Центральная и постоянно повторяющаяся тема метода обратной задачи рассеяния состоит в том, что рассматриваемые нелинейные уравнения возникают как условия интегрируемости переопределенных линейных систем. Мы показали, каким образом уравнение КдФ и все члены его семейства представляют условия интегрируемости линейных уравнений вида

и
\[
v_{x x}+\left(\zeta^{2}+q\left(x, t_{3}, \ldots\right)\right) v=0
\]
\[
v_{t_{2 k+1}}=\left(\frac{1}{2} B_{x}^{(k)}+c\right) v-B^{(k)} v_{x} .
\]

Запишем пару уравнений для уравнения КдФ ( $4 t=t_{3}$ )
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0
\]

в виде системы
\[
V_{x}=\left(\begin{array}{cc}
-i \zeta & q \\
-1 & i \zeta
\end{array}\right) V
\]

и
\[
V_{t}=\left(\begin{array}{cc}
-4 i \zeta^{3}+2 i q \zeta-q_{x} & 4 \zeta^{2} q+2 i q_{x} \zeta-q_{x x}-2 q^{2} \\
-4 \zeta^{2}+2 q & 4 i \zeta^{3}-2 i q \zeta-q_{x}
\end{array}\right)
\]

где $V=\left(v_{1}=-v_{x}+i \zeta v, v_{2}=v\right)^{T}$. Потерпите, пока я выполню следующие небольшие вычисления. Определим
\[
\gamma=\frac{v_{1}}{v_{2}}
\]

и найдем
\[
\begin{aligned}
\gamma_{x}= & -2 i \zeta \gamma+q+\gamma^{2}, \\
\gamma_{t}= & \left(-8 i \zeta^{3}+4 i q \zeta-2 q_{x}\right) \gamma+ \\
& +\left(4 \zeta^{2} q+2 i q_{x} \zeta-q_{x x}-2 q^{2}\right)-\left(2 q-4 \zeta^{2}\right) \gamma^{2} .
\end{aligned}
\]

Условием интегрируемости этих уравнений Риккати также является (4.84). Далее положим
\[
q=-u_{x}, \quad \tilde{q}=-\tilde{u}_{x},
\]

откуда $u(x, t)$ удовлетворяет уравнению
\[
u_{t}-3 u_{x}^{2}+u_{x x x}=0
\]
(мы положили константу интегрирования равной нулю) или (в зависимости от того, какое $t$ мы взяли в иерархии КдФ) соответствующему члену данного семейства, проинтегрированному один раз по $x$. Определим $\tilde{u}$ формулой
\[
\gamma-i \zeta=\frac{\tilde{u}-u}{2} .
\]

Утверждается, что если $u(x, t)$ удовлетворяет (4.89) (или для других $t$ другим членам семейства КдФ), то ( $x, t$ ) также удовлетворяет (4.89) (или соответственно другим членам указан. ного семейства). Сейчас мы докажем это. Однако сначала рассмотрим дальнейшие следствия этих утверждений. Подставляя $(4.90)$ в $(4.88)$, найдем
\[
\frac{\tilde{u}_{x}+u}{2}=\left(\frac{\tilde{u}-u}{2}\right)^{2}+\zeta^{2}
\]

и
\[
\frac{\tilde{u}_{t}+u_{t}}{2}=2 q_{x}\left(\frac{u-\tilde{u}}{2}\right)-2 q\left(\frac{\tilde{u}-u}{2}\right)^{2}+q^{2}-2 \zeta^{2} \tilde{q} .
\]

Уравнения (4.91) представляют однопараметрический (с параметром $\zeta^{2}$ ) набор соотношений
\[
R_{J}\left(u, u_{x x}, u_{t} ; \tilde{u}, \tilde{u}_{x}, \tilde{u}_{x x}, \tilde{u}_{t} ; \zeta^{2}\right)=0,
\]

