(i) Классический случай. Рассмотрим систему фуксовых дифференциальных уравнений
\[
\frac{d V}{d z}=\sum_{j=1}^{n} \frac{A_{j}}{z-a_{j}} V,
\]

где $V$ есть $m$-мерный вектор, а $A_{j}$ являются постоянными $(m \times m)$-матрицами. В общем случае фундаментальным решением уравнения (4.63) является многозначная функция комплексной переменной $z$. Действительно, если мы обойдем регулярную особенность в точке $a_{j}$, то после обхода $\Phi=\Phi\left(a_{j}+\right.$ $\left.+\left(z-a_{f}\right) e^{2 \pi i}\right)$, причем фундаментальная матрица решений (4.63) не равна $\Phi(z)$; вместо этого ее столбцы являются линей-
1) Смотрите на с. 197 историческое замечание об основополагающей работе С. Ковалевской,
ной комбинацией столбцов $\Phi(z)$. Матрица $M_{l}$, связывающая $\Phi(z)$ и $\Phi\left(a_{j}+\left(z-a_{j}\right) e^{2 \pi i}\right)$,
\[
\Phi\left(a_{i}+\left(z-a_{f}\right) e^{2 \pi i}\right)=\Phi(z) M_{j},
\]

называется матрицей монодромии. Можно поставить следующий вопрос. Как можно представить $A_{j}$ в виде функции положения полюсов $a_{r}$ так, чтобы группа (легко видеть, что они образуют группу) матриц монодромии не изменялась? Общий ответ на этот вопрос был дан Шлезингером [90]:
\[
\frac{\partial A_{j}}{\partial a_{r}}=\frac{\left[A_{r}, A_{j}\right]}{a_{j}-a_{r}}, \quad \sum_{i}^{n} \frac{\partial A_{j}}{\partial a_{j}}=0 .
\]

Для $m=2$ линейным уравнением является система $2 \times 2$, ее регулярные особенности могут быть локализованы в фиксированных точках $z=0,1, \infty$ и одна точка $z=s$ подвижна. Вообще говоря, существуют двенадцать подгоночных параметров – элементов матриц $A_{j}, j=1,2,3$, но все они могут быть выражены в терминах одной функции $y(s)$, которая удовлетворяет уравнению
\[
\begin{aligned}
& y^{\prime \prime}+\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{y-s}\right) y^{\prime}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-s}\right) y^{2}- \\
– & 2 \frac{y(y-1)(y-s)}{s^{2}(s-1)^{2}}\left(\alpha-\beta \frac{s}{y^{2}}+\gamma \frac{s-1}{(y-1)^{2}}-\delta \frac{y(y-1)}{(y-s)^{2}}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Уравнение (4.66) является наиболее общим уравнением второго порядка вида
\[
y^{\prime \prime}=R\left(y, y^{\prime}, s\right),
\]

где $R$ – рациональная функция по $y, y^{\prime}$, аналитичная по $s$, которая имеет следующее свойство.

Свойство Пенлеве. Положение любой алгебраической, логарифмической или существенной особенности решений уравнения не зависит от начальных условий. Это означает, что от произвольных констант интегрирования может зависеть только положение полюсов.

Уравнения второго порядка вида (4.67) с такими свойствами (условия на $R$ и свойства Пенлеве) были изучены с исчерпывающей подробностью Пенлеве и Гамбье [91]. Существуют пятьдесят канонических типов уравнений, которые включают такие уравнения, как $y^{\prime \prime}=y$, разрешаемых в эллиптических функциях и имеющих вид
\[
y^{\prime \prime}=2 y^{3}+c y-v,
\]

и шесть типов уравнений, решения которых не могут быть выражены (исключая специальные предельные случаи) в терминах известных специальных функций. Эти шесть уравнений названы уравнениями Пенлеве и их решения – трансцендентами Пенлеве. Читатель может найти список этих уравнений в работе Айнса [92]. Два уравнения, которые появляются в этих лекциях, это второе,
\[
q_{x x}=x q+2 q^{3}-v,
\]

и третье (после преобразования $z=e^{u}$ ),
\[
\left(x u_{x}\right)_{x}=-\operatorname{sh} u,
\]

