i \zeta+a) e=b(h+\tilde{h})+\tilde{e} d, \\
(-2 i \zeta+a) \tilde{f}=c(h+\tilde{h})+f d, \\
c e=\tilde{f} b-d(\tilde{h}-h),
\end{array}
\]

мы получаем, вычисляя коэффициенты при степенях $\zeta$,
\[
\begin{aligned}
\zeta^{0}: & e_{1}=b, \\
& \tilde{f}_{1}=c, \\
& -2 i\left(\bar{h}_{2}-h_{2}\right)=e_{1} f_{1}-\tilde{e}_{1} \tilde{f}_{1}, \\
\zeta^{-1}: & -2 i e_{2}+a e_{1}=\tilde{e}_{1} d, \\
& -2 i \tilde{f}_{2}+a \tilde{f}_{1}=f_{1} d, \\
& \tilde{e}_{1} f_{1}=\tilde{f}_{1} e_{1} .
\end{aligned}
\]

Из (5.177), (5.179) имеем
\[
\begin{array}{l}
\tilde{f}_{1}=-d \frac{u_{2}}{u_{1}} \\
\tilde{e}_{1}=\frac{1}{d}\left(-2 i e_{2}+2 \alpha e_{1}-e_{1}^{2} \frac{u_{2}}{u_{1}}\right)
\end{array}
\]

и
\[
-2 i\left(\tilde{h}_{2}-h_{2}\right)=e_{1} f_{1}+\frac{u_{2}}{u_{1}}\left(-2 i e_{2}+2 i \alpha e_{1}-e_{1}^{2} \frac{u_{2}}{u_{1}}\right)=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln u_{1},
\]

что получено после несложных вычислений, использующих уравнения, которым удовлетворяют $u_{1}$ и $u_{2}$, а именно
\[
u_{1 x}=-i \zeta u_{1}+e_{1} u_{2:} \quad u_{2 x}=i \zeta u_{2}+f_{1} u_{1} .
\]

Так как $h_{k}=(i / 2) \partial^{2} \ln \tau / \partial t_{1} \partial t_{k-1}$, то это дает нам
\[
\tilde{\tau}=\tau u_{1} \text {. }
\]

Мы также найдем
\[
\tilde{\rho}=\tilde{f}_{1} \tilde{\tau}=-\frac{d u_{2}}{u_{1}} \cdot \tau u_{1}=-d \tau u_{2} .
\]

Мы вскоре покажем, что $d$ должна быть константой; нам удобно выбрать ее равной – 1 . Окончательно
\[
\begin{aligned}
\tilde{\sigma}=\tilde{e}_{1} \tilde{\tau} & =\tau e_{1}\left(-2 i \alpha+2 i \frac{e_{2}}{e_{1}}+e_{1} \frac{u_{2}}{u_{1}}\right)= \\
& =\tilde{\tau} e_{1} \frac{u_{1+}(\alpha)}{u_{1}}=\tau e_{1} u_{1+}(\alpha)=\sigma u_{1+}(\alpha)=\tau_{+} u_{1+}(\alpha) .
\end{aligned}
\]

Какой замечательный результат! Налицо близкое сходство между формулами (5.180) и (5.182). Разница в том, что новая $\sigma$ задана в терминах старых $\tau, \sigma, \rho$ и $u_{1}, u_{2}$, которые были подвергнуты плюс-преобразованию Шлезингера. Рассматривая снова (5.181), мы найдем из (5.175)
\[
\tilde{\mathbf{\rho}}=\tau u_{2}=\tau f_{1} u_{1-}=\rho u_{1-}=\tau_{-} u_{1-} .
\]

Снова формула имеет тот же вид, что и (5.180), только она применена к ( $\tau, \sigma, \rho$ ) и ( $\left.u_{1}, u_{2}\right)$, которые были подвергнуты минус-преобразованию Шлезингера.

