Вместе с конструктивными методами построения решений (МОЗР, преобразования Бэклунда, метод Хироты) был открыт целый новый мир интегрируемых систем. Метод Хироты [34], который я упомянул во введении, чрезвычайно остроумен. Для уравнения КдФ он сводится к замене
\[
q^{\prime}(x, t)=2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln \tau(x, t),
\]

приводящей к уравнению второго порядка для $\tau(x, t)$,
\[
\tau \tau_{x t}-\tau_{x} \tau_{t}+\tau_{x x x x}-4 \tau_{x} \tau_{x x x}+3 \tau_{x x}^{2}=0,
\]

которое Хирота переписал в виде
\[
\left(D_{t} D_{x}+D_{x}^{4}\right) \tau \cdot \tau=0,
\]

где $D_{x}, D_{t}$ – введенные им новые дифференциальные операторы. Обозначения я объясню в гл. 4. Из (1.53), (1.54) довольно просто могут быть получены $N$-со.литонные и рациональные решения, если взять $\tau(x, t)$ в виде суммы экспонент, фазы которых линейно зависят от $x$ и $t$, а также содержат произвольные константы (которые оказываются вышеупомянутыми сдвигами фаз). Для $N>2$ уравнения на константы являются переопределенными, но совместными. Что обеспечивает эту совместность? Уравнение $\left(D_{x} D_{t}+D_{x}^{6}\right) \tau \cdot \tau=0$ имеет аналогичные свойства. Однако $\left(D_{x} D_{t}+D_{x}^{8}\right) \tau \cdot \tau=0$ имеет только двухсолитонные решения.

Вначале метод Хироты рассматривался в основном как хитроумный трюк, придуманный для нахождения решений солитонных уравнений. Было даже такое рабочее определение интегрируемых уравнений: пошлите ваше уравнение Хироте; если вы его получите решенным в течение трех недель, то оно

интегрируемо. Однако недавно обнаруженные связи с квантовой теорией поля и статистической физикой показывают, что метод Хироты играет гораздо более существенную роль в теории, чем полагали раньше. Я надеюсь продемонстрировать в этих лекциях один способ, с помощью которого метод Хироты может быть связан с общей теорией. Я предполагаю также показать ясную его связь со свойством Пенлеве [35], которому должны удовлетворять интегрируемые системы. Это свойство, которое я буду обсуждать в гл. 4, состоит в том, что единственными особенностями интегрируемых систем, которые не фиксированы и могут зависеть от начальных данных, являются полюса. Это почти эквивалентно утверждению (не совсем, так как бывают неподвижные особенности с весьма неприятными свойствами), что $\tau$-функция Хироты аналитична по всем своим переменным. И действительно, как мы покажем, для некоторых классов решений это так.

Что же тогда можно назвать общей теорией? Что это за структура, связывающая воедино все возникающие в солитонной математике чудеса? Чудеса включают: бесконечное число законов сохранения, принадлежность бесконечному семейству коммутирующих потоков (я объясню этот термин в гл. 3), гамильтонову структуру, формулировку Хироты и $\tau$-функцию, свойство Пенлеве, связь с линейной задачей на собственные значения, обратное рассеяние, изоспектральную, изориманову поверхность, изомонодромные (последние два термина еще должны быть объяснены) деформации [36], преобразования Бэклунда.

Связующее звено, я полагаю, связано со следующим вопросом: если дано эволюционное уравнение, как можно определить, интегрируемо ли оно и обладает ли всеми этими замечательными свойствами? Первыми, кто дал достаточно разумный ответ на этот вопрос, были Уолквист и Эстабрук [37], и свою версию того, что они сделали, я опишу в гл. 5. По существу, они пытаются представить интересующее их эволюционное уравнение в виде условия интегрируемости двух линейных уравнений, содержащих неизвестную переменную и ее производные по $x$ в качестве коэффициентов. В итоге они получают бесконечномерную алгебру, или, иными словами, незамкнутый набор коммутационных соотношений.

Наше утверждение (моими коллегами в этой работе были Германн Флашка и Тюдор Ратиу) состоит в том, что метод Уолквиста – Эстабрука указывает на то, что истинным фазовым пространством, на котором живут все потоки, является бесконечномерная алгебра Ли, которая для одномерных задач изоморфна алгебре Каца – Муди. Эта алгебра может быть

представлена как прямая сумма двух подалгебр, ортогональное дополнение к каждой из которых дуально к другой. На дуальной алгебре есть естественные динамические структуры – скобки Пуассона и гамильтоново векторное поле. Частный класс гамильтонианов порождает набор коммутирующих потоков, и каждый такой поток является вполне интегрируемым уравнением ${ }^{1}$ ). Важно подчеркнуть, что интегрируемые эволюционные уравнения всегда возникают как члены бесконечного семейства. Многие свойства из списка чудес оказываются естественными следствиями этого факта [38], и мы с двух точек зрения отвечаем на вопрос:
«Какое отношение к КдФ имеет алгебра Ли $\mathrm{sl}(2)$ ?»
Весь этот материал будет обсуждаться в гл. 5. Наша работа служит дополнением к недавней работе групп из Киото [39] (М. и Ю. Сато, Т. Мива, М. Дзимбо, М. Касивара, Е. Дэйт) и Оксфорда [40] (Дж. Уилсон и Дж. Сегал).
1) Более правильно было бы сказать кточно решаемым уравненнем». Как показано в работах [3*], [4*], [5*], точная решаемость (означающая бесконечное число законов сохранения) не эквивалентна полной интегрируемости для бесконечномерных гамильтоновых систем типа эволюционных уравнений. Прим. перев.