1. Прямым вычислением докажите, что $q_{t_{2} t_{3}}=q_{t_{3} t_{2}}$.
2. Попробуйте найти для $Q$ решение вида $Q^{(-1)}=(1 / \zeta) Q_{-1}$ и получить из него уравнение $\sin -\Gamma$ Гордон
\[
u_{x t_{-1}}=\sin u \text {. }
\]

Указание: возьмите $-q=r=u_{x} / 2$; что произойдет, если взять $q=r=u_{x} / 2$ ?
3. Заметьте, что если наложить ограничения типа $q=r$, то они согласуются лишь с некоторыми из потоков. Например, если вначале было $r= \pm q$, то все четные потоки (т. е. $t_{2 n}$ ) разрушают это соотношение, а все нечетные (т. е. $t_{2 n+1}$ ) сохраняют его. Противоположное происходит при $t= \pm q^{*}$.
4. Найдите линейные комбинации чистых потоков $Q^{(1)}, Q^{(3)}$ и $Q^{(-1)}$, приводящие к уравнениям
a) $q_{t}=7 q_{x}+4\left(q_{x x x}+6 q^{2} q_{x}\right)$
b) $u_{x t}=\sin u+u_{x x x x}+\frac{3}{2} u_{x}^{2} u_{x x}$.

То есть найдите такую комбинацию $Q=\alpha Q^{(1)}+\beta Q+\gamma Q^{(-1)}$, чтобы условие разрешимости уравнений $V_{t}=Q V$ и (3.31) при $r=-q$ давало соответственно (a) и (b).
5. Если считать, что параметр $\zeta$ зависит от времени так, что $\zeta_{t}=\sum_{0} \alpha_{r} \zeta^{r}$, то в результате получается уравнение с зависящими от $x$ коэффициентами. Покажите, что эволюционное уравнение, соответствующее $Q=Q^{(2)}-i x \alpha H$ (член $i \zeta_{t}$, здесь принятый равным $i \alpha, \alpha$ вещественно, добавляется в левую часть первого уравнения (3.34)), имеет вид
\[
\begin{array}{l}
q_{t}=\frac{i}{2}\left(q_{x x}-2 q^{2} r\right)-2 i \alpha x q, \\
r_{t}=-\frac{i}{2}\left(r_{x x}-2 q r^{2}\right)+2 i \alpha x r .
\end{array}
\]

Это позволяет нам изучать влияние градиента плотности в тех задачах, к которым применимо НУШ. Это влияние приводит к тому, что точки дискретного спектра (который был введен в гл. 1 и который мы более подробно рассмотрим в следующем разделе), бывшие до сих пор неподвижными, начинают двигаться предписанным образом. (См. [75].) ${ }^{1}$ )
6. Рассмотрите задачу на собственные значения
\[
V_{x}=\left(\begin{array}{ccc}
i \beta_{1} \zeta & p & q \\
\pm p^{*} & i \beta_{2} \zeta & r \\
\pm q^{*} & \pm r^{*} & i \beta_{3} \zeta
\end{array}\right) V, \quad \sum_{i=1}^{3} \beta_{i}=0
\]
и покажите, как выбрать $V_{t}$ так, чтобы в результате получились одномерные уравнения трехволнового взаимодействия, а именно $p_{t}+c_{1} p_{x}=d_{1} q^{*} r^{*}$ и еще два уравнения, получающиеся циклической перестановкой $p, q$ и $r$.
7. По поводу общей ( $n \times n$ ) матричной задачи вы можете обратиться к работам [76] и [77].
1) Решаемые методом обратной задачи уравнения с переменными коэффициентами возникают в двух эквивалентных подходах: a) когда спектральный параметр зависит от координат и б) при введении в ( $P, Q$ )-пару производной по спектральному параметру. Уравнения такого типа впервые появились, по-видимому, в работах [3*] и [4*]. В общей постановке такие системы и их физические приложения изучались в серии работ [1*, 2*]. Подход б) важен в теории симметрий солитонных уравнений: если задана иерархия, порожденная некоторым $P$-оператором, то с помощью техники инфинитезимального одевания можно для любого входящего в нее уравнения построить бесконечную серию дифференциальных (по спектральному параметру) $Q$-операторов, определяющих бесконечномерную алгебру некоммутативных симметрий, содержащую данную иерархию в качестве коммутативной подалгебры [5]. См. также библиографический комментарий к гл. 5.

8. Рассмотрите задачу на собственные значения
\[
V_{x}=\left(\begin{array}{cc}
-i \zeta^{2} & \zeta q \\
\xi r & i \zeta^{2}
\end{array}\right) V
\]
и покажите, как выбрать $V_{t}$ так, чтобы получить нелинейное уравнение Шрёдингера с производной (НУШП) и массивную модель Тирринга.

Замечание. Мы увидим, что получающийся из этой спектральной задачи набор уравнений является родственным по отношению к иерархии АКНС. (См. [38].)