Причина, по которой $d$ является константой, состоит в том, что $\operatorname{det} \widetilde{V}=-2 i d(\xi-\alpha)$. Так как этот определитель к тому же является вронскианом фундаментального решения для набора уравнений $\tilde{V}_{t_{k}}=\tilde{Q^{(k)}} \tilde{V}$, он долхен быть независим от всех времен $t_{k}$. Выбор $d=-1$ делает асимптотическое разложение для $\widetilde{V}$ подобным асимптотическому разложению для $V$, за исключением множителя $2 i(\zeta-\alpha)$ в первом столбце. Итак, в результате применения
\[
R_{L}=\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta+2 i \alpha-e_{1} \frac{u_{2}}{u_{1}}(\alpha) & e_{1} \\
\frac{u_{2}}{u_{1}} \alpha=\tilde{f}_{1} & -1
\end{array}\right)
\]

к $V$ получаем $V_{L}$, при всех $k$ удовлетворяющую $V_{L t_{k}}=Q_{L}^{(k)} V_{L}$ с $Q_{L}^{(k)}=R Q^{(k)} R^{-1}+R_{t_{k}} R^{-1}$, и
\[
R_{L} Q=Q_{L} R
\]

кроме того,
\[
\begin{array}{l}
\tau_{L}=\tau u_{1}(\alpha) \\
\rho_{L}=\tau u_{2}(\alpha)=\tau_{-} u_{1-}(\alpha), \\
\sigma_{L}=\sigma u_{1+}(\alpha)=\tau_{+} u_{1+}(\alpha) .
\end{array}
\]

Вектор $u_{1}$ обозначает тот столбец в $V$, для которого соответствующий столбец в $V_{L}$ равен нулю при $\xi=\alpha$. Тогда $u_{2}$-это другой столбец. При помощи подходящего линейного преобразования мы будем, как правило, делать так, что левый столбец в $V_{L}$ будет иметь нуль; отсюда и употребление индекса $L$.

Теперь, поскольку после применения плюс (минус) преобразования Шлезингера $\tau_{+}=\sigma\left(\tau_{-}=\rho\right)$, то мы можем обозначить $\sigma_{L}=\tau_{+L}\left(\rho_{L}=\tau_{-L}\right)$. Тогда естественно переписать (5.186) (обозначая $\tau=\tau_{0}$ ) так:
\[
\begin{aligned}
\tau_{-L} & =\tau_{-} u_{1-}(\alpha), \\
\tau_{0 L} & =\tau_{0} u_{1}(\alpha), \\
\tau_{+L} & =\tau_{+} u_{1+}(\alpha) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, преобразование Бэклунда, добавляющее связанное состояние при $\zeta=\alpha$, можег быть выражено в простой форме, аналогичной (4.99) для семейства КдФ, для которого задача на собственные значения является скалярной (уравнение Шрёдингера), а не матричной задачей. Главная $\tau$-функция $\tau_{0}$ преобразуется в точности, как (4.99), а вспомогательные $\tau$-функции $\tau_{-}(\rho)$ и $\tau_{+}(\sigma)$ преобразуются подобным же образом после применения соответственно минус- и плюс-преобразований Бэклунда – Шлезингера.

Несложно выразить (5.187) через операторы $X_{+}$и $X_{-}$, действующие на прежние $\tau, \sigma, \rho$, потому что нам известно, как выражается $u(\alpha)$ через эти величины. Вспомним, что каноническая форма $V$ задавалась в (5.86) формулой
\[
V \sim \frac{1}{\tau}\left(\begin{array}{cc}
X_{-} \tau & -\frac{i}{2 \zeta} X_{+} \sigma \\
\frac{i}{2 \zeta} X_{-} \rho & X_{+} \tau
\end{array}\right) .
\]
$V_{-}$и $V_{+}$имеют асимптотический вид
\[
\frac{1}{\tau_{-}}\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{2 i \zeta} X_{-} \tau_{-} & X_{+} \sigma_{-} \\
-\frac{1}{4 \zeta^{2}} X_{-} \rho_{-} & 2 i \zeta X_{+} \tau_{-}
\end{array}\right)
\]

и
\[
\frac{1}{\tau_{+}}\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta X_{-} \tau_{+} & -\frac{1}{4 \zeta^{2}} X_{+} \sigma_{+} \\
X_{-} \rho_{+} & \frac{1}{2 i \zeta} X_{+} \tau_{+}
\end{array}\right)
\]

соответственно. Следовательно, если в качестве ( $u_{1}, u_{2}$ ) взять линейную комбинацию столбцов $V$ в (5.188), то в качестве $\left(u_{1-}, u_{2-}\right)$ и ( $u_{1+}, u_{2+}$ ) следует взять ту же комбинацию (5.189a) и (5.189b) соответственно.

