Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Испытаем метод на уравнении
\[
q_{t}+6 q^{p} q_{x}+q_{x x x}=0 .
\]
Положим $P=q X_{1}+X_{2}$ (покажите, что если $P=P(q)$, то $P_{q q}=$ $=0$ ) и решим (5.2) относительно $Q$,
\[
\begin{array}{c}
Q=-q_{x x} X_{1}+q_{x}\left[X_{1}, X_{2}\right]-\frac{6}{p+1} q^{p+1} X_{1}+ \\
+\frac{q^{2}}{2}\left[X_{1}, X_{3}\right]+q\left[X_{2}, X_{3}\right]+\bar{X} .
\end{array}
\]
(Подсказка: сначала решите для $Q=-q_{x x} X_{1}+R\left(q, q_{x}\right)$ и продолжите $R=q_{x}\left[X_{1}, X_{2}\right]+S(q)$ и т. д.) Из (5.2) мы находим, приравнивая члены при одинаковых степенях $q$, что $X_{3}=0$, если $p
eq 0,1$ или 2 . В этом случае $X_{1}$ и $X_{2}$ пропорциональны, и запись уравнения как условия разрешимости (5.3), (5.4) просто отражает тот факт, что оно имеет очевидный закон сохранения. С другой стороны, если $p=1,2$, то возникает нетривиальная алгебра. В том случае, когда $p=2$, мы можем решить коммутационные соотношения, выбирая
\[
\bar{X}=-4 i \zeta^{3} H, \quad X_{1}=E-F, \quad H_{2}=-i H \zeta .
\]
Каковы возможные решения при $p=1$ ?
