В этой главе мы изучаем математическую структуру солитонных уравнений и пытаемся развить подход, из которого большинство (если не все) чудес солитонной математики возникают как естественные следствия. Қак минимум мы хотим увидеть некоторую общую нить, связывающую их воедино. Эти чудеса включают в себя:
1. Бесконечное число локальных законов сохранения и симметрий; принадлежность бесконечному семейству коммутирующих потоков; гамильтонову структуру (иногда структуры).
2. Эквивалентную формулировку нелинейных уравнений в билинейной форме (уравнения Хироты); $\tau$-функцию, которая, рассматриваемая как функция бесконечного числа независимых переменных, содержит богатую информацию о многообразии решений; свойство Пенлеве.
3. Связь с линейной задачей на собственные значения; обратную задачу рассеяния; изоспектральную, изориманову поверхность и изомонодромные деформации; задачу Римана – Гильберта.
4. Преобразования Бэклунда и Шлезингера; вершинные операторы.
5. Идеи Уолквиста – Эстабрука и наличие богатой алгебраической структуры; «что общего у $\operatorname{sl}(2, C)$ с НУШ и КдФ?»; понятие редукции и связь со схемой «одевания» Захарова-Шабата.

Қлючевые моменты нашего нового подхода состоят в том, что соответствующее фазовое пространство, в котором «живут» (одномерные по пространству) солитонные уравнения, является алгеброй Каца – Муди (бесконечномерная, градуированная алгебра Ли), и в том, что каждую зависимую переменную важно считать функцией бесконечного числа независимых переменных (времен потоков $t_{k}$ ), из которых ни одна не выделяется среди других. Одну из переменных важно выделять только в том случае, когда зависимым переменным мы приписываем некоторое глобальное поведение в виде функций одной из независимых переменных. Это имеет место например, если мы хотим решить

интересующее нас уравнение с начальными условиями. Результаты, описанные в этой главе, получены совместно с моими коллегами Германом Флашкой и Тюдором Ратиу из Аризонского университета и опубликованы (или скоро появятся) в серии статей в журнале Physica D [38].

Желательно также понять удивительные связи между солитонной математикой и нелинейными интегрируемыми уравнениями в частных производных с другими точно решаемыми моделями статистической физики, такими как модель взаимодействия ближайших соседей Изинга. В настоящих лекциях я сошлюсь на эти последние достижения [103], но не буду развивать их подробно. Ничего не будет сказано и об иерархиях солитонных уравнений с пространственной размерностью, большей чем единица, но интересующемуся читателю следует знать о работе [39]; в этой работе группа из Қиото обсуждает иерархию уравнений КП (Қадомцев – Петвиашвили). (См. также упражнение 3b (5).)

План главы таков. В разд. 5ь мы покажем, как, отправляясь от уравнения или от системы уравнений, можно выяснить, является ли оно интегрируемым, и если да, то как можно найти алгебраическую структуру фазового пространства решений. Используемый метод является вариантом метода Уолквиста Эстабрука, который следует его основным идеям, но стремится избежать терминологии дифференциальной геометрии. В частности, мы покажем, что алгебраическая структура иерархии АКНС является изоморфной подалгебре алгебры $\tilde{\operatorname{sl}}(2, C)$, а именно алгебре петель $\sum_{-\infty}^{\infty} X_{-j} \zeta^{\prime}, X_{-j} \in \operatorname{sl}(2, C)$, ассоциированной $\operatorname{csl}(2, C)$. Қак указывают многие вычислительные результаты, похоже, что более подходящей может быть расширенная алгебра Каца – Муди $\widehat{A}_{1}^{(1)}$, состоящая из $A_{1}^{(1)}(\tilde{\mathrm{si}}(2, C) \oplus Z)$ с добавлением дифференциального члена. Однако с использованием $\widehat{A}_{1}^{(1)}$ связаны некоторые трудности, которые я буду обсуждать в разд. 51 .

Идеи Уолквиста – Эстабрука обосновывают выбор фазового пространства. После того как установлено и осознано, что фазовое пространство является прямой суммой двух алгебр $K, N$, в которых ортогональное дополнение $K^{\perp}$ одной из них является двойственным $\left(N^{*}\right)$ другой по отношению к соответствующим образом определенному внутреннему произведению, существует естественный путь для определения скобок Пуассона и гамильтоновых векторных полей на $K^{\perp}=N^{*}$. Если последние порождаются функциями специального класса, так называемыми adинвариантными функциями $\Phi_{k}$, сразу же возникает бесконечное

