Лучше всего начать с простого примера. Рассмотрим описанную в гл. 1 модель Скотта, состоящую из работающей на кручение проволоки с вертикально подвешенными к ней и очень близко друг к другу расположенными связанными маятниками, которые могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг линии подвеса. Ес.ли $u(x, t)$-угол поворота маятника в точке $x$, то его движение описывается уравнением $\sin -$ Гордон
\[
u_{t t}-c^{2} u_{x x}+\omega_{p}^{2} \sin u=0,
\]

где сила $-\omega_{p}^{2} \sin u$ возникает вследствие действия силы тяжести, а сила $c^{2} u_{x x}$ моделирует влияние кручения. Теперь вообразим, что мы колеблем один конец цепочки маятников с очень малой амплитудой и частотой $\omega$. Достаточно разумно предположить, что можно исследовать возникающее в результате движение, разлагая $\sin u$ в ряд Тейлора вокруг $u=0$. Удерживая первые два члена, получаем
\[
u_{t t}-c^{2} u_{x x}+\omega_{p}^{2} u=\frac{\omega_{p}^{2}}{6} u^{3}+\ldots
\]

Линеаризованное уравнение допускает гармонические решения $u=e^{-i \omega t+i k x}$, где $k$ вещественно, и определяется дисперсионным соотношением
\[
\omega^{2}=\omega_{p}^{2}+c^{2} k^{2}
\]

если только $\omega>\omega_{p}$. При $\omega<\omega_{p}$ величина $k$ является чисто мнимой, и начальные колебания экспоненциально затухают по $x$. Предположим, что $\omega>\omega_{p}$, так что вдоль струны (из маятников) распространяются настоящие волны. Теперь естественно также ожидать, что постепенно нелинейные члены будут модифицировать эти движения, так как мы знаем, что период нелинейной пружины (так же, как и период одного маятника) зависит от амплитуды. Чтобы найти эти изменения, будем искать решения (2.29) в виде
\[
u=\varepsilon\left(u_{0}+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots\right),
\]

где
\[
u_{0}=a e^{i k x-i \omega t}+a^{*} e^{-i k x+i \omega t},
\]

и мы считаем, что $a$ может быть медленной функцией времени,
\[
a_{t}=\varepsilon A_{1}\left(a, a^{*}\right)+\varepsilon^{2} A_{2}\left(a, a^{*}\right)+\ldots .
\]

Қоэффициенты $A_{j}\left(a, a^{*}\right)$ выбраны таким образом, чтобы подавить секулярное поведение $\left.{ }^{1}\right) u_{1}, u_{2}, \ldots$. Если бы мы пользовались обычным методом многих масштабов, нам следовало бы записывать $A_{1}$ как $\partial a / \partial T_{1}, T_{1}=\varepsilon t, A_{2}$ – как $\partial a / \partial T_{2}, T_{2}=\varepsilon^{2} t$ и т. д. Решая (2.29) итерациями, получаем $u_{1}=0$,
\[
\begin{aligned}
A_{1}=0, \quad u_{2} & =-\frac{a^{3}}{48} e^{3 i(k x-\omega t)}+\left(^{*}\right), \\
A_{2} & =+\frac{i}{4} \frac{\omega_{p}^{2}}{\omega} a^{2} a^{*},
\end{aligned}
\]

в то время как
\[
u_{0}=a_{0} \exp \left(i k x-i t\left(\omega-\frac{\omega_{p}^{2}}{4 \omega} \varepsilon^{2} a_{0} a_{0}^{*}\right)\right)+\left(^{*}\right)
\]

и период движения возрастает ${ }^{2}$ ). В контексте волн на воде решение, вычисляемое таким способом, называется волной Сток$c a$. Читатель при желании может вычислить период колебаний маятника с максимальным отклонением $2 \varepsilon\left|a_{0}\right|$ через эллиптический интеграл и проверить, что в результате разложения по амплитуде получится (2.34) (см. упражнение 2c(1)). Отметим, что при всех этих вычислениях пространственная структура $e^{i k x}$ играет пассивную роль. Если $\omega$ фиксировано, то в соответствии с (2.30) фиксировано и $k$. Но поскольку колебания со строго фиксированной частотой создать невозможно, то спектр частот колебания будет иметь хоть и малую, но конечную ширину $\mu$. Қак учесть это в нашем описании? Один из способов это искать решение $u_{0}$ в виде конечной суммы волн
\[
u_{0}=\sum_{k_{j}=k+\mu K_{j}} a_{j} e^{i\left(k_{j} x-\omega_{j} t\right)}+\left(^{*}\right), \quad \omega_{j}^{2}=\omega_{p}^{2}+c^{2} k_{j}^{2} .
\]