Пример: построение односолитонного решения. Применим один раз это преобразование, начиная с тривиального решения $\tau=1, \sigma=\rho=0$. Пусть $\left(u_{1}, u_{2}\right)$ – линейная комбинация из $A$, умноженного на первый, и $B$, умноженного на второй столбец матрицы $V$. Тогда
\[
\rho_{L}=\tau_{-L}=-\frac{A}{2 i \alpha} X_{-}(\alpha) \cdot \tau_{-}+B X_{+}(\alpha) \sigma_{-}=B X_{+}(\alpha) \cdot 1
\]
(потому что $\tau_{-}=\rho$ есть нуль и $\sigma_{-}=\tau=1$ ),
\[
\tau_{L}=\tau_{0 L}=A X_{-}(\alpha) \cdot 1
\]

и
\[
\sigma_{L}=\tau_{+L}=0 .
\]

Следовательно, $\quad \rho_{L}=B \exp \left(i \sum \alpha^{k} t_{k}\right), \quad \tau_{L}=A \exp \left(-i \sum \alpha^{k} t_{k}\right)$, $\sigma_{L}=0$. Это соответствует решению
\[
e_{1}=0, \quad f_{1}=\frac{B}{A} \exp \left(2 i \sum \alpha^{k} t_{k}\right)
\]

иерархии уравнений.
Точно так же можно создать нуль определителя $R V$ в точке $\zeta=\bar{\alpha}$, если применить
\[
R_{R}=\left(\begin{array}{cc}
-1 & \tilde{e}_{1}=\frac{u_{1}}{u_{2}}(\bar{\alpha}) \\
f_{1} & 2 i \zeta-2 i \bar{\alpha}-f_{1} \tilde{e}_{1}
\end{array}\right)
\]

к $V$. Соответствующие величины суть
\[
\begin{array}{l}
\tau_{R}=\tau_{0 R}=\tau_{0} u_{2}(\bar{\alpha}), \\
\rho_{R}=\tau_{-R}=\tau_{-} u_{2-}(\bar{\alpha}), \\
\sigma_{R}=\tau_{+R}=\tau_{+} u_{2+}(\bar{\alpha}) .
\end{array}
\]

Снова я напоминаю читателю, что если мы возьмем в качестве $\left(u_{1}, u_{2}\right.$ ) линейную комбинацию столбцов канонической матрицы $V$, заданной (5.188), то в качестве $u_{-}$и $u_{+}$следует взять ту же линейную комбинацию столбцов (5.189).

Теперь применим (5.193), где исходные $\tau_{-}, \tau_{0}, \tau_{+}(\rho, \xi, \sigma)$ заданы (5.190). Несложные вычисления показывают, что
\[
\begin{array}{c}
X_{+}(\zeta) \cdot X_{+}\left(\zeta^{\prime}\right) f\left(t_{k}\right)= \\
=\left(1-\frac{\zeta^{\prime}}{\zeta}\right)^{1 / 2} \exp \left(i \sum\left(\zeta^{k}+\zeta^{\prime k}\right) t_{k}\right) f\left(t_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}+\frac{i}{2 k \zeta^{\prime k}}\right), \\
X_{+}(\zeta) \cdot X_{-}\left(\zeta^{\prime}\right) f\left(t_{k}\right)= \\
=\left(1-\frac{\zeta^{\prime}}{\zeta}\right)^{1 / 2} \exp \left(i \sum\left(\zeta^{k}-\zeta^{\prime k}\right) t_{k}\right) f\left(t_{k}+\frac{i}{2 k \zeta^{k}}-\frac{i}{2 k \zeta^{\prime k}}\right),
\end{array}
\]

где мы использовали тождество
\[
\exp \left( \pm \sum_{1}^{\infty} \frac{\zeta^{\prime k}}{2 k \zeta^{k}}\right)=\left(1-\frac{\zeta^{\prime}}{\zeta}\right)^{\mp 1 / 2}
\]

Мы возьмем в качестве $u_{2}$ в (5.193) следующую линейную комбинацию: $C$, умноженное на первый, плюс $D$, умноженное на

второй столбец матрицы $V$. Находим (мы опускаем индекс $R$ у $\tau, \sigma, \rho)$ :
\[
\begin{array}{l}
\tau=\left(1-\frac{\alpha}{\bar{\alpha}}\right)^{1 / 2} D A \exp \left(-i \sum\left(\alpha^{k}-\bar{\alpha}^{k}\right) t_{k}\right) \times \\
\quad \times\left(1+\frac{i}{2 \bar{\alpha}} \frac{C B}{D A} \exp \left(2 i \sum\left(\alpha^{k}-\bar{\alpha}^{k}\right) t_{k}\right)\right), \\
\sigma=\left(1-\frac{\alpha}{\bar{\alpha}}\right)^{1 / 2} C A \exp \left(-i \sum\left(\alpha^{k}-\bar{\alpha}^{k}\right) t_{k}\right) \exp \left(-2 i \sum \bar{\alpha}^{k} t_{k}\right), \\
\rho=\left(1-\frac{\alpha}{\bar{\alpha}}\right)^{1 / 2} 2 i \bar{\alpha} B D \exp \left(-i \sum\left(\alpha^{k}-\bar{\alpha}^{k}\right) t_{k}\right) \exp \left(2 i \sum \alpha^{k} t_{k_{k}}\right) .
\end{array}
\]

