Получив уравнение (1.15), естественно спросить: если потенциал $-q(x, t)$ эволюционирует в соответствии с уравнением КдФ
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0,
\]

то как меняются $\lambda(t)$ и $\varphi(x, t)$ ? Мы рассмотрим случай, когда $q$ определено на всей вещественной прямой, $-\infty<x<\infty$, и $q$

обращается в нуль вместе со всеми своими производными в $\pm \infty$. Это можно сделать, подставив $q$ из (1.15) в (1.21). Путем прямой подстановки получаем
\[
\lambda_{t} \varphi^{2}+\left(\varphi Q_{x}-\varphi_{x} Q\right)_{x}=0,
\]

где $Q=\varphi_{t}-\varphi_{x x x}-3(\lambda-q) \varphi_{x}$. Если $\varphi$ квадратично интегрируема и обращается в нуль при $x \rightarrow \pm \infty$, то $\lambda_{t}=0$. Таким образом, дискретные собственные значения $\lambda_{n}<0, n=1,2, \ldots, N$ уравнения (1.15) — интегралы движения. Оставшаяся часть (1.22) дает
\[
\varphi_{t}+\varphi_{x x x}-3(\lambda-q) \varphi_{x}=C \varphi+D \varphi \int \frac{d x}{\varphi^{2}},
\]

и, так как $\varphi$ обращается в нуль в $\pm \infty, D=0$. Мы примем такую нормировку собственных функций связанных состояний $\varphi_{n}$, что $\varphi_{n} \sim \exp \sqrt{-\lambda_{n}} x$ при $x \rightarrow-\infty$. Таким образом, $C_{n}=$ $=4\left(-\lambda_{n}\right)^{3 / 2}$, и если $\varphi_{n} \sim b_{n}(t) \exp \left(-\sqrt{-\lambda_{n}} x\right)$ при $x \rightarrow+\infty$, то
\[
b_{n t}=8\left(-\lambda_{n}\right)^{3 / 2} b_{n}
\]

и $b_{n}(t)=b_{n}(0) \exp \left(8\left(-\lambda_{n}\right)^{3 / 2} t\right)$. Для $\lambda=\zeta^{2}>0$ решение (1.15) при больших $|x|$ представляется линейной комбинацией из $e^{ \pm i \zeta x}$. Мы наложим на $\varphi$ граничные условия
\[
\begin{aligned}
\varphi & \sim e^{-i \zeta x}+R(\zeta, t) e^{i \zeta x} \quad \text { при } x \rightarrow \infty, \\
& \sim T(\zeta, t) e^{-i \zeta x}, x \rightarrow-\infty .
\end{aligned}
\]

При обычной квантовомеханической интерпретации (1.15) коэффициенты единица в (1.25а) и (подразумеваемый) нуль в (1.25b) указывают на заданное стационарное излучение, исходящее только из $x= \pm \infty$. Коэффициенты прохождения $T(\zeta, t)$ и отражения $R(\zeta, t)$ удовлетворяют, как будет показано в гл. 3 , условию $|T|^{2}+|R|^{2}=1$. Спектр для $\lambda>0$ непрерывен, и мы можем считать $\lambda$ константой, так что вновь справедливо (1.23) при условии $D=0$. Поскольку мы приняли нормировку $\varphi$ на $+\infty, C=4 i \zeta^{3}$. Подставляя ( $1: 25 \mathrm{a}, \mathrm{b}$ ), получаем
\[
T_{t}(\zeta, t)=0, \quad R_{t}(\zeta, t)=8 i \zeta^{3} R(\zeta, t) .
\]

Это означает, что коэффициент прохождения как функция $\zeta$ является интегралом движения, а коэффициент отражения $R(\zeta, t)$ эволюционирует очень просто-от времени зависит только его фаза, причем линейно.