семейство коммутирующих потоков в лаксовой форме $Q_{t_{k}}=$ $=\left[Q^{(k)}, Q\right]$, где $Q$ является общим элементом в фазовом пространстве (двойственном к одной из подалгебр), и $Q^{(k)}=\pi_{N}
abla \Phi_{k}$, где $
abla$ является градиентом и $\pi_{N}$-проекцией в подалгебру $N$. Все свойства коммутируемости являются автоматическими следствиями очень общих теорем. Этот материал содержится в разд. 5с. Раздел включает также обсуждение того, как соотносятся потоки и гамильтоновы структуры, введенные описанным выше способом, с потоками и гамильтоновыми структурами, которые возникают, если $x$ является выделенной переменной, как, например, в случае, когда мы начинаем с известной задачи на собственные значения $V_{x}=P V$, где $P$ – многочлен по $\zeta$. Напомним читателю (разд. 3c), что если $P$ является многочленом первой степени (посредством калибровочного преобразования, см. разд. $5 \mathrm{~g}$, можно всегда свести задачу к виду (3.31)), то результатом является иерархия $\mathrm{AKHC}$; если его степень равна двум, то получается иерархия НУШП [78].

В конце разд. 5с я приведу несколько упражнений, в которых примеры гамильтоновых векторных полей на двойственных подалгебрах даны в иных контекстах. Первые два примера приводят к уравнениям для простого гармонического осциллятора и цепочке Тоды со свободными концами. Третий пример показывает, как включить семейства КдФ и мКдФ в структуру алгебр Ли. Непосредственным следствием является преобразование Миуры, сопоставляющее решения двух семейств.

В разд. 5 d мы воспользуемся преимуществом специального вида лаксовых уравнений и непосредственно выпишем все законы сохранения вида
\[
\frac{\partial}{\partial t} \text { (сохраняющаяся плотность) }=\frac{\partial}{\partial x} \text { (поток), }
\]

где $x$ и $t$-два любых члена бесконечного набора переменных $\left\{t_{k}\right\}$; более того, мы можем привести явное выражение для всех сохраняющихся плотностей и потоков. Эти формулы являются новыми.

На этом этапе можно действовать в любом из двух следующих направлений; каждое из них связано с чудесами, приведенными выше под номерами (2) и (3).

Первое: заметим, что законы сохранения обладают структурой, отражающей тот факт, что роторы трех бесконечномерных векторов равны нулю. Это неизбежно приводит к мысли о введении потенциалов, которые яв.яются набором $\tau$-функций Хироты, состоящим для $\operatorname{si}(2, C)$ из триплета $\{\tau,-, \rho\}$. Если уравнения движения переписаны с этими потенці лами в качестве

зависимых переменных, то возникают билинейные уравнения $X$ ироты. Как мы уже упоминали в гл. 4, условия наличия многосолитонных решений эквивалентны условиям, обеспечивающим свойство Пенлеве.

Второе: заметим, что уравнения Лакса можно решить формально путем введения вспомогательной матрицы $V, Q=V Q_{0} V^{-1}$, где $Q_{0}$ является константой при всех временах. Матрица $V$ удовлетворяет уравнениям $V_{t_{k}}=Q^{(k)} V$, являющимся последовательностью вспомогательных уравнений, условия интегрируемости которых во всех иерархиях связаны $\mathrm{c} \operatorname{sl}(2, C)$. Любое из этих уравнений может быть выбрано в качестве «задачи на собственные значения» введением глобальных ограничений на поведение зависимых переменных $Q$ как функций одной независимой переменной. Например, можно потребовать, чтобы матричные элементы $Q$, не равные константе, стремились к нулю при стремлении выделенной независимой переменной к $\pm \infty$. Поэтому все остальные независимые переменные играют роли, подобные времени, и их можно трактовать в рамках формализма начальной задачи. Например, в иерархии АКНС $t_{1}$ и является выделенной переменной; в иерархии НУШП, к которой принадлежат нелинейное уравнение Шрёдингера с производной и массивная модель Тирринга, выделенной перєменной является $t_{2}$. С ограничениями на выделенную переменную связано определенное аналитическое поведение подходящим образом нормированной матрицы $V$, рассматриваемой как функция $\zeta$, градуирующего параметра в алгебраической структуре Қаца-Муди. В частности, может быть введено понятие изоспектральных потоков. Эта идея совместно с обсуждением изоримановой поверхности и изомонодромных потоков изложена в разд. 5 f.

Связь между этим вторым направлением и функциями Хироты снова устанавливается в разд. 5е, когда, как и в гл. 4 для уравнений КдФ, мы изучаем формальное асимптотическое поведение матрицы $V$ по $\zeta$. Оказывается, что асимптотические ряды, которые вначале выражены в терминах элементов $Q$, могут быть переписаны в терминах потенциалов и дают формальные соотношения между $V$ и $\{\tau, \sigma, \rho\}$ с помощью подходящим образом определенных «вершинных» операторов.

