1. Покажите, что
\[
L=\frac{1}{2 i}\left[\begin{array}{cc}
-\frac{\partial}{\partial x}-2 q \int_{x}^{\infty} d y r \cdot & -2 q \int_{x}^{\infty} d y q \cdot \\
2 r \int_{x}^{\infty} d y r . & \frac{\partial}{\partial x}+2 r \int_{x}^{\infty} d y q \cdot
\end{array}\right] \text {, }
\]

тогда для $e=2 i \psi_{1} \bar{\psi}_{1}, f=-2 i \psi_{2} \bar{\psi}_{2} \quad$ (напоминаю, что $e_{1}=q$, $f_{1}=r$ )
\[
(L-\zeta)\left(\begin{array}{c}
e_{1} \\
f_{1}
\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}
e_{1} \\
-f_{1}
\end{array}\right) .
\]

Далее, мы знаем из [23], что потоки (5.246) при $k \geqslant 0$ могут быть записаны в виде
\[
\left(\begin{array}{l}
e_{1} \\
f_{1}
\end{array}\right)_{t_{n}}=-2 i L^{n}\left(\begin{array}{c}
e_{1} \\
-f_{1}
\end{array}\right) .
\]

Но из (5.254)
\[
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{c}
e \\
-f
\end{array}\right) & =\frac{1}{\zeta}\left(\begin{array}{c}
e_{1} \\
-f_{1}
\end{array}\right)+\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{\zeta^{n+1}} L^{n}\left(\begin{array}{c}
e_{1} \\
-f_{1}
\end{array}\right)= \\
& =\frac{1}{\zeta}\left(\begin{array}{c}
e_{1} \\
-f_{1}
\end{array}\right)+\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{\zeta^{n+1}} \frac{i}{2} \cdot\left(\begin{array}{c}
e_{1, t_{n}} \\
f_{1, t_{n}}
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]

Но из (5.55) мы знаем, что $e_{1, t_{n}}=-2 i e_{n+1}, f_{1, t_{n}}=2 i f_{n+1}$, и, таким образом, правые части — это в точности $e$ и $f$, определенные в разд. 5с. Величина $h=-i\left(\psi_{1} \bar{\psi}_{2}+\bar{\psi}_{1} \psi_{2}\right)$ задается $h^{2}+$ $+e f=-1$ в точном согласии с разд. 5с. Поэтому асимптотическое разложение (5.251) — это знакомое выражение $Q=$ $=\sum_{0}^{\infty} Q_{r} \zeta^{-r}$.

Далее, разложим матрицу $Q$, заданную с помощью (5.251), вблизи $\zeta=0$. Мы получаем $\sum_{0}^{\infty} Q_{-1-j} \zeta^{j}$, а частные суммы, помноженные на $\zeta^{-i}$, — это матрицы $Q^{(-i)}$ в (5.233).

Қак все это связано с тем, что мы делали в последнем разделе? Вспомним, что положительные потоки возникли при редукции простых потоков
\[
\dot{\mu}=0, \quad \dot{g}=\frac{\delta \Phi}{\delta \mu} g
\]

на $T^{*} \bar{G}$ сначала с помощью симметрий $\bar{K}$ в редукции Марсдена Вейнстейна к $\bar{N} \times\left(-i H \zeta+K^{\perp}\right)$ и затем с помощью тривиальной пуассоновой редукции к $-i H \zeta+K^{\perp}$. На редуцированном фазовом пространстве поток был задан формулой (5.210)
\[
Q\left(t_{j}\right)=k\left(t_{j}\right)(-i H) k^{-1}\left(t_{j}\right)
\]

и я показал вам, что матрица $k\left(t_{j}\right)$ — это левый множитель $V$ в асимптотическом разложении $V$ вблизи $\zeta=\infty$, т. е.
\[
V \sim \hat{V} \exp \left(-i \sum_{-\infty}^{\infty} \zeta^{j} t_{j} H\right)
\]

Она была также матрицей, обратной к левому множителю, при факторизации
\[
g=\exp \left(-i \sum_{-\infty}^{\infty} \zeta^{\prime} t_{j} H\right) g_{0}=k^{-1} n .
\]

Предположим теперь, что вместо факторизации $\bar{G}$ в виде $\bar{K} \bar{N}\left(g=k^{-1} n\right)$ мы факторизуем $\bar{G}$ в виде $\bar{N} \bar{K}\left(g=n^{-1} k\right)$. Тогда точно тем же способом, как и в зазд. $5 \mathrm{j}$, мы найдем, что элемент $Q$ на редуцированном фазовом пространстве $-i H+N^{\perp}$ задается формулой
\[
Q\left(t_{j}\right)=\operatorname{Ad}_{n^{-1}}^{*}(-i H)=n(-i H) n^{-1},
\]

где $n\left(t_{j}\right)$ — это левый множитель в разложении $V$ вблизи $\zeta=0$. Правый множитель — это $\exp \left(-i \sum_{-\infty}^{\infty} \zeta^{k} t_{k} H\right)$; он коммутирует с $-i H$.