Это односолитонное решение иерархии АКНС. Если мы рассмотрим специальный случай $r=-q^{*}$, то $\bar{\alpha}=\alpha^{*}$, и при выборе
\[
\frac{C}{D}=2 \alpha^{*} e^{2 \eta x_{0}} e^{i \varphi}, \quad \frac{B}{A}=-i e^{2 \eta x_{0}} e^{-i \varphi}
\]

уравнения таковы:
\[
\begin{array}{l}
e_{1}=-2 \eta \operatorname{sech}\left(i \sum\left(a^{k}-\alpha^{* k}\right) t_{k}+2 \eta x_{0}\right) \times \\
\times \exp \left\{-i \sum\left(\alpha_{k}+\alpha_{k}^{*}\right) t_{k}+i\left(\varphi+\frac{\pi}{2}\right)\right\}, \\
f_{1}=2 \eta \operatorname{sech}\left(i \sum\left(\alpha^{k}-\alpha^{* k}\right) t_{k}+2 \eta x_{0}\right) \times \\
\quad \times \exp \left\{i \sum\left(\alpha_{k}+\alpha_{k}^{*}\right) t_{k}-i\left(\varphi+\frac{\pi}{2}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Читателю следует также проверить, что формулы (5.196) эквивалентны формулам, которые получаются из метода Хироты (5.70). Они не совпадают в точности, но отличаются лишь экспоненциальными множителями с линейной по $t_{k}$ фазой, которые не играют роли ни при вычислении отношений $\sigma / \tau$, ни при вычислении вторых логарифмических производных.

Заметьте, что в точности, как в случае КдФ (см. разд. 4f), сдвиги фазы появляются в виде множителей при последовательном применении вершинных операторов.
Итак, в результате калибровочное преобразование
\[
V \rightarrow R_{R}\left(\bar{\alpha}_{\bar{N}}\right) \ldots R_{R}\left(\bar{\alpha}_{1}\right) R_{L}\left(\alpha_{N}\right) \ldots R_{L}\left(\alpha_{1}\right) V
\]

добавляет к решению иерархии АКНС связанное состояние $(N, \bar{N})$, которое при $\bar{N}=N$ является $N$-солитонным состоянием.

В качестве заключительного замечания в этом разделе исследуем действие повторных преобразований Бэклунда– Шлезингера на точное решение в виде связанного состояния ( $N, \bar{N}$ ). Предположим, мы нормировали решение $V$ так, что опо записывается в форме (5.100a).

В частности, $\zeta^{-1}$ во второй компоненте вектора $\mathbf{V}_{2}$ и в первой компоненте вектора $\mathbf{V}_{1}$ равны соответственно $(i / 2) f_{1}$ и $-(i / 2) e_{1}$, где последние как функции от $x$ имеют форму решения, отвечающего связанному состоянию $\left(N, \bar{N}\right.$ ). Применим $R_{+}$, плюспреобразование Шлезингера. Но из определения плюс-преобразования Шлезингера мы знасм, что его действие состоит в изменении монодромии $V$ в точке $\zeta=\infty$ на множитель
\[
\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta & 0 \\
0 & \frac{1}{2 i \zeta}
\end{array}\right) \text {. }
\]

Это означает, что новое $V$ имеет вид $\left(-2 i \zeta \mathbf{V}_{1},(1 / 2 i \zeta) \mathbf{V}_{2}\right.$ ), где $\mathbf{V}_{1}$ и $\mathbf{V}_{2}$ заданы (5.100a) с векторами $\mathbf{C}_{1 k}, \mathbf{C}_{2 k}$, заданными точно теми же выражениями, как и прежде, где ряды $e, f, h$ заменены новыми рядами $\tilde{e}, \tilde{f}, \tilde{h}$, полученными после преобразования Шлезингера. Читатель может проверить, например, что происходит с вектором
\[
\mathbf{v}_{1}=\left(\begin{array}{c}
1+\frac{i}{2 \zeta} \int^{x} e_{1} f_{1}+\ldots+\frac{T_{1}}{\zeta^{N}} \\
\frac{i}{2 \zeta} f_{1}+\ldots+\frac{T_{2}}{\zeta^{N}}
\end{array}\right)
\]