С начала 1950 -х гг. было известно, что потенциал $-q(x)$ уравнения Шрёдингера может быть полностью восстановлен по так называемым данным рассеяния
\[
S=\left\{\left(\lambda_{n}, b_{n}\right)_{1}^{N} ; R(\zeta), \zeta \text { вещественно }\right\} .
\]

По $S$ может быть вычислен также и коэффициент прохождения $T$ (६). Но если известны данные рассеяния $S$ для $q(x, 0)$ при $t=0$, то (1.24) и (1.26) позволяют нам вычислить $\mathcal{S}(t)$ очень просто. Следовательно, $q(x, t)$ может быть найдено для любого времени $t$. Процедура восстановления потенциала включает решение линейного интегрального уравнения, уравнения Гельфанда — Левитана — Марченко. Эта и многие другие детали будут выведены в гл. 3. А сейчас заметим, что общее решение (1.21) включает несколько компонент. Солитоны, распространяющиеся с положительной скоростью, являются физическим проявлением дискретного спектра, каждый солитон соответствует одному собственному значению. Вне области взаимодействия (при $t=$ $= \pm \infty$ ) каждый солитон имеет высоту, ширину и скорость, пропорциональные $-\lambda_{n}, \sqrt{-\lambda_{n}}$ и — $\lambda_{n}$ соответственно. Его положение в любой момент времени может быть вычислено с помощью $b_{n}$. Непрерывному спектру соответствует компонента решения, которая, хотя и нелинейна, имеет многие характерные черты решения линеаризованного уравнения (1.32). Амплитуда группы волн, связанной с волновым числом $\zeta$, измеряется величиной $|R(\xi)|$, а ее положение — величиной $\operatorname{Arg} R(\zeta)$. Вблизи $x=0$ эти два решения объединяются. Это решение включает, помимо всего прочего, автомодельное решение уравнения (1.21) и является довольно сложным, но в основном играет роль нелинейной функции Эйри (Джон Грин любит морально-религиозную трактовку двух компонент решения, в которой солитоны — это душа решения, а компонента, возникающая из непрерывного спектра — это бренная плоть. Я полагаю, что от вашей точки зрения зависит, какая из компонент заслуживает называться хорошей). Если рассматривать различные компоненты решения как нормальные моды нелинейной системы — и такое рассмотрение полезно, — то следует специально выделить солитонную часть, поскольку она является полностью новой и не имеет линейного аналога.

Итак, суть применения МОЗР состоит в следующем. Интересующее нас уравнение
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0
\]

переписывается как условие интегрируемости двух линейных уравнений,
\[
(-L+\lambda) \varphi \equiv \varphi_{x x}+(\lambda+q(x, t)) \varphi=0
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{t}=B \varphi=-4 \varphi_{x x x}-3 q_{x} \varphi-6 q \varphi_{x}+C \varphi= \\
=\left(q_{x}+C\right) \varphi+4(\lambda-q / 2) \varphi_{x}
\end{array}
\]

(где $C$ определяется по выбранной для $\varphi(x, t ; \zeta)$ нормировке). Затем $q(x, 0)$ отображается в данные рассеяния $S(0)$ уравнения (1.29). Эволюция $S(t)$ проста и описывается линейно. Зная $S(t)$, мы восстанавливаем $q\left(x_{i} t\right)$. Схематически это выглядит так:
\[
\begin{array}{l}
q(x, 0) \rightarrow \text { прямое преобразование } \rightarrow S(0) \\
\text { временная } \\
\begin{array}{l}
\text { эволюция } \\
\text { данных }
\end{array} \\
\begin{array}{l}
\text { данных } \\
\text { рассеяния }
\end{array} \\
q(x, t) \leftarrow \text { обратное преобразование } \leftarrow S(t) . \\
\end{array}
\]

Процедура полностью аналогична тому, как решается линеаризованный вариант уравнения (1.28),
\[
q_{t}+q_{x x x}=0,
\]

с помощью преобразования Фурье. Роль прямого преобразования здесь выполняет
\[
b(k, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} q(x, t) e^{-i k x} d x,
\]

и $b(k, 0)$ известно, если задано $q(x, 0)$; временная эволюция задается уравнением
\[
b_{t}(k, t)=i k^{3} b(k, t)
\]

Обратным преобразованием является
\[
q(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} b(k, t) e^{i k x} d x .
\]

В самом деле, мы покажем, что МОЗР в линейном пределе сводится к преобразованию Фурье.

