Первая цель этого раздела-продемонстрировать, как получаются семейства солитонных уравнений. Вторая — показать, в каком смысле каждый из потоков гамильтонов. Третья — ввести некоторые важные асимптотические разложения, коэффициенты которых — интегралы движения, пропорциональные гамильтонианам.

Для вывода семейств уравнений мы используем следующий алгоритм:
(i) выберем задачу на собственные значения (по $x$ ), коэффициенты которой зависят от другой переменной $t$;
(ii) выберем общий вид изменения собственных функций при эволюции коэффициентов по $t$;
(iii) запишем условие разрешимости этих двух уравнений и определим, какие эволюционные уравнения совместимы с этим условием.

Мы проиллюстрируем всю процедуру на семействе уравнения КдФ. Как мы уже видели в гл. 1, соответствующая задача на собственные значения — это уравнение Шрёдингера
\[
v_{x x}+(\lambda+q(x, t)) \cdot v=0,
\]
которое может быть записано также в виде системы первого порядка:
\[
\begin{array}{l}
v_{1 x}+i \zeta v_{1}=q(x, t) v_{2}, \\
v_{2 x}-i \zeta v_{2}=-v_{1}, \quad v_{2}=v, \quad \lambda=\zeta^{2} .
\end{array}
\]

Запишем зависимость $v$ от $t$ в виде
\[
v_{t}=A\left(\lambda ; q, q_{x}, \ldots\right) v-B\left(\lambda ; q, q_{x}, \ldots\right) v_{x} .
\]

Зависимость от высших производных $v$ учитывается посредством зависимости $A$ и $B$ от $\lambda$. Дифференцируя перекрестно (3.1) и (3.3), вычитая и приравнивая нулю коэффициенты при $v$ и $v_{x}$, получаем
\[
\begin{aligned}
A & =\frac{1}{2} B_{x}+\text { const } \\
q_{t} & =-\frac{1}{2} M B-2 \lambda N B,
\end{aligned}
\]
где
\[
M=D^{3}+4 q D+2 q_{x}, \quad N==D=\frac{\partial}{\partial x} .
\]

Теперь мы переходим ко второй половине части (iii) алгоритма. Вспомним, что наша цель — найти такие функции $B\left(\lambda ; q, q_{x}\right.$, $q_{x x}, \ldots$ ), что условие разрешимости (3.1) и (3.3), а именно (3.5), представляет собой эволюционное уравнение вида
\[
q_{t}=q_{t}\left(q, q_{x}, q_{x x}, \ldots\right) .
\]

Достаточно простым классом таких функций $B$ является класс полиномов
\[
B=B_{0} \lambda^{n}+\ldots+B_{n},
\]
поскольку из (3.5) $B_{0 x}=0$, и посредством сравнения соседних степеней $\lambda$ каждое $B_{k+1}$ можно выразить явно через его ближайшего левого соседа $B_{k}$. Без потери общности мы можем принять $B_{0}=-1$ и найти
\[
N B_{k+1}=-\frac{1}{4} M B_{k}, \quad k=0,1, \ldots, n-1 .
\]

Тогда при $\lambda^{0}$ получаем
\[
q_{t}=-\frac{1}{2} M B_{n}=2 N B_{n+1},
\]
где мы определили $B_{n+1}$ равенством
\[
N B_{n+1}=-\frac{1}{4} M B_{n} .
\]

Мы можем записать
\[
M=-4 N L
\]
где
\[
L=-\frac{1}{4} D^{2}-q+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{x} d x q_{x}
\]
— нелокальныї оператор.

Проделаем некоторые вычисления. Заметим, что $B_{n+1}=$ $=L B_{n}+$ const. Про константу пока забудем. Тогда
\[
\begin{array}{l}
B_{0}=-1, \\
B_{1}=L B_{0}=\frac{1}{2} q \\
B_{2}=\frac{1}{2} L q=-\frac{1}{8}\left(q_{x x}+3 q^{2}\right), \\
B_{3}=\frac{1}{2} L^{2} q=\frac{1}{32}\left(q_{x x x x}+5 q_{x}^{2}+10 q q_{x x}+10 q^{3}\right),
\end{array}
\]
где мы предположили, что $q$ вместе со всеми производными обращается в нуль в точке $x=\infty$. В результате получаем уравнения
\[
\begin{array}{l}
q_{t_{1}}=q_{x}, \\
q_{t_{3}}=-\frac{1}{4}\left(q_{x x}+3 q^{3}\right)_{x}, \\
q_{t_{5}}=\frac{1}{16}\left(q_{x x x x}+5 q_{x}^{2}+10 q q_{x x}+10 q^{3}\right)_{x},
\end{array}
\]
где мы приписали $(2 n+1)$-му потоку с линейным дисперсионным соотношением $\omega(k)=-2(k / 2)^{2 n+1}, n=0,1,2, \ldots$, временну́ю координату $t_{2 n+1}$. Константы в $B_{k}$ с $k<n$ просто добавляют к $n$-му потоку члены, пропорциональные $k$-м потокам. Полагая все эти константы нулями, мы получим то, что называется «чистым» семейством. Константа же в (3.4) имеет совершенно другую природу. Выбирая ее, мы можем надлежащим образом нормировать собственную функцию $v(x, t ; \xi)$. Мы сделаем это в разд. 3c.