Поэтому потоки положительных времен $t_{k}$ находятся редуцированием большого фазового пространства $T^{*} \bar{G}$ с помощью левого действия симметрий $\bar{K}$ (редукция Марсдена — Вейнстейна), за которым следует тривиальная пуассонова редукция в результате правого действия симметрий $\bar{N}$. Потоки отрицательных времен $t_{k}$ находятся с помощью дуальной процедуры, т. е. с помощью факторизации $\bar{G}=\bar{N} \bar{K}$.

Замечание. Я хочу подчеркнуть, что при отождествлении $k\left(t_{j}\right)$ с $
abla\left(t_{j}\right)$ мы имеем в виду, что в качестве $\bar{
abla}$ берется левый множитель в формальном асимптотическом разложении $V$ вблизи $\zeta=\infty$, а не сама функция $\widehat{V}\left(t_{j}, \zeta\right)=V\left(t_{j}, \zeta\right) \exp i \sum_{-\infty}^{\infty} \zeta t_{j} H$. Аналогично, обратный левый мғожитель в двойственной факторизации $n\left(t_{j}\right)$ отождествляется с формальным разложением $\bar{
abla}$ вблизи $\zeta=0$. Так как $\zeta=0$ становится нерегулярной особой
10*

точкой при включении отрицательных потоков, то это разложение не обязательно равномерно пригодно во всех секторах окрестности точки $\zeta=0$. Если бы нам была известна полная аналитическая структура $\bar{
abla}$ как функции $\zeta$, то мы могли бы связать $k$ с $n$ с помощью функции $
abla$. Но с алгебраической точки зрения мы ее не знаем и должны считать асимптотические разложения $
abla$ вблизи $\zeta=\infty$ и $\zeta=0$ не связанными между собой; $k^{-1}$ — это просто левый множитель элемента $g=e^{-i \theta H} g_{0}$, если $g$ факторизуется в виде $k^{-1} n^{\prime}$, и $n$-это его левый множитель, если $g$ факторизуется как $n^{-1} k^{i}$. Я использую штрихи у правых множителей, чтобы подчеркнуть, что $n(k)$ в последней (первой) факторизации — это не правый множитель $n^{\prime}\left(k^{\prime}\right)$ в первой (последней) факторизации. Тем не менее интерпретация $k$ и $n$ в терминах $\widehat{
abla}$ как функции $\zeta$ все же полезна.

Мы теперь используем прямой метод, чтобы показать, что два набора потоков, относящихся к положительным и отрицательным временам, коммутируют между собой.
Рассмотрим разложение
\[
\begin{array}{l}
G=K+N \\
G^{*} \cong G=K^{\perp}+N^{\perp},
\end{array}
\]

где $Q=\sum_{0}^{\infty} Q_{r} \zeta^{-r} \in K^{\perp}$ и $\hat{Q}=\sum_{1}^{\infty} Q_{-r} \xi^{r} \in N^{\perp}$, а внутреннее произведение выбираем в виде $\langle X, Y\rangle=\operatorname{Tr}(X Y)_{0}$. Заметьте, что здесь $\widehat{Q}$ есть $\zeta$, умноженное на разложение в ряд по $\zeta$ выражения $Q=\hat{V}(-i H) \hat{V}^{-1}$ около $\zeta=0$. Далее, мы знаем, что для $k \geqslant 0$
\[
\begin{array}{l}
Q_{t_{k}}=-\left[\pi_{N}
abla \Phi_{k}(Q), Q\right], \\
\hat{Q}_{t_{k}}=-\left[\pi_{l}
abla \Phi_{k}(Q), \hat{Q}\right]
\end{array}
\]

и для $k<0$
\[
\begin{array}{l}
Q_{t_{k}}=-\left[\pi_{K}
abla \Phi_{k-1}(\hat{Q}), Q\right], \\
\widehat{Q}_{t_{k}}=-\left[\pi_{K}
abla \Phi_{k-1}(\hat{Q}), \hat{Q}\right] .
\end{array}
\]

Вспомним, что
\[

abla \Phi_{k}(k)=-\frac{1}{2}\left\langle S^{k} X, X\right\rangle
\]

где $S^{k} X=\zeta^{k} \sum_{-\infty}^{\infty} X_{r} \zeta^{r}$ и
\[

abla \Phi_{k}(X)=-S^{k} X .
\]

Қак и прежде, $\Phi_{k}(X)$ ad-инвариантна на $G$, алгебре петель алгебры $\operatorname{sl}(2, C)$.