уравнения Пенлеве.
Далее, какое отношение все это имеет к полностью интегрируемым дифференциальным уравнениям в частных производных или, в более общей форме, к полностью разрешимым физическим моделям? Удивителен следующий факт: обнаружено, что нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, которые возникают очень естественным образом в этих точно решаемых моделях, обладают свойством Пенлеве. Не верится, чтобы этот факт был случайностью. Вероятнее, что существуют глубокие внутренние связи между точно решаемыми моделями и свойством Пенлеве. В следующем разделе я дополнительно прокомментирую эту идею.
(ii) Гипотеза АPC (Абловиц, Рамани, Сегур). В 1977 г. Абловиц и Сегур [93], [35] отметили, что после того как была установлена точная разрешимость уравнений
\[
\begin{array}{c}
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0, \\
v_{t}-6 v^{2} v_{x x}+v_{x x x}=0
\end{array}
\]
(при определенных граничных условиях), можно также решить нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, полученные наложением различных свойств симметрии на эти уравнения. Например, галилеева инвариантность означает, что (4.71) имеет решения вида $q(x, t)=f(X=x-c t)$, удовлетворяющие уравнению
\[
-c f_{X}+6 f f_{X}+f_{X X X}=0 .
\]

Масштабная инвариантность означает, что если $q(x, t)$ удовлетворяет (4.71), то то же имеет место для $\beta^{2} q\left(\beta x, \beta^{3} t\right)$ и, если $v(x, t)$ удовлетворяет (4.72), то это верно и для $\beta v\left(\beta x, \beta^{3} t\right)$. Полагая
\[
v(x, t)=\frac{1}{(3 t)^{1 / 3}} f\left(X=\frac{x}{(3 t)^{1 / 3}}\right),
\]

после однократного интегрирования мы получаем
\[
f_{X X}=X f+2 f^{3}-v,
\]
т. е. второе уравнение Пенлеве (4.69). В качестве упражнения я попрошу читателя показать, чго при помощи подходящего преобразования (подсказка: взгляните на преобразования Миуры) решения уравнения (4.71) вида $q(x, t)=\left(1 /(3 t)^{2 / 3}\right) g\left(x /(3 t)^{1 / 3}\right)$ удовлетворяют (4.73) при $v=0$.

Абловиц и Сегур указали, что однопараметрическое семейство решений (4.73) при $v=0$, убывающих экспоненциально при $x \rightarrow \infty$ и алгебраически при $x \rightarrow-\infty$, может быть найдено непосредственным применением метода обратной задачи. Основание для этих ограничений состоит в том, что метод обратной задачи требует, чтобы решения $q(x, t)$ стремились к нулю на обеих бесконечностях. В разд. 5f (iii) я расскажу, как искать общее решение начальной задачи для уравнения (4.73).

Далее, зная специфические свойства решений уравнения Пенлеве и заметив, что все обыкновенные дифференциальные уравнения, выводимые из известных полностью интегрируемых уравнений, обладают этим свойством, Абловиц и Сегур, к которым на этом этапе присоединился Рамани [35], высказали предположение, что это верно всегда: а именно, все обыкновенные дифференциальные уравнения, полученные из полностью интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных, обладают свойством Пенлеве. В некоторых случаях может понадобиться некоторая изобретательность при выборе зависимой переменной (см. (4.70)). Большим преимуществом этой идеи является то, что она дает простой и конструктивный тест на интегрируемость.

Проиллюстрируем это на примере (4.73) с $v=0$. Предположим, что $X_{0}$ является полюсной сингулярностью функции $f(X)$. Теперь мы должны построить ряд Лорана для $f$ в окрестности $X_{0}$
\[
f(X)=\sum_{n=-N}^{\infty} a_{n}\left(X-X_{0}\right)^{n} .
\]

Легко показать, что для того, чтобы (4.74) удовлетворяло уравнению (4.73), $N$ должно быть единицей. Подстановка (4.74) в (4.73) дает систему нелинейных алгебраических уравнений
\[
\begin{array}{l}
(n+1)(n+2) a_{n+2}=a_{n-1}+X_{0} a_{n}+ \\
+2 \sum_{j, k, l=-1} a_{j} a_{k} a_{l}, \quad j+k+l=n,
\end{array}
\]

для $n \geqslant 3\left(a_{n}=0, n<-1\right)$, к решению которой мы переходим методом итераций, выражая $a_{n+2}$ через коэффициенты более низ-

кого порядка. Это можно сделать только в том случае, если существует совместность при значениях $n=-3, n=1$, что необходимо, поскольку в каждом случае мы получим коэффициенты $a_{n+2}$ равными нулю, если не будут выполнены условия
\[
\begin{array}{c}
a_{-1}^{2}=1, \\
a_{0}+X_{0} a_{1}+6 a_{-1} a_{1}^{2}=0 .
\end{array}
\]