Нам известно также, что мы можем интерпретировать и (1.28), и (1.32) как бесконечномерные гамильтоновы системы; каждую из них формально можно записать в виде
\[
q_{t}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta H}{\delta q},
\]

где $\delta / \delta q$ — вариационная производная функционала Гамильтона $H[q]$, т. е.
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon}(H[q+\varepsilon \delta q]-H[q])=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta H}{\delta q} \delta q d x .
\]

Уравнение (1.36) аналогично выражению
\[
\dot{\boldsymbol{z}}=J
abla H(z),
\]

справедливому для конечномерных систем. Здесь $z$ есть $2 N$-вектор (т. е. $q_{1}, \ldots, q_{N}, p_{1}, \ldots, p_{N}$ ), $J$ — антисимметричная матрица (например, $\left.\left(\begin{array}{cc}0 & I_{N} \\ -I_{N} & 0\end{array}\right)\right)$ и $
abla$ — оператор градиента $\left(\partial / \partial q_{1}, \ldots\right.$ $\ldots, \partial / \partial p_{N}$ ). В (1.36) $q(x)$ следует рассматривать как бесконечномерный вектор, $\partial / \partial x$ — это заменяющий матрицу кососимметричный оператор и $\delta / \delta q$— вариационная производная, заменяющая оператор градиента. Соответствующая сохраняемая потоком два-форма $\sum \delta q_{i} \wedge \delta p_{i}$ есть
\[
\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \delta q(x) \wedge\left(\int_{-\infty}^{x} \delta q(y) d y\right) d x
\]

Интеграл $\int^{x}$ — это оператор, обратный к $J$, где $J=\partial / \partial x$. Функция Пуассона двух функций $F$ и $G$ есть
\[
\{F, G\}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta F}{\delta q} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta G}{\delta q} d x .
\]

Для (1.21) гамильтониан $H=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2} q_{x}^{2}-q^{3}\right) d x$; для (1.32) $H=$ $=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} q_{x}^{2} d x$. Преобразование Фурье- это каноническое преобразование, связывающее старые координаты $q(x),-\infty<x<\infty$ и новые $A=2 \pi|b|^{2} / k, \theta=\operatorname{Arg} b(k, t)$, в которых два-форма (1.38)
\[
\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \delta q\left(\int_{-\infty}^{x} \delta q d y\right) d x=\int_{0}^{\infty} \delta A(k) \wedge \delta \theta(k) d k
\]

сохраняется ${ }^{1}$ ) (читателю следует проверить (1.39) самостоятельно); для тех, кто не знаком с обозначениями, $\delta \wedge \wedge$ означает $\delta_{1} q \delta_{2} w-\delta_{2} q \delta_{1} w$, где $\delta_{1}$ и $\delta_{2}$ — независимые вариации.
1) Вопрос о перенесении скобки Гарднера на функционалы с неубывающими при $x \rightarrow \pm \infty$ плотностями решается в работе Фаддеева и Тахтаджяна [1*]. Скобки Гарднера и Фаддеева — Тахтаджяна не каноничны в $k=0$. Каноническая скобка для КдФ построена в работе Аркадьева, Погребкова и Полнванова [2*]. Скобка фаддеева — Тахтаджяна получается из канонической наложением связи. — Прим. перев.