2. Проверьте, что если мы умножим $\hat{Q}=\sum_{1}^{\infty} Q_{-r} \xi^{r}$ на $\zeta^{k-1}$ при $k<0$ и удержим лишь члены, для которых $r+k-1 \leqslant$ $\leqslant-1$, мы получим $Q^{(k)}=\zeta^{k}\left(Q_{-1}+\ldots+Q_{-k} \zeta^{-k-1}\right)$.
Определим на $G^{*} \simeq G$ гамильтониан
\[
\psi_{k}(X)=\Phi_{k}\left(\pi_{K \perp} X\right)
\]

и
\[
\chi_{l}(X)=\Phi_{l-1}\left(\pi_{N \perp} X\right),
\]

где $X=Q+\hat{Q}, Q \in K^{\perp}, \hat{Q} \in N^{\perp}$. Тогда (5.262) можно записать как
\[
X_{t_{k}}=-\left[
abla \psi_{k}(X), X\right], \quad k \geqslant 0
\]

и (5.262) может быть переписано так:
\[
X_{t_{l}}=-\left[
abla \chi_{l}(X), X\right], \quad l<0 .
\]

Чтобы доказать (5.265a), мы хотим показать, что
\[

abla \psi_{k}(X)=\pi_{N} \Phi_{k}\left(\pi_{K \perp} X\right) .
\]

Доказательство. По определению
\[
\begin{aligned}
\left\langle
abla \psi_{k}(X), X^{\prime}\right\rangle & =\left.\frac{d}{d t} \psi_{k}\left(X+t X^{\prime}\right)\right|_{t=0}=\left.\frac{d}{d t} \Phi_{k}\left(\pi_{K^{\perp}} X+t \pi_{K^{\perp}} X^{\prime}\right)\right|_{t=0}= \\
& =\left\langle
abla \Phi_{k}\left(\pi_{K \perp} X\right), \pi_{K \perp} X^{\prime}\right\rangle=\left\langle\pi_{N}
abla \Phi_{k}\left(\pi_{K^{\perp}} X\right), \pi_{K^{\perp}} X^{\prime}\right\rangle=
\end{aligned}
\]
(так как внутреннее произведение элемента $K$ с элементом $K^{\perp}$ есть нуль)
\[
=\left\langle\pi_{N}
abla \Phi_{k}\left(\pi_{K \perp} X\right), X^{\prime}\right\rangle
\]

так как $\pi_{K \perp} X^{\prime}=X^{\prime}-\pi_{N \perp} K^{\prime}$ и внутреннее произведение элемента $N$ и элемента $N^{\perp}$ есть нуль. Отсюда следует (5.266).

При помощи аналогичных вычислений можно доказать, что потоки, порождаемые гамильтонианами $\psi_{k}(X), k \geqslant 0$ и $\chi_{l}(X)$, $l<0$, находятся в инволюции относительно скобки Пуассона
\[
\left\{\psi_{k}, \chi_{l}\right\}(X)=-\left\langle X,\left[
abla \psi_{k}(X),
abla \chi_{l}(X)\right]\right\rangle .
\]
3. (i) Докажите, что $\left\{\psi_{k}, \chi_{l}\right\}(X)=0$ (см. $\left.[38, \mathrm{VI}]\right)$.
(ii) Покажите, используя (5.236), что
\[
h_{-1}=\frac{i}{2} \frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial t_{1} \partial t_{-1}} .
\]

Заметьте, что $e_{-1}=(i / 2) e_{1, t_{-1}}, f_{-1}=-(i / 2) f_{1, t_{-1}}$. Покажите, что, вообще говоря,
\[
h_{-s}=\frac{i}{2} \frac{\partial^{2} \ln \tau}{\partial t_{1} \partial t_{-s}}
\]

и
\[
e_{-s}=\frac{i}{2} e_{1, t_{-s}}, \quad f_{-s}=-\frac{i}{2} f_{1, t_{-s}} .
\]
(iii) Қаковы уравнения Хироты для отрицательных временных потоков?