Мы находим, что для $n=-2,-1,0$
\[
a_{0}=0, \quad a_{1}=-\frac{X_{0} a_{-1}}{b}, \quad a_{2}=-\frac{a_{-1}}{4} ;
\]
(4.76) и (4.77) при этом удовлетворяются выбором $a_{-1}= \pm 1$. После этого все $a_{n}$ определены однозначно, и нетрудно показать, что полученный в результате ряд сходится для достаточно малых значений $X-X_{0}
eq 0$. Данное семейство решений имеет два свободных параметра $X_{0}$ и $a_{3}$, что и следовало ожидать, поскольку уравнение имело второй порядок. Если бы условие совместности (4.77) не было выполнено, то в локальное разложение для $f(X)$ следовало включить слагаемое $\ln \left(X-X_{0}\right)$, которое означало бы, что $X_{0}$ является точкой ветвления решения. Если бы это имело место, положение точки ветвления зависело бы от начальных условий и уравнение не имело бы свойства Пенлеве.

Большим преимуществом гипотезы АFC является простота в применении. Ее недостаток состоит в том, что для тестирования на интегрируемость необходимо проверить все обыкновенные дифференциальные уравнения, связанные с симметриями дифференциального уравнения в частных производных. Было бы лучше, если бы существовала возможность непосредственно изучать и тестировать само исходное уравнение. Проделаем это для (4.71), используя разложение
\[
q(x, t)=\frac{a_{-2}}{\left(x-x_{0}\right)^{2}}+\frac{a_{-1}}{\left(x-x_{0}\right)}+a_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+\ldots,
\]

где $x_{0}$ и все коэффициенты могут быть функциями от $t$. Подстановкой в (4.71) мы находим уравнение
\[
\begin{aligned}
n(n-1)(u-2) a_{n} & +6 \sum_{\substack{-2 \\
r+s=n-2}}^{\infty} r a_{t} a_{s}+ \\
& +a_{n-3, t}-(n-2) a_{n-2} x_{0 t}=0, \quad n \geqslant-2,
\end{aligned}
\]

которое решаем для $a_{n}$, выражая его через $a_{n-r}$. Для $n=-2$, $-1,0,1$ мы находим $a_{-2}=-2, a_{-1}=0, a_{0}=(1 / 6) x_{0 t}, a_{1}=0$. При $n=2$ коэффициент $a_{2}$ равен нулю, но тем же является сумма других слагаемых в уравнении. Следовательно, $a_{2}(t)$ – про-

извольная функция. Для $n=3$ находим $a_{3}=\frac{1}{36} x_{0 t t}$. Если $n=4$, вновь равен нулю коэффициент при $a_{4}$, но уравнение при этом имеет вид
\[
24 a_{4}+6\left(2 a_{0} a_{2}+2 a_{-2} a_{4}\right)+a_{1 t}-2 a_{2} x_{0 t}=0
\]

и удовлетворяется тождественно. Все последующие $a_{n}$ определяются однозначно. Поэтому $q(x, t)$ имеет локальное решение, которое может быть записано в виде ряда Лорана с тремя произвольными функциями от $t, x_{0}(t), a_{2}(t), a_{4}(t)$. Этот подход был развит Вейссом, Табором и Карнивейлем [96] и модифицирован Крускалом. Я отсылаю читателя к их работе. В сущности, гипотеза АРС была модифицирована так, что теперь она означает существование локального разложения функции $q(x, t)$ в ряд Лорана в окрестности тех поверхностей в $(x, t)$-пространстве, на которых она имеет полюсное поведение.

То, что я хотел здесь сделать, – это привлечь ваше внимание к связи этих результатов с результатами последнего раздела, поскольку я верю в существование непосредственного соответствия между свойством Хироты и свойством Пенлеве заданного уравнения. В обоих случаях для того, чтобы соответствующее свойство имело место, должно происходить нечто магическое. В первом из них должна существовать возможность, во-первых, записать заданное уравнение в представлении Хироты и, во-вторых, показать, что полученный многочлен принадлежит классу, допускающему $N$-солитонные решения при произвольном $N$. Это означает, что его коэффициенты, унаследованные из исходных уравнений, должны быть связаны друг с другом специальными соотношениями. Это также именно то, что должно иметь место, когда применяется тест Пенлеве. Коэффициенты должны быть в точности такими, чтобы ряд (4.74) (или (4.79)) был рядом Лорана.

