Декорации меняются. Мы переносимся почти на шестьдесят лет вперед, в совершенно другое место. Теперь мы в Лос-Аламосе, а главные герои этих событий – Энрико Ферми, Джон Паста и Стен Улам. Их интересовал вопрос: почему твердые тела обладают конечной теплопроводностью? Моделью твердого тела служила одномерная решетка, набор точечных масс, связанных пружинами.

В 1914 г. Дебай предположил, что конечная теплопроводность решетки связана с ангармоничностью возвращающей силы пружин. Если сила линейна (закон Гука), то энергия беспрепятственно переносится независимыми фундаментальными (нормальными) модами. Эффективная теплопроводность бесконечна, для передачи тепла с одного конца решетки на другой не нужно никакого перепада температуры, и уравнения диффузии тепла не получается. Дебай полагал, что если решетка будет слабонелинейной, то нормальные моды (вычисленные для линеаризованных упругих сил) станут вследствие нелинейности взаимодействовать и тем самым ограничат перенос энергии. Суммарный эффект нелинейных взаимодействий (соударений фононов) проявился бы в конечности коэффициента переноса в уравнении диффузии. Это предположение побудило Ферми, Пасту и Улама (ФПУ) [5] предпринять численное моделирование одномерной ангармонической цепочки на компьютере Маниак I в Лос-Аламосе. Они собирались доказать, что
1) Я имею в виду уравнение (2::4) с $D=1$, которое является двухволновым. На самом деле Буссинеск упростил правую часть, заменив $F_{1}$ на $-F_{x}$ и $F_{x t}$ на $-F_{x x}$ в соответствии с одноволновым приближением. Его имя поэтому связано скорее с уравнением (2.26), которое хотя и допускает встречное движение волн, но не описывает встречные волны на воде, а не с уравнением (2.14).

гладкое начальное условие, при котором энергия содержится в низшей моде, или, возможно, в нескольких низших модах, благодаря нелинейному взаимодействию будет постепенно релаксировать к состоянию статистического равновесия. В этом состоянии энергия распределяется поровну между всеми модами колебаний. По времени же релаксации можно было бы измерить коэффициент диффузии.

Модель, использованная ФПУ для описания одномерной решетки длины $L$, состояла из цепочки $N-1$ одинаковых масс, связанных со своими соседями и с фиксированными концами решетки с помощью $N$ нелинейных пружин длины $h$. Эти пружины при сжатии или растяжении на величину $\Delta$ создавали силу
\[
F=k\left(\Delta+\alpha \Delta^{2}\right),
\]

где $k$ – линейная жесткость пружины и $\alpha$, принятое положительным, служило мерой нелинейности. Динамика решетки при этом описывалась следующими уравнениями:
\[
m\left(y_{i}\right)_{t t}=k\left(y_{i+1}-2 y_{i}+y_{i-1}\right)\left(1+\alpha\left(y_{i+1}-y_{j-1}\right)\right), i=1,2, \ldots, N-1,
\]
\[
y_{0}=y_{N}=0,
\]

где $y_{i}$ – отклонение $i$-й массы от положения равновесия.
В экспериментах ФПУ энергия обычно была вначале сосредоточена в нескольких низших модах линейной задачи. В линейной задаче энергия неизменно оставалась бы в этих модах и высшие моды не могли бы возбуждаться. Благодаря нелинейности энергия перетекает от низших мод к высшим, и ФПУ ожидали, что это в конце концов приведет к равнораспределению по всем степеням свободы, имеющимся в их численной схеме. Взятая ими решетка из 64 точек (в $x$-пространстве) имела 64 различные собственные моды, между которыми они ожидали увидеть перераспределение энергии. Если бы их ожидания относительно эволюции энергии оправдались, это позволило бы рассматривать их расчет как модель установления теплового равновесия более сложных физических систем.

Результат был удивительным – по крайней мере он казался таковым всем, кто участвовал в этой работе или слышал о ней. Энергия не термализовалась! Виесто этого содержавшаяся вначале в наинизшей моде энергия затем распределялась по нескольким низшим модам, после чего постепенно вновь собиралась в наинизшей моде с точностью до двух процентов, и затем процесс приблизительно повторялся. ФПУ знали, что это явление не могло объясняться возвращением по Пуанкаре, время которого для системы из 64 точек огромно. Процесс более по-

ходил на поведение системы линейно связанных осцилляторов, двигающихся в фазовом пространстве по тору квазипериодическим образом. (Если есть две собственные частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, и $\omega_{1} / \omega_{2} \approx m / n$, где $m, n$ – взаимно простые целые числа, то возвращение произойдет приблизительно через время $2 \pi n / \omega_{2}$.) Но как это может быть? Почему нелинейность не возбуждает все фурье-гармоники? Может быть, ответ в том, что система, будучи записана в подходящих координатах, эквивалентна системе независимых гармонических осцилляторов?

Эксперимент ФПУ не привел к ожидаемому результату, но, так же как в предыдущем столетии эксперимент Майкельсона – Морли, бросил вызов основным представлениям физиков того времени. Тем не менее, так как это не было связано с вопросами, находившимися в то время на переднем крае физики (в этом отношении все времена похожи), этот результат легко мог быть отнесен, как это и произошло со многими, к разряду любопытных диковинок и забыт. Например, в 1962 г. Перринг и Скирм нашли двухсолитонное (соответствующее двухчастичному упругому столкновению) решение уравнения sin-Гордон, которое они использовали в нелинейной мезонной теории поля. Это точное решение, проявляющее нелинейный принцип суперпозиции, можно было связать с работами Бэклунда и Бьянки, которые в конце девятнадцатого столетия развили в рамках теории поверхностей постоянной отрицательной кривизны общую схему построения многосолитонных решений уравнения sin-Гордон. Было ясно, что это уравнение обладает весьма специальными свойствами, однако Перринг и Скирм не пошли по этому пути.

К счастью, странный результат ФПУ был забыт не всеми. Счастливая возможность была использована двумя специалистами по прикладной математике из Принстонского университета-Мартином Крускалом и Норманом Забуски (К3). Они решили понять необычное явление и в процессе работы открыли солитон и прекрасный новый мир нелинейных явлений, притягивающий сейчас воображение ученых всех физических дисциплин, мир, который обогатил арсенал математической физики и дал новую жизнь многим классическим математическим структурам.