Но этот подход громоздок и приводит к системе связанных нелинейных уравнений на амплитуды $a_{j}$, что не слишком проясняет ситуацию. Другой способ, на который указывает нам (2.35), состоит в поиске решения в виде волны, амплитуда которой $a$ является медленно меняющейся функцией $x$ и времени, был первоначально предложен в [53]. Наиболее интересный баланс разных эффектов возникает, когда $\mu=\varepsilon$.

Повторим предыдущие вычисления, предполагая, что $A_{1}$, $A_{2}$ – функции от $a_{X}, a_{X}^{*}, a_{X X}$ и т. д., от $X=\varepsilon x$, а также от
1) Секулярное поведение относится к ситуации, в которой итерации $u_{1} u_{2}$, … алгебраически растут по быстрому времени или быстрой координате. Если это допускается, асимптотический ряд (2.31) не будет равномерно пригоден на больших временах и расстояниях.
2) Символ (*) обозначает комплексно сопряженное выражение. – Прим. перев.

$a, a^{*}$. В порядке $O(\varepsilon)$ имеем
\[
u_{1 t t}-c^{2} u_{1 x x}+\omega_{p}^{2} u_{1}=\left(2 i \omega a_{r_{1}}+2 i k c^{2} a_{X}\right) e^{i(k x-\omega t)}+(\”),
\]

где $a_{T_{1}}=A_{1}$. Для подавления секулярного роста $u_{1}$ необходимо, чтобы
\[
a_{T_{1}}+\frac{c^{1} k}{\omega} a_{x}=0
\]
т. е. чтобы $a$ двигалось с групповой скоростью волнового пакета $\omega^{\prime}=d \omega / d k$, вычисленной по (2.30). Тогда $u_{1}=0$. В порядке $\varepsilon^{2}$
\[
\begin{aligned}
u_{2 t t}-c^{2} u_{2 x x}+ & \omega_{p}^{2} u_{2}=\frac{\omega_{p}^{2}}{6} a^{3} e^{3 l(k x-\omega t)}+ \\
& +\left(2 i \omega a_{T_{2}}-a_{T_{1} T_{1}}+c^{2} a_{X X}+\frac{1}{2} \omega_{p}^{2} a^{2} a^{*}\right) e^{i(k x-\omega t)}+\left(^{*}\right),
\end{aligned}
\]

и условие отсутствия секулярного роста дает
\[
a_{T_{2}}-\frac{i \omega^{\prime \prime}}{2} a_{\mathrm{g \xi}}-\frac{i}{4} \frac{\omega_{p}^{2}}{\omega} a^{2} a^{*}=0 .
\]

Для получения (2.38) мы использовали (2.37), выразив $a_{T_{1} T_{1}}$ через $a_{X X}$. Кроме того, $\xi=\varepsilon\left(x-\omega^{\prime} t\right), T_{2}=\varepsilon^{2} t$ и $\omega^{\prime \prime}$ есть дисперсия $d^{2} \omega / d k^{2}$, вычисленная по (2.30). Уравнение (2.38) есть нелинейное уравнение Шрёдингера. Заметим, что оно в качестве частного решения содержит не зависящее от $x$ частотно-модулированное решение (2.34), но (и это очень существенное но) это решение неустойчиво, если произведение коэффициентов перед дисперсионным ( $\omega^{\prime \prime} / 2$ ) и нелинейным ( $\left.(1 / 4) \omega_{p}^{2} / \omega\right)$ членами положительно – ситуация, которая имеет место в нашем примере. Это неустойчивость, открытая Бенджамином и Фейром [51] ${ }^{1}$ ), когда они экспериментально пытались доказать существование для волн на воде решения Стокса. Это чрезвычайно существенная неустойчивость, поскольку она вызывает превращение почти монохроматического цуга волн в серию импульсов. Я буду вскоре несколько детальнее обсуждать природу этой неустойчивости.

