Включите члены с квадратичной нелинейностью в (2.56a) и покажите, что
\[
\widetilde{A}_{T T}+\beta \omega_{0}^{\prime \prime} \bar{A}_{0}^{2} \tilde{A_{\xi}}=-\frac{\omega_{0}^{\prime 2}}{4} \tilde{A}_{\xi \xi \xi}+Q,
\]
где
\[
Q=\frac{\omega_{0}^{\prime \prime}}{2} A_{0}\left(\tilde{K} \tilde{K}_{\xi}\right)_{\xi}-\beta \omega_{0}^{\prime \prime} A_{0}\left(\tilde{A} \tilde{A}_{\xi}\right)_{\xi}-\frac{1}{A_{0}}\left(\tilde{A} \tilde{A}_{T}\right)_{T}-\omega_{0}^{\prime \prime}(\tilde{A K})_{\xi} T
\]

Заметьте, что если $\beta \omega_{0}^{\prime \prime}<0$ и мы рассматриваем однонаправленные решения, то
\[
\begin{array}{l}
\widetilde{A}=\tilde{A}(X=\xi-c T, \varepsilon T), \quad c^{2}=-\beta \omega_{0}^{\prime \prime} A_{0}^{2}, \\
\widetilde{K}=-\frac{2 \beta}{c} A_{0} \tilde{A}, \quad Q=-2 \beta \omega_{0}^{\prime \prime} A_{0}\left(\widetilde{A}^{2}\right)_{X X},
\end{array}
\]

и нелинейный вариант (2.56a) – это уравнение Буссинеска. Заметьте также, что солитоны у возникающего в результате уравнения КдФ возможны только, если $\tilde{A}<0$. Так как такие солитоны представляют собой локальное уменьшение интенсивности монохроматической до этого во.тны, то они называются темными солитонами. Покажите также, что ссли $\beta \omega_{0}^{\prime \prime}<0$, то (2.52) имеет решения
\[
\begin{array}{l}
a=\rho \exp \left(i \varphi+\frac{i V}{2 \xi}-\frac{i\left(\gamma+V^{2} / 4\right) \omega_{0}^{\prime \prime}}{2 T}\right), \\
\rho^{2}=\rho_{0}^{2}-\alpha^{2} \operatorname{sech}^{2} \alpha\left(\xi-\frac{V \omega_{0}^{\prime \prime}}{2} T\right), \\
\varphi_{X}=\frac{h}{\rho^{2}}, \quad h^{2}=\rho_{0}^{4}\left(\rho_{0}^{2}-\alpha^{2}\right), \\
\gamma+\frac{V^{2}}{4}=3 \rho_{0}^{2}-\alpha^{2} \text {. } \\
\end{array}
\]

Заметьте, что когда $\alpha^{2} \rightarrow \rho_{0}^{2}, h \rightarrow 0$, то
\[
\rho \rightarrow \rho_{0} \text { th } \rho_{0}\left(\xi-\frac{V \omega_{0}^{\prime \prime}}{2} T\right), \quad \varphi=\varphi_{0} .
\]