Каждый поток имеет гамильтонову структуру. Сейчас я перехожу к наиболее важному результату, а именно к гамильтоновости каждого из потоков семейства. В разд. 3f будет доказано, что справедлива формула
\[
2 B_{n+1}=L^{n} q=\frac{\delta H_{2 n+1}}{\delta q},
\]

где вариационная производная по $q$ определяется как
\[
\sum_{0}^{\infty}\left(-\frac{d}{d x}\right)^{n} \frac{\partial \tilde{H}\left(q^{(n)}\right)}{\partial q^{(n)}}
\]
то есть
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{H[q+\varepsilon \eta]-H[q]}{\varepsilon}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta H}{\delta q} \eta d x
\]
где
\[
\begin{array}{c}
q^{(n)}=D^{n} q, \quad D=d / d x \\
H[q]=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{H}\left(q, q_{x}, q_{x x}, \ldots\right) d x
\end{array}
\]

Например,
\[
H_{1}=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} q^{2} d x, \quad H_{3}=\frac{1}{8} \int_{-\infty}^{\infty}\left(q_{x}^{2}-2 q^{3}\right) d x,
\]

и их вариационные производные суть $q$ и $-\frac{1}{4}\left(q_{x x}+3 q^{2}\right)$ соответственно. Таким образом, поток с $n=0$, соответствующий просто переносу начального профиля, может быть записан в виде
\[
q_{t_{1}}=q_{x}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta H_{1}}{\delta q}
\]

поток КдФ, $n=1$, можно записать как
\[
q_{t_{3}}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta H_{3}}{\delta q},
\]
a $(2 n+1)$-й поток семейства — как
\[
q_{t_{2 n+1}}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta H_{2 n+1}}{\delta q}=N \frac{\delta H_{2 n+1}}{\delta q} .
\]

Или, используя (3.11), получим
\[
q_{t_{2 n+1}}=M\left(-\frac{1}{4} \frac{\delta H_{2 n-1}}{\delta q}\right),
\]

поскольку $\delta H_{2 n+1} / \delta q=2 B_{n+1}=2 L B_{n}$, а $2 N L B_{n}=-(1 / 2) M B_{n}=$ $=-(1 / 4) M\left(\delta H_{2 n-1} / \delta q\right)$. Отметим, что каждый поток имеет вид
\[
q_{t}=J
abla H
\]

где $J$ — кососимметричный оператор, $
abla$ — градиент, а $H$ — функционал Гамильтона.
4 А. Ньюэ.

Замечательно, что каждый из функционалов $H_{2 n+1}, n=$ $=0,1, \ldots$, порождающих соотзетствующий поток, является интегралом движения для всех остальных потоков, и эти интегралы коммутируют друг с другом относительно естественной скобки Пуассона (Гарднер [13]):
\[
\{F, G\}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta G}{\delta q} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta F}{\delta q} d x .
\]

Естественность этой скобки состоит в том, что если мы рассматриваем развитие $q$ под действием потока с временем $t_{2 k+1}$, то скорость изменения $I[q]$ функционала от $q$,
\[
I[q]=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{I}\left(q, q_{x}, q_{x x}, \ldots\right) d x,
\]
определяется из равенства
\[
\frac{d I}{d t_{2 k+1}}=\left\{H_{2 k+1}, I\right\} .
\]

Все это означает, что $q$ можно рассматривать как функцию бесконечного числа независимых переменных $x, t_{2 k+1}, k=0,1, \ldots$, и $\left(\partial / \partial t_{2 f+1}\right)\left(\partial q / \partial t_{2 k+1}\right)=\left(\partial / \partial t_{2 k+1}\right)\left(\partial q / \partial t_{2 j+1}\right)$. Представление о том, что решения солитонных уравнений — это функции бесконечного числа переменных, очень важно. Вследствие свойства коммутативности можно начать с $q(x, 0)$, сдвинуться на $t_{2 k+1}$ в силу (КдФ) $2 k+1$, а потом на $t_{2 j+1}$ в силу (КдФ) ${ }_{2 j+1}$, и результат будет такой же, если осуществлять сдвиги в обратном порядке.