Пока же, однако, я хочу вернуться к причинам универсальности НУШ и показать универсальную структуру всех линейных членов в нем. Рассмотрим уравнение
\[
L\left(\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}\right) u=N\left(u^{2}, u^{3}, \ldots\right),
\]
4) Эта неустойчивость была предсказана теоретически в кандидатской диссертации В. Е. Захарова 1966 г. Этот результат, в отличие от гамильтонового формализма для волн на воде, не получил широкой известности. Прим. перев.

где $L u$ и $N\left(u^{2}, u^{3}, \ldots\right)$ – линейный н нелиейный операторы с постоянными коэффициентами, содержащие $u$ и ее производные. Пусть линейная часть (2.39) допускает гармонические решения вида
\[
u=a e^{i(k x-\omega t)},
\]

где
\[
L\left(-i \omega_{1} i k\right)=0
\]

есть линейное дисперсионное соотношение, определяющее $\omega$ как функцию от $k$, или наоборот. Так как (2.41) выполняется для всех $k$, мы можем получить, что
\[
\begin{array}{c}
-i \omega^{\prime} L_{1}+i L_{2}=0, \\
-i \omega^{\prime \prime} L_{1}-\omega^{\prime 2} L_{11}+2 \omega^{\prime} L_{12}-L_{22}=0,
\end{array}
\]

дифференцируя по $k$ один и два раза соответственно. Теперь будем искать решения (2.39) в виде
\[
u(x, t)=\varepsilon\left(u_{0}+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots\right)
\]

при $u_{0}$, заданном по (2.32), с медленно меняющейся в зависимости от координаты и времени амплитудой $a$. Теперь заметим, что в соответствии с алгоритмом многомасштабных разложений $L(\partial / \partial t, \partial / \partial x)$ формально принимает вид
\[
\begin{array}{c}
L\left(\frac{\partial}{\partial t}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial T_{1}}+\varepsilon^{2} \frac{\partial}{\partial T_{2}}, \frac{\partial}{\partial x}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial X}\right)= \\
=L\left(\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}\right)+\varepsilon\left(L_{1} \frac{\partial}{\partial T_{1}}+L_{2} \frac{\partial}{\partial X}\right)+ \\
+e^{2}\left(L_{1} \frac{\partial}{\partial T_{2}}+\frac{1}{2} L_{11} \frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}}+L_{12} \frac{\partial^{2}}{\partial T_{1} \partial X}+\frac{1}{2} L_{22} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}}\right)+\ldots,
\end{array}
\]

что мы будем записывать в виде $L^{(0)}+\varepsilon L^{(1)}+\varepsilon^{2} L^{(2)}$. Решая (2.39) итерациями, получаем
\[
L^{(0)}\left(\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}\right) u_{0}=0
\]

с решением
\[
u_{0}=a\left(X, T_{1}, T_{2}, \ldots\right) e^{i(k x-\omega t)}+\left(^{*}\right)
\]

и $\omega$ и $k$, удовлетворяющими (2.41). В следующем порядке $O(\varepsilon)$
\[
L^{(0)} u_{1}=-L^{(1)} u_{0}+N\left(u_{0}^{2}\right)
\]

Какие здесь члены секулярные? Это те члены в правой части (2.48), которые приводят к решению $u_{1}$, алгебраически растущему по $x$ или $t$. Их можно отличить по тому, что их структура
3 А. Нююэля

по $x$ и $t$ принадлежит ядру оператора $L^{(0)}$. Например, $L^{(1)} u_{0}$ принадлежит к такому классу, если $L^{(0)} L^{(1)} u_{0}=L^{(1)} L^{(0)} u_{0}$. Какие члены в $N\left(u_{0}^{2}\right)$ являются секулярными? Член $u_{0}^{2}$ содержит вторую гармонику $a^{2} \exp 2 i(k x-\omega t)$ и средний член $a a^{*}$. Но поскольку дисперсия сильная, то почти для всех $k$ справедливо $\omega(2 k)
eq 2 \omega(k)$, и поэтому $L^{(0)} \cdot e^{2 i(k x-\omega t)}
eq 0$. Однако средний член $a a^{*}$ может принадлежать ядру $L^{(0)}$. Если это так и $N\left(u_{0}^{2}\right)
eq 0$, то в решение нулевого приближения $u_{0}$ необходимо включить средний член, медленно меняющийся по $x$ и $t$. В такой ситуации «волна» $e^{(0)}$ является третьей участницей триады в трехволновом резонансе (см. разд. $2 \mathrm{f}$ ).