включающих $\tilde{u}, u$ и их частные производные. Соотношений здесь меньше, чем переменных. Далее, нам известно, что $u(x, t)$ удовлетворяет (4.89). Я предлагаю читателю прямыми вычислениями показать, что $\tilde{u}(x, t)$ тоже удовлетворяет (4.89). Существует также другое доказательство, которое позволяет глубже проникнуть в тесные связи между уравнениями (4.91) и (4.85), (4.86), (4.88). Используя (4.91a), мы можем показать, что (4.91)

можно также записать в виде соотношения
\[
\frac{\tilde{u}_{t}+u_{t}}{2}=2 \tilde{q}_{x}\left(\frac{\tilde{u}-u}{2}\right)-2 \tilde{q}\left(\frac{\tilde{u}-u}{2}\right)^{2}+\tilde{q}^{2}-2 \zeta^{2} q,
\]

которое есть просто (4.91b), где переставлены местами $u$ и $\tilde{u}$. Поэтому уравнения $(4.91 \mathrm{a}, \mathrm{c})$ можно записать как $(4.88 \mathrm{a}, \mathrm{b})$, где произведены замены $\gamma \rightarrow-\gamma, \zeta \rightarrow-\zeta$ и вместо $q$ стоит $\tilde{q}$. Но перемена знака $\gamma$ и $\zeta$ не нарушает условий разрешимости, и поэтому $\tilde{q}(x, t)$ удовлетворяет (4.84) и $\tilde{u}(x, t)$ удовлетворяет (4.89).

Мы назовем набор соотношений, подобных (4.91), преобразованием Бэклунда. Оно позволяет построить сложные решения из более простых. Например, если мы возьмем $u=0$ и решим полученную пару уравнений первого порядка (4.90) по $x$ и $t$, мы найдем $\tilde{u}(x, t)=-2 \eta$ th $\eta\left(x-4 \pi^{2} t-x_{0}\right), \xi=i \eta$. Для более общего $u(x, t)$ труднее решить уравнение для $\tilde{u}$, поэтому существуют значительно лучшие способы построения решений из старых, чем прямое решение (4.91). Я вкратце покажу вам, как это делается.

Однако сейчас я хочу вернуться к понятию преобразования Бэклунда. В литературе этот термин существует длительное время. Очень трудно найти его ясное определение. Определение, которое я приведу, было дано Ханно Рундом [95] и сейчас является общепринятым. Пусть $u(x, t)$ и $\tilde{u}(x, t)$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям в частных производных
\[
E(u)=0
\]

и
\[
D(\tilde{u})=0
\]

соответственно. Тогда набор соотношений
\[
R_{j}((u),(\tilde{u}),(\zeta))=0, \quad j=1, \ldots, n,
\]

где (u) и ( $\tilde{u})$ обозначают наборы, необязательно одинаковой длины, состоящие из $u, \tilde{u}$ и их различных частных производных, называется преобразованием Бэклунда, если эти соотношения гарантируют следующий факт: $\tilde{u}$ удовлетворяет (4.93b) всякий раз, когда $u$ удовлетворяет (4.93a), и наоборот. Если $u$ и $\tilde{u}$ удовлетворяют одному и тому же уравнению, то перед этим термином ставится приставка «авто». Набор соотношений (4.91) является автопреобразованием Бэклунда, связывающим решения соответствующих членов семейства КдФ. Первая половина этих соотношений (4.91a) связывает решения всех членов каждого семейства. Преобразование Миуры
\[
q(x, t)=v^{2}(x, t)-i v_{x}(x, t)
\]

связывает решения каждого члена семейства КдФ с каждым членом семейства модифицированного КдФ, первым нетривиальным уравнением которого является
\[
v_{t}+6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}=0 .
\]

Из уравнения (1.12) гл. 1 (уравнение, которому удовлетворяет каждый член соответствующих семейств, см. [96]) мы знаем, что если $v(x, t)$ удовлетворяет (4.96), то $q(x, t)$, заданная соотношением (4.95), удовлетворяет (4.84). С другой стороны, $q(x, t)$, которая удовлетворяет (4.84), может привести к $v(x, t)$, не обязательно удовлетворяющей (4.96). Действительно, решение (1.12) дает
\[
v_{t}+6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}=A \exp \left(-2 i \int^{x} q d y\right),
\]

и поэтому мы не можем само (4.95) назвать преобразованием Бэклунда, если не дополним набор соотношений (в данном случае добавлением одного соотношения) другим соотношением (таким, как само уравнение (4.96)), гарантирующим, что $v(x, t)$ будет удовлетворять модифицированному уравнению КдФ.