В разд. $5 \mathrm{~g}$ мы вводим преобразования Бэклунда. Наш подход является очень общим. Мы просто задаем вопрос: какие преобразования $V$ сохраняют неизменной форму уравнения Лакса $Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right]$ ? Полученные калибровочные преобразования
\[
V_{\text {нов. }}=R V_{\text {cтap. }} S,
\]

в которых основную роль играет $R$, индуцируют преобразование Бэклунда для $Q$; действительно, соотношение между новой и старой $Q$ имеет очень простую форму. Она является алгебраической:
\[
Q_{\text {нов. }}=R Q_{\text {crap. }} R^{-1} \text {. }
\]

Обсуждается несколько примеров и вводится два типа преобразований Бэклунда. С первым читатель, возможно, знаком; это тот тип, который добавляет солитоны. Подобно временным потокам, такие преобразования Бэклунда являются непрерывными симметриями; а именно, новые солитоны могут быть построены непрерывной деформацией старых. Второй тип, называемый преобразованием Бэклунда – Шлезингера, представляет собой нечто новое. Он сконструирован так, чтобы изменить монодромию фундаментальной матрицы решения в точке $\xi=\infty$, и при последовательном применении принимает вид разностного уравнения. Это преобразование соответствует дискретной симметрии семейства уравнений и добавляет новую целочисленную переменную $n$ к списку независимых переменных. Мы увидим, каким образом (как функции от $n$ и $t_{1}$ ) зависимые переменные иерархии АКНС удовлетворяют дифференциально-разностному уравнению цепочки Тоды.

Кроме того, преобразования Бэклунда, которые добавляют солитоны, могут быть переписаны в терминах «вершинных» операторов, действующих на $\tau$-функции $\{\tau, \sigma, \rho\}$. Оказывается, что вспомогательные $\tau$-функции $\rho$ и $\sigma$ могут быть получены применением преобразований Бэклунда – Шлезингера к основной $\tau$-функции $\tau$. В действительности повторное применение преобразования Бэклунда – Шлезингера дает последовательность $\tau$-функций $\tau\left(n, t_{1}, t_{2}, t_{3}, \ldots\right)$ для семейства цепочки Тоды; а именно, $\tau\left(45, t_{1}\right)$ является зависимостью от времени $t_{1}$ для $\tau$-функции цепочки Тоды (по соседствующим парам которой могут быть вычислены смещения) в 45 -м узле цепочки.

В разд. 5h мы введем понятие градуировки. Основная идея состоит в том, что существует несколько способов разложения заданной алгебры $G$ на две подалгебры $K$ и $N$. Каждое из независимых разложений приводит к разным наборам потоков. Различные разложения можно найти при помощи процедуры, названной градуировкой, при помощи которой всем базисным векторам ставятся в соответствие веса (согласованные со всеми коммутационными соотношениями) и производится выбор градуирующего параметра. В случае $\widetilde{s i}(2, C)$ базисными векторами являются $H, E, F$, определенные в (5.40) и эквивалентные спиновым матрицам Паули, градуирующий параметр – это $\zeta$, об-

щим элементом служит $X=\sum_{-\infty}^{\infty} X_{-j} \zeta^{j}, X_{-j}=h_{-j} H+e_{-j} E+f_{-j} F$. Число независимых градуировок связано с числом независимых автоморфизмов конечного порядка исходной алгебры. Для $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C)$, элементы которой мы разложили в элементы двух подалгебр $K$ и $N$ со степенями меньше нуля и больше или равной нулю соответственно, существуют две градуировки. Первая, называемая однородной градуировкой, приводит к появлению потоков АКНС, вторая, называемая главной градуировкой, – к семействам КдФ и мКдФ.

В разд. 5і мы вводим вторую гамильтонову структуру, возникающую при изменении определения понятия внутреннего произведения на алгебре. Оказывается, что такая структура более удобна в разд. $5 \mathrm{j}$, в котором мы покажем способ представления уравнений Лакса $Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right]$ в виде редукции существенно более простого потока в фазовом пространстве большей размерности. Редукция достигается использованием симметрий, которыми обладает система уравнений. Идея, лежащая в основе этого, не нова. Давно известно, что если $m$-мерная гамильтонова система имеет $n \leqslant m$ интегралов движения, находящихся в инволюции (эквивалентных в силу теоремы Нётер $n$ симметриям), то размерность фазового пространства может быть снижена от $2 m$ до $2(m-n)$. Если $m=n$, говорят, что система полностью интегрируема. В разд. 4с я показал, каким образом двумерную систему, описывающую движение прикрепленной к пружине массы на плоскости, можно свести к одномерной системе (описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка) с помощью закона сохранения момента количества движения, который соответствует зращательной симметрии, присущей задаче. Для уравнений Қортевега – де Фриза и нелинейного уравнения Шрёдингера некоторые из бесконечного числа интегралов движения допускают простую физическую интерпретацию, подобно закону сохранения массы, импульса, энергии, числа частиц, плотности тока и т. д., но большинство такой интерпретации не имеет. По этой причине они названы скрытыми. Однако, как только мы идентифицируем алгебру Ли $G$, которой принадлежат решения уравнений, их сущность становится известной. Если $\bar{G}$ – соответствующая группа Ли и $\bar{K}, \vec{N}$ – подгруппы, соответствующие подалгебрам $K, N$, то верно следующее. Большое симплектическое многообразие, на котором потоки являются простыми (так же как для переменных действиеугол, половина переменных константы, другая половина меняется линейно со временем), 一это $T^{*} \bar{G}$, кокасательное расслоение $\bar{G}$. Группой симметрии, с помощью которой мы редуцируем фа-