Чаще бывает, что $N \cdot a a^{*}$ в этом порядке равно нулю. Это происходит из-за того, что уравнение имеет внутренние симметрии типа галилеевой инвариантности, что делает невозможным просто добавлять средний поток. (В качестве примера такого $N$ можно представлять себе $\partial / \partial x$.) С другой стороны, вследствие медленной зависимости огибающей от $x$ локальные средние потоки типа $\varepsilon^{2}(\partial / \partial X) a a^{*}$ могут возникать и, если их не удалить, вызывать секулярный отклик в порядке $\varepsilon^{2}$ в $u_{2}$. Такой член не нарушает никаких глобальных законов сохранения. Он может на каком-то участке повысить среднее значение, на каком-то наоборот, так что полная «масса» системы не меняется. $Я$, однако, делаю акцент на всзможном присутствии этого члена, так как иногда его очень легко упустить. Для учета этого эффекта от среднего мы должны включить однородное решение $b$ в $u_{1}$ (или просто в $u_{0}$, но в порядке $\varepsilon$ – это то же самое). Этот средний член $b$ затем влияет на возможное секулярное поведение $e^{i(k x-\omega t)}$ в $u_{2}$ на уровне $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ из-за квадратичного члена $N\left(u_{0} u_{1}\right)$. Устраняя в этом порядке секулярные члены, получаем систему связанных уравнений на огибающую $a$ и медленно меняющееся среднее $b$. Иногда $b$ можно выразить в виде величины $a a^{*}$, умноженной на константу, иногда нет. Мы встретимся с обоими этими случаями в упражнениях, и я укажу на три конкретных физических примера, где эти эффекты важны.

Сейчас давайте предположим, что среднее течение не принадлежит к ядру $L^{(0)}$, что выполняется, например, в случае, если $L=\partial^{2} / \partial t^{2}-c^{2} \partial^{2} / \partial x^{2}+\omega_{p}^{2}$. Тогда единственным секулярным членом в (2.48) будет $L^{(1)} u_{0}$, и поэтому мы должны так выбрать зависимость $a$ от $X$ и $T_{1}$, чтобы $L^{(1)} u_{0}=0$, а именно
\[
L_{1} \frac{\partial a}{\partial T_{1}}+L_{2} \frac{\partial a}{\partial X}=0 .
\]

Однако из (2.42) $L_{2}=+\omega^{\prime} L_{1}$, и если $L_{1}
eq 0$ (что мы предполагаем), то
\[
a=a\left(X-\omega^{\prime} T_{1}, T_{2}\right) .
\]

Дальше мы находим $u_{1}$, содержащее вторые гармоники и, возможно, средний член, пропорциональный $a a^{*}$. В порядке $\varepsilon^{2}$ секулярные члены, нелинейные по $a$ и $a^{*}$, возникают из квадратичного произведения $u_{0} u_{1}$ и кубичного члена $u_{0}^{3}$. Это приводит к появлению члена, который мы запишем как $\beta L_{1} a^{2} a^{*}$. Линейные секулярные члены имеют вид $L^{(2)} u_{0}$, что с учетом (2.49) может быть записано как произведение $\exp i(k x-\omega t)$ на
\[
L_{1} \frac{\partial a}{\partial T_{2}}+\left(\frac{1}{2} \omega^{\prime 2} L_{11}-\omega^{\prime} L_{12}+\frac{1}{2} L_{22}\right) \frac{\partial^{2} a}{\partial X^{2}} .
\]

Однако с учетом (2.43) это равно
\[
L_{1}\left(\frac{\partial a}{\partial T_{2}}-i \frac{\omega^{\prime \prime}}{2} \frac{\partial^{2} a}{\partial X^{2}}\right),
\]

и поэтому универсальный вид НУШ таков:
\[
\frac{\partial a}{\partial T_{2}}=\frac{i \omega^{\prime \prime}}{2} \frac{\partial^{2} a^{*}}{\partial \xi^{2}}+i \beta a^{2} a^{*} .
\]

При большем числе пространственных измерений я оставляю в качестве упражнения показать, что (опять предполагая среднее несекулярным)
\[
\frac{\partial a}{\partial T_{2}}-\frac{i}{2} \sum_{r, s} \frac{\partial^{2} \omega}{\partial k_{r} \partial k_{s}} \frac{\partial^{2} a}{\partial \xi_{r} \partial \xi_{s}}=i \beta a^{2} a^{*},
\]

где $\partial^{2} \omega / \partial k_{r} \partial k_{s}$ – дисперсионный тензор, $\xi_{r}=\varepsilon\left(x_{r}-\omega_{r} t\right)$ и $\omega_{r}=$ $=\partial \omega / \partial k_{r}$ – компонента (вектора) групповой скорости в направлении $x_{r}$.