Должно быть ясно, что если мы желаем сохранить центральное понятие о том, что $q$ является функцией бесконечного числа независимых переменных, то преобразование Бэклунда, которое взаимоувязывает решения целого семейства, обязательно должно быть бесконечным рядом соотношений, включающих все производные по времени. Можно формально вывести их точно тем же способом, как мы получили (4.91b). Более быстрый и элегантный путь представлен в разд. $5 \mathrm{~g}$, где мы определяем преобразование Бэклунда в терминах действий над $\tau$-функцией. Вспомним, что
\[
\gamma-i \zeta=\frac{v_{1}}{v_{2}}-i \zeta=-\frac{v_{x}}{v},
\]

и так как обе функции $u(x, t)$ и $\tilde{u}(x, t)$ удовлетворяют (4.89), то мы можем записать
\[
u(x, t)=-2 \frac{\partial}{\partial x} \ln \tau, \tilde{u}(x, t)=-2 \frac{\partial}{\partial x} \ln \tilde{\tau} .
\]

Поэтому уравнение (4.90), которое определяет $\tilde{u}$, это просто
\[
\tilde{\tau}=\tau v \text {. }
\]

Необходимо иметь возможность обратить формулу; а именно, пусть
\[
\tau=\tilde{\tau} \tilde{v}(x, \zeta),
\]

где $\tilde{v}$-решение уравнения (4.82), в котором $q$ заменено на $\tilde{q}$. Но из (4.91a) мы можем записать
\[
\tilde{q}=-q-2 \frac{v_{x}^{2}}{v^{2}}-2 \zeta^{2},
\]

и поэтому $1 / v$ удовлетворяет
\[
\left(\frac{1}{v}\right)_{x x}+\left(\tilde{q}+\zeta^{2}\right) \frac{1}{v}=0 .
\]

Важно подчеркнуть, что $\zeta$ в (4.97)-(4.101) является конкретным значением параметра, характеризующим солитон, на который решение $\tilde{q}$ богаче, чем решение $q$. Поэтому мы его обозначим $\zeta_{1}$. В качестве примера я оставлю читателю показать, что если $v\left(x, \zeta_{1}\right)=v_{1}(x)$ удовлетворяет (4.82) с $\zeta=\xi_{1}$ и $q=q$, $v(x, \zeta)$ удовлетворяет (4.82), то
\[
\tilde{v}(x, \zeta)=v_{x}(x, \zeta)-\frac{v_{1 x}}{v_{1}} v(x, \zeta)
\]

удовлетворяет (4.82) с учетом замены $q$ на $\tilde{q}$ (заданным формулами (4.90) и (4.92) или (4.101)). Этот результат принадлежит Фаддееву [96]. Скомбинируем эти результаты с результатами разд. 3d и определим, что делает преобразование Бэклунда с данными рассеяния. Я буду придерживаться работы Флашки и Маклохлина [96].
Пусть потенциал $q(x)$ обладает данными рассеяния
\[
S[q]=\left\{R(\zeta), \zeta(\operatorname{Im} \zeta=0) ;\left(\zeta_{j}=i \eta_{j}, \gamma_{j}\right)_{j=2}^{N}\right\} .
\]

Для того чтобы $\tilde{v}(x, \zeta)$ не имела полюсов в нуле $v_{1}(x)$, мы должны потребовать, чтобы $\zeta_{1}^{2}$ лежала слева от спектра, связанного с $q(x)$, в этом случае $v_{1}(x)$ не имеет нуля на $(-\infty, \infty)$. Возьмем (полагая $A
eq 0$ )
\[
v_{1}(x)=A \psi\left(x, \zeta_{1}\right)+B \varphi\left(x, \zeta_{1}\right) .
\]