зовое пространство $T^{*} \bar{G}$, является $\bar{K}$ (абстрактный аналог классической теоремы редукции, доказанный Марсденом и Вейнстейном [88]), за которым следует (тривиальная) редукция по $\vec{N}$. Редуцированным фазовым пространством является $N^{*}$, и именно на нем «живут» решения $Q$ уравнений Лакса $Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right]$.

Более того, процесс редукции в принципе дает нам способ решить уравнения Лакса. Ключевой шаг состоит в том, что элемент $g$ из $\bar{G}$ разлагается в произведение $k^{-1} n$, где левый и правый множители принадлежат $\bar{K}$ и $\bar{N}$ соответственно. Этот шаг алгебраически эквивалентен задаче Римана – Гильберта. Это разложение дает нам еще одну прекрасную возможность определить $\tau$-функцию. Она возникает как бесконечномерный определитель (мы напомним, что вначале она появилась в качестве потенциала; см. разд. $4 \mathrm{~b}, 5 \mathrm{~d}$ ). Все это делается в разд. $5 \mathrm{j}$. В конце этого раздела мы демонстрируем, каким образом формальное решение уравнений Лакса также приводит к алгоритму преобразования решения одного типа в другое и, в частности, как из вакуумного состояния строятся многосолитонные решения. Этот алгоритм оказывается полным аналогом схемы «одевания», предложенной Захаровым и Шабатом. Одновременно мы обсудим также отображение фазового пространства совместным действием потоков и преобразований Бэклунда, являющихся непрерывными симметриями семейства уравнений, а также преобразований Бэклунда-Шлезингера, представляющих дискретные симметрии. В случае главной градуировки, порождающей семейства КдФ и мКдФ, при которой у солитонных уравнений существует лишь одна $\tau$-функция, преобразований Бэклунда – Шлезингера нет. В этом случае, как мы обсуждали в разд. $4 \mathrm{~g}$, можно проследить соответствие между появлением алгебры Қаца – Муди в качестве фазового пространства, с одной стороны, и в качестве алгебры симметрий – с другой. Для однородной градуировки, в которой присутствуют дискретные симметрии, полного соответствия достичь значительно труднее. В разд. $5 \mathrm{k}$ мы присоединяем к потокам $Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right], \quad k \geqslant 0$, потоки, соответствующие отрицательным значениям времен $t_{k}$, $k<0$.

Наиболее знакомые примеры представлены уравнениями $\sin -$ Гордон и массивной моделью Тирринга. Этот материал является новым.

Наконец, в разд. 51 мы обсудим изменения, необходимые, когда в качестве фазового пространства выбирается расширение алгебры петель. Дополнительными элементами являются производная и центр. На полезность включения внешних элементов существует много указаний; например, при их использовании не-
которые формулы становятся значительно осмысленнее. Имеется, однако, существенное затруднение. В то время как сами уравнения Лакса, видимо, по-прежнему имеют место, понятие аd-инвариантной функции, столь важное в разд. 5с, утеряно. В новой алгебре такие функции могут даже не существовать. Во всяком случае, мы не смогли выявить ни одной. Другое разочаровывающее свойство существующей теории состоит в том, что она до сих пор не дала возможности определить $\tau$-функцию с помощью алгебры Ли. Мы не имеем даже никаких идей относительно пространства, в котором она существует. Она появилась вполне естественным путем как потенциал и как определитель матрицы коэффициентов бесконечного набора линейных уравнений; ее также можно формально определить через вспомогательную функцию $V$, с помощью которой решаются уравнения Лакса, и через ее производную по $\zeta$ (которая соответствует действию производной в расширенной алгебре). Но это скорее вычислительные реалии, чем необходимые конструкции алгебры Ли, и очевидна необходимость более глубокого понимания этого замечательного объекта.

В качестве заключительного замечания этого обзора я включил диаграмму, приведенную на рис. 7 , в которой сделана попытка дать наглядную картину взаимоотношений различных солитонных чудес.