1. Возьмите $G=\operatorname{sl}(2, C), X=h H+e E+f F,\langle X, Y\rangle=\operatorname{Tr} X Y$. Найдите такое разложение $G=K+N$, что $Q$, произвольный элемент пространства $K^{\perp}$, имеет вид $h H+e E$. Единственная (с точностью до умножения на число) ad-инвариантная функция $Ф$ это $-\left(h^{2}+e f\right)$; при этом $-
abla \Phi(X)=h H+e E+f F$. Покажите, что гамильтоново векторное поле на $K^{\perp}$ запишется так:
\[
\dot{Q}=-\pi_{K^{\perp}}\left[\pi_{N}
abla \Phi, Q\right]=-\left[\pi_{N}
abla \Phi, Q\right]
\]

откуда следует
\[
\dot{h}=0, \quad \dot{e}=2 h e .
\]

Для мнимых $h$ и комплексных $e$ это есть уравнение гармонического осциллятора.
2. Рассмотрите алгебру Ли бесшпуровых $n \times n$-матриц
\[
X \cong\left(\begin{array}{cccccc}
b_{1} & a_{1} & d_{1} & & \\
c_{1} & b_{2} & a_{2} & \cdot & . \\
e_{1} & c_{2} & \cdot & \cdot & \cdot & \\
& & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
& \cdot & \cdot & \cdot & a_{n-1} \\
& & \cdot & \cdot & c_{n-1} & b_{n}
\end{array}\right)
\]

с обычным матричным коммутатором; $\langle X, Y\rangle=\operatorname{Tr}(X Y)$. Возьмите разложение

где $K$-кососимметричная, а $N$ нижнетреугольная матрица. $X$ также может быть разложено в $K^{\perp}+N^{\perp}$, где $K^{\perp}$ – множество симметричных матриц
\[
Q=\left(\begin{array}{cccccc}
b_{1} & a_{1} & d_{1} & & & \\
a_{1} & b_{2} & a_{2} & & & \\
d_{1} & a_{2} & \cdot & . & \\
& & \cdot & \cdot & \cdot & \\
& & \cdot & \cdot & a_{n-1} \\
& & & a_{n-1} & b_{n}
\end{array}\right),
\]
a $N^{\perp}$ состоит из строго нижнетреугольных матриц

$K$ и $N$ (в отличие от $K^{\perp}$ ) суть подалгебры.
\[
\Phi(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}, \mathbf{e}, \ldots)=\frac{1}{2} \operatorname{Tr} X^{2}
\]
— ad-инвариантная функция с градиентом $
abla \Phi(X)=X$. Гамильтоново векторное поле на $K^{\perp}$ задается так:
\[
\dot{Q}=-\pi_{K \perp}\left[\pi_{N}
abla \Phi(Q), Q\right]=\pi_{K \perp}\left[\pi_{K}
abla \Phi(Q), Q\right]=\left[\pi_{K}
abla \Phi(Q), Q\right] .
\]

Поэтому уравнение движения есть $Q=[B, Q]$, где
\[
B=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & a_{1} & d_{1} & & \\
-a_{1} & 0 & a_{2} & & \\
-d_{1} & & & \cdot & & \\
& & \cdot & \cdot & \\
& \cdot & & \cdot & \cdot & a_{n-1} \\
& & . & & \\
& & & -a_{n-1} & 0
\end{array}\right) .
\]

Отметим, что если мы ограничимся трехдиагональными матрицами $X$ (т. е. если $d=e=\ldots=0$ ), то матрица $Q$ симметрична и трехдиагональна. Далее, $B=\pi_{K}
abla \Phi(Q)$ и коммутатор $[B, Q]$ также трехдиагональны. Следовательно, гамильтонов поток, порожденный $\Phi$, сохраняет трехдиагональную структуру $Q$. Следовательно, мы можем сделать согласованную редукцию к трехдиагональной форме и получить более простой набор уравнений. В компонентах они записываются так:
\[
\begin{array}{l}
\dot{b}_{r}=2 a_{r}^{2}-2 a_{r-1}^{2}, \quad r=1, \ldots, n, \quad a_{0}=a_{n}=0, \\
\dot{a}_{r}=a_{r}\left(b_{r+1}-b_{r}\right), \quad r=1, \ldots, n-1 .
\end{array}
\]

Положим
\[
a_{r}=\frac{1}{2} \exp \frac{1}{2}\left(u_{r}-u_{r+1}\right), \quad b_{r}=-\frac{1}{2} \dot{u}_{r} .
\]

Тогда уравнения превратятся в
\[
\ddot{u}_{r}=e^{u_{r-1}-u_{r}}-e^{u_{r}-u_{r+1}}, \quad r=1, \ldots, n, \quad u_{0}=-\infty, \quad u_{n+1}=\infty .
\]

Эти уравнения описывают конечную цепочку Тоды (см. упражнение 2 b (iv) в гл. 2), у которой нулевая и ( $n+1$ )-я частицы удалены на разные бесконечности. Решение этой системы дано Мозером в [98], а Констант [99] описал весьма подробно ее алгебраическую структуру.
8 А. Ньюэл

