Испытаем метод на уравнении
\[
q_{t}+6 q^{p} q_{x}+q_{x x x}=0 .
\]

Положим $P=q X_{1}+X_{2}$ (покажите, что если $P=P(q)$, то $P_{q q}=$ $=0$ ) и решим (5.2) относительно $Q$,
\[
\begin{array}{c}
Q=-q_{x x} X_{1}+q_{x}\left[X_{1}, X_{2}\right]-\frac{6}{p+1} q^{p+1} X_{1}+ \\
+\frac{q^{2}}{2}\left[X_{1}, X_{3}\right]+q\left[X_{2}, X_{3}\right]+\bar{X} .
\end{array}
\]
(Подсказка: сначала решите для $Q=-q_{x x} X_{1}+R\left(q, q_{x}\right)$ и продолжите $R=q_{x}\left[X_{1}, X_{2}\right]+S(q)$ и т. д.) Из (5.2) мы находим, приравнивая члены при одинаковых степенях $q$, что $X_{3}=0$, если $p
eq 0,1$ или 2 . В этом случае $X_{1}$ и $X_{2}$ пропорциональны, и запись уравнения как условия разрешимости (5.3), (5.4) просто отражает тот факт, что оно имеет очевидный закон сохранения. С другой стороны, если $p=1,2$, то возникает нетривиальная алгебра. В том случае, когда $p=2$, мы можем решить коммутационные соотношения, выбирая
\[
\bar{X}=-4 i \zeta^{3} H, \quad X_{1}=E-F, \quad H_{2}=-i H \zeta .
\]

Каковы возможные решения при $p=1$ ?