Повторяем, что поскольку $\zeta_{1}$ не принадлежит спектру, связанному с $q, \varphi\left(x, \zeta_{1}\right)$ и $\psi\left(x, \zeta_{1}\right)$ линейно независимы. Далее выберем $v(x, \zeta)$ таким образом, что $\tilde{v}(x, \xi)=\tilde{\psi}(x, \zeta)$, т. е. $\tilde{v}(x, \xi) \sim e^{i \xi x}$ при $x \rightarrow \infty$ для вещественных $\zeta$. В качестве простого упражнения предлагаю показать, что $v(x, \zeta)=\left(i \zeta-\eta_{1}\right)^{-1} \psi(x, \zeta)$, если $B
eq 0$, и равна $\left(i \zeta+\eta_{1}\right)^{-1} \psi(x, \xi)$, если $B=0$. Если $B
eq 0$, то при $x \rightarrow-\infty$
\[
\psi(x, \zeta) \rightarrow \frac{\zeta-i \eta_{1}}{\zeta+i \eta_{1}} a(\zeta) e^{i \zeta x}+(-\zeta) e^{-i \zeta x},
\]

что при сравнении с (3.62) означает, что (напомним: $R(\zeta)=$ $=b(\zeta) / a(\zeta))$
\[
\tilde{a}(\zeta)=\frac{\zeta-i \eta_{1}}{\zeta+i \eta_{1}} a(\zeta), \quad \tilde{b}(-\zeta)=-b(-\zeta), R(\zeta)=\frac{\zeta+i \eta_{1}}{\zeta-i \eta_{1}} R(\zeta),
\]

и связанным состояниям отвечает $\zeta_{j}=i \eta_{I}$ при $j=1, \ldots, N$, где $\tilde{\gamma}_{j}=\left(\eta_{1}+\eta_{i}\right) /\left(\eta_{1}-\eta_{i}\right) \gamma_{j}$ (просто взят вычет $R(\zeta)$ в точке $\zeta=$ $\left.=i \eta_{\jmath}\right), j=2, \ldots, N$ и $\gamma_{1}$ зависит от $A$ и $B$. Аналогично, если $B=0$,
\[
\tilde{\psi}(x, \zeta) \rightarrow a(\zeta) e^{-i \zeta x}+\frac{\zeta+i \eta_{i}}{\zeta-i \eta_{i}} b(-\zeta) e^{-i \zeta x},
\]

что означает
\[
\tilde{a}(\zeta)=a(\zeta), \quad \tilde{R}(\zeta)=\frac{\zeta-i \eta_{1}}{\zeta+i \eta_{1}} R(\zeta), \quad \tilde{\gamma}_{j}=\frac{\eta_{1}-\eta_{j}}{\eta_{1}+\eta_{j}} \gamma_{i} .
\]

При этом новых связанных состояний не добавилось.
Заметим, что поскольку (4.103) добавляет в спектр связанное состояние $\xi_{1}=i \eta_{1}$, оно также изменяет коэффициент отражения на фазовый множитель. Для того чтобы $\tilde{q}$ имело те же данные рассеяния, что и $q$, исключая добавление одного связанного состояния, нужно сначала применить преобразование Бэклунда (4.104) (где $B=0$ ) и затем преобразование Бэклунда (4.103). Результирующее преобразование дает $\tilde{q}$ с данными рассеяния
\[
S[\tilde{q}]=\left\{R(\zeta), \zeta(\operatorname{Im} \zeta=0) ;\left(\zeta_{j}=i \eta_{l}, \gamma_{j}\right)_{j=1}^{N}\right\},
\]

где $\gamma_{1}$ зависит от выбора $A$ и $B$ в (4.103). Заметим, однако, что, если начать с безотражательного потенциала $R(\zeta)$, не потребуется никакого фазового сдвига, обусловленного преобразованием Бэклунда, добавляющим солитон.