3. Рассмотрите другое разложение алгебры $\operatorname{sl}(2, C), G=$ $=K+N$, где
\[
\begin{array}{l}
N=\sum_{1}^{M} X_{-j} \lambda^{j}+e_{0} E+h_{0} H, \\
K=\sum_{j=1}^{\infty}\left(h_{j} H+e_{j} E+f_{j} F\right) \cdot \lambda^{-j}+f_{0} F
\end{array}
\]
c внутренним произведением ${ }^{1}$ ), определенным с помощью (5.41). Тогда произвольный элемент $Q$ в пространстве $K^{\perp}$ имеет вид
\[
Q=h_{0} H+f_{0} F+\sum_{j=1}^{\infty}\left(h_{j} H+e_{j} E+f_{j} E\right) \lambda^{-j} .
\]

Для набора ad-инвариантных функций
\[
\Phi_{k}=-\left(h^{2}+e f\right)_{k},
\]

где $h, e, f$-ряды (векторы с бесконечным числом компонент), а индекс относится к члену при $\lambda^{-k}$, мы положим величины $\Phi_{1}=1, \Phi_{k}=0, k
eq 1$. Это означает, что мы взяли $h_{0}=0, f_{0}=1$, $e_{1}=1$. Выбор этот аналогичен сделанному ранее в этом разделе выбору $h_{0}=-i, e_{0}=f_{0}=0$. Величины
\[
Q^{(k)}=-\pi_{N}
abla \Phi_{k}(Q)
\]

имеют вид
\[
\begin{array}{l}
k=1, \quad-\lambda F+h_{1} H+E, \\
k=2, \quad-\lambda^{2} F+\lambda\left(h_{1} H+E+f_{1} F\right)+h_{2} H+e_{2} E, \\
k=k,-\lambda^{k} F+\lambda^{k-1}\left(h_{1} H+E+f_{1} F\right)+\ldots \\
+\lambda^{k-r}\left(h_{r} H+e_{r} E+f_{r} F\right)+\ldots+h_{k} H+e_{k} E . \\
\end{array}
\]

Покажите, что уравнения
\[
Q_{t_{k}}=\left[Q^{(k)}, Q\right]
\]
1) Мы увидим в разд. 5h, что это разложение совершенно естественно и соответствует главной градуировке $\widetilde{\mathrm{sl}}(2, C)$.

имеют вид
\[
\begin{array}{l}
h_{j, t_{k}}=e_{j+k}+\sum_{r=1}^{(j-1, k)}\left(e_{r} f_{j+k-r}-f_{r} e_{f+k-r}\right)+e_{f} f_{k}, \\
e_{j, t_{k}}=2 \sum_{r=1}^{(j-1, k)}\left(h_{r} e_{j+k-r}-e_{r} h_{j+k-r}\right), \\
f_{j, t_{k}}=-2 h_{j+k}-2 \sum_{r=1}^{(j-1, k)}\left(h_{r} f_{j-k-r}-f_{r} h_{j+k-r}\right)-2 h_{j} f_{k},
\end{array}
\]

где обозначение $(j-1, k$ ) означает, что суммировать можно либо до $j-1$, либо до $k$.

Я прошу вас убедиться (а в некоторых случаях доказать) в следующем.
(i) Последовательность $e_{j}$ порождается потенциалом, поскольку
\[
\frac{\partial e_{j+1}}{\partial t_{k}}=\frac{\partial e_{k+1}}{\partial t_{j}} .
\]

Предвидя то, что получится, я запишу
\[
e_{j}=-\frac{\partial}{\partial t_{j-1}} \frac{\partial \ln \tau}{\partial t_{1}}, \quad j=2, \ldots
\]
(ii) $e_{2}=\frac{1}{2} h_{1, t_{1}}+\frac{1}{2} h_{1}^{2}, f_{1}=\frac{1}{2} h_{1, t_{1}}-\frac{1}{2} h_{1}^{2}$.

Перед доказательством взгляните на первое соотношение. Оно вам знакомо?
Доказательство. Из (5.58b, d)
\[
h_{1, t_{k}}=e_{k+1}+e_{1} f_{k}, \quad f_{1, t_{k}}=-2 h_{k+1}-2 h_{1} f_{k},
\]

что дает нам
\[
2 h_{1} h_{1, t_{k}}+e_{1} f_{1, t_{k}}=2 h_{1} e_{k+1}-2 e_{1} h_{k+1} .
\]

Небольшое вычисление показывает, что
\[
h_{1, t_{k} t_{1}}=2 h_{1} e_{k+1}-2 e_{1} h_{k+1}+e_{1} f_{1, t_{k}},
\]

и, если это вычесть из предыдущего равенства, получится
\[
2 h_{1} h_{1, t_{k}}-h_{1, t_{k} t_{1}}=-2 e_{1} f_{1, t_{k}}=-2 f_{1, t_{k}}, \quad \text { так как } e_{1}=1 .
\]