Но на самом деле связь более глубока, чем это простое наблюдение. Заметим, что
\[
q(x, t)=-2 \frac{\tau_{x}^{2}}{\tau^{2}}+2 \frac{\tau_{x x}}{\tau},
\]

и поэтому полюс второго порядка функции $q(x, t)$ является простым нулем вездесущей $\tau$-функции $\tau\left(x, t_{3}, t_{5}, \ldots\right)$. Далее, мы знаем, что (4.71) обладает бесконечной серией рациональных решений (см. разд. 3h), соответствующей бесконечному ряду многосолитонных решений, и требование, предъявляемое к $P$ для существования того и другого, одно и то же, а именно условие Хироты (4.54). Рациональные решения определяются выражением $\tau$ в виде конечной полиномиальной функции $x=t_{1}, t_{3}$,

$t_{5}, \ldots$ заданного веса ( $\left.x, x^{3}+12 t_{3}, \ldots\right)$. Условия, при которых можно получить последовательность конечных полиномиальных решений, являются в точности условиями Хироты. Теперь взглянем на это с точки зрения свойства Пенлеве. Если $\tau$ может быть выражена как конечный многочлен $x, t_{3}, \ldots$, то ясно, что она допускает представление в виде ряда Тейлора в окрестности точек, лежащих на поверхности $\tau=0$. Но если $\tau$ имеет разложение в виде ряда Тейлора вблизи поверхности, где она обращается в нуль, то соответствующая $q\left(x, t_{3}, \ldots\right)$ обладает локальным разложением в ряд Лорана вблизи своих полюсов.

Предположение, что $\tau$-функция является аналитической по каждому из своих аргументов, все еще подлежит доказательству. Одной из трудностей является то, что это верно лишь для определенных классов решений. Прежде всего необходимо найти удобный способ исключения всех точек, где $\tau$ и, следовательно, $q$ имеют алгебраические, логарифмические или существенные особенности. Разумеется, этот набор точек фиксирован и не зависит от начальных условий.

Однако я убежден, что тест Пенлеве содержит больше информации, чем просто ответ «да» или «нет» на вопрос об интегрируемости уравнений. Хотя работа до сих пор носит предварительный характер, существуют все указания на то, что точно так же, как в случае многочленов Хироты, свойство Пенлеве обусловлено внутренней алгебраической структурой, лежащей в их основе. Другими словами, мое предположение состоит в том, что некоторая версия теста Пенлеве приводит к той же самой алгебраической структуре (в случае КдФ- и АКНС-иерархий это будет бесконечномерная алгебра петель, связанная с sl(2)), которая возникла бы при использовании метода Уолквиста – Эстабрука, обсуждаемого в первой части гл. 5.

Однако по-прежнему существует много досаждающих вопросов. Қрускал постоянно подвергал сомнению необходимость устранения логарифмической и других особенностей. В самом деле, кто стал бы отрицать, что уравнение $d y / d x=(y-\alpha) X$ $X(y-\beta)(y-\gamma) \ldots$ является ингегрируемым (так ли это?) и тем не менее $x$ как функция $y$ имеет логарифмические особенности. Более того, число контрпримеров предположению, что полностью интегрируемые дифференциальные уравнения имеют свойство Пенлеве (на что указывалось в последней серии статей), растет, и самая последняя весть из Парижа (где работает группа Рамани) состоит в том, что тест Пенлеве умер! Хотя это вне всякого сомнения, является преувеличением, тем не менее ясно, что необходимы некоторые изменения. Крускал сделал предположение, что тест Пенлеве – слишком сильное утверждение, и он считает, что необходим более тонкий тест, в котором

анализируется поведение уравнения вблизи слияния полюсов (т. е. «наихудшее» сингулярное поведение уравнения). Его идея нова, и я не буду пытаться здесь описывать ее до тех пор, пока она не будет опубликована. Идея имеет по крайней мере две привлекательные черты. Первая состоит в том, что она содержит исходный тест Пенлеве в случае, когда он применим. Однако более важно то, что она ведет в сердце природы интегрируемости (что такое полностью интегрируемая система?) и непосредственно связана с тонкими свойствами, отличающими эргодические и интегрируемые потоки на компактных многообразиях. (Например, $x^{\prime}=\alpha, y^{\prime}=\beta$ представляет собой интегрируемый поток на торе $0<x, y<1$ (на котором склеиваются противоположные границы) только в том случае, если отношение $\alpha$ и $\beta$ рационально. Почему? Причина в том, что на торе интеграл движения $C=\beta x-\alpha y$ ведет себя очень нерегулярно и в действительности неизмерим, если $\alpha / \beta$ иррационально.)