Я сейчас хочу сказать, а также подчеркну приведенным в упражнениях примером, что $x$ и $t$ взаимозаменяемы. Мы точно так же можем искать решение в виде $a\left(\varepsilon\left(t-k^{\prime} x\right), \varepsilon^{2} x\right)$ с $k^{\prime}=\partial k / \partial \omega=1 /(\partial \omega / \partial k)$, и тогда коэффициент дисперсии будет $i k^{\prime \prime} / 2$. Такая формулировка удобна, когда один или оба параметра $c^{2}$ и $\omega_{p}^{2}$ (например, крутильная жесткость проволоки, связывающей маятники, или их длина в исходном примере) медленно меняются в зависимости от $x$.

Уравнение (2.50a) принадлежит к классу точно решаемых моделей. Преобразование
\[
\xi=X, \quad \frac{\omega^{\prime \prime} T_{2}}{2}=\tau, \quad q=\sqrt{\left|\frac{\beta}{\omega^{\prime \prime}}\right|} a
\]

приводит его к каноническому виду
\[
q_{\tau}+i q_{X X}+2 i s q^{2} q^{*}=0,
\]

где $s=\operatorname{sign}\left(\beta / \omega^{\prime \prime}\right)$. Мы покажем в гл. 3 , как можно вложить $(2.50 \mathrm{~b})$ в схему обратной задачи рассеяния. Для $s=+1$ асимп-

тотическое решение начальной задачи для (2.50b) состоит из последовательности солитонов огибающей
\[
\begin{aligned}
q(X, \tau)=2 \eta \operatorname{sech} 2 \eta & \left.X+4 v \tau-X_{0}\right) \times \\
& \times \exp \left(-2 i v X-4 i\left(v^{2}-\eta^{2}\right) \tau-i \varphi_{0}\right)
\end{aligned}
\]

и мод излучения. Для каждого солитона первоначальное поле $u(x, t)$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
u(x, t)= & 2 \sqrt{\left.\frac{\omega^{\prime \prime}}{\beta} \right\rvert\, \varepsilon \eta \operatorname{sech} 2 \varepsilon \eta\left(x-\omega^{\prime}(k-2 v \varepsilon) t-x_{0}\right) \times} \\
& \times \exp \left\{i(k-2 v \varepsilon) x-i \omega(k-2 v \varepsilon) t+2 i \omega^{\prime \prime} \eta^{2} \varepsilon^{2} t\right\} .
\end{aligned}
\]

Это выражение показывает на основной недостаток НУІІ как модели для физических задач. В то время как скорость распространения фазы колебаний зависит от амплитуды (от $\eta$ ), скорость амплитудного импульса (солитона огибающей) от $\eta$ не зависит. Параметры солитона $v, \eta$ определяются (так же, как и $x_{0}, \varphi_{0}$ ) начальными данными $q(x, 0)$ (они аналогичны величине $\zeta_{k}=i \eta_{k}$ для уравнения КдФ), однако, как видим, скорость в аргументе гиперболического секанса есть линейная групповая скорость с волновым числом $k-2 v \varepsilon$. Трудность состоит в том, что разложение выполнялось так, чтобы вычислить фазу с точностью до $O\left(\varepsilon^{2}\right)$, однако фаза гиперболического секанса имеет $\varepsilon$ в качестве общего множителя. На самом деле было бы желательно получить выражение для фазы с точностью до $\varepsilon^{3}$, т. е. в виде
\[
2 \varepsilon \eta\left(x-\omega^{\prime}(k-2 v \varepsilon) t-O\left(\varepsilon^{2} t\right)\right) .
\]

Последний член будет тогда зависеть от $\eta$. Без сомнения, это все можно проделать, однако при этом мы получим другое уравнение, являющееся возмущением НУШ и уже не принадлежащее к точно решаемым. Тем не менее в некоторых обстоятельствах нужно пожертвовать математическими удобствами точной решаемости, чтобы отразить существенные физические свойства моделируемой системы. Иллюстрацией к этому служит драматическая история изучения туннелирования солитонов. Более подробно с этим вопросом можно познакомиться по [52].