при умножении на
\[
R_{+}=\left(\begin{array}{cc}
-2 i \zeta-\frac{\partial}{\partial t_{1}} \ln e_{1} & e_{1} \\
\frac{1}{e_{1}} & 0
\end{array}\right) .
\]

Находим
\[
R_{+} \mathbf{V}_{1}=-2 i \zeta\left(\begin{array}{c}
1+\frac{i}{2 \zeta} \int^{x} e_{1} f_{1}-\frac{i}{2 \zeta} \frac{\partial}{\partial t_{1}} \ln e_{1}+\ldots+\frac{T_{1}^{\prime}}{\zeta^{N+1}} \\
\frac{i}{2 \zeta} \frac{1}{e_{1}}+\ldots+\frac{T_{2}^{\prime}}{\zeta^{N+1}}
\end{array}\right)
\]

Вспомните, что $\tilde{f}_{1}=1 / e_{1}$, и проверьте, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{i}{2 \zeta} \int^{x} e_{1} f_{1}-\frac{i}{2 \zeta} \frac{\partial}{\partial t_{1}} \ln e_{1}=\frac{i}{2 \zeta} \int^{x} \tilde{e}_{1} \tilde{f}_{1}+ \\
+\frac{1}{\zeta} \int\left(\tilde{h}_{2}-h_{2}\right) d x-\frac{i}{2 \zeta} \frac{\partial}{\partial t_{1}} \ln e_{1}=\frac{i}{2 \zeta} \int^{x} \tilde{e}_{1} \tilde{f}_{1},
\end{array}
\]

используя $\quad \tilde{h}_{2}-h_{2}=(i / 2)\left(\partial^{2} / \partial t_{1}^{2}\right) \ln e_{1}$ (см. непронумерованное уравнение после (5.165)). С другой стороны,
\[
R_{+} \mathbf{V}_{2}=-\frac{1}{2 i \zeta}\left(\begin{array}{c}
-\frac{i}{2 \zeta} \tilde{e}_{1}+\ldots+\frac{S_{1}}{\zeta^{\bar{N}-1}} \\
1+\ldots+\frac{S_{2}}{\zeta^{\bar{N}-1}}
\end{array}\right)
\]

Поэтому новая матрица $V$ соответствует решению $\tilde{e}_{1}, \tilde{f}_{1}$, относящемуся к связанному состоянию $(N+1, \bar{N}-1)$. После $\bar{N}$ применений $R_{+}$второй столбец новой $V$ имеет второй столбец $\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$, что означает, что новое $e_{1}$, которое мы называем $q_{\bar{N}}$ (первое $e_{1}$ – это $q$, второе $\tilde{e}_{1}=q_{1}$ и так далее), есть нуль. Но из (5.161) мы знаем, что последовательное применение $\vec{N}$ преобразований $R_{+}$дает решение для цепочки Тоды между точкой, помеченной нулем, и точкой, которую мы называем $\tilde{N}$.

Следовательно, если $q$-это решение, отвечающее связанному состоянию $(N, \bar{N})$ иерархии АКНС, то движение помеченной нулем точки в цепочке задается пространственной формой решения $q$. Далее, точка, помеченная $\bar{N}$, будет иметь решение $q_{\bar{N}}=0$, которое означает, что $u_{\bar{N}}$, определенное с помощью $\exp u_{\bar{N}}=q_{\bar{N}}$, равно $-\infty$. Поэтому последовательное применение плюс-преобразования Шлезингера к связанному состоянию $(N, \bar{N})$ дает последовательность $q_{r}, 0 \leqslant r \leqslant \bar{N}, q_{0}=q$, причем форма последнего решения как функция $x$ описывает движение во времени точек с номерами ог нуля до $\bar{N}$ в конечной цепочке Тоды со свободными концами.

Набор дифференциально-разностных уравнений, ассоциированных с $\operatorname{sl}(n+1, C)$-потоком посредством преобразования Шлезингера, еще не вычислен.

Мы опять вернемся к теме преобразований Бэклунда в конце разд. 5ј. Там я покажу, как они соотносятся со схемой «одевания» Захарова – Шабата и с методом редукции.