Далее взглянем на то, как преобразование Бэклунда воздействует на $\tau$-функцию. Поскольку мы широко пользовались соотношениями (4.15) и (4.18), т. е. формальным результатом, который реально применим только для солитонных и рациональных решений (в этом случае асимптотическое разложение в точке $\zeta=\infty$ является разложением Лорана), мы ограничимся безотражательными потенциалами. Я оставляю читателю попытку расширить область применимости формул. Для того чтобы записать (4.99) в виде
\[
\tilde{\tau}=\tau v(x, \xi)=\tau(A \psi(x, \zeta)+B \psi(x,-\zeta)),
\]

сначала воспользуемся (4.18), где $v(x, \zeta)$ записана в виде линейной комбинации двух линейно независимых решений

$\psi(x, \zeta), \psi(x,-\zeta)$, связь которых (формальная или асимптотическая) с $\tau$-функций дана формулой (4.18), а именно:
\[
\psi(x, \zeta)=\frac{X(\zeta) \tau}{\tau}, \quad \psi(x,-\zeta)=\frac{X(-\zeta) \tau}{\tau},
\]

где из (4.18) следует
\[
X(\zeta)=\exp \left(i \sum \zeta^{2 k+1} t_{2 k+1}\right) \exp \left(\sum \frac{-1}{i(2 k+1) \zeta^{2 k+1}} \frac{\partial}{\partial t_{2 k+1}}\right) .
\]

Так как мы решили в большей части этой главы работать с $2^{2 k} t_{2 k+1}$, а не с $t_{2 k+1}$ (вспомните, что это исключило множитель $1 / 2^{2 k}$ перед правой частью потока $t_{2 k+1}(3.14)$ ), запишем
\[
X(\zeta)=\exp \left(i \sum \zeta(2 \zeta)^{2 k} t_{2 k+1}\right) \exp \left(\sum \frac{-1}{i \zeta(2 k+1)(2 \zeta)^{2 k}} \cdot \frac{\partial}{\partial t_{2 k+1}}\right) .
\]

Используя (4.106), формулу (4.105) можно представить в виде
\[
\tau_{\text {нов. }}=(A X(\zeta)+B X(-\zeta)) \tau_{\text {стар. }} .
\]

Рассмотрим несколько примеров, чтобы показать, как все это работает на практике. Сначала возьмем $\tau_{0}=1$. Следовательно,
\[
\tau_{1}=A e^{\theta}+B e^{-\theta},
\]

где
\[
\theta=\sum_{0}^{\infty} i \zeta(2 \zeta)^{2 k} t_{2 k+1}, t_{1}=x .
\]

Выберем $A=\alpha e^{-i \zeta x_{0}}, \quad B=\alpha e^{i \zeta x_{0}} . \quad$ Пусть $\zeta=i \eta$ и $-i \zeta x_{0}=\theta_{0}$; назовем
\[
\tau_{1}=2 \alpha \operatorname{ch}\left(\theta-\theta_{0}\right)
\]

односолитонным решением. Далее,
\[
\tau_{2}=\left(A_{2} X\left(\zeta_{2}\right)+B_{2} X\left(-\xi_{2}\right)\right)\left(A_{1} X\left(\zeta_{1}\right)+B_{1} X\left(-\zeta_{1}\right)\right) .
\]

В качестве несложного упражнения покажите, ‘что
\[
X(\zeta) X\left(\zeta^{\prime}\right)=\left|\frac{\zeta-\zeta^{\prime}}{\zeta+\zeta^{\prime}}\right|^{1 / 2} e^{\theta
eq \theta^{\prime}} .
\]

Таким образом, используя очевидное обозначение
\[
\begin{array}{l}
\tau_{2}=A_{1} A_{2}\left|\frac{\zeta_{1}-\zeta_{2}}{\zeta_{1}+\zeta_{2}}\right|^{1 / 2} e^{\theta_{1}+\theta_{2}}+A_{2} B_{1}\left|\frac{\zeta_{1}+\zeta_{2}}{\zeta_{1}-\zeta_{2}}\right|^{1 / 2} e^{\theta_{2}-\theta_{1}}+ \\
+A_{1} B_{2}\left|\frac{\zeta_{1}+\zeta_{2}}{\zeta_{1}-\zeta_{2}}\right|^{1 / 2} e^{\theta_{1}-\theta_{2}}+B_{1} B_{2}\left|\frac{\zeta_{1}-\zeta_{2}}{\zeta_{1}+\zeta_{2}}\right|^{1 / 2} e^{-\theta_{1}-\theta_{2}},
\end{array}
\]