Следовательно, $f_{1}=\frac{1}{2} h_{1, t_{k}}-\frac{1}{2} h_{1}^{2}$, и из $e_{k+1}=h_{1, t_{k}}-f_{k}$ получим $e_{2}=\frac{1}{2} h_{1, t_{1}}+\frac{1}{2} h_{1}^{2}$.
8*

(iii) $h_{1}$ как функция $t_{1}, t_{2}$ удовлетворяет модифицированному уравнению Кортевега – де Фриза
\[
h_{1, t_{2}}=e_{3}+f_{2}=h_{2, t_{1}}=\left(-\frac{1}{4} h_{1, t_{1} t_{1}}+\frac{1}{2} h_{1}^{3}\right)_{t_{1}},
\]

так как
\[
h_{2}=-\frac{1}{2} f_{1, t_{1}}-h_{1} f_{1}=-\frac{1}{4} h_{1, t_{1} t_{1}}-\frac{1}{2} h_{1}^{3} .
\]
(iv). Следствие. Как функция $t_{1}, t_{2}$, величина $e_{2}$ удовлетворяет уравнению Кд $\Phi$, причем $e_{2}=\frac{1}{2} h_{1, t_{1}}+\frac{1}{2} h_{1}^{2}$ есть преобразование Миуры.
(v). Я оставляю вам для доказательства соотношение
\[
e_{j, t_{k}}=e_{1} e_{k+j-1 x}+\ldots+e_{k} e_{j x}-e_{1 x} e_{k+j-1}-\ldots-e_{k x} e_{j} .
\]

Смотрите (4.13)!
(vi) $N e_{j+1}=-\frac{1}{4} M e_{j}=N L e_{j}$, где $L, M$ и $N$ определены $(3,6)$, (3.12). Это значит, что
\[
e=\sum_{j=1} \frac{e_{j}}{\lambda^{j}}=\sum_{j=1}^{i} \frac{L^{i} e_{1}}{\lambda^{j}}, \quad e_{1}=1 .
\]

Таким образом, $e_{j}=-B_{j-1}$ (напомним, что $B_{0}=-1, B_{1}=q / 2, \ldots$ $\left.\ldots, B_{r+1}=\frac{1}{2} L^{r} q\right)$, и отсюда, а также из (4.6) мы видим, что потенциал $\tau$, введенный посредством $e_{j}=-\left(\partial / \partial t_{j-1}\right)\left(\partial / \partial t_{1}\right) \ln \tau$, и в самом деле есть $\tau$-функция семейства КдФ.
(vii) Заметим, что решением (5.58a) является $Q=V C V^{-1}$, $C$ – постоянная матрица, а $V$ удовлетворяет
\[
V_{t_{k}}=Q^{(k)} V .
\]

Получив $Q^{(k)}$ с помощью (5.57), мы найдем для $V=\left(v_{1}, v_{2}\right)^{T}$
\[
v_{1 x}=h_{1} v_{1}+e_{1} v_{2}, \quad e_{1}=1, \quad v_{2 x}=-\lambda v_{1}-h_{1} v_{2}
\]

и
\[
\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right)_{t_{k}}=\left(\begin{array}{rr}
h^{(k)} & e^{(k)} \\
f^{(k)} & -h^{(k)}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right)
\]

где
\[
h^{(k)}=\lambda^{k} \sum_{0}^{k} \frac{h_{j}}{\lambda^{j}}, \quad e^{(k)}=\lambda^{k} \sum_{1}^{k} \frac{e_{j}}{\lambda^{j}}, \quad f^{(k)}=\lambda^{k} \sum_{0}^{k-1} \frac{f_{j}}{\lambda^{j}} .
\]

Отметим, что как $v_{1}$, так и $v_{2}$ удовлетворяют уравнению Шрёдингера с потенциалами $q=-2 e_{2}=-h_{1 x}-h_{1}^{2}$ и $h_{1 x}-h_{1}^{2}$ соответственно. Перепишем эти уравнения для переменных
\[
v=v_{1}, \quad v_{x}=v_{2}+h_{1} v_{1}
\]

и получим
\[
\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{x}
\end{array}\right)_{x}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-\lambda+h_{1 x}+h_{1}^{2} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
v \\
v_{x}
\end{array}\right)
\]

и
\[
\left(\begin{array}{l}
v \\
v_{x}
\end{array}\right)_{t_{k}}=\left(\begin{array}{cc}
h^{(k)}-h_{1} e^{(k)} & e^{(k)} \\
f^{(k)}+2 h_{1} h^{(k)}+h_{1, t_{k}}-h_{1}^{2} e^{(k)} & h_{1} e^{(k)}-h^{(k)}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
v \\
v_{x}
\end{array}\right) .
\]

Обратим внимание, что $h^{(k)}-h_{1} e^{(k)}=-\frac{1}{2} e_{x}^{(k)}$ и что эти уравнения суть в точности матричная форма (3.3).