Заметьте, что каждый поток имеет две гамильтоновы структуры. Выражение для $q_{t_{2 n+1}}$ можно получить, используя в качестве функционала Гамильтона $H_{2 n+1}$ и $N$ в качестве оператора Пуассона, а можно — используя $H_{2 n-1}$ и $M$. Такая дуальная структура существует во всех интегрируемых моделях, и она позволяет рекуррентным образом идентифицировать все интегрируемые потоки в семействе точно так, как мы это уже делали, используя (3.10). Если даны две независимые симплектические структуры $M, N$ и гамильтониан $H_{1}$, генерирующий поток, определяемый $N H_{1}$, то следующий поток возникает из $-\frac{1}{4} M H_{1}$ (КдФ). Мы записываем это в виде $\mathrm{NH}_{3}$, затем строим следующий поток $-\frac{1}{4} M H_{3}$ и т. д.

Теперь я покажу, как получаются эти функционалы, но отложу до разд. 3f доказательство того, что они интегралы дви-
жения. Замечу только, что если поток рассматривается при периодических граничных условиях по $x$, то интеграл в (3.25) берется по периоду.

Асимптотическое разложение для $v(x, \xi)$ при $\zeta \rightarrow \infty$. Алгоритм построения интегралов движения состоит в следующем. Положим для собственной функции $v(x, t ; \zeta)$ задачи (3.1) $v=$ $=e^{i \zeta x+\Phi}$, где
\[
-2 i \zeta \Phi_{x}=q+\Phi_{x x}+\Phi_{x}^{2},
\]

и будем искать ее асимптотическое разложение при $\zeta \rightarrow \infty$. Итерациями получаем для $\Phi_{x}$ :
\[
\Phi_{x}=\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{(2 i \zeta)^{n}} R_{n},
\]

откуда получаем $R_{1}=-q$ и рехуррентное соотношение
\[
R_{n+1}=-R_{n x}-\sum_{k=1}^{n-1} R_{k} R_{n-k}, \quad n \geqslant 1 .
\]

Первые пять членов имеют вид $R_{1}=-q, R_{2}=q_{x}, R_{3}=-q_{x x}-$ $-q^{2}, R_{4}=q_{x x x}+4 q q_{x}, R_{5}=-\left(q_{x x}+3 q^{2}\right)_{x x}+q_{x}^{2}-2 q^{3}$. В частности, по причинам, указанным в разделах $3 \mathrm{e}, \mathrm{f}$, нас будут интересовать величины
\[
v e^{-i \zeta x} \sim 1-\frac{1}{2 i \zeta} \int_{\infty}^{x} q(y) d y
\]

и
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(v_{2}-\frac{1}{2 i \zeta} v_{1}\right) e^{-i \zeta x} \sim-\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{(2 i \zeta)^{n}} \int_{-\infty}^{\infty} R_{n} d x .
\]

Первая позволяет получить $q(x)$ из $v(x, \zeta) e^{-i \zeta x}$, а вторая оказывается интегралом движения (движения по всем временам $t_{2 n+1}$ ). Вспомним, что $v_{2}=v, v_{1}=-v_{x}+i \zeta v$ (см. (3.2)). В качестве упражнения я попрошу вас связать этот результат с тем, который получается из преобразования Миуры-Гарднера (разд. 1d). Мы покажем, что
\[
H_{2 n+1}=\frac{4 i}{(2 i)^{2 n+3}} \int_{-\infty}^{\infty} R_{2 n+3} d x, \quad n=0,1,2, \ldots
\]

Отметим, что $R_{1}$ не является членом этого семейства и что $\int_{-\infty}^{\infty} R_{2 n} d x=0, n=1, \ldots$ Действительно, функционал $-\frac{1}{2} H_{-1}=$ $=\int_{-\infty}^{\infty} q d x$ имеет нулевую скобку Пуассона с любым другим функционалом (положите $F=H_{-1}$ в (3.25)). Такой функционал называется функционалом Казкмира.