которое после выбора единичных коэффициентов при первых трех слагаемых и деления на $e^{\theta_{1}+\theta_{2}}$ принимает вид $\left(\xi_{j}=i \eta_{j}\right.$,

$j=1,2$ ) двухсолитонного решєния
\[
\tau_{2}=e^{\theta_{1}+\theta_{2}}\left(1+e^{-2 \theta_{1}}+e^{-2 \theta_{2}}+\left|\frac{\eta_{1}-\eta_{2}}{\eta_{1}+\eta_{2}}\right|^{2} e^{-2 \theta_{1}-2 \theta_{2}}\right) .
\]

Напомним, что экспоненциальный множитель, стоящий спереди, в котором показатель экспоненты линеен по $t_{2 k+1}, k=0,1, \ldots$, не дает вклада в поле $q\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)$. Этот процесс может быть повторен.

Прежде чем завершить этот раздел о преобразованиях Бэклунда, я хочу рассмотреть еще одно вычисление, приводящее к формуле для преобразований Бэклунда членов иерархии АКНС при $r=-q$. Напомним (см. (3.36b)), что соответствующей этому случаю задачей на собственные значения является
\[
\begin{array}{l}
v_{1 x}+i \zeta v_{1}=q v_{2}, \\
v_{2 x}-i \zeta v_{2}=-q v_{1} .
\end{array}
\]

Следовательно, $\gamma$, определенная как $v_{2} / v_{1}$, удовлетворяет

Если мы примем
\[
\gamma_{x}=2 i \zeta \gamma-q\left(1+\gamma^{2}\right) .
\]
\[
\gamma=\operatorname{tg} \frac{u+\tilde{u}}{4},
\]

где $q=-(1 / 2) u_{x}, \tilde{q}=-(1 / 2) \tilde{u}_{x}$, то (4.112) принимает вид
\[
\tilde{u}_{x}-u_{x}=4 i \zeta \sin \frac{u+\tilde{u}}{2} \text {. }
\]

Соответствующие соотношения между $\tilde{u}_{t_{2 k+1}}$ и $u_{t_{2 k+1}}$ могут быть найдены простым преобразованием соответствующих уравнений, описывающих зависимость $v_{1}, v_{2}$ от времени, к виду Риккати. Легко показать, что если $q\left(x, t_{2 k+1}\right)=-(1 / 2) u_{x}\left(x, t_{2 k+1}\right)$ ( $k$ может также быть отрицательным, $k=-1$ приводит к уравнению sin-Гордон, см. [97]) удовлетзоряет потоку $t_{2 k+1}$ в иерархии $\mathrm{AKHC}$, где $r=-q$ (заметим, что в этом многообразии решений допускаются только нечетные потоки), то этому потоку удовлетворяет также $\tilde{q}\left(x, t_{2 k+1}\right)=-(1 / 2) \tilde{u}_{x}\left(x, t_{2 k+1}\right)$. Поэтому (4.114) и соответствующие соотношения являются преобразованием Бэклунда.

Я привожу эти вычисления ввиду очевидных связей метода их вывода с преобразованием Бэклунда для иерархии КдФ. Однако в гл. 5 мы опять возьмемся за эти же вопросы с другой и более общей точки зрения, преимущество которой состоит в том, что полный набор соотношений, соответствующих (4.114), и формул, ставящих в соответствие $u_{t_{2 k+1}}$ и $\tilde{u}_{t_{2 k+1}}$, задается одним выражением. Более того, выбор преобразования (4.113) пре-

вращается в очевидное следствие. Затруднение, связанное с (4.113), состоит в том, что в то время как для решения уравнения Риккати естественно подставить $\operatorname{tg}$ (следствие отношения $\gamma_{x}: 2 \gamma: 1+\gamma^{2}$ ), заранее неясно, почему введенная таким способом $\tilde{u}$ будет удовлетворять тому же уравнению, что и $u$. Это становится понятным лишь потом, при анализе симметрии (4.114) и соответствующих временных соотношений.