В (1.39), так как $w_{x}=q$, не следует рассматривать $q(x)$ и $w(x)=\int_{-\infty}^{x} q(y) d y$ как сопряженные переменные. Скорее, следует смотреть на (1.39) как на непрерывный предел выражения $\frac{1}{2} \sum_{i} \delta q_{i} \wedge \sum_{j<i} \delta q_{j}$. С другой стороны, новые координаты $A$ и $\theta$ являются сопряженными. Из (1.34) имеем
\[
A_{t}=0, \quad \theta_{t}=k^{3},
\]

что суть уравнения Гамильтона
\[
A_{t}=-\frac{\delta H}{\delta \theta}, \quad \theta_{t}=\frac{\delta H}{\delta A},
\]

где
\[
H=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} q_{x}^{2} d x=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} k^{3} A^{2}(k) d k .
\]

Точно так же обратное преобразование рассеяния является каноническим преобразованием, связывающим старые координаты $(q(x),-\infty<x<\infty)$ с новыми — данными рассеяния $S$, заданными по (1.27).

Гарднер [13] первым осознал, что уравнение КдФ может быть записано в гамильтоновом виде. Впоследствии Захаров и Фаддеев [13] показали, что это уравнение может быть интерпретировано как полностью интегрируемая гамильтонова система. Для конечномерной системы размерности $2 N$ термин полная интегрируемость означает, что система обладает $N$ независимыми интегралами движения $F_{j}(p, q) \quad\left(p=\left(p_{1}, \ldots, p_{N}\right), q=\right.$ $\left.=\left(q_{1}, \ldots, q_{N}\right)\right), j=1, \ldots, N$, которые находятся в инволюции по отношению к скобке Пуассона. В этом случае можно определить $N$ переменных действия (как функции $F_{j}$ ) и $N$ соответствующих угловых переменных. Для бесконечномерных систем все это выглядит более формально. По отношению к ним мы будем использовать термин «полная интегрируемость» для обозначения того факта, что можно найти бесконечное число новых координат, аналогичных переменным действие — угол, таких что первые являются интегралами движения, а вторые меняются линейно со временем. Қак читатель может уже догадаться, переменные действия являются функциями бесконечного числа сохраняющихся плотностей.

Теперь следует сделать еще одно замечание о временной зависимости преобразованных переменных и о том, в каком смысле задача на бесконечной прямой для (1.28) $(q(x, t) \rightarrow 0$,

$x \rightarrow \pm \infty$ при всех $t$ ) проще, чем периодическая задача ( $q(x, t)=$ $=q(x+P, t), x$ и $t$ произвольғы). В первом случае мы знаем $q$ в двух точках интервала, а именно $x= \pm \infty$ во все моменты времени. В самом деле, данные рассеяния являются мерой того, как меняются асимптотические решения (1.29) (exp $( \pm i \sqrt{\lambda} x)$ ) по мере того, как $x$ пробегает интервал между $-\infty$ и $+\infty$. Из (1.30) можно видеть, что в $\pm \infty$ производная по времени от $\varphi(\infty, t ; \zeta)$ не зависит от $q$, так как там $q$ и его производные равны 0 . Во второй, периодической, задаче $q$ не известно во все моменты времени ни для одной точки интервала $[0, P]$. И вследствие этого временная зависимость данных рассеяния намного сложнее.

Оба этих случая кардинально отличаются от метода, с помощью которого линеаризуется уравнение Бюргерса $u_{t}=u_{x x}+$ $+2 u u_{x}$. Это уравнение может быть записано в виде условия интегрируемости уравнений $\varphi_{x}=u \varphi$ и $\varphi_{t}=\left(u^{2}+u_{x}\right) \varphi$. Хотя и кажется, что временная эволюция $\varphi(x, t)$ зависит от знания $u(x, t)$, это в действительности не так, поскольку $\left(u^{2}+u_{x}\right) \varphi=\varphi_{x x}$. Поэтому после подстановки $\varphi_{x}=u \varphi$ для $\varphi$ получается линейное уравнение теплопроводности. Для уравнения КдФ на бесконечной прямой уравнение для $\varphi(x, t ; \lambda)$ не линеаризуется. Вместо этого появляется свободный параметр $\lambda$, и (1.28) является условием интегрируемости для (1.29) и (1.30) для всех $\lambda$. Поэтому, не зная функцию $\varphi(x, t ; \lambda)$ при всех $x$ и $t$, мы знаем ее при всех $t$ и $\lambda$ в точках